Übungen zur Physik I fuer Chemiker und Lehramt mit

Fakultät für Physik
Wintersemester 2016/17
Übungen zur Physik I für Chemiker und Lehramt mit Unterrichtsfach Physik
Dr. Andreas K. Hüttel
Blatt 6 / 23.11.2016
1. Robin Hood Bei Bogen und Armbrust wird die Muskelkraft des Schützen zunächst
dazu verwendet, mechanische Arbeit zu verrichten (Biegen der elastischen Wurfarme),
mit dieser mechanischen Arbeit wird anschließend ein Pfeil oder Bolzen beschleunigt.
Kenngrößen für solche Waffen sind die Auszugslänge (d.h. die Länge x, um die der
Pfeil/Bolzen vom entspannten zum gespannten Zustand der Waffe bewegt wird), die
Zugkraft, d.h. die Kraft, die bei der Auszugslänge vom Schützen aufgebracht werden
muss, und die Masse des verwendeten Pfeils. Hier sind typische Leistungsdaten von
historischen Waffen aufgelistet:
Engl. Langbogen:
Auszugslänge: 30 inches (1 inch = 2.54 cm)
Maximale Zugkraft bei Auszugslänge: 100 Pfund (1 Pfund =4.54 Newton)
Pfeilgewicht: 60 Gramm
Armbrust:
Auszugslänge: 10 inches
Maximale Zugkraft bei Auszugslänge: 150 Pfund
Bolzengewicht: 300 Grains (1 Grain = 65 mg)
(a) Gehen Sie davon aus, dass die Wurfarme von Bogen und Armbrust dem Hooke’schen Gesetz F = −k∆x mit der Federkonstanten k gehorchen. Berechnen die
Federkonstanten der beiden Waffen.
(b) Berechnen Sie die
in den Federn gespeicherte potentielle Energie, indem Sie das
R
Integral E = − Fdx lösen.
(c) Gehen Sie davon aus, dass die potentielle Energie vollständig in kinetische Energie des Pfeils/Bolzens umgewandelt wird. Wie groß ist die Geschwindigkeit der
Geschosse?
(d) Überlegen Sie genauer: geht wirklich die gesamte potentielle Energie des Bogens
in kinetische Energie des Pfeils über?
(a)
kL = 596 N/m,
kA = 2681 N/m
(b)
E =−
Z∆x
Z
1
k x d x = k∆x2
2
Fdx =
0
EL = 173 J
EA = 86, 5 J
(c)
!
Ekin = E pot
1 2 1
mv = k∆x2
2
r2
k∆x2
⇔ v=
m
vL = 76 m/s, vA = 94 m/s
(d) Nein, denn ein Teil der Energie geht in die Bewegung von Sehne und
Bogenarmen.
2. Weg(un)abhängigkeit der Arbeit Die Arbeit, die an einem Teilchen längs eines
Weges verrichtet wird, ist gegeben durch das Wegintegral
Z~r2
Z
W=
dW =
C
d~r · ~F(~r)
.
~r1 ,C
Diese soll nun für die Federkraft ~F = −k~r und verschiedene Wege berechnet werden.
Als Wege sollen eine Gerade C1 and ein Halbkreis C2 (Radius d/2) betrachtet werden,
und zwar mit dem Anfangspunkt (x, y, z) = (0, 0, 0) und dem Endpunkt (d, 0, 0).
y
C2
0
C1
d
x
Hinweis:


1 − cos ϕ
. d
Ein Halbkreis kann durch~r(ϕ) =  sin ϕ  , ϕ ∈ [0, π] parametrisiert werden.
2
0
C1 :~r(x) = x~ex
d~r
=~ex
dx
Z~r2
W=
~r1
~F(~r)·d~r =
Zd
0
~F(~r(x))· d~r(x) dx =
dx
Zd
0
kd 2
W =−
2
~F(x~ex )·~ex dx =
Zd
(−k x~ex )·~ex dx
0


1 − cos ϕ
C2 :~r(ϕ) = d2  sin ϕ  , ϕ ∈ [0, π]
0


sin ϕ
d
d~r
= cos ϕ 
dϕ
2
0

 

π
Zπ
Zπ
1 − cos ϕ
sin ϕ
2Z
d~
r
d
kd 2
d
kd
W = ~F(~r(ϕ))·
dϕ = −k  sin ϕ  · cos ϕ  dϕ = −
sin(ϕ)dϕ = −
dϕ
2
2
4
2
0
0
0
0
0
3. Lennard-Jones [Alte Klausuraufgabe] Die potentielle Energie zweier Atome, die
keine chemische Bindung eingehen, kann durch das sogenannte Lennard-Jones-Potential
beschrieben werden; sie ist als Funktion vom Abstand r der beiden Atome
Epot (r) =
A
B
− 6
12
r
r
oder in einer anderen Schreibweise
Epot (r) = 4ε
σ 12
r
−
σ 6 r
A, B, ε und σ sind positive Konstanten. A beschreibt die Stärke der Pauli-Abstoßung
der Elektronenorbitale, B die van-der-Waals-Anziehung.
(a) Berechnen Sie die Kraft F(r) zwischen zwei Atomen als Funktion von r.
d Epot
= −4ε
F(r) = −
dr
6σ 6 12σ 12
− 13
r7
r
(b) Berechnen Sie den Gleichgewichtsabstand r0 , in dem die Kraft zwischen den
Atomen Null ist. Welcher Typ von Gleichgewicht liegt vor?
Wir nehmen an, daß r0 reell und positiv ist.
F(r0 ) = 0
−4ε
6σ 6 12σ 12
− 13
r7
r
6σ 6 −
=0
12σ 12
=0
r06
6
12
= 6
6
σ
r0
√
6
r0 = 2σ
Einsetzen von r0 in d2 Epot (r)/ d r2 = − d F(r)/ d r ergibt eine positive
Krümmung der potentiellen Energie; also liegt bei r0 ein Minimum der
potentiellen Energie und damit ein stabiles Gleichgewicht vor.
Für Xenon haben wir ε = 2.94 · 10−21 J und σ = 0.41 nm. Verwenden Sie diese Werte
und berechnen Sie:
(c) den Gleichgewichtsabstand zweier Xenon-Atome r0Xe
r0Xe = 0, 460 nm
(d) die Bindungsenergie der zwei Atome (entspricht dem Minimalwert des Potentials)
Epot (r0Xe ) = −2, 94 × 10−12 J
(e) die rücktreibende Kraft, würde man den Abstand der Atome vom Gleichgewicht
um 0.1 nm verringern
F(r0Xe − 0, 1 nm) = 1.43 nN