Formelsammlung: Physik I für Naturwissenschaftler

Formelsammlung:
Physik I für Naturwissenschaftler
Stand: 22. November 2012
1 Was ist Physik?
• Physikalische Größe
X = Zahl · [X]
-
Einheit
• SI-Basiseinheiten (Mechanik)
Zeit
Länge
Masse
[t] = 1 s
[x] = 1 m
[m] = 1 kg
2 Mechanik
2.1 Kinematik in 1D
bekannt
gesucht
Operation
Geschwindigkeit
v(t) = ẋ(t) =
differenzieren
d2 x
a(t) = ẍ(t) = 2
dt
Bahn x(t)
Beschleunigung
Bahn
dx
dt
differenzieren
integrieren
x(t) =
Geschwindigkeit v(t)
Zt
v(t0 ) dt0 + x0
0
Beschleunigung
differenzieren
Geschwindigkeit
integrieren
a(t) = v̇(t)
v(t) =
Zt
a(t0 ) dt0 + v0
x(t) =
Zt
v(t0 ) dt0 + x0
Beschleunigung a(t)
0
Bahn
integrieren
0
x0 : Anfangsort
v0 : Anfangsgeschwindigkeit
→ vollständige Information über 1D-Bahn: a(t), x0 , v0 !
x(t) = 12 a t2 + v0 t + x0
Beispiel: Bahn bei a = const.
1
2.2 Kinematik in 2D
• Ortsvektoren (angeheftet an Koordinatenursprung!)
~x (t) =
• Momentangeschwindigkeit (Tangente an Bahn)
~v (t) = ~x˙ (t) =
ẋ (t)
ẏ (t)
√
ẋ2 + ẏ 2
Bahngeschwindigkeit
v(t) = |~v| =
~a (t) = ~x¨ (t) = ~v˙ (t) =
• Beschleunigung
• Beispiel 1:
!
ẍ (t)
ÿ (t)
!
Allgemeiner Wurf unter Abwurfwinkel ϕ mit Erdbeschleunigung
g = 9,81 sm2
Anfangsgeschwindigkeit
Anfangsort
Damit folgt für die Bahn
z.B. Wurfweite
• Beispiel 2:
!
x (t)
y (t)
xA =
~v0 =
v0 cos(ϕ)
v0 sin(ϕ)
~x0 =
0
0
~x (t) =
!
!
v0 cos ϕ · t
v0 sin ϕ · t − 21 gt2
v02
· sin(2ϕ)
g
Gleichförmige Kreisbewegung mit Umlaufzeit T und Radius R
cos(ω t)
sin(ω t)
!
Bahn
~x (t) = R ·
Winkelgeschwindigkeit
ω=
Bahngeschwindigkeit
v = |~v| = ω · R = const.
Zentripetalbeschleunigung
a = |~a| = ω 2 · R =
2
2π
= const. (gleichförmig!)
T
v2
R
(Betrag)
!
2.3 Dynamik
m ~x¨ (t) =
• 2. Newtonsches Axiom:
X
F~i
i
– Lineare Superposition aller am Massenpunkt m angreifenden Kräfte F~i ,
[F ] = 1 N = 1 kgs2m
– Mit Anfangsort ~x(0) und Anfangsgeschwindigkeit ~x˙ (0) folgt damit die gesamte
Bahn ~x(t) („Programm der Mechanik“)
• Reibungskräfte (Beträge)
– proportional zur Normalkraft Fn
– Maximale Haftreibungskraft
FRH = µRH · Fn
– Gleitreibungskraft
FRG = µRG · Fn
µRG < µRH
• Gravitationskraft (Betrag) zwischen Massen m1 und m2 im Abstand r
FG = G ·
m1 m2
r2
wirkt anziehend entlang Verbindung der Massenpunkte mit Gravitationskonstante
G = 6,67 · 10−11
• Federkraft (Hooke’sches Gesetz)
Nm2
kg2
F (x) = kx
x:
k:
Dehnung/Stauchung der Feder
Federkonstante
2.4 Arbeit und Energie
• Arbeit einer Kraft F~ (~x) auf dem Weg von ~x1 nach ~x2
W =
Variante in 1D
W =
Z~x2
x
~1
Zx2
2
F~ (~x) d~x ,
[W ] = 1 kgsm
= 1 J(Joule)
2
F (x) dx
(Fläche unter Kurve F (x))
x1
• Satz von der kinetischen Energie:
Arbeit ↔ Bewegungsenergie für einen Massenpunkt m
1
1
m~v12 + W = m~v22
2
2
3
• Energieerhaltungssatz: Bei konservativen Kräften F~ wird
W = Epot,1 − Epot,2
Epot,i : potentielle Energie des Punktes ~xi
Damit folgt der Energieerhaltungssatz
1
1
m~v12 + Epot,1 = m~v22 + Epot,2 = Eges = const.
2
2
• Beispiele zur potentiellen Energie:
– Schwerefeld
Epot (z) = mgz
z:
vertikale Koordinate
– Feder
Epot (x) = 21 kx2
x:
Dehnung/Stauchung der Feder
– Potentielle Energie im Gravitationsfeld der Masse M
mM
r
Achtung: Referenzpunkt ist hier r = ∞
Epot (r) = −G
4
r:
Abstand von Masse M