1 Translationsbewegung Rotationsbewegung Weg : s Winkel : ϕ = ϕ

1
Translationsbewegung
Rotationsbewegung
Weg : ~s
Winkel : ϕ
~ = ϕ ~nz
Geschwindigkeit : ~v =
d~s
dt
Winkelgeschwindigkeit : ω
~ =
d~
ϕ
dt
~v = ω
~ × ~r, ~ar = −ω 2 ~r
Beschleunigung : ~a =
d~v
d2~s
= 2
dt
dt
Winkelbeschleunigung : α
~=
~s(t) = 12 ~a0 t2 + ~v0 t + ~s0
ϕ
~ (t) = 21 α
~ 0 t2 + ω
~ 0t + ϕ
~0
~v (t) = ~a0 t + ~v0
ω
~ (t) = α0 t + ω
~0
d~ω
d2 ϕ
~
= 2
dt
dt
Z
r2 · dm
Masse : m
Trägheitsmoment : Θ =
Kraft : F~
~ = ~r × F~
Drehmoment : M
Impuls : p~ = m · ~v
~ =Θ·ω
Drehimpuls : L
~
1. Newtonsches Gesetz :
1. Newtonsches Gesetz :
F~ = 0 →
V
d~
p
dt
= 0 → p~ = const
~ =0→
M
~
dL
dt
~ = const
=0→L
2. Newtonsches Gesetz :
2. Newtonsches Gesetz :
d~p
d
F~ =
= (m · ~v )
dt
dt
3. Newtonsches Gesetz :
~
~ = dL = d (Θ · ω
M
~)
dt
dt
3. Newtonsches Gesetz :
n
P
i=1
n
P
~ i = const
L
p~i = const
(geschlossenes System aus n Massen)
i=1
(geschlossenes System aus n
Trägheitsmomenten)
Kraftgesetz (Feder) : F~ = − D · ~s
1
Potenzielle Energie : Epot = D · s2
2
1
Kinetische Energie : Ekin = m · v 2
2
Arbeit : dW = F~ · d~s
q
Schwingungsdauer T = 2 π ·
m/D
~ = − D∗ · ϕ
M
~
1
Epot = D∗ · ϕ2
2
1
Erot = Θ · ω 2
2
~ · d~
dW = M
ϕ
q
T = 2π ·
Θ/D∗
2
Freier Fall:
v=
√
2gh, s = 12 gt2 , v = gt; g = 9, 81m/s2
Bewegung der Rakete:
R
mR dvdtR = −vG dm
dt
Existiert eine potenzielle Energie −→ Kraft ist konservativ
Für konservative Kräfte gilt der Energieerhaltungssatz:
n
n
n
P
P
P
Eges,i =
Ekin,i +
Epot,i = const
i=1
i=1
i=1
Stoßgesetze 1: zentraler elastischer Stoß mit v2 = 0 (Energie- und
Impulserhaltung)
2m1
0
1 −m2
v10 = m
m1 +m2 v1 , v2 = m1 +m2 v1
Stoßgesetze 2: zentraler perfekt inelastischer Stoß mit v2 = 0 (Impulserhaltung)
1
v10 = v20 = m1m+m
v1
2
Beschleunigte Bezugssysteme: F~ 0 = F~ − m~aR = F~ + F~tr ;
F~tr : Trägheitskraft
Corioliskraft im rotierenden Bezugssystem: F~cor = 2m(~v 0 × ω
~)
3
Periodische Bewegungen
d2 s
dt2
2
D
= −m
s (Schwingung der Schraubenfeder) bzw. ddt2s = − gl s (Schwe2
∗
rependel bei nicht zu großer Auslenkung s) bzw. ddtϕ2 = − DΘ ϕ (Drehschwingungen der Spiralfeder)
Lösungen: s(t) = ss sin ωt+sc cos ωt bzw. ϕ(t) = ϕs sin ωt+ϕc cos ωt
r
D
m
q
g
l
r
∗
ω=
bzw. ω =
bzw. ω = DΘ ;
T = 2π
ω
Bestimmung der Amplituden ss und sc bzw. ϕs und ϕc durch Anfangsbedingungen s(t = 0) und ds
dt (t = 0) bzw. ϕ(t = 0) und
dϕ
dt (t = 0)
Bei verlustfreien Schwingungen gilt: Eges = Ekin + Epot = const
Gravitation
1. Keplersches Gesetz: Planetenbahnen sind Ellipsen mit der Sonne
in einem Brennpunkt.
2. Keplersches Gesetz: In gleichen Zeiten überstreicht der Fahrstrahl
Sonne-Planet gleiche Flächen.
3. Keplersches Gesetz: Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich wie die Kuben ihrer mittleren Sonnenabstände.
~r
Gravitationskraft:
F~G = − γ mM
2
r
r
mM
Potenzielle Energie:
Epot = − γ r
Potenzial:
UG = Empot = − γ Mr
~ G = F~G = − γ M2 ~r
Feldstärke:
E
m
r r
E
(Feldstärke
Erdbeschleunigung:
g = γM
2
RE
an der Erdober-
fläche)
r
Fluchtgeschwindigkeit von der Erdoberfläche:
Gravitationskonstante:
vFl =
γ = 6, 67 · 10−11 N m2 /kg2
2γME
RE
4
Starrer Körper
k
P
1. Gleichgewichtsbedingung:
i=1
k
P
2. Gleichgewichtsbedingung:
Schwerpunkt:
2
F~A = m ddt~r2S ,
~rS =
F~A =
Trägheitsmoment:
1 R
m
V
k
P
i=1
i=1
F~i = 0 (Translation)
~i =
M
k
P
i=1
~ri ×F~i = 0 (Rotation)
~rdm
F~i
(Summe aller äußeren Kräfte)
R
Θ = r2 dm
V