Solutions I

Physik I für Chemiker,
WS 2015/16
Solutions I
Publication: 28.10.15
1 Vektor I
 


−2
4
 
 
~  

Ein Objekt A befindet sich bei ~a = 
5. Das zweite Objekt B befindet sich bei b =  4 .
2
3
(a) Die Entfernung von Objekt A zum Ursprung ist die Länge (auch Betrag) des Ortsvektors,
der den Punkt repräsentiert. Man kann ~a in rechteckigen Koordinaten auch schreiben als
(4, 5, 2), wobei 4, 5 und 2 die skalare Komponenten des Vektors in der x, y und z Richtung
sind. Der Betrag dieses Vektors ist gegeben durch:
q
a2x + a2y + a2z
p
=
42 + 52 + 22
√
= 3 5
a =
√
Also ist Objekt A 3 5 Einheiten vom Ursprung entfernt.
(b) Wie bei Objekt A ist die Entfernung von Objekt B zum Ursprung der Betrag des Ortsvektors, der die Postion B repräsentiert. Der Betrag des Vektors ist gegeben durch:
q
b2x + b2y + b2z
p
=
(−2)2 + 42 + 32
√
=
29
b =
Also ist B
√
29 Einheiten vom Ursprung entfernt.
(c) Der Abstand zwischen den zwei Punkten (Punkt A und B) ist der Betrag der Differenz
der beiden Ortsvektoren. Sei dieser Vektor ~c = ~a −~b. Mit etwas Vektoralgebra findet man
~c = ~a − ~b
= (6, 1, −1)
dies ist die Darstellung im rechteckigen Koordinatensystem. Die Länge von ~c, welche die
Entfernung beider Punkte darstellt, berechnet man folgendermaßen
q
c2x + c2y + c2z
p
=
62 + 12 + (−1)2
√
=
38
c =
Der Abstand zwischen Objekt A und B ist
1/7
√
38 Einheiten.
Physik I für Chemiker,
WS 2015/16
Solutions I
Publication: 28.10.15
(d) Der Winkel θ zwischen den beiden Ortsvektoren kann mithilfe der Definition des Skalarprodukts berechnet werden. Das Skalarprodukt zweier Vektoren ~a und ~b ist wie folgt
definiert
~a · ~b = ax bx + ay by + az bz
= ab cos θ
Mit einfacher Algebra findet man
√
θ = arccos(6/ 145)
= 60.11◦
Der Winkel zwischen den beiden Ortsvektoren ist also 60.11◦ .
2 Vektor II
Lasst uns die Flächendiagonalen (dargestellt durch die zwei Pfeile) als ~a und ~b bezeichnen. An
dem Bild erkennt man, dass ~a durch (1,1,0) im rechteckigen Koordinatensystem gegeben ist.
Während die andere Flächendiagonale ~b durch (1,0,1) gegeben ist.
(a) Der Winkel zwischen den beiden Flächendiagonalen (dargestellt durch die Ortsvektoren
~a und ~b) kann wieder mithilfe des der Definition des Skalarprodukts bestimmt werden
~a · ~b = ax bx + ay by + az bz
= ab cos θ
wobei θ der Winkel zwischen den Flächendiagonalen ist. Mit einfacher Algebra findet man
θ = arccos 0.5
= 60◦
Der Winkel ist also 60◦ .
(b) Betrachte S~1 und S~2 , die jeweils durch die rechteckigen Koordinaten (1, 0, 0) und (0, 0, 1)
dargestellt werden können. Der Winkel φ zwischen den beiden Seiten wird wieder mithilfe
des Skalarprodukts berechnet.
S~1 · S~2 = S1x S2x + S1y S2y + S1z S2z
= S1 S2 cos φ
2/7
Physik I für Chemiker,
WS 2015/16
Solutions I
Publication: 28.10.15
nach kurzer Umformung erhält man
cos φ = 0
Daraus folgt, dass der Winkel φ zwischen den beiden Seiten 90◦ beträgt. Die zwei Seiten
des Würfels stehen also senkrecht aufeinander.
~ = (Ux , Uy , Uz ) und V
~ = (Vx , Vy , Vz ), ist im
(c) Das Kreuzprodukt zweier Vektoren, z.B U
rechteckigen Koordinatensystem gegeben durch
~ ×V
~ = (Uy Vz − Uz Vy , Uz Vx − Ux Vz , Ux Vy − Uy Vx )
U
Wendet man diese Definition an, findet man, dass das Kreuzprodukt zwischen der Seite
des Würfels (1,0,0) und der Flächendiagonalen (1,1,0) gleich (0,0,1) ist. An diesem Ergebnis sieht man, dass das Kreuzprodukt zweier Vektoren senkrecht auf der von den zwei
Vektoren aufgespannten Fläche steht.
Abbildung 1: Skizze
3 Gradient
Der Gradient Operator grad oder ∇ in rechteckigen Koordinaten ist definiert als
∇ = x̂
∂
∂
∂
+ ŷ
+ ẑ
∂x
∂y
∂z
wobei x̂, ŷ und ẑ jeweils die Einheitsvektoren in x, y und z Richtung sind.
(a) Gemäß dieser Definition
∇r = x̂
∂r
∂r
∂r
+ ŷ
+ ẑ
∂x
∂y
∂z
3/7
Physik I für Chemiker,
WS 2015/16
Solutions I
Publication: 28.10.15
Kann man einfach bestimmen, dass
∂r
x
= ,
∂x
r
∂r
y
= ,
∂y
r
daher ist
∇r =
∂r
z
=
∂z
r
~r
xx̂ + y ŷ + z ẑ
=
r
r
(b) Der Gradient der anderen skalaren Funktion f lässt sich genauso berechnen
∇f = x̂
∂f
∂f
∂f
+ ŷ
+ ẑ
∂x
∂y
∂z
Erst werden wieder die partiellen Ableitungen bestimmt
∂f
= 2x,
∂x
∂f
= 5y 4 ,
∂y
∂f
= 9z 2 .
∂z
Der Gradient der Funktion f nimmt also folgende Form an:
∇f = 2xx̂ + 5y 4 ŷ + 9z 2 ẑ
(c) Wie bei Aufgabe (a) und (b), ist der Gradient der skalaren Funktion f gegeben durch
∇f = x̂
∂f
∂f
∂f
+ ŷ
+ ẑ
∂x
∂y
∂z
wieder werden die partiellen Ableitungen bestimmt
∂f
= 4e4x cos(2y) ln(z),
∂x
∂f
= −2e4x sin(2y) ln(z),
∂y
∂f
1
= e4x cos(2y)
∂z
z
Damit ergibt sich:
1
∇f = 4e4x cos(2y) ln(z)x̂ − 2e4x sin(2y) ln(z)ŷ + e4x cos(2y)ẑ
z
4 Integral
(a) Eine Möglichkeit Integrale zu lösen, ist die Methode der partiellen Integration. Mathematisch geschrieben heißt das
Z
0
∞
∞ Z
udv = uv −
0
4/7
0
∞
vdu
Physik I für Chemiker,
WS 2015/16
Solutions I
Publication: 28.10.15
Bei diesem Integral nehmen wir u = x und dv = e−x dx. Demzufolge können wir das
Integral wie folgt schreiben:
∞
Z
xe
−x
dx = −xe
∞
−x 0
0
Z
∞
+
e−x dx
0
Dieses Integral lässt sich dann einfach lösen und man erhält
Z
∞
xe−x dx = 1
0
(b) Um das Integral
π/2
Z
Z
π/2
cos(2x)dx
sin(5x)dx +
0
0
zu lösen, kann man einfach die Lösungen beider Integrale getrennt bestimmen und diese
dann addieren.
Z π/2
π/2 1
1
sin(5x)dx = − cos(5x)
=
5
5
0
0
und
Z
π/2
π/2
1
sin(2x)
=0
2
0
cos(2x)dx =
0
Daher ist
Z
π/2
Z
π/2
sin(5x)dx +
0
cos(2x)dx =
0
1
5
(c) Da das Integral der Summe von Funktionen gleich der Summe der Integrale jeder einzelnen
Funktion ist, kann man schreiben
Z
π/2
Z
2
π/2
(x + 2x + 3)dx =
0
=
Z
2
x dx +
0
x3 π/2
3 0
≈ 8, 47
2
0
π/2
+x 0
5 Komplexe Zahlen
Die zwei Komplexen Zahlen Z1 und Z2 sind gegeben durch
Z1 = 3 + 4i
und
Z2 = 1 − 2i
5/7
π/2
Z
2xdx +
3dx
0
π/2
+ 3x
0
π/2
Physik I für Chemiker,
WS 2015/16
Solutions I
Publication: 28.10.15
(a) Die Summe der beiden Zahlen ergibt sich zu
Z = Z1 + Z2
= (3 + 1) + (4 − 2)i
= 4 + 2i
(b) Das Produkt der beiden Zahlen ist gegeben durch
Z = Z1 Z2
= (3 + 4i)(1 − 2i)
= 3(1 − 2i) + 4i(1 − 2i)
= 11 − 2i
(c) Eine komplexe Zahl Z = x + iy kann auch in exponentieller Schreibweise geschrieben
werden
Z =| Z | eiφ
wobei
|Z| =
p
x2 + y 2
und
φ = arctan(y/x)
Benutzt man diese Definition findet man
|Z1 | =
p
32 + 42 = 5
und
φ1 = arctan(4/3) = 53.13◦
somit ist
Z1 = 5eiφ1
Ähnlich
|Z2 | =
p
12 + (−2)2 =
√
5
und
φ2 = arctan(−2) = −63.43◦
Demzufolge kann Z2 in exponentieller Schreibweise geschrieben werden als
Z2 =
6/7
√
5eiφ2
Physik I für Chemiker,
WS 2015/16
Solutions I
Publication: 28.10.15
6 Polar Koordinaten
Die kartesischen (rechteckigen) Koordinaten (x, y) können auch in Polarkoordinaten (r, θ) dargestellt werden. Dabei gilt
p
r = x2 + y 2
und
θ = arctan(y/x)
Ebenso gut können Polarkoordinaten (r, θ) wieder in kartesische Koordinaten (x, y) überführt
werden. Dann gilt
x = r cos θ
und
y = r sin θ
(a) Mit diesen Definitionen lassen sich die kartesischen Koordinaten (3, 4) in Polarkoordinaten
(r, θ) transformieren
p
r = 32 + 4 2 = 5
und
θ = arctan(4/3) = 53.13◦
Also transformieren sich die kartesischen Koordinaten (3, 4) in die Polarkoordinaten (5, 53.13◦ ).
(b) Ähnlich wie bei (a) verwendet man wieder einfach die Definitionen von oben um die
Polarkoordinaten (12, 45◦ ) in kartesische Koordinaten (x, y) zu transformieren:
√
x = 12 cos 45◦ = 6 2
und
√
y = 12 sin 45◦ = 6 2
√ √
So werden aus den Polarkoordinaten (12, 45◦ ) die kartesischen Koordinaten (6 2, 6 2).
7/7