Experimentalphysik (H.-C. Schulz

Experimentalphysik I (H.-C. Schulz-Coulon)
Robin Heinemann
17. Mai 2017
Inhaltsverzeichnis
1
2
3
Einleitung
1.1 Eigenschaften der Physik
1.1.1 Beispiel . . . . .
1.2 Maßeinheiten . . . . . .
1.2.1 Basisgrößen . . .
1.2.2 Weitere Größen .
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Mechanik
2.1 Kinematik des Massenpunktes . . .
2.1.1 Eindimensionale Bewegung
2.1.2 Bewegung im Raum . . . .
2.2 Newtonsche Dynamik . . . . . . . .
2.2.1 Kraft und Impuls . . . . . .
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Verschiedene Kräfte und Kraftgesetze
3.1 Gravitation (TODO Skizze) . . . . . . . . . .
3.1.1 Anziehungskraft zweier Massen . . .
3.1.2 Erdbeschleunigung . . . . . . . . . .
3.2 Federkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Maxwell’sches Rad . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Ruhezustand . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Frage . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3 Messung: . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.4 Auswertung . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Rotierende Kette . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Normalkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Schiefe Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Reibungskräfte . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.1 Experiment: Bewegung einer Masse .
3.7.2 Experiment: Tribologische Messung .
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2
3.8
3.9
3.10
3.11
4
5
Tribologische Reibungslehre . . . . . . . . . . . .
Mikroskopisches Modell . . . . . . . . . . . . . .
Schiefe Ebene: Messung der Reibungskraft (Skizze)
Zentripetalkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.11.1 Beispiel 1 Rotierendes Pendel . . . . . . .
3.11.2 Beispiel 2 Geostationärer Satellit . . . . .
Arbeit, Energie, Leistung
4.1 Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Beispiel Kreisbahn ( =⇒ Gravitation)
4.2 kinetische Energie . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Potentielle Energie . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Ball als Feder am Auftreffpunkt . . . .
4.4 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Umwandlung von Energie . . . . . . . . . . . .
4.6 Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7 Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8 Konservative Kräfte . . . . . . . . . . . . . . .
4.8.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . .
4.9 Kraftfelder und Potential . . . . . . . . . . . .
4.9.1 Definition Kraftfeld . . . . . . . . . .
4.9.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.9.3 Feldlinien: . . . . . . . . . . . . . . . .
4.9.4 konservative Kraftfelder . . . . . . . .
4.9.5 Potential und Gravitationsfeld . . . . .
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Erhaltungssätze
5.1 Energieerhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Doppelbahn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 Energieerhaltungssatz der Newtonschen Mechanik
5.1.3 Energiediagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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6
Systeme von Massenpunkten
27
6.1 Beschreibung eines Systems von Massenpunkten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6.1.1 Bewegung des Schwerpunktes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
6.1.2 Raketenantrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
7
Stöße
7.1 Kollinearer elastischer Stoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Betrachtung im Schwerpunktsystem . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.1 Nicht-zentraler, elastischer Stoß im Schwerpunktsystem
7.3 Inelastische Stöße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Mechanik des starren Körper
8.1 Bewegung des starren Körpers . . . . . . .
8.2 Drehmoment und Kräftepaare . . . . . . .
8.2.1 Drehmoment und Schwerpunkt . .
8.2.2 Kräftepaare . . . . . . . . . . . . .
8.3 Statisches Gleichgewicht . . . . . . . . . .
8.4 Rotation und Trägheitsmoment . . . . . . .
8.5 Berechnung von Trägheitsmoment . . . . .
8.6 Steinersche Satz . . . . . . . . . . . . . . .
8.7 Drehimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.8 Trägheitstensor, freie Rotation und Kreisel
8.8.1 Kreisel . . . . . . . . . . . . . . . .
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Mechanik deformierbarer Körper
9.1 Atomares Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 Feste Körper. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3 Scherung und Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4 Ruhende Flüssigkeiten-Hydrostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4.1 Auftrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4.2 Oberflächenspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5 Gase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5.1 Barometrische Höhenformel: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.6 Strömende Flüssigkeiten und Gase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.6.1 Kontinuitätsgleichung: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.6.2 Reibung in Flüssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.6.3 Strömung durch ein Rohr mit kreisförmigen Querschnitt (Hagen-Poiseuille)
9.6.4 Strömungswiderstand von glatten Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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10 Wärmelehre
10.1 Temperaturbegriff und Wärmeausdehnung . . . . . . . . . . . . . .
10.1.1 Volumenausdehnung von Gasen . . . . . . . . . . . . . . . .
10.1.2 Volumen und Längenausdehnung fester und flüssiger Stoffe .
10.1.3 Anomalie des Wassers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2 Zustandsgleichung idealer Gase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3 kinetische Gastheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.4 Wärme, Wärmekapazität und latente Wärme . . . . . . . . . . . . . .
10.5 Arbeit und Wärme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.6 erster Hauptsatz der Wärmelehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.7 Volumenarbeit und PV-Diagramme idealer Gase . . . . . . . . . . .
10.8 Zusammenfassung: Spezielle Zustandsänderung idealer Gase . . . .
10.9 Zweiter Hauptsatz der Wärmelehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.9.1 Kreisprozesse: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.9.2 Carnot-Prozess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.9.3 Ottomotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1 Einleitung
4
10.9.4 Stirling-Motor . . . . . . . . . . . . . . . .
10.9.5 Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik . .
10.10 Entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.11 Thermodynamische Temperaturskala . . . . . . . .
10.11.1 Temperaturskala (via Carnot-Wirkungsgrad)
10.11.2 Dritter Hauptsatz . . . . . . . . . . . . . . .
10.12 Zusammenfassung thermodynamische Gesetze . . .
10.13 Thermodynamik realer Gase und Flüssigkeiten. . . .
10.13.1 Ausdehnung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.13.2 Wechselwirkung . . . . . . . . . . . . . . .
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72
72
73
76
76
77
77
77
77
78
11 Transportprozesse
78
11.1 Wärmetransport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
11.2 Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
11.3 Wärmestrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
mass, m
1 Einleitung
1.1 Eigenschaften der Physik
Physik ist nicht axiomatisch!
• Nicht alle Gesetze der Natur sind bekannt.
• Die bekannten Naturgesetze sind nicht unumstößlich
• unfertig
• empirisch
• quantitativ
• experimentell
• überprüfbar
m
1 Einleitung
5
• braucht Mathematik
• Gefühl für Größenordnungen und rationale Zusammenhänge
1.1.1 Beispiel
Fermi-Probleme:
• Anzahl der Klavierstimmer in Chicago?
• Anzahl der Autos in einem 10km Stau?
• Anzahl von Fischen im Ozean
1.2 Maßeinheiten
Internationales Einheitensystem (SI)
1.2.1 Basisgrößen
Größe
Länge
Masse
Zeit
Meter
Einheit
Meter
Kilogramm
Sekunden
Symbol
m
kg
s
Strecke, die das Licht im Vakuum während der Dauer von
1
299792458 s durchläuft.
Sekunde Das 9 192 631 770 -fache der Periodendauer der am Übergang zwischen den beiden
Hyperfeinstukturniveaus des Grundzustandes von Atomen des Nukulids Cs133 entsprechenden
Strahlung.
Kilogramm Das Kilogramm ist die Einheit der Masse, es ist gleich der Masse des internationalen
Kilogrammprototyps (ist scheiße).
Avogadroprojekt
NA =
MV n
m
NA : Avogardokonstante (NA = 6.022 141 5 × 1023 )
1.2.2 Weitere Größen
Größe
Strom
Temperatur
Lichtstärke
Einheit
Ampere
Kelvin
Candla
Symbol
A
K
cd
2 Mechanik
6
2 Mechanik
Kinematik: Beschreibung der Bewegung Dynamik: Ursache der Bewegung
2.1 Kinematik des Massenpunktes
2.1.1 Eindimensionale Bewegung
TODO Skizze 1
x1 , t1 −→ x2 , t2 Geschwindigkeit
v=
Weg
x2 − x1
∆x
=
=
Zeit
t2 − t1
∆t
[v] = m s−1 abgeleitete Größe
Momentangeschwindigkeit
v := lim
∆t→0
∆x
dx
=
= ẋ
∆t
dt
Beschleunigung
∆v
dv
d2 x
=
= 2 = ẍ
∆t→0 ∆t
dt
dt
a := lim
Freier Fall
[a] = m s−2
a = const. (Behauptung)
a = ẍ = const = v̇
→ Integration:
∫
v(t) =
∫
x(t) = x0 +
adt + v0 = at + v0
0
∫
t
v(t)dt = x0 +
0
Bei unserem Fallturm
t
0
t
1
(at + v0 )dt = at2 + v0 t + x0
2
2x
1
x(t) = at2 → a = 2
2
t
x[m]
0.45
0.9
1.35
1.80
t[ms]
304.1
429.4
525.5
606.8
2x
[m s−2 ]
t2
9.7321696
9.7622163
9.7772861
9.7771293
1
x(t) = gt2 , g = 9.81 m s−2
2
Die Erdbeschleunigung g ist für alle Körper gleich (Naturgesetz).
2 Mechanik
7
2.1.2 Bewegung im Raum
TODO Skizze 2
Ortsvektor:


x(t)
(
)⊺
⃗r(t) = y(t) = x(t) y(t) z(t)
z(t)
Durchschnittsgeschwindigkeit
⃗ 12
r⃗2 − r⃗1
∆r
=
= v⃗D
∆t
∆t
)⊺
(
)⊺ (
d⃗r
⃗v (t) =
= ⃗r˙ (t) = ẋ(t) ẏ(t) ż(t) = vx vy vz
dt
(
)⊺ (
)⊺
d⃗v
⃗a(t) =
= ⃗v˙ (t) = ⃗r¨(t) = ẍ ÿ z̈ = ax ay az
dt
→ Superpositionsprinzip:
Kinematik kann für jede einzelne (Orts)Komponente einzeln betrachtet werden.
a⃗0 = const


x0 + vx,0 (t − t0 ) + 21 ax,0 (t2 − t20 )
1
⃗r(t) = r⃗0 + v⃗0 (t − t0 ) + ⃗a(t2 − t20 ) =  y0 + vy,0 (t − t0 ) + 21 ay,0 (t2 − t20 ) 
2
z0 + vz,0 (t − t0 ) + 21 az,0 (t2 − t20 )
Horizontaler Wurf
TODO Skizze 3
t0 = 0
(
)⊺
a⃗0 = 0 0 −g
(
)⊺
v⃗0 = vx,0 0 0
(
)⊺
x⃗0 = 0 0 0
(
)⊺
⃗r(t) = vx,0 t 0 12 gt2
Schiefer Wurf


0
a⃗0 =  0 
−g


vx,0
v⃗0 =  0 
vz,0
2 Mechanik
8
 
0
r⃗0 =  0 
z0

vx,0 t

0
r(t) = 
1 2
− 2 gt + vz,0 t + z0

z(x) = −
1 g 2 vz,0
x + z0
2 x + v
2 vx,0
x,0
Nachtrag
∫
t
a = v̇
∫ t
v̇dt′ =
adt′
0
v
|t0 =
0
′ t
at |0
v(t) − v(0) = at
|{z}
v0
v(t) = at + v0
analog:
1
x(t) = at2 + v0 t + x0
2
TODO Skizze Wurfparabel
tan φ =
vz,0
vx,0
2
2
v02 = vx,0
+ vz,0
Scheitel:
Z ′ (xs ) = 0
xs =
v02
sin 2φ
2g
Wurfweite:
Z(xw ) = 0
√
xw =
v02
sin 2φ(1 +
2g
1+
2gz0
)
2
v0 sin2 φ
Optimaler Winkel: φopt , xw max.
z0 = 0 =⇒ sin 2φ = 1 → φ = 45°
z0 ̸= 0 =⇒ sin φopt = (2 +
2gz0 − 1
) 2
v02
2 Mechanik
9
Gleichförmige Kreisbewegung
(
) (
)
x(t)
R cos φ
⃗r(t) =
=
y(t)
R sin φ
mit φ = φ(t)
( ) (
)
ẋ
−Rφ̇ sin φ
⃗v (t) =
=
ẏ
Rφ̇ cos φ
Gleichförmige Kreisbewegung: φ̇ = const Definition Winkelgeschwindigkeit:
ω=
dφ
= φ̇ [w] = rad s−1 = 1/s
dt
(
)
cos φ
→ |⃗r(t)| = r = const
sin φ
(
)
− sin φ
⃗v = Rω
→ |⃗r(t)| = r = const
cos φ
Für ω = const.:
⃗r = R
⃗v ⊥ ⃗r ⇐⇒ ⃗v · ⃗r = 0
TODO Skizze Kreisbewegung
Mitbewegtes Koordinatensystem
(
⃗r(t) = Re⃗R
e⃗R =
⃗v (t) = Rω e⃗t
e⃗t =
)
cos φ(t)
sin φ(t)
)
(
− sin φ(t)
cos φ(t)
⃗t ̸= const das heißt ⃗a(t) ̸= 0
Kreisbeschleunigung
)
) (
(
ẍ(t)
−Rω 2 cos φ
=
= −Rω 2 e⃗R =⇒ ⃗a ∥ ⃗r
⃗a(t) =
ÿ(t)
−Rω 2 sin φ
v2
̸= 0
R
Zentripetalbeschleunigung Zeigt in Richtung des Ursprungs.
|⃗a(t)| = Rω 2 =
⃗azp = −Rω 2 e⃗R
2 Mechanik
10
Allgemein
ω
⃗
Räumliche Lage der Bewegungsebene
⃗v = ⃗w × ⃗r
v = ωr
⃗a = ⃗w × ⃗v
1. TODO Skizze omega
Allgemeine krummlinige Bewegung
⃗v = v e⃗t
d(v e⃗t )
dv
dvet
⃗a = ⃗v˙ =
=
e⃗t + v
dt
dt
dt
e⃗t = cos ρ e⃗x + sin ρ e⃗y
e⃗n = − sin ρ e⃗x + cos ρ e⃗y
d e⃗t
= ρ̇ − sin ρ e⃗x + cos ρ e⃗y = ρ̇ e⃗n
dt
⃗a = v̇ e⃗t +
v2
e⃗n
ρ
TODO Skizze
Relativbewegung
• S -Laborsystem
• S ′ -Bewegtes System
• ⃗u = (u, 0, 0) = const Geschwindigkeit von S’ im System S
• Punkt P = (x, y, z) in S
• Punkt P ′ = (x′ , y ′ , z ′ ) in S ′
• Zeitpunkt t = 0 :
S = S′, P = P ′
TODO Skizze Bewegtes Bezugssystem
2 Mechanik
11
Galilei-Transformation
1. Eindimensional
x′ = x − ut
y′ = y
z′ = z
v′ = v − u
t′ = t
2. Dreidimensional
⃗r′ = ⃗r − ⃗ut
⃗v ′ = ⃗v − ⃗u
⃗a′ = ⃗a
2.2 Newtonsche Dynamik
Warum bewegen sich Körper?
Newton 1686: Ursache von Bewegungsänderungen sind Kräfte. Newtonsche Gesetze (Axiome)
1. Jeder Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen Bewegung, sofern er
nicht durch Kräfte gezwungen wird diesen Bewegungszustand zu verlassen
2. Die Änderung einer Bewegung wird durch Einwirken einer Kraft verursacht. Sie geschieht in
Richtung der Kraft und ist proportional zu Größe der Kraft
3. Übt ein Körper 1 auf einen Körper 2 die Kraft F12 , so reagiert Körper 2 auf den Körper 1 mit
der Gegenkraft F21 und es gilt F21 = −F12 (actio = reactio)
2.2.1 Kraft und Impuls


Fx
⃗ = Fy 
F
Fz
Superposition von Kräften (Zusatz zu den Newtonschen Gesetzen (Korollar)):
⃗ ges =
F
n
∑
i=1
TODO Skizze Addition von Kräften
⃗i
F
2 Mechanik
12
Grundkräfte der Natur
• Elektromagnetische Kraft
• Starke Kraft
• Schwache Kraft
• Gravitation
Impuls
⃗ = m⃗v
P
⃗ ] = kg m s−1
[P
Kraft
⃗
⃗ = dP = P
⃗˙ = d (m⃗v)
F
dt
dt
m = const.:
⃗ = m d⃗v = m⃗v˙ = m⃗¨x = m⃗a
F
dt
Grundgesetz der Dynamik
⃗ =P
⃗˙ beziehungsweise F
⃗ = m⃗a
F
Trägheitsprinzip (Impulserhaltung)
⃗ = m⃗v = const, P
⃗ = 0 für F
⃗ =0
P
Experiment
⃗ G = m⃗g = (m + M ) ⃗a = mges ⃗a
F
|{z}
| {z }
Kraf t
⃗a =
Erwartung: a ∼
m
mges , a
T rgheit
m
m
m
d=1
⃗g ⇐=⇒ a =
g=
g
m+M
m+M
mges
=
2∆s
∆s , weil ∆s
= 21 a∆t2
Messung:
m[g]
10
40
10
40
M [g]
470
440
1910
1880
mges [g]
480
480
1920
1920
mges
m
48
12
192
48
∆s[mm]
800
800
800
800
∆t[s]
2.75
1.40
5.55
2.79
a[m s−1 ]
0.21157025
0.81632653
0.051943836
0.20554721
2 Mechanik
13
TODO Skizze
Trägheitsprinzip - „revisited“ Definition: Ein Bezugssystem in dem das Trägheitsprinzip gilt
nennt man ein Inertialsystem.
In einem beschleunigten Bezugssystem gilt das Trägheitsprinzip nicht. Beschleunigte Systeme ̸=
Inertialsysteme. Das Trägheitsprinzip ist Galilei-invariant.
TODO Skizze whatever
Trägheitsprinzip: [moderne Formulierung]: Es gibt Inertialsysteme, das heißt Koordinatensysteme
in denen ein kräftefreier Körper im Zustand der Ruhe oder der gradlinig gleichförmigen Bewegung
verbleibt.
Actio gleich Reactio
F⃗12 = − F⃗21
|{z}
| {z }
Kraft
Gegenkraft
TODO Skizze von Körpern
TODO (Skizze) Experiment
1. Erwartung:
v1 = v2 → a1 = a2 → F1 = F2 ✓
Nicht trivialer Fall:
Kraftstoß:
Magnetische Kraft: Fmag ∼
1
r2
∫
v1,2 =
t1,2
a(t)dt = aeff T
0
→ F1 (t) = F2 (t) → v1 = v2
Experiment 2
m1 = 241.8 g ∧ m2 = 341.8 g =⇒
m2
≈ 1.5
m1
∆s
t2
71
v1
=
=
→
≈ 1.5
∆t
v2
t1
48
a1
m2 F1
v1
=
=
·
a ∼ v, F = ma →
v2
a2
m1 F2
F1
1=
=⇒ F1 = F2
F2
v=
3 Verschiedene Kräfte und Kraftgesetze
14
Beispiele
• Kraft und Gegenkraft (TODO Skizze)
• Flaschenzug, Seilkräfte (TODO Skizze)
3 Verschiedene Kräfte und Kraftgesetze
3.1 Gravitation (TODO Skizze)
Experimenteller Nachweis im Labor mit Torsionsdrehungen (erstmals Cavendish)
3.1.1 Anziehungskraft zweier Massen
m1 , m2 Massen, Newtonsches Gravitationsgesetz:
m1 m2
F⃗G = −G 2 e⃗r
r
mit G = 6.67 × 10−11 m3 kg−1 s−2
3.1.2 Erdbeschleunigung
FG = G
mME
mME
≈ G 2 = mg =⇒ g ≈ 9.81 m s−2
2
(rE + h)
r
(mittleres g)
Abweichungen
• komplizierte Massenverteilung, Strukturen
• Abflachung der Erde
Messung von g
• Gravimeter (Federgravimeter, Pendelgravimeter), relative Messung
• Absolutgravimeter (freier Fall, supraleitende Gravimeter)
Träge und schwere Masse
F = mT a → träge Masse
F = mS G
ME
2 → schwere Masse
rE
3 Verschiedene Kräfte und Kraftgesetze
15
Äquivalenzprinzip mS ∼ mT beziehungsweise mS = mT
3.2 Federkraft
Hook’sches Gesetz
Fx = Fx (∆x) = −kF ∆x
Beliebige Auslenkungsfunktion (Fx (∆x = x − x0 ))
Fx (x) = Fx (x0 ) +
dFx (x)
1 d2 fx (x)
(x − x0 ) +
(x − x0 ) + . . .
dx
2 dx2
→ unabhängig von konkreter Zusammenhang fx (x) gilt kleine Änderungen
3.3 Maxwell’sches Rad
3.3.1 Ruhezustand
Waage misst Gesamtmasse M austarierter
3.3.2 Frage
Was passiert, wenn sich das Rad bewegt??
3.3.3 Messung:
1. Rad fixiert → m = 0
2. Rad läuft → ∆m = −0.7g < 0
3.3.4 Auswertung
Anwendung 3. Newtonsches Gesetz: F⃗1 + F⃗2 = m⃗a beziehungsweise F2 = −F1 + m⃗a
1. ⃗a = 0 : F⃗2 = F⃗1 → F⃗2 = 0, 0m = 0 (Waage)
2. ⃗a > 0 : F⃗2 < F⃗1 → Waage mit F⃗2 < mg ∆m < 0
3.4 Rotierende Kette
Winkelelement ∆α. Radialkraft F⃗r ist resultierende Kraft der vom abgeschnittenen Teil der Kette
wirkende Kräfte F⃗1 + F⃗2
( F⃗G vernachlässigbar klein bei hoher Umdrehung und somit großen |F1 |, |F2 |)
Es gilt:
v2
⃗az p = − ⃗er ⃗v = Rω⃗et
R
v2
F⃗r = ∆m⃗az p = −∆m ⃗er
R
3 Verschiedene Kräfte und Kraftgesetze
16
F⃗r = F⃗1 + F⃗2
Fr ≈ ∆αF = F
F = Fr
Die Kraft F =
m 2
2πR v
∆L
R
R
v2 R
m 2
= ∆m
=
v
∆L
R ∆L
2πR
spannt die Kette.
3.5 Normalkraft
⃗ N = Kraft senkrecht zur Kontaktfläche. Wird kompensiert durch F
⃗′
1. (Skizze) Normalkraft F
N
= Kraft mit der die Unterlage auf Körper wirkt (Źwangskräfte)
3.6 Schiefe Ebene
⃗ G = m⃗g
• Gewichtskraft: F
⃗ N = mg cos α⃗ey
• Normalkraft: F
⃗ H = mg sin α⃗ex
• Hangabtriebskraft: F
Bewegungsgleichung
FH = mẍ → xx = g sin α = const.
3.7 Reibungskräfte
• im täglichen Leben über all präsent
• spielt eine wichtige Rolle Technik
→ Tribologie = Reibungslehre
• Reibung hängt stark von der Oberfläche ab
3.7.1 Experiment: Bewegung einer Masse
⃗ Z = −F
⃗ R → a = 0, v = 0
• Gewicht ruhte: F
⃗ ⃗ • Gewicht setzt sich in Bewegung: F
>
F
R → a > 0, v steigt an
Z
⃗ Z = −R
⃗ R → a = 0, v = const. ̸= 0 mit ⃗v = const
• Gewicht gleitet: F
Reibungskraft nimmt ab, sobald das Gewicht bewegt wird.
• Haftreibung FH
Schwellenwert für Zugkraft um Körper zu bewegen
3 Verschiedene Kräfte und Kraftgesetze
17
• Gleitreibung FG
Reibungskraft bei bewegtem Körper
FR
FH
FG
FR = const
Beschleunigung
FR = FZ
FZ
3.7.2 Experiment: Tribologische Messung
Messung der Zugkraft bei der sich der Holzblock nach kleiner Störung in Richtung Rolle bewegt:
FR = FZ
Beobachtung
• FR hängt nicht von der Oberfläche ab.
• FR hängt von dem Gewicht des Blocks ab
• FR ist materialabhängig
3.8 Tribologische Reibungslehre
FG = µG FN (µG = Gleitreibungskraft)
FH = µH FH (µH = Haftreibungskraft)
µH > µ G
3.9 Mikroskopisches Modell
Verantwortlich sind elektrische Kräfte zwischen Atomen und Molekülen der beieinander liegenden
Oberflächen: Van-der-Waals-Kräfte
• Stärke ergibt sich aus effektivem Kontakt.
∑ ai
Relative mikroskopische Reibungsfläche:
A ∼
FN
A
• a1 = effektive Kontaktfläche eines Einzelatoms
← Druck
3 Verschiedene Kräfte und Kraftgesetze
18
Also:
FR ∼
∑ ai
A
∼ FN
• Haftreibung: Verzahnung der Oberflächen mit minimalen Abstand
• Gleitreibung: Minimaler Abstand wird auf Grund der Bewegung nicht erreicht
3.10 Schiefe Ebene: Messung der Reibungskraft (Skizze)
Kräftegleichgewicht: FH = FR
FH = mg sin α, FN = mg cos α
Grenzwinkel: FR = mg sin α = µR mg cos α =⇒ µR = tan α
α = 15° → tan α = 0.27, µG = 0.27
3.11 Zentripetalkraft
⃗aZp = ⃗ω × (⃗ω × ⃗r)
aZp = ω 2 r =
v2
r
⃗ Zp = m⃗ω × (⃗ω × ⃗r)
F
FZp = mω 2 r = m
v2
r
3.11.1 Beispiel 1 Rotierendes Pendel
⃗ Zp := F
⃗G+F
⃗Z
F
FG = mg = FZ cos θ
FZp = FZ sin θ
FZp = mg
sin θ
= mg tan θ,
cos θ
aZp
• θ steigt mit ω an
• θ(ω) ist unabhängig von Masse
aZp = g tan θ
√
g
2
= ω r =⇒ ω =
tan θ
4 Arbeit, Energie, Leistung
19
3.11.2 Beispiel 2 Geostationärer Satellit
Zentripetal = Gravitationskraft
mME
R2
−5
−1
= 7.27 × 10 s
mω 2 R = G
Geostationär: ω =
2π
24 h
=
2π
24·3600 s
R3 =
GME
→ R = 42 312 km
ω2
Abstand von der Erd-Oberfläche:
R̃ = R − RE = 35 930 km
• G = 6.67 × 10−11 m3 kg−1 s2
• ME = 6 × 1024 kg
• RE = 6373 km
4 Arbeit, Energie, Leistung
4.1 Arbeit
⃗ ⃗x = Fx ∆x + Fy ∆y + Fz ∆z
∆W = F
⃗ ∆⃗r = F
⃗ d⃗r
dW = lim ∆W = lim F
∆r→0
∆r→0
= Fx dx + Fy dy + Fz dz
Gesamtarbeit für Verschiebung von r⃗1 nach r⃗2
∫
r⃗2
W =
⃗ d⃗r
F
r⃗1
∫
r⃗2
r⃗1
[W ] = N m = kg m s−2 = J
∫ r2
∫ r2
∫ r2
∫
⃗
F d⃗r =
Fx dx +
Fy dy +
Fz dz =
r1
r1
r1
s2
s1 =0
⃗ (s) d⃗r ds
F
ds
⃗r(s) parametrisiere Geschwindigkeit.
4.1.1 Beispiel
 
 
 
 
∆x
mg
dx
0
⃗ =  0  , d⃗r = dy 
r⃗1 = 0 , r⃗2 =  0  , F
0
0
0
dz
∫
∫
∫ (1)
mgdx + 0dy + 0dz = mg∆x
W =
(0)
4 Arbeit, Energie, Leistung
20
4.1.2 Beispiel Kreisbahn ( =⇒ Gravitation)
∫
B
W =
⃗ d⃗r = 0
F
A
4.2 kinetische Energie
1
k = gt2
2
v = gt
v 2 = g 2 t2
v 2 = gh
∫ h
∫ h
1
W =
FG dx = FG
dx = FG h = mgh = mv 2
2
0
0
• Kinetische Energie: Ekin
1
Ekin = mv 2
2
[Ekin = kg m s−2 = J]
• Die Zunahme (beziehungsweise Abnahme) der kinetischen Energie eines Körpers ist gleich
der ihm zugeführten (beziehungsweise der von ihm gelieferten) Arbeit (keine Reibung)
∫
r⃗2
W =
r⃗1
∫ v⃗2
=
v⃗1
∫
r⃗2
⃗ d⃗r =
F
m
r⃗1
d⃗v
d⃗r =
dt
∫
v⃗2
m
v⃗1
d⃗r
d⃗v
dt
1
1
m⃗vd⃗r = mv22 − mv12
2
2
4.3 Potentielle Energie
∫
∫
0
W =
0
Fg dx =
h
h
1
−gmdx = mgh = mv 2
2
4.3.1 Ball als Feder am Auftreffpunkt
F = kξ
∫
W =
0
ξ
1
kξ ′ dξ ′ = kξ 2
2
(1)
(2)
4 Arbeit, Energie, Leistung
21
4.4 Bemerkung
Arbeit W =
∫ r⃗2
r⃗1
⃗ dF
⃗ gilt immer, Symbol für Linienintegral meist weggelassen.
F
• kinetische Energie Ekin = 12 mv 2
• potentielle Energie
– Epot = 12 mx2
(Verformen)
– Epot = mgh
(Lage)
4.5 Umwandlung von Energie
dEkin = F dx = −dEpot
Gilt nur für konservative Kräfte!
∫ r⃗2
∫
⃗ d⃗r =
W =
F
r⃗1
∫ r⃗2
W =
E2
dEkin = Ekin ( r⃗2 ) − Ekin ( r⃗1 )
(3)
E1
∫
⃗ d⃗r = −
F
r⃗1
E2
dEkin = Epot ( r⃗1 ) − Epot ( r⃗2 )
(4)
E1
1. Für
• W > 0: Ekin nimmt zu (Arbeit von System am Objekt verrichtet)
• W < 0: Ekin nimmt ab
2. Für
• W > 0: Epot nimmt ab
• W < 0: Epot nimmt zu
4.6 Energie
∫
r⃗2
W =
⃗ d⃗r
F
(5)
r⃗1
= Ekin ( r⃗2 ) − Ekin ( r⃗1 )
(6)
= Epot ( r⃗2 ) − Epot ( r⃗1 )
(7)
Die unteren beiden Gleichungen gelten nur für konservative Kräfte
4.7 Leistung
⃗ = const
F
↑
dW
d⃗r
⃗c
⃗
P =
=F
= F⃗
dt
dt
[P ] = N m s−1 = J s−1 = W = Watt
4 Arbeit, Energie, Leistung
22
4.8 Konservative Kräfte
∫
2
W1 =
1 Weg1
∫ 2
W2 =
⃗ d⃗r = Epot (1) − Epot (2)
F
(8)
⃗ d⃗r = Epot (1) − Epot (2)
F
(9)
1 Weg2
(10)
Geschlossener Weg: 1 → 2 → 1
I
⃗ d⃗r = W1 − W2 = 0
F
W =
c
4.8.1 Definition
Kräfte, für die die Arbeit unabhängig vom Weg ist nennt man konservativ. Für konservative Kräfte
gilt:
I
⃗ d⃗s = 0
W =
F
4.9 Kraftfelder und Potential
∫
r⃗2
W =
⃗ d⃗r
F
r⃗1
4.9.1 Definition Kraftfeld
Eindeutige Zuordnung einer Kraft zu jedem Punkt im Raum:
⃗ =F
⃗ (⃗r) = F
⃗ (x, y, z) = (Fx (x, y, z), Fy (x, y, z), Fz (x, y, z))
F
4.9.2 Beispiel
Gravitationskraft:
⃗ (⃗r) = −G mM ⃗er
F
r2
= f (r)⃗er
Kugelsymmetrisch, Zentralfeld
TODO Skizze Vektorfeld
TODO Skizze Feldlinien
(11)
(12)
4 Arbeit, Energie, Leistung
23
4.9.3 Feldlinien:
• Feldlinien sind immer tangential zur Kraftrichtung
• Feldliniendichte ist proportional zum Betrag der Kraft
• Feldlinien schneiden sich nie
4.9.4 konservative Kraftfelder
Kraftfelder, die konservative Kräfte beschreiben nennt man konservative Kraftfelder Für konservative
Kraftfelder gilt
∫
2
W12 =
⃗ d⃗r = Epot (1) − Epot (2)
F
1
• jedem Ort im Raum kann ein Skalar, die potentielle Energie zugeordnet werden =⇒ Epot =
Epot (x, y, z) Skalar!
• wird bei der Verschiebung eines Körpers von Ort 1 nach Ort 2 Arbeit gegen eine konservative
Kraft geleistet, so erhöht sich die potentielle Energie, das heißt Epot (2) > Epot (1).
• Der Nullpunkt Epot (⃗r) = 0 der potentiellen Energie ist frei wählbar, da allein die Differenz
der potentiellen Energie an zwei Punkten relevant ist.
homogenes Kraftfeld
⃗ ( R)
⃗ = (0, 0, Fz )
F
• Weg 1:
∫
∫
⃗ dR
⃗ =
F
W1 =
Weg1
• Weg 2:
Fz dz = Fz (z2 − z1 )
z1
∫
∫
⃗ dR
⃗ =
F
W2 =
z
Weg2
z
Fz dz = Fz (z2 − z1 )
z1
TODO Skizze
Zentralkraftfeld
⃗ (⃗r) = f (r)⃗er
F
I
⃗ d⃗r
F
W =
∫
∫
2
f (r)dr +
=
1
=0
(13)
2
3
∫
⃗ d⃗r +
F
∫
4
f (r)dr +
3
1
⃗ d⃗r
F
(14)
4
(15)
4 Arbeit, Energie, Leistung
24
Gravitationsfeld
∫
B
WAB =
A
∫ B
⃗ dR
⃗
F
(16)
mM
⃗er d⃗r
r2
A
∫ B
mM
=
−G 2 dr
r
A
[ mM ]rB
= G
r + ξ rA
=
−G
(17)
(18)
= Epot (A) − Epot (B)
=⇒ Epot (A) = −G
=⇒ Epot (B) = −G
(19)
mM
+ξ
rA
mM
+ ξ = Epot (C)
rB
Potentielle Energie des Gravitationsfeld:
grav
= −G
Epot
d=1
mM
r
Zusammenhang zwischen konservativen Kraftfeld und potentieller Energie:
∫
Epot = − F dx
dEpot = −F dx
−
d=3
dEpot
=F
dx
Zusammenhang zwischen konservativen Kraftfeld und potentieller Energie:
∫
⃗ d⃗r → F
⃗ = − dEpot
Epot = − F
d⃗r
Gesucht: Ableitung eines Vektors nach einem Skalar. Betrachte:
⃗ ∆⃗r = −(Fx ∆x + Fy ∆y + Fz ∆z)
∆Epot = − F
∆Epot =
∂Epot
∂Epot
∂Epot
∆x +
∆y +
∆z
∂x
∂y
∂z
⃗ (x, y, z) = −( ∂Epot ∆x, ∂Epot ∆y, ∂Epot ∆z)
V ergleich : F
∂x
∂y
∂z
= − grad Epot
Gilt nur für konservative Kräfte
(20)
(21)
5 Erhaltungssätze
25
Gradient Der Gradient eines Skalarfeldes ist ein Vektorfeld, dass in jedem Punkt in die Richtung
des steilsten Anstiegs der skalaren Größe zeigt.
Notation:
⃗ = − grad Epot
F
⃗ = − ∇E
⃗ pot , ∇
⃗ =( ∂ , ∂ , ∂ )
F
∂x ∂z ∂z
4.9.5 Potential und Gravitationsfeld
• Gravitationskraft:
⃗ (⃗r) = −G mM ⃗er
F
r2
• Potentielle Energie:
⃗ pot (⃗r) = −G mM
E
r
Potential:
Epot (⃗r)
m→0
m
Φ(⃗r) = lim
• Gravitationspotential:
Φ = −G
• Gravitationsfeld:
M
r
⃗ = −G M ⃗er
G
r2
•
⃗ = − grad Φ
G
•
Epot = mΦ
5 Erhaltungssätze
5.1 Energieerhaltung
Für konservative Kräfte gilt:
∫
∆Ekin = −∆Epot =
2
⃗ d⃗r
F
1
das heißt: die kinetische Energie ergibt sich allein aus der Potentialdifferenz und ist unabhängig vom
durchlaufenen Weg.
Ekin (2) − Ekin (1) = Epot (1) − Epot (2)
Ekin (1) + Epot (1) = Ekin (2) + Epot (2) = . . . = const
5 Erhaltungssätze
26
5.1.1 Doppelbahn
Epot (1) = m · g · h
Epot (1) = Epot(2′ ) = 0
→
1
Ekin (2) = Ekin (2′ ) = mv 2
2
Bemerkung: Berechnung von v mit Newtonschen Gesetzen deutlich komplexer
5.1.2 Energieerhaltungssatz der Newtonschen Mechanik
Epot + Ekin = Eges = const
Eges = mechanische Gesamtenergie
das heißt: In einem konservativen Kraftfeld ist die Summe aus potentieller und kinetischer Energie
eines Massenpunktes zu jeder Zeit konstant
Wichtig: gilt nur für konservative Kraftfelder (Beim Auftreten nicht-konservativer, dissipativer
Kräfte wird mechanische Energie in Wärme umgewandelt)
5.1.3 Energiediagramme
Häufig: Potentielle Energie abhängig von Ort x oder Abstand r
Hilfreich: Diskussion mittels Energiediagramme
Kugelbahn
• Abhängig von Eges kann sich die Kugel nur in bestimmten Bereichen aufhalten
• Gleichgewichtslage: Kugel ruht, es wirken keine Kräfte, das heißt
F =−
dEpot
⃗ = − grad Epot = 0
= 0, bzw F
dx
Drei Fälle:
1. Stabiles bzw. Metastabiles Gleichgewicht: Potentialkurve hat ein Minimum
2. labiles Gleichgewicht: Potentialkurve hat ein Maximum
3. Indifferentes Gleichgewicht: Flacher Verlauf der Potentialkurve
Lennard-Jones-Potential Potential zur Beschreibung von molekularen Bindungen
r
r
Epot = V0 ( )−12 − 2( )−6
r0
r0
(Dipol-Dipol-Wechselwirkung, Van-der-Waals Kräfte)
6 Systeme von Massenpunkten
27
Mechanischer Verstärker
′
Epot
Volumen
↑
= mgh = ρ(abc)gh
↓
Dichte
mit h = 12 c
Fallender Dominostein: Epot → Ekin
Startposition: (Meta)stabiles Gleichgewicht
das heißt: Dominosteine müssen über einen Potentialberg angehoben werden. Danach ist die kinetische
Energie ausreichend, um den nächsten Stein über√Potentialschwelle zu heben. Verstärkungsfaktor:
Skalierung zwischen den Steinen: Alle Längen × 2
Potentielle Energie für Stein m:
√
(n−1)
Epot = ρ(a(n) b(n) c(n) )h(n) g = ( 2)4 Epot
(1)
Epot = mgh
(1)
=⇒ Ep ot(13) = 412 Epot
=⇒ Verstärkungsfaktor ≈ 1.7 × 107
6 Systeme von Massenpunkten
Bisher: Bewegung einzelner Massenpunkte.
Jetzt: Betrachte Systeme von Massenpunkten.
Man unterscheidet:
• Innere Kräfte: Kräfte, die zwischen den Massenpunkten eines Systems wirken.
• Äußere Kräfte: Kräfte, die von außen auf das System einwirken
6.1 Beschreibung eines Systems von Massenpunkten
⃗r1 : Ortsvektor zum Massenpunkt i
mi : Masse des Massenpunktes i
[i = 1, . . . , n]
Gesamtmasse:
M=
n
∑
i=1
mi
6 Systeme von Massenpunkten
28
Definition 6.1 (Schwerpunkt)
∑
n
mi⃗ri
1 ∑
mi⃗ri
⃗rs = ∑
=
mi
M
i=1
∫
∫
1
1
⃗rs =
⃗rdm =
⃗rρ(⃗r)dV
M v
M v
Beispiel 6.2 (System zweier Massenpunkte)
m1⃗r1 + m2⃗r2
s1 , s2 =?
m1 + m2
⃗rs = ⃗r1 + λs (⃗r1 − ⃗r1 )
⃗rs =
= (1 − λs )⃗r1 + λs⃗r2
m1
m2
=
⃗r1 +
⃗r2
m1 + m2
m1 + m2
| {z }
| {z }
=1−λs
=λs
m2
m1
S1
m2
=⇒ S1 =
, S2 =
∧
=
m1 + m2
m1 + m2 S2
m2
Das heißt: Das Verhältnis
S1
S2
ist umgekehrt proportional zum Massenverhältnis
m1
m2 .
Beispiel 6.3 (Schwerpunkt Erde-Sonne)
ME = 6 × 1021 kg, MS = 2 × 1030 kg
ME XE + MS 0
= 4.5 × 105 m
XS =
ME + M S
Vergleich mit Sonnenradius 7 × 108 m Schwerpunkt praktisch im Sonnenmittelpunkt
6.1.1 Bewegung des Schwerpunktes
Geschwindigkeit:
⃗v s =
n
n
n
d⃗rs
1 ∑
d⃗ri
1 ∑
1 ∑
=
m1
=
mi ⃗v i =
⃗pi
dt
M
dt
M
M
i=1
i=1
i=1
⃗pi : Impuls des einzelnen Massenpunktes
Definition 6.4 (Schwerpunktimpuls)
⃗ps =
n
∑
i=1
⃗pi =
n
∑
mi ⃗v i = M⃗v s
i=1
das heißt: Schwerpunktimpuls ergibt sich aus der Summe der Einzelimpulse
6 Systeme von Massenpunkten
29
Frage: Wie bewegt sich ein System von Massepunkten unter Einfluss von Kräften?
Es gilt:
innere Kraft
↑
∑
d⃗pi ⃗
⃗
⃗ ij = − F
⃗ ji
Fi +
F ij , F
d=
↓
i̸=j
äußere Kraft
=⇒ : Änderung des Schwerpunktimpulses ⃗ps :
∑
∑∑
∑
d⃗ps ∑ ˙
⃗i+
⃗ ij =
⃗i
=
⃗pi =
F
F
F
dt
i=1
i=1
i i̸=j
i=1
| {z }
n
n
n
=0
das heißt: die Impulsänderung des Schwerpunktes ergibt sich aus der Summe der äußeren Kräfte:
1. Newtonsches Gesetz für Systeme von Massenpunkten.
⃗p˙s = M ⃗as =
n
∑
⃗i
F
i=1
Hierbei: ⃗as = ⃗v˙s =
1
M
∑
mi⃗r¨i =
1
M
∑
mi ⃗ai
Definition 6.5 (Allgemeiner Impulssatz) Das Schwerpunkt eines
∑beliebiges Systems von Massenpunkten
I bewegt sich so, als sei er ein Körper mit der Gesamtmasse M = mi
Definition 6.6 (Abgeschlossenes System) Ein abgeschlossenes System ist ein System auf das keine
äußeren Kräfte einwirken, das heißt:
∑
Fi = 0
Der Massenschwerpunkt eines abgeschlossenen Systems hat einen zeitlich konstanten Impuls,
das heißt
n
∑
⃗ps =
⃗pi = const
i=1
( =⇒ Impulserhaltung!!)
6.1.2 Raketenantrieb
das heißt: die Bewegung von Objekten mit veränderlicher Masse
Beobachtung: Abstoßen einer Masse kann zum Antrieb verwendet werden (Beispiele: Rakete, Medizinball
und Schlittschuhläufer)
Betrachte Rakete: Impulssatz:
p(t) = p(t + ∆t)
6 Systeme von Massenpunkten
30
Zeitpunkt t
p(t) = (m + ∆m)v
Zeitpunkt t + ∆t
p(t + ∆t)0m(v + ∆v) + ∆m(v − vB )
=⇒ mv + ∆v = mv + m∆v + ∆mv − ∆mvB
m∆v − ∆mvB = 0
Änderung Blickwinkel:
m∆v + ∆mvb = 0
Wichtig: Masse m und Massenänderung dm müssen sich auf gleiche Referenz beziehen. Damit folgt:
dv = −vb
Integration:
∫
v2
∫
[
]m
v2 − v1 = −vB · ln m m21
m2
1
dm, m1 > m2 , vB = const
m
m1
m1
= vB (ln m1 − ln m2 ) = vB ln
>0
m2
dv = −vB
v1
dm
m
Wähle Anfangsbedingungen:
v1 = 0, m1 = 0, m0 = m(t = 0), m2 = m(t)
=⇒ Raketengleichung für kräftefreie Rakete
v(t) = vB ln
m0
m(t)
das heißt: Die Endgeschwindkigkeit einer Rakete wird durch die Ausstoßgeschwindigkeit und die
Brennstoffmenge bestimmt
Für die nicht kräftefreie Rakete gilt:
d⃗v(t)
dm(t)
⃗
=−
⃗v B + F
dt
dt
Allgemeine Raketengleichung (ohne Herleitung)
m(t)
˙ Naiver
⃗ = ⃗p.
Bemerkung 6.7 Vorsicht bei der Anwendung des zweiten Newtonschen Gesetzen F
Ansatz für kräftefreie Rakete:
dmv
dm
dv
=
v+m
=0
dt
dt
dt
Funktioniert nicht! Grund: Impuls des ausströmenden Gases wird bei diesem Ansatz nicht in der
Impulsbilanz berücksichtigt
Korrekter Ansatz:
dmv
dm
dv
dm
− (v − vB )
= 0 =⇒ m
+ vB
=0
dt
dt
dt
dt
das heißt: der naive Ansatz funktioniert nur, wenn v−vB = 0, also die Ausströmungsgeschwindigkeit
verschwindet.
7 Stöße
31
7 Stöße
Für ein abgeschlossenes System gilt: (keine äußere Kräfte)
Impulserhaltung:
n
n
∑
∑
⃗pi =
⃗p′i
i=1
Energieerhaltung:
n
∑
i=1
Ei =
i=1
n
∑
Ei′
i=1
7.1 Kollinearer elastischer Stoß
Es gilt:
m1 v1 + m2 v2 = m1 v1′ + m2 v2′
1
1
1
1
m1 v12 + m2 v22 = m1 v1′2 + m2 v2′2
2
2
2
2
=⇒ Lösung (ohne Herleitung)
v1 (m1 − m2 ) + 2m2 v2
m1 + m2
v
(m
− m1 ) + 2m1 v1
2
2
v2′ =
m1 + m2
v1′ =
Geschwindigkeit nach Kollinearer elastisch Stoß Tipp zur Herleitung: Betrachte Bewegung relativ
zur Schwerpunktsbewegung (siehe z.B. Demtröders)
Hier Betrachtung von Spezialfällen.
Betrachtung von Spezialfällen ist immer wichtig! Hilft beim Verständnis physikalischer Zusammenhänge
1. m1 = m2 = m, r1 > 0, v2 = 0
v1′ =
2mv2
2mr1
= v2 = 0, v2′ =
= v1
2m
2m
2. m1 = m, m2 = 2m, v1 > 0, v2 > 0
v1 (−m)
1
= − v1
3m
3
2
2mv1
′
v2 =
= v1
3m
3
v1′ =
3. m1 = m, m2 = 3m, v1 = v > 0, v2 = −v
v(m − 2m) − 2(3m)v
v(−2m − 6m)
=
= −2v
4m
4m
−v(2m − m) + 2mv
v(−2m + 2m)
v2′ =
=
=0
2m
3m
v1′ =
7 Stöße
32
4. m1 = m, m2 → ∞, v1 = v, v2 = 0
v(−m2 )
= −v
m2
2m1 v
=0
v2′ =
m2
v1′ =
(da m1 vernachlässigbar)
(da m1 ≪ m2 )
5. m1 = m, m2 sehr groß!, v1 = 0, v2 = v
v1′ =
2m2 v
= 2v,
m2
v2′ =
vm2
=v
m2
vs =
m1 v1 + m2 v2
m1 + m2
7.2 Betrachtung im Schwerpunktsystem
Es gilt:
Geschwindigkeiten im Schwerpunktsystem:
m2 v1 − m2 v2
m1 + m2
m
1 v2 − m1 v1
v2∗ = v2 − vs =
m1 + m2
v1∗ = v1 − vs =
daraus folgt:
m1 m2
(v1 − v2 )
m1 + m2
m1 m2
p∗2 = m2 v2∗ =
(v2 − v1 )
m1 + m2
p∗1 = m1 v1∗ =
Das heißt vor dem Stoß gilt:
(p∗ )2 ∗
(p∗ )2
1
∗
p∗1 = −p∗2 Ekin,1
= 2
= m(v1∗ )2 = 1 Ekin,2
2
2m1
2m2
nach dem Stoß:
Impulserhaltung:
∗′
∗′
∗′
p∗s = p∗1 + p∗2 = p∗′
1 + p2 = 0 → p1 = −p2
Energieerhaltung:
∗
∗
∗
∗′
∗′
Eges
= Ekin,1
+ Ekin,2
= Ekin,1
+ Ekin,2
Außerdem:
p∗′
1 =
p∗1 (m1 − m2 ) + 2m1 p∗2
∗
= −p∗1 , p∗′
2 = −p2
m1 + m2
7 Stöße
33
daraus folgt:
∗′
∗
Ekin,1
= Ekin,1
∗′
∗
= Ekin,2
Ekin,2
Im Schwerpunktsystem findet bei elastischen Stößen keine Energieübertragung statt. Aber: Impulse
werden ausgetauscht
7.2.1 Nicht-zentraler, elastischer Stoß im Schwerpunktsystem
⃗p∗s = 0, ⃗p∗1 = −⃗p∗2
∗ ∗′ p1 = ⃗p1 ⃗p∗′
p∗′
s = −⃗
2, ⃗
Im Schwerpunktsystem sind für ein abgeschlossenes System zweier Massenpunkte ein- und auslaufende
kollinear und vom Betrag her gleich
7.3 Inelastische Stöße
Betrachte 2 Kugeln
• Massen: m1 , m2
• Geschwindigkeit: v1 = v, v2 = 0
• Impulserhaltung:
m1 v = (m1 + m2 )v ′
m
v′ =
v
m1 + m2
• Energiebilanz:
1
1
m1
1 m21
′
Ekin = m1 v 2 , Ekin
= (m1 + m2 )(
)2 v 2 =
v 2 < Ekin
2
2
m1 + m2
2 m1 + m2
Beim inelastischen Stoß geht mechanische Energie verloren, sie wird beim Stoß in andere
Energieformen (zum Beispiel Wärme) umgewandelt. (siehe Thermodynamik)
Interessant: Betrachtung im Schwerpunktsystem.
m1 v1∗ − m2 v2∗ = (m1 + m2 )v ∗′
da p∗1 = −p∗2
(m1 + m2 )v ∗′ = 0
1
∗′
Ekin
= (m1 + m2 )(v ∗′ )2 = 0
2
8 Mechanik des starren Körper
34
Im Schwerpunktsystem findet beim inelastischen Stoß eine vollständige Umwandlung der kinetischen
Energie statt.
Allgemein:
⃗ auen = 0
falls F
′
′
Ekin,1 + Ekin,2 = Ekin,1
+ Ekin,2
+Q
∑
∑
⃗pi =
Ekin,i =
∑
∑
⃗p′i = const
′
+Q
Ekin,i
Q=0
elastisch
Q>0
inelastisch
Q<0
superelastisch
8 Mechanik des starren Körper
Definition 8.1 (Starrer Körper) System von Massenpunkten mit festen, nicht veränderlichen Abständen.
Idealisierung!
Es gilt:
Volumen:
∑
V = lim
∆Vi →0
Masse:
M = lim
∑
∆mi →0
∫
∆Vi =
∫
∆mi =
dv
∫
dm =
ρ(⃗r)dV
Schwerpunkt:
1
⃗rs =
M
∫
1
⃗rdm =
M
∫
∫
⃗rρ(⃗r)dV M =
∫
ρdV =
ρd3 r
Beispiel 8.2 (Quader)
1
⃗rs =
M
∫
⃗rρ(⃗r)dV
 
∫ a∫ b∫ c x
1
y  ρdxdydz
=
M 0 0 0
z
8 Mechanik des starren Körper
35
Integration für jede einzelne Ortskomponente:
1
xs =
m
∫
0
a∫ b∫ c
0
0
1
xρdxdydz =
ρbc
M
∫
b
xdx =
0
1
1
1
ρabc a = a
M
2
2
1
ys = . . . = b
2
1
zs = . . . = c
 2
a
1
⃗rs =  b 
2
v
8.1 Bewegung des starren Körpers
Es gilt:
⃗rsi = ⃗ri − ⃗rs →
d⃗rsi
= ⃗v si = ⃗v i − ⃗v s
dt
Mit |⃗rsi | = const beziehungsweise ⃗r2si = const (starrer Körper)
d 2
(⃗r ) = 2⃗rsi ⃗v si = 0 → ⃗v si ⊥ ⃗rsi
dt si
da ⃗v si ⊥ ⃗rsi gilt: Betrachte Bewegung in der von ⃗v si , ⃗rsi aufgespannten Ebene → Kreisbewegung!,
Das heißt:
⃗v si = ⃗ω × ⃗rsi
wobei im Allgemeinen ⃗ω zeitabhängig sein kann.
Mit ⃗v si = ⃗v i − ⃗v s folgt:
⃗v i = ⃗v s + (⃗ω × ⃗rsi )
Achtung: ⃗ω = ⃗ω (t) muss nicht raumfest sein.
Die Bewegung eines starren Körpers lässt sich in eine Translationsbewegung und eine Rotation
um den Schwerpunkt zerlegen
• 3 Translationsfreiheitsgrade
• 3 Rotationsfreiheitsgrade
8.2 Drehmoment und Kräftepaare
Frage: Wie versetzt man einen Körper in Rotation?
8 Mechanik des starren Körper
36
Beispiel 8.3 (Balkenwaage) Beobachtung: Kraft mit Angriffspunkt im Abstand l, bewirkt Drehbewegung
Es gilt das Hebelgesetz:
F1 l1 = F2 l2
⃗ 1, F
⃗2
Hebelarm: Abstand zwischen Drehachse und Angriffspunkt der Kräfte F
Beobachtung:
⃗ ∥ parallel zum Hebelarm bewirkt keine Drehung, nur Kraft F
⃗ ⊥ senkrecht zur Verbindungslinie
Kraft F
zwischen Angriffspunkt und Drehachse führt zur Rotation.
⃗ ⊥ bestimmt Drehsinn
Richtung von F
Definition 8.4 (Drehmoment)
⃗ := ⃗r × F
⃗
M
Gibt Drehsinn und Stärke der Kraftwirkung an.
⃗ ))
M = rF sin(∠(⃗r, F
8.2.1 Drehmoment und Schwerpunkt
Betrachte starren Körper aus zwei Massenpunkten plus masselose Verbindung
⃗ 1 = ⃗r1 × F
⃗1
M
⃗ 2 = ⃗r2 × F
⃗2
M
⃗ 1 = r1 m1 g sin α1⃗lz
M
⃗ 2 = −r2 m2 g sin α2⃗lz
M
= −r2 m2 g sin α1⃗lz
⃗ tot = M
⃗ 1+M
⃗ 2 = (r1 m1 − r2 m2 )g sin α1⃗lz
M
vektoriell:
⃗ tot = M
⃗ 1+M
⃗ 2 = ⃗r1 × m2 ⃗g + ⃗r2 × m2 ⃗g = (⃗r1 m1 + ⃗r2 m2 ) × ⃗g
M
Beliebiger Körper:
(
∑
⃗ tot =
M
∑
⃗ i=
M
∑
mi⃗ri × ⃗g
⃗
mi⃗ri ) × ⃗g = mges⃗rs × ⃗g = ⃗rs × F
Das Gewicht eines starren Körpers greift immer im Schwerpunkt an. Bei Aufhängung eines Körpers
im Schwerpunkt ist das resultierende Drehmoment auf Grund der Schwerkraft Null. Grund: Im
⃗ tot = ⃗rs × F
⃗s=0
Schwerpunkt gilt: ⃗rs = 0, M
8 Mechanik des starren Körper
37
8.2.2 Kräftepaare
⃗ 1 auf einen starren Körper.
Frage: Wirkung einer Kraft F
Lösungsansatz:
⃗ 2 und F
⃗ 3 im Schwerpunkt S. Ändert nichts!
Einführung der sich gegenseitig aufgebenden Kräfte F
Zerlegung der Bewegung:
⃗ 2 mit Angriffspunkt S.
Translation durch Kraft F
⃗ 1, F
⃗ 3 ) mit F1 = F3 , M
⃗ = ⃗r × F
⃗1
Rotation durch Kräftepaar ( F
Die Wirkung aller Kräfte auf einen starren Körper lässt sich durch
∑
⃗ =
⃗i
F
F
(Gesamtkraft (Gesamtkraft))
∑
∑
⃗ =
⃗i=
M
Fsi × F
Mi
(Gesamtdrehmoment (Rotation))
⃗ im Schwerpunkt an
beschreiben. Dabei greift F
Wirkung von Kräftepaaren: Reine Rotation. Es gilt:
⃗ = ⃗r1 × F
⃗ − ⃗r2 × F
⃗ = (⃗r1 − ⃗r2 ) × F
⃗ = ⃗r12 × F
⃗
M
Merke: Das Drehmoment eines Kräftepaares ist unabhängig vom Bezugspunkt 0
Zwei Kräftepaare sind äquivalent, wenn sie das gleiche Drehmoment besitzen. Äquivalente Kräftepaare
können einander ersetzen.
8.3 Statisches Gleichgewicht
Statik:
⃗ =
F
∑
⃗ i = 0, M
⃗ =
F
∑
⃗ i=0
M
das heißt keine Translation, keine Rotation
Beispiel 8.5
1. Gleichgewicht eines starren Körpers in Schwerefeld
⃗ angreifen um für statisches Gleichgewicht zu sorgen?
Frage: Wo muss F
Kräfte:
∑
⃗i+F
⃗ =0
F
∑
⃗ =−
F
mi ⃗g = −mges ⃗g
Drehmomente:
∑
∑
⃗ i+R
⃗ ×F
⃗ =0
M
∑
⃗i+R
⃗ ×F
⃗ =
⃗ ×F
⃗
⃗ri × F
mi (⃗ri × ⃗g) + R
∑
⃗ ×G
⃗
=(
mi⃗ri ) × ⃗g − mges R
⃗ × ⃗g) = mges (⃗rs × ⃗g)
= mges ( R
8 Mechanik des starren Körper
38
⃗ = ⃗rs , das heißt Unterstützung im Schwerpunkt mit F
⃗ = −mges⃗g
Lösung A: R
⃗
⃗
⃗
Lösung B: ( R − f s ) × ⃗g = 0, das heißt ( R − ⃗rs ) ∥ ⃗g, also Unterstützung oberhalb oder
unterhalb des Schwerpunkt 3 Möglichkeiten:
⃗ über Schwerpunkt: stabiles Gleichgewicht
• R
⃗ unter SP: labiles Gleichgewicht
• R
⃗ in PS: indifferentes Gleichgewicht
• R
2. Schiefer Turm
Drehmoment:
Fg r = Fz r → Fg = Fz
Kräftegleichgewicht:
Fg + Fz + Fs = 0 → Fs = −2Fg
3. Stehende Leiter
Kräftegleichgewicht:
⃗ N = −F
⃗ G, F
⃗ ′ = −F
⃗R
F
N
Drehmomente:
Bezugspunkt = unteres Leiter-Ende (günstige Wahl!)
1
FW h = Fg ( a)
2
(vergleiche Übungsaufgabe)
8.4 Rotation und Trägheitsmoment
Bewegungsenergie eines starren Körpers setzt sich zusammen aus:
• kinetischer Energie der Schwerpunktsbewegung
• kinetische Energie aufgrund von Rotation
Experiment: Rollende Objekte → F ormdesKrperswichtig!
Mathematisch:
∑1
mi ⃗v 2i
(mit ⃗v i = ⃗v s + ⃗v si )
Ekin =
2
1∑
Ekin =
mi (⃗v 2s + 2⃗v s ⃗v si + ⃗v si + ⃗v 2si )
2
∑
1∑
1∑
=
mi ⃗v 2s + ⃗v s
mi ⃗v si +
mi ⃗v 2si
2
2
Die kinetische Energie zerlegt sich in die kinetische Energie des Schwerpunktes und Rotationsenergie,
aus der kinetischen Energie der Bewegung relativ zum Schwerpunkt
8 Mechanik des starren Körper
39
Jetzt: Betrachte Rotation um raumfeste Achse: (Spezialfall: Achse durch Schwerpunkt)
Kinetische Energie des Massenstücks dm:
1
1
dEkin = dm⃗v 2i = dm(ωr⊥ )2
2
2
1
2 2
= dmω r⊥
∫2
∫
∫
1
1 2
2 2
2
Erot = dEkin =
r⊥
dm
ω r⊥ dm = ω
2
2
| {z }
Trägheitsmoment
Definition 8.6 (Trägheitsmoment) Trägheitsmoment bezüglich einer raumfesten Achse
∫
2
I = r⊥
dm = Θ2 dm = Θ
Diskret:
Θ=
∑
2
r⊥,i
mi
Dabei ist r⊥ der Abstand zwischen dem Massenstück dm und der Drehachse.
Definition 8.7 (Rotationsenergie) Rotationsenergie eines starren Rotators (Rotation um raumfeste
Achse)
1
Erot = Iω 2
2
8.5 Berechnung von Trägheitsmoment
Volumenintegral:
∫
∫
2
dm =
r⊥
I=
Beispiel 8.8
2
ρ(⃗r)dV
r⊥
1. Stab (dünn)
∫
I=
L
2
−L
2
∫
x2 ρAdx = ρA
−L
2
L
L
1
= ρA(( )3 − (− )3 )
3
2
2
1 L3
1
= ρA
= ρALL2
3
4
12
1
= mL2
12
2. Scheibe, Zylinder
L
2
x2 dx
8 Mechanik des starren Körper
40
Zylinderkoordinaten:
x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = z
dV = rdϕdrdz
∫
∫
2
2
I=
⃗r⊥ dm = r⊥
ρdV
V
v
Zylinderkoordinaten, also r⊥ = r
∫
= ρ r2 rdrdϕdz
v
∫ R ∫ 2π ∫ h
=ρ
r2 rdrdϕdz
0
0
0
∫ R
1
1
1
= 2πρh
r3 dr = 2πρh R4 = (πR2 h)ρR2 = mR2
4
2
2
0
3. Dünner Hohlzylinder
∫
R+d ∫ 2π
∫
h
r2 rdrdϕdz
I=ρ
R
∫
0
R+d
0
r3 dr = 2πρh
= 2πρh
R
1 [ 4 ]R+d
r
4
R
1
= 2πρh ((R + d)4 − R4 )
4
1
= 2πρh (R4 + 4R3 d + . . . − R4 )
4
≈ 2πρhR3 d = (2πRdhρ)R2 = mR2
4. Kugel
∫
I=
2
2
dm = mR2
r⊥
5
(ohne Beweis, zur Übung…)
8.6 Steinersche Satz
Nochmal Stab:
∫
L
x2 ρAdx
0
∫ L
x2 dx
= ρA
I=
0
1
= ρAL2
3
8 Mechanik des starren Körper
41
mit m = ρAL
1
= mL3
3
Allgemein:
∫
2
I = r⊥
dm
∫
= (rs,⊥ + R⊥ )2 dm
∫
∫
∫
2
2
⃗
= ⃗rs,⊥ dm +
R⊥ dm + 2 rs,⊥ R⊥ dm
∫
∫
=
⃗r2s,⊥
|
{z
dm +Is + 2rs,⊥ R⊥ dm
}
| {z }
2 m
=rs,⊥
Definition 8.9 (Steinersche Satz)
2
I = Is + r⊥,s
m
Beispiel 8.10 (Dünner Stab)
1
mL2
12
1
IB = mL2
3
L
1
IB = IA + ( )2 m = mL2
2
3
IA =
Trägheitsmomente sind additiv
∫
∫
∫
2
2
2
dm
r⊥
r⊥ dm +
I = r⊥ dm =
v2
v1
v
Translation
⃗r
⃗v = ⃗r˙
⃗a = ⃗¨r
1
Ekin = mv 2
2
F = m⃗a
Rotation
⃗ϕ
˙
⃗ω = ⃗ϕ
¨
⃗α = ⃗ϕ = ⃗ω˙
1
Erot = Iω 2
2
⃗ = I ⃗α
M
Bei nicht ortsfester Rotationsachse:
Erot =
1 T
⃗ω Θ⃗ω
2
⃗ = Θ⃗α
M
=0
8 Mechanik des starren Körper
42
⃗ ist ein Tensor
Θ
⃗v i = ⃗ω × ⃗r⊥,i , ⃗v i = ωr⊥,i
⃗ = ⃗r⊥,i × F
⃗i
M
dri
Mi = r⊥,i F⊥,i = r⊥,i mi
dt
dω
2
= r⊥,i mi
dt
∑
Mtot =
Mi
dω ∑ 2
Mtot =
r⊥,i mi
dt | {z
}
|{z}
α
I
Bewegungsgleichung für die Rotation um eine Raumfeste Achse
M = I ω̇ = Iα
Beispiel 8.11
M = Iα
⃗ = ⃗r × F
⃗G
M
I = 2mR2
M
α=
= ω̇
I
ω = αt + ω0 = αt
1
1
ϕ = αt2 + ω0 t + ϕ0 = αt2
2
2
1 2
2π = αT
2
4ϕ
I
T2 =
= 4π
α
M
wir wollen berechnen
I0
= (1 72)2 s2
M
I0 + 2mR2
T12 = 4π
= (5 9)2 s2
M
2
I0 + 2m R4
2
T2 = 4π
= (3 3)2 s2
M
T12 − T02 = 32 s2
T02 = 4π
T22 − T02 = 8 s2
8 Mechanik des starren Körper
43
8.7 Drehimpuls
⃗ = m⃗a, F
⃗ = ⃗p˙
• Translation: F
˙
⃗ = I ⃗α, M
⃗ = ⃗L
• Rotation: M
→ Drehimpuls
• Impuls: p = mv
• Drehimpuls: (Guess) L = Iω = mr2 vr = rmv = rp
Definition 8.12 (Drehimpuls)
⃗L = ⃗r × ⃗p
Wichtig: Allen bewegten Massenpunkten kann man bezüglich eines Referenzpunkts 0 einen Drehimpuls
zuordnen; der hängt vom Bezugspunkt ab.
d
˙
⃗ =M
⃗
⃗L
= (⃗r × ⃗p) = ⃗r˙ × ⃗p +⃗r × ⃗p˙ = ⃗r × F
| {z }
dt
0
Grundgleichung der Dynamik für Rotationsbewegungen:
⃗
˙
⃗ = d L = ⃗L
M
dt
Drehimpulserhaltung:
⃗ = 0 → ⃗L = const
M
Drehimpuls für System von Massenpunkten
∑
∑
⃗i
⃗ps =
⃗pi , ⃗p˙s =
F
∑
∑
⃗L =
⃗Li =
mi (⃗ri × ⃗v i )
∫
∫
∑
∑
∑
∑
d
˙
⃗L = d ⃗L = (⃗r × ⃗r)dm ⃗L
⃗ i=M
⃗
=
⃗ri × ⃗pi =
⃗r˙i × ⃗pi +
⃗ri × ⃗p˙i =
M
dt
| {z }
0
Für System von Massenpunkten:
⃗ =
M
∑
˙
⃗ i = ⃗L
⃗ri × F
⃗L = 0 für M
⃗ =0
Allgemeiner Zusammenhang:
mit Iˆ als Tensor:
⃗L = Iˆ⃗ω
∫
⃗L = d ⃗L
d ⃗L = ⃗r × d⃗p = ⃗r × ⃗vdm
= dm(⃗r × ⃗v) = ⃗r × (⃗ω × ⃗r)
8 Mechanik des starren Körper
44
mit ⃗a × (⃗b × ⃗c) = ⃗b(⃗a⃗c) − ⃗c(⃗a⃗b)
∫
= dm(r2 ⃗ω − ⃗r(⃗ω⃗r))
∫
∫
2
⃗
d L = ⃗ω r dm − ⃗r(⃗ω⃗r)dm
Beispiel 8.13 (Schief gestellte Hantel) Drehimpuls:
⃗L = ⃗r1 × ⃗p1 + ⃗r2 × ⃗p2
Drehimpulsvektor steht senkrecht auf Verbindungslinie zu m1 und m2 . Aber: Winkelgeschwindigkeit
⃗ω zeigt in Richtung der Drehachse.
Beispiel 8.14 (Rotierende Scheibe mit Unwucht) Für Rad mit Masse M gilt: (ohne Unwucht)
∫
⃗L1 = d ⃗L parallel zu ⃗ω
aus Symmetriegründen, ⃗L = I ⃗ω Für das Rad plus Unwucht gilt:
⃗L = ⃗L1 + ⃗L2 , ⃗L2 = ⃗r × ⃗p
↓
Drehimpuls der Unwucht
das heißt: ⃗L nicht parallel zu ⃗ω , daraus folgt: Drehimpuls hat Komponente senkrecht zur Winkelgeschwindigkeit
⃗ω , diese rotiert mit ⃗ω
˙
⃗ = ⃗L
M
das heißt auf Achse wirkt Drehmoment.
8.8 Trägheitstensor, freie Rotation und Kreisel
Drehimpuls eines starren Körpers:
∫
∫
r dm −
⃗L = ⃗ω
(Bezugspunkt wichtig!)
∫
Lx = ωx
= ωx
2
∫
r dm −
2
∫
⃗r(⃗ω⃗r)dm
x(ωx + ωy y + ωz z)dm
∫
∫
2
2
(r − x )dm − ωy xydm − ωz xzdm
= Ixx ωx + Ixy ωy + Ixz ωz
Ly = Iyx ωx + Iyy ωy + Iyz ωz
Lz = Izx ωx + Izy ωy + Izz ωz

 
ωx
Ixx Ixy Ixz
⃗L = Iyx Iyy Iyz  ωy 
Izx Izy Izz
ωz
{z
}
|
Trägheitstensor
9 Mechanik deformierbarer Körper
45
Definition 8.15 (Trägheitstensor)
∫
Ixx =
Iyy =
Izz =
∫
(r − x )dm
Ixy = Iyx = −
(r2 − y 2 )dm
Iyz = Izy = −
(r2 − z 2 )dm
Ixz = Izx = −
2
∫
∫
2
Rotationsenergie:
Erot =
Matrix
↑
⃗L = I⃗
ˆomega, Iˆ = Iij
xydm
∫
yzdm
∫
xzdm
1 Tˆ
⃗ω I ⃗ω
2
Trägheitstensor Iˆ hängt von der Wahl des Koordinatensystems ab!
ˆ (Hauptachsentransformation)
Geeignete Koordinatentransformation → Diagonalisieren von I.
Nach Hauptachsentransformation:


Ia 0 0
Iˆ =  0 Ib 0 
0 0 Ic
mit Ia > Ib > Ic .
Es folgt: Bei Rotation eines Körpers um eine der drei Hauptachsen sind Drehimpuls und Winkelgeschwindigkeit
parallel.
8.8.1 Kreisel
Ein Kreisel ist ein rotierender starrer Körper, der höchstens an einem Punkt aufgehängt ist. (Kompass,
Satellit, Geschoss)
Beschreibung der Kreiselbewegung mit 3 Achsen:
• Figurenachse
• Momentane Drehachse, Richtung von ⃗ω
• Drehimpulsachse
9 Mechanik deformierbarer Körper
Starrer Körper: ⃗ri − ⃗rj = const, das heißt Abstand zwischen Massenpunkten konstant.
Wirklichkeit: Verformung bei Anwendung äußerer Kräfte.
9 Mechanik deformierbarer Körper
46
9.1 Atomares Modell
Experiment: Alle Körper sind aus Atomen oder Molekülen aufgebaut. Beschreibung von Kräften
zwischen Atomen und Molekülen durch Lennard-Jones-Potential. (Dipol-Dipol-Wechselwirkung,
Van-der-Waals Kräfte)
Gleichgewichtsabstand: r0 (Epot = minimal) Für kleine Auslenkung gilt:
1
Epot = k(r − r0 )2
2
dEpot
= −k(r − r0 ) = −kAr
F =−
dr
Federkraft! =⇒
• Modell eines Festkörper: Federmodell.
Temperatur unterhalb des Schmelzpunktes. Mittlere kinetische Energie klein gegen Epot (r0 ).
Atome können Gitterplätze nicht verlassen. Fernordung!
• Modell einer Flüssigkeit: Kugelmodell:
Auch hier mittlerer Abstand = r0 , das heißt Dichte ähnlich die des Festkörpers. Aber: Temperatur
zu hoch für feste Zuordnung auf Kristallgitterplätzen =⇒ flüssiger Zustand. Nahordnung!
• Modell eines Gases: frei bewegliche Teilchen.
Mittlere kinetische Energie ist grob gegen Bindungsenergie, hohe Temperatur!
9.2 Feste Körper.
• Elastischer fester Körper → Formelastizität, Volumenelastizität aufgrund rücktreibender Kräfte
(Hookscher Bereich)
• Plastisch feste Körper → Formänderungen verbleiben
Hier: Elastische Körper! Experimentell findet man:
∆f ∼ F
∆L ∼ L, ∆L ∼ A−1
F
∆L ∼ L = Lr
A
Definition 9.1 (Hooksches Gesetz:)
σ=E
• E : Elastizitätsmodul, E-Modul
• ε : Elongation, relative Längenänderung
∆L
= Eε
L
(r: Zugspannung)
9 Mechanik deformierbarer Körper
• σ : Zugspannung, σ =
47
F
A
Auswertung Hooksches Gesetz: Material-Stahl, D = 0.3 mm, L = 6 m, A = 0.07 m2
F = 1.2 kPa = 11.8 N, ∆L = 5 mm, ε = 8 × 10−4 → σ = 168.6 N mm−2
F = 2.4 kPa = 13.5 N, ∆L = 10 mm, ε = 1.7 × 10−3 → σ = 337.2 N mm−2 =⇒ E =
σ
2 × 105 N mm−2 = 2
ε
Einfaches Atomares Modell: Lineare Kette. Es gilt:
L = na, ∆a ∼ F, ∆L ∼ m∆a ∼ nF
Außerdem wegen
∆L
L
∆L
Für eine lineare Kette ist ε L tatsächlich proportional zur Kraft F .
Für ε ∼ A−1 braucht man mehrere lineare Ketten parallel aneinander.
Aber: Auch Wechselwirkung in transversaler Richtung!
L ∼ m : ∆L ∼ LF → F ∼
Definition 9.2 (Querkontraktion)
∆D
D
∼
∆L
L
∆D
∆L
= −µ
D
L
µ: Poissonsche Zahl ≈ 0.3
Volumenänderung (kleine Änderung)
π
V = ( )D2 L
4
∆V
∆ξ =
=?
V
ξ = ln V
∆ξ
V
V
∆V
V
= 2 ln D + ln L + const
1
1
1
dξ
dξ
dξ
≈ ∆V ≈ 2 ∆D + ∆L =
∆V =
∆D +
δL
V
D
L
dV
dD
dL
∆L ∆L
∆L
= −2µ
+
=
(1 − 2µ)
L
L
L
σ
= (1 − 2µ)
(Volumenänderung)
E
Kompression (von Flüssigkeiten)
∆V
= −χ∆p
V
χ=3
χ: Kompressibilität
1
(1 − 2µ)
E
9 Mechanik deformierbarer Körper
48
9.3 Scherung und Torsion
Normalspannung oder Zugspannung
σ=
FN
A
Tangentialspannung oder Scherspannung
τ=
FT
A
F+r kleine Scherwinkel
(G: Schubmodul, Torsionsmodul)
τ = Gα
Torsion eines Drahtes (Vollzylinder)
dF
dA
Rϕ = Lα
τ=
dM = dF R
dA = 2πRdR
dF
dM
1
Rϕ
τ=
=
= Gα = G
dA |{z}
R 2πRdR
L
dF
2πGϕ 3
dM =
R̄ dR̄
L
2πGR4
M=
ϕ = k0 ϕ
{z }
| 2L
const
Empfindlichkeit:
ϕ
1
∼ 4
M
R
M = I ϕ̈ = −kD ϕ, kD =
ϕ(t) = ϕmax sin(ω0 t + ϕ0 )
√
kK
ω0 =
I
√
I 1
2π
∼
T =
ω0
kD R 2
πGR4
2L
9 Mechanik deformierbarer Körper
49
Ein bisschen was für Ingenieure
L + ∆L
L
=
ρ
ρ+η
∆L
η
ε=
=
L
ρ
dM = ηdF
ϕ=
1
dM = ηdF = ησdA = ηεEdA = η 2 EdA
ρ
∫
E
M=
η 2 dA
ρ
Definition 9.3 (Flächenträgheitsmoment)
(wegen ε = ηρ )
∫
η 2 dA
J=
• Integral über Querschnittsfläche
• η : senkrechter Abstand der Punkte der Querschnittsfläche von neutraler Ebene
Beispiel 9.4 (Quader)
∫
J=
h
2
η 2 vdη
−h
2
1 3
bh
12
=
Bautechnik: Krümmung κ:
κ=
M
1
=
ρ
EJ
9.4 Ruhende Flüssigkeiten-Hydrostatik
keine Formelastizität, G = 0 !
aber: Hohe Volumenelastizität
Das heißt: Alle Kräfte senkrecht zur Oberfläche.
Definition 9.5 (Druck) Hydrostatischer Druck
F
A
Also die auf die Fläche wirkende Normalkraft pro Fläche.
p=
[p] = N m−2 = Pa
1 bar = 1 × 105 Pa
1 torr = 133.322 Pa
1 atm = 1.013 bar
9 Mechanik deformierbarer Körper
50
∆V
1
= κ∆p = ∆p
V
K
Wasser:
κ = 5 × 10−10 m2 N−1
Aluminium:
κ = 1.4 × 10−10 m2 N−1
Im Folgende: κ = 0, V = const, das heißt Wasser „inkompressibel“
Satz 9.6 (Pascalsches Prinzip) Wird auf eine in einem Gefäß eingeschlossene Flüssigkeit ein Druck
ausgeübt, dann verteilt sich dieser ungehindert auf jeden Punkt in der Flüssigkeit und die Wände.
Zur Veranschaulichung: betrachte frei schwebendes Flüssigkeitsprisma in ruhender Flüssigkeit, frei
wählbar… (hier noch: ohne Schwerkraft)
Fx = Fxc − Fxb = Fc sin α − Fb
=
= Pc hc sin α − pb hb ! 0
Fy = Fya − Fyc = Fa − Fc cos α
=
= pa ah − pc hc cos α ! 0
Mit sin α = ab , cos α =
a
c
folgt:
b
pc hc − pb bh = 0 =⇒ pc = pb
c
a
pa ah − pc hc = 0 =⇒ pa = pc
c
Bemerkung 9.7 In z-Richtung sind Kräfte aus Symmetriegründen ebenfalls Null! da Flüssigkeitsprisma
frei gewählt, das heißt beliebig orientiert werden kann folgt Pascalsches Prinzip
Anwendung: Hydraulische Presse. Druck überall gleich! =⇒
p=
F2 = F1
F1
F2
=
A1
A2
A2
A1
Arbeit:
W1 = F1 a1 = pA1 a1 = pV
W2 = F2 a2 = pA2 a2 = pV
9 Mechanik deformierbarer Körper
51
Bisher: Vernachlässigung der Schwerkraft.
Jetzt: Druck im Schwerefeld.
Eigengewicht einer Flüssigkeit verursacht einen von der Tiefe abhängenden Druck. Kraftwirkung
auch Fläche A:
F = mg = ρV g = ρAhg
mit Tiefe h
p=
F
= ρgh
A
Definition 9.8 (Hydrostatischer Druck) Der Druck in einer ruhenden, inkompressiblen Flüssigkeit
nimmt unter Einfluss der Schwerkraft linear mit der Tiefe h zu:
p = p0 + ρgh
Der hydrostatische Druck ist unabhängig von Form und Volumen des einschließenden Behältnisses
Anwendung: Quecksilberbarometer
pLuf t + ρgx = ρgh + ρgx
pLuf t = ρgh
Druckeinheit: 1 mm Hg = 133.322 Pa
9.4.1 Auftrieb
Erfahrung: Ein in eine Flüssigkeit eingetauchter Körper erfährt Auftrieb.
Grund: Auf Körper einwirkende Druckkräfte.
Satz 9.9 (Prinzip des Archimedes) Ein Körper, der in eine Flüssigkeit eingetaucht ist erfährt eine
Auftriebskraft, deren Betrag gleich der Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit ist.
p1 = ρgx1 + p0
p2 = ρgx2 + p0
E1 = ρgx1 A + p0 A
E2 = ρgx2 A + p0 A
F2 − F1 = ρgA∆x = mg = Fg
Es folgt: Ein Körper schwimmt, wenn seine Dichte kleiner ist als die Flüssigkeit, in die er eingetaucht
ist.
9 Mechanik deformierbarer Körper
52
9.4.2 Oberflächenspannung
Beobachtung: Flüssigkeiten bilden Oberflächen.
Grund: Potentielle Energie an Oberfläche größer.
Im Inneren: Kräftegleichgewicht
An Oberfläche: Kraftwirkung nach Inneren
Minimierung der potentiellen Energie =⇒ Minimierung der Oberfläche.
Definition 9.10 (Oberflächenspannung)
Zunahme der Oberflächenenergie
σ=
Zunahme der Oberfläche
Achtung: Anders als Zugspannung. Hier: Kraft pro Länge
9.5 Gase
Wesentlicher Unterschied zu Festkörpern und Flüssigkeiten: Hohe Kompressibilität.
Definition 9.11 (Gesetz von Boyle-Mariette)
pV = const
falls Temperatur T = const, siehe später
9.5.1 Barometrische Höhenformel:
Flüssigkeiten: p = ρgh+p0 , das heißt Druck steigt linear mit der Tiefe. (Ausnahme: Inkompressibilität,
also ρ = const, das heißt Druck steigt linear mit der Tiefe. (Ausnahme: Inkompressibilität, also
ρ = const))
Gase: Hohe Kompressibilität! Das heißt Dichteänderungen müssen berücksichtigt werden.
Frage: p(h) =?, ρ(h) =?
Es gilt:
pV = const
M
M
pV = p
= p0 V0 = p0
ρ
ρ0
für konstante Masse M :
p
p0
ρ0
= dp
= −ρgdh − p gdh
ρ
ρ0
p0
ρ0 g
dp
=−
dh
p
p0
ρ0 g
h
ln p − ln p0 = −
p0
ρ0 gh
)
p = p0 exp (−
p0
Barometrische Höhenformel:
ρ0 g
p(h) = p0 exp(−
h)
p0
das heißt: in Atmosphäre mit kompressiblem Gas nimmt der Druck mit der Höhe exponentiell ab.
9 Mechanik deformierbarer Körper
53
9.6 Strömende Flüssigkeiten und Gase
Experiment: Flüssigkeitsströmung durch Rohr
Beobachtung: Druckabfall entlang des Rohres
Fp = A(p(x) − p(x + ∆x))
dp
= − ∆A
dx
dp
= − ∆V
dx
∆p
=−
∆V
∆x
Fp = −Fvisc
F ∆x = −∆p∆V
F = − grad p∆v
⃗ p : Kraft aufgrund des Druckgradienten
• F
⃗ visc : Kraft aufgrund innerer Reibung
• F
Also: Bei der Strömung von Flüssigkeiten muss Arbeit gegen die innere Reibung aufgebracht werden
Es gilt
F ∆x = −∆p∆V, F dx = −dp∆V
Eigentlich ist das ganze deutlich komplizierter:
dm
⃗u(x, y, z, t)
(Geschwindigkeitsfeld)
p(x, y, z, t)
(Druckfeld)
ρ(x, y, z, t)
(Dichtefeld)
d⃗u
⃗p+F
⃗ visc + F
⃗ ext
=F
dt
Navier-Stokes-Gleichung
ρ(
∂
+ ⃗u vv)⃗u = −grad p + ρ⃗g + η∆⃗n
∂t
↓
↓
↓
”Fp ” ”Fext ””Fvisc ”
9 Mechanik deformierbarer Körper
54
9.6.1 Kontinuitätsgleichung:
∆m
= const
∆t
∆m
ρAi ∆x
ϕ=
=
∆t
∆t
= ρAi vi
ϕ=
ρA1 v1 = ρA2 v2
A1 v1 = A2 v2
1
W = F ∆x = −∆p∆V = ∆m(v22 − v12 ) + ∆mg(h2 − h1 )
2
1 2 1 2
−∆p = ρv2 − ρv1 + ρgh2 − ρgh1
2
2
p1 − p2 = . . .
1
1
p1 + ρv12 + ρgh1 = p2 ρv22 + ρgh2
2
2
Definition 9.12 (Bernoullische Gleichung)
1
p + ρv 2 + ρgh = const
2
9.6.2 Reibung in Flüssigkeiten
Merke für Flüssigkeiten keine statischen Scherkräfte, aber es gibt dynamische Scherkräfte.
Experiment: Notwendige Schubspannung
τ=
F
dvx
∼
A
dy
Schubspannung ist proportional zum Geschwindigkeitsgradienten.
Definition 9.13 (Newtonsches Reibungsgesetz:)
τ=
FR
dvx
=η
A
dy
FR = ηA
η nennt man dynamische Scherviskosität.
dvx
dy
9 Mechanik deformierbarer Körper
55
9.6.3 Strömung durch ein Rohr mit kreisförmigen Querschnitt (Hagen-Poiseuille)
∆p = p2 − p1
F = ∆πr2
A = 2πrL
∆pπr2
dv
F
=
= −η
(Newton!)
A
2πrL
dr
∫ v(R)=0
∫ R
∆p 2
∆pr
dr =
(R − r2 )a
v(r) =
−dv =
2ηL
4ηL
v(r)
r
τ=
dV = 2πrdrv(r)∆t
∫ R
∆V =
2πrdrv(r)∆t
0
∫ R
2π∆p
∆t
(R2 r − r3 )dr
=
2ηL
0
2π∆p 1 4 1 4
=
( R − R )∆t
2ηL 4
4
dv
π∆p 4
V̇
A∆x
dV 1
R2
V̇ =
=
R ∼ R4 v̄ =
=
=
=
∆p
dt
8ηL
A
A∆t
dt πR2
8ηL
(Hagen-Poiseuille-Gesetz)
v̄ ∼ ∆p typisch für laminare Strömung
Turbulenz: ∆p ∼ v̄ 2
Vergleich:
Stationäre laminare Strömung
v
v̇ = d⃗
dt = 0
Stromflächen
FR ∼ ⃗v
Turbulente Strömung
⃗v = ⃗v(x, y, z, t)
keine Vorhersage der Teilchenbahnen
FW ∼ v̄ 2
Reynold-Kriterium:
Re < Rekrit
(laminar)
Re > Rekrit
(turbulent)
Beispiel 9.14 Für ein rundes Rohr mit Radius R gilt:
Re =
2ρv̄R
, Rekrit = 2000 − 2300
η
10 Wärmelehre
56
9.6.4 Strömungswiderstand von glatten Körper
Frage: Welche Kraft wird auf einem Körper ausgeübt, der sich mit Geschwindigkeit v durch eine
Flüssigkeit bewegt?
1. Laminare Strömung: FN ∼ v
Definition 9.15 (Gesetz von Stokes) Strömungswiderstand einer Kugel
FW = FR = 6πηrv
Gesetz von Stokes wichtig für die gesamte Naturwissenschaft! (Sedimentation, Staubteilchen,
Milikanversuch…)
2. Turbulente Strömung: FN ∼ v 2 Qualitativer Beweis: Teilchen, die mit der Strömungsgeschwindigkeit
⃗v K auf den Körper mit Konturfläche A auftreffen, werde im Staupunkt gebremst. Dadurch
steigt der Druck p0 um ∆p. Hinter dem Körper werden die Teilchen in eine turbulente Strömung
überführt. Deren Geschwindigkeit entspricht ungefähr der Strömungsgeschwindigkeit vk ,
weshalb der Druck hinter dem Körper wieder auf dem alten Druck p0 absinkt. Die Druckdifferenz
zwischen Vorder- und Rückseite des Körpers gibt den Druckwiderstand. Es gilt dann:
• Strömung ungestört: p0 + 12 ρ⃗v 2k
• Druck vor dem Körper: p0 + ∆p
• Druck hinter dem Körper: p0 + 12 ρ⃗v 2
• =⇒ FW ≈ A∆p = A 21 ρ⃗v 2K = A 12 ρ⃗v 2
Strömungswiderstand = Staudruck × Konturfläche!!
Aber: Der Strömungswiderstand hängt auch von der Form des Körpers ab. =⇒ Einführung des
„cW -Wertes“ für quantitative Beschreibung:
1
FW = vW ρv 2 A
2
10 Wärmelehre
Energieerhaltung: Wichtiges Konzept der Mechanik. Es gilt:
Epot + Ekin = const, ∆E = 0
Aber: Obiges Gesetz gilt nur für konservative Kräfte. Beim Auftreten dissipativer Kräfte, zum Beispiel
Reibung, geht mechanische Energie verloren. =⇒ Umwandlung von Energie in Wärme, Beobachtung:
Temperaturerhöhung. Idee zur Rettung des Energiesatzes: Einführung der sogenannten „inneren
Energie“ =⇒ T hermodynamik, T emperaturbegrif f
Definition 10.1 (Wärme) Wärme ist ein makroskopisches Maß für den statischen Mittelwert der
kinetischen Energie mikroskopischer Objekte. Ist mit deren Relativbewegung auch eine potentielle
Energie verknüpft, so tritt sie zur Wärmeenergie hinzu.
10 Wärmelehre
57
Der Wärmebegriff ist damit nur sinnvoll für makroskopische Systeme, das heißt Systeme mit vielen
mikroskopischen Objekten (Atome, Moleküle, . . .). Wärmeenergie = innere Energie eines Körpers.
(Lange- und Bewegungsenergie des Schwerpunktes werden nicht berücksichtigt).
• Thermodynamik: phänomenologische Beschreibung. Das heißt makroskopische, phänomenologische
Beschreibung thermodynamischer Vorgänge. Neue Größen: Temperatur T , Wärme Q, Entropie
S, . . .. Formulierung über Zustandsgleichungen und 3 Hauptsätze
• Statistische Mechanik: statistische Beschreibung. Das heißt mikroskopische, statistische Beschreibung
thermodynamischer Vorgänge. Basis: Gesetzmäßigkeiten der Mechanik und statistische Beobachtungen.
Zustandsgrößen: statistische Mittelwerte des Teilchenkollektivs.
10.1 Temperaturbegriff und Wärmeausdehnung
Temperaturbegriff erscheint aufgrund unserer Erfahrung vertraut. (Wahrnehmung von warm und
kalt). Aber: Qualitatives Temperaturempfinden kann trügen. Also: Physikalische Beschreibung erfordert
ein genaueres Maß! Nutze Erfahrung: Bringt man zwei Körper unterschiedlicher Temperatur für
längere Zeit zusammen so heben sie schließlich die gleiche Temperatur. Beide Körper sind dann im
thermischen Gleichgewicht. Das heißt: Temperatur beschreibt den Zustand eines Körpers.
Definition 10.2 (Nullter Hauptsatz der Wärmelehre) Befinden sich zwei Körper im thermischen
Gleichgewicht mit einem dritten, so stehen sie auch untereinander im thermischen Gleichgewicht.
Der nullte Hauptsatz erlaubt die Definition einer Temperaturskala über Temperaturfixpunkte, zum
Beispiel Gefrier- und Siedepunkt von Wasser. Konstruktion von Thermometern über die Ausnutzung
von temperaturabhängiger Materialeigenschaften: zum Beispiel Volumenausdehnung mit steigender
Temperatur, Temperaturabhängige Längenänderung, Änderung des elektrischen Widerstands
10.1.1 Volumenausdehnung von Gasen
Experimentelle Beobachtung: Gasvolumina vergrößern sich bei Ernährung. Zur Temperaturdefinition.
Annahme: ∆V ∼ ∆T . Das heißt lineare Abhängigkeit wird in die Definition reingesteckt!
Celsius-Skala:
• Fixpunkt 1: T = 0 ◦C
• Fixpunkt 2: T = 100 ◦C
Quantitativ:
Definition 10.3 (Gesetz von Gay-Lussac)
V (T ) = V0 (1 + γT )
• p = const
• T : Temperatur
• V0 : Gasvolumen bei T = 0 ◦C
10 Wärmelehre
58
Experimentelle Beobachtungen:
1
273.15 ◦C
für alle Gase, falls T groß und p klein. Damit folgt: V (T ) = 0 für T = −273.15 ◦C wenn man
Gaseigenschaften bis V = 0 extrapoliert. Dieser Sachverhalt legt die Definition einer neuen von
Wasser unabhängigen Temperaturskala nahe.
γ=
Definition 10.4 (Absolute Temperaturskala)
Nullpunkt)
• Fixpunkt 1: T = 0 K = −273.15 ◦C (absoluter
• Fixpunkt 2: T = 273.16 K
(Tripelpunkt des Wassers)
∧
Unterteilung in Gradschritten bleibt erhalten. Das heißt ∆T = 1 ◦C = ∆T = 1 K Einheit:
Kelvin, Basisgröße der Physik, SI-Einheit.
10.1.2 Volumen und Längenausdehnung fester und flüssiger Stoffe
Experiment: Bei Erwärmung dehnen sich Körper im Allgemeinen aus. Man findet:
∆L = αL∆T
α: Längenausdehnungskoeffizient.
Für kleine α∆T folgt:
dL
= αdT
L
ln L − ln L0 = α∆T
L = L0 eα∆T ≈ L0 (1 + α∆T )
mit L0 : Länge bei T = T0 Volumenausdehnung:
∆V = γV0 ∆T
V = V0 (1 + γ∆T )
mit V0 : Volumen bei T = T0 .
Es gilt: γ ≈ 3α Bemerkung:
V = l1 l2 l3
dV
dl3
dl2
dl1
= l1 l2
+ l1 l3
+ l2 l3
dT
dT
dT
dT
1 dl3
1 dl2
1 dl1
1 dV
=
+
+
γ=
V dT
l3 dT
l2 dT
l1 dT
für kleine ∆T
10 Wärmelehre
59
10.1.3 Anomalie des Wassers
Wasser: Keine Ausdehnung bei Erwärmung zwischen 0 ◦C und 4 ◦C. Stattdessen: Volumen nimmt
mit steigender Temperatur ab. Wichtige Eigenschaft! Garantiert Leben im Wasser aufgrund von
Eisbildung an Oberfläche.
10.2 Zustandsgleichung idealer Gase
Wir wissen:
(für T = const(Boyle − M ariotte))
pV = const
V = V0 (1 + γT )für p = const (Guy-Lussac)
Wähle absolute Temperaturskala. Dann folgt für Gay-Lussac:
V = V0 γT
V0 = V (273.15 K), γ =
1
273.15 K
Also :
Boyle Mariotte
pV = const
Gay-Lussac
V = V0 γT
pV = pV (p, T ) = p0 V (p0 , T ) = p0 V (p0 , T0 )γT = p0 V0 γT ∼ T
Satz 10.5 (Boyle-Mariotte-Gay-Lussac) Für ideale Gase gilt das Boyle-Mariotte-Gay-Lussac Gesetz
pV ∼ T, ∧
p1 V1
p2 V2
=
= const
T1
T2
p ∼ T für V = const
Frage: Was bedeutet „const“ in dieser Gleichung?
Erwartung: Hängt von Stoffmenge ab. Hierzu: Gedankenexperiment: Fasse zwei identische Kisten
gefüllt mit idealem Gas zu einer Kiste zusammen:
10 Wärmelehre
60
1 Kiste
p0 V0 = ξTo
2 zusammengefasste Kisten
p0 2V0 ∼ T0
Also: Verdopplung von ξ!. Ansatz: ξ ∼ Gasmenge
=⇒ pV = kB N T
kB = 1.381 × 10−23 J K−1
(Boltzmankonstante)
Definition 10.6 (Mol) Das Mol ist die Stoffmenge eines Systems, das das eben soviel Einzelteilchen
besteht, wie Atome im 12 Gramm des Kohlenstoffnuklids C enthalten sind. Bei Benutzung des Mol
müssen die Einzelteilchen spezifiziert sein und können Atome, Moleküle, Ionen, Elektronen sowie
andere Teilchen oder Gruppen solcher Teilchen genau angegebener Zusammensetzung sein.
∧
1 mol = 6.022 × 1023 Teilchen
Avogadro-Zahl:
NA = 6.022 × 1023 mol−1
Satz 10.7 (Zustandsgleichung idealer Gase)
pV = n Na kB T
| {z }
R
pV = nRT
mit R (universelle Gaskonstante):
R = 8.314 51 J K−1 mol
Für Normalbedingungen:
p0 = 1013 m bar
T0 = 273.15 K
n=1
−3
V0 = 22.4 × 10
3
m = 22.4 L
10 Wärmelehre
61
10.3 kinetische Gastheorie
Bisher: Beschreibung mit Hilfe makroskopische Zustandsgrößen.
Jetzt: Ableitung makroskopischer-Zustandsgrößen aus mikroskopischen Eigenschaften.
∧
∧
Grundidee: Temperatur = innere Energie = Bewegungsenergie der Teilchen.
∧
Zustandsgrößen = Mittelwert mikroskopischer Größe.
Modell des idealen Gases:
• N Punktteilchen (Atome, Moleküle) der Masse m mit statistisch verteilten Geschwindigkeiten
(N ≫ 1)
• Gasteilchen sind starre Kugeln, mittlerer Abstand r zwischen den Gasteilchen sind groß gegen
Kugelradius r0 . (Das heißt Eigenvolumina sind vernachlässigbar)
• Einzige Wechselwirkung: elastische Stoße, das heißt es gelten sowohl Impuls- als auch Energieerhaltung.
(Keine innere Anregung der Gasteilchen)
• Stöße mit den Wänden des einschließenden Behälters sind ebenfalls perfekt elastisch.
Druck: Impulsübertrag der Gasteilchen auf Behälterwand. Das heißt
Druck =
F
, F = ṗ
A
Betrachte Gesamtkraft auf Fläche A:
∆p
∆t
Impulsübertrag Stöße
=
·
Stoß
Zeit
Stöße
= 2mvx ·
Zeit
F = ṗ =
Aber vx ist nicht für alle Gasteilchen gleich, sondern statistisch verteilt. Erwartung: Verteilungsfunktion
der vx -Werte muss symmetrisch um vx = 0 sein, da Gas ruht! Es gilt:
∫ ∞
N=
n(vx )dvx
−∞
∫
1 ∞
v̄x =
vx n(vx )dvx = 0
N −∞
∫
1 ∞ 2
2
(vx ) =
v n(vx )dvx ̸= 0
N −∞ x
Damit folgt für Gesamtkraft F
d ∑
d
pi =
dt
dt
Ñ
F = ṗ =
i=1
∫
∞
−∞
2mvx Ñ (vx )dvx
10 Wärmelehre
62
Ñ (vx ): Anzahl Gasteilchen, die mit Geschwindigkeit vx im Zeitintervall dt auf Behälterwand treffen,
Bedingung: vx > 0
Betrachte Gasvolumen mit Querschnittsfläche A:
Ñ (vx ) = Θ(vx )n(vx )vx dtA
∫
(Θ: Heavyside Funktion)
∞
d
2mvx Ñ (vx )dvx
dt −∞
∫
d ∞
=
2mvx n(vx )vx dtAdvx
dt 0
∫ ∞
1
2vx2 n(vx )dvx
= mA
2
−∞
F =
= mAN (vx2 )ng(vx2 )
∫
1 ∞ 2
=
v n(vx )dvx
N −∞ x
Damit folgt für den Gesamtdruck auf Behälterwand mit Querschnittsfläche A:
p=
F
= mN vx2
A
Dabei ist N die Teilchenanzahl pro Volumen.
Bisher: Betrachtung nur in einer Dimension.
Jetzt: Erweiterung auf drei Dimensionen.
Es gilt:
vx2 = vy2 = vz2 , v 2 = vx2 + vy2 + vz2 → vx2 = vy2 = vz2 =
1 2
v
ρ
(Geschwindigkeiten der Gasteilchen sind isotrop verteilt! Gas ruht!) =⇒
1
2
p = N mv 2 = N Ekin
3
3
• Ekin = 12 mv 2
• p: Druck
• N : Gesamtzahl Gasteilchen pro Volumen!
• Ekin : mittlere kinetische Energie
Vergleich mit Zustandsgleichung idealer Gase
pV = nRT = kB nNA T = kB (N V )T
p = kB N T
3
Ēkin = kB T
2
Damit ergibt sich die Zustandsgleichung idealer Gase aus der Bewegungsenergie der Gasteilchen,
das heißt man findet
10 Wärmelehre
63
• Äquivalenz zwischen phänomenologische und mikroskopischer Beschreibung
• Konsistente Definition eines idealen Gases
Zum Ursprung des Faktors 32 in Ēkin = 32 kB T :
Es gilt: p = mN vx2 = 13 mN v 2 , das heißt Faktor 3 ergibt sich aus der Zahl möglicher Raumrichtungen
beziehungsweise „Translationsfreiheitsgrade“. Legt nahe: Mittlere Energie eines Gasteilchens Pro
Freiheitsgrad = 21 kB T . Tatsächlich können bei realen Molekülen zusätzliche Rotations- und Schwingungsfreiheitsgrade
auftreten, so dass die Zahl der Freiheitsgrade f insgesamt zunimmt. Die Energie der einzelnen
Moleküle verteilt sich dann gleichförmig auf alle vorhandenen Freiheitsgrade. Es gilt: Gleichverteilungssatz
oder Äquipartitionsprinzip:
1
Ekin = f kB T
2
1
U = nNA f kB T
2
nennt man innere Energie. Gesamtenergie, die aus der Wärmebewegung von Molekülen etc. resultiert.
Un fasst sowohl kinetische als auch (innere) potentielle Energie
10.4 Wärme, Wärmekapazität und latente Wärme
Beobachtung: Beim Erwärmen oder Abkühlen eines Körpers wird Wärme mit der Umgebung ausgetauscht.
Definition 10.8 (Wärme) Wärme ist die zwischen zwei Systemen aufgrund eines Temperaturunterschieds
ausgetauschte Energie
das heißt: Erwärmen findet durch Energieübertragung via Warenfluss statt.
Thermisches Gleichgewicht: Warenfluss zwischen zwei Systemen beziehungsweise System und
Umgebung in beide Richtung gleich oder Nullpunkt Temperatur gleich!
Experiment: Temperaturausgleich System A und B.
(TA − T )mA ∼ (T − TB )mB
das heißt größere Masse hat eine größten Einfluss! Proportionalität hängt von der Art der Materialien
ab. Einführung zweier Materialkonstanten!
CA (TA − T )mA = CB (T − TB )mB
QA = QB
• CA , CB : materialspezifische Konstanten
• QA : Von System A abgegebene Wärme
• QB : Von System B aufgenommene Wärme
Definition 10.9 (Wärmemenge)
Q = cm∆T
c: spezifische Wärmekapazität
10 Wärmelehre
64
Kalorie: 1 Kalorie ist die Wärme, mit der man 1 g Wasser um 1 ◦C erwärmen kann.
Begriffe:
• c = spezifische Wärmekapazität, spezifische Wärme
• C = cm = Wärmekapazität einer Masse m
• cm = cmol = cmmol = molare Wärmekapazität, spezielle Molwärme
Q = cm n∆T
Jetzt: Latente Wärme. Beobachtung: Temperatur eines Körpers ändert sich linear mit der zugeführten
Wärmeenergie. Aber! Experiment: Poleischmelzen.
1. Aufheizen Q = cm∆T ✓
2. Phasenübergang Q = λm
Zuführen von Wärme ohne Temperaturerhöhung. Quantitative Beobachtung: Wärmemenge
Q proportional zur Masse m.
Phasenübergänge:
1. Energie wird zum Aufbrechen der Teilchenbindungen gebraucht =⇒ Wärmezufuhr
• Schmelzen: fest → flüssig
• Verdampfen: flüssig → fest
• Sublimieren: fest → gasförmig
2. Bindungsenergie wird frei → Wärmeabgabe
• Gefrieren / Erstarren: flüssig → fest
• Kondensieren: gasförmig → flüssig
• Kondensieren: gasförmig → fest
Die Wärmeenergie, die ein Körper bei einem Phasenübergang aufnimmt beziehungsweise abgibt,
ohne das damit eine Temperaturänderung einhergeht, nennt man latente Wärme, es gilt:
Q = λm
mit Q: aufgenommene/abgegebene Wärme, m: Masse. Dabei ist λ die (latente) Schmelzwärme oder
(latente) Verdampfungswärme.
1
1
U = nNa f kB T = n f RT, R = kb Na , Q = cm ∆T, Q = λm
2
2
10 Wärmelehre
65
10.5 Arbeit und Wärme
Reibung
Mechanische Arbeit −−−−→ Wärme
W = Fs
= mg(πd)n
Q = cm ∆T
cm = 65 cal K−1
∆T ≈ 3 K → Q ∼ 200 cal
1 cal ≈ 4.3 J → W ∼ 870 J
Genau:
1 cal ≈ 4.186 J
10.6 erster Hauptsatz der Wärmelehre
∆U = ∆Q + ∆W U
1
= nRT
2
= nNa Ekin
• ∆Q: Wärmezufuhr
• ∆W : aus System geleitete Arbeit
• ∆Q > 0: Wärmezufuhr, ∆W > 0, Arbeit wird aus System verrichtet
• ∆Q < 0: Wärmezufuhr, ∆W < 0, Arbeit wird von System verrichtet
Bei uns: Anders als in klassischer Mechanik
10.7 Volumenarbeit und PV-Diagramme idealer Gase
Thermodynamische Prozesse, Kreisprozesse: ideale Gase! Zustandsgrößen: n, p, V, T (Q ist keine
Zustandsgröße)
pV = nRT
Verschieben des Kolbens:
• Gegen Gasdruck nach unten: ∆W > 0
• Gegen Außendruck nach oben: ∆W y0
10 Wärmelehre
66
dW = F ds = −pAdl = −pdV
∫
> 0 für dV < 0 =⇒ W = −
dW < 0 für dV > 0dW
v2
pdV
v1
pV -Diagramm:
pV = nRT
• Isotherme Zustandsänderung: T = const
– T = const
– pV = nRT → p ∼
1
V
– ∆U12 = 0 = ∆Q12 + ∆W12
– dU = dQ − pdV = 0
∫2
∫2
∫2
– 1 dQ = 1 pdV → ∆Q12 = 1
nRT
V dV
= nRT ln( VV12 )
– ∆W12 = −∆Q12 = −nRT ln( VV21 )
• Isobare Zustandsänderung: P = const
– ∆W12 = −p(V2 − V1 ) = −nR(T2 − T1 )
– ∆Q12 = ncp (T2 − T1 )
– ∆U12 = ∆W12 + ∆12 = n (cp − R)(T2 − T1 )
| {z }
f
R
2
• Isochore Zustandsänderung V = const
– ∆W12 = 0
– ∆Q12 = ncv (T2 t1 )
– ∆U12 = ∆Q12 = ncv (T2 − T1 )
• Adiabatische Zustandsänderung Q = const, ∆Q = 0
10 Wärmelehre
67
– ∆Q12 = 0, ∆U12 = ∆W12
dU = dW
1
dU = f nRdT = ncv dT dW
2
= −pdV
dU = dW =⇒ ncv dT = −pdV = −
nRT
dV
V
dT
dV
= −R
T
V
cv ln T = −R ln V + const
cv
cv ln T + R ln V = const
ln T cv + ln V R = const
elnT
cv V R
= econst
T cv V R = const
T cv V cp cv = const
cp −cv
cv
= const
cp − cv
γ − 1 :=
cv
f +2
γ=
f
TV
Isotropenindex:
T V γ−1 = const(pv)V γ−1
= pV γ = const
T γ p1−γ = const
Definition 10.10 (Adiabatengleichungen:)
pV γ = const, p ∼ V −γ
T V γ−1 = const, T ∼ V 1−γ
T γ p1−γ = const, T γ ∼ pγ−1
Temperaturerhöhung ist bei konstantem Volumen effektiver als bei konstantem Druck
• Isobar: ∆Q = ∆h − ∆w
• Isochor: ∆Q = ∆u
Cv =
f
f +2
f
R, cp =
R = R +R
2
2
2
|{z}
c−V
10 Wärmelehre
68
10.8 Zusammenfassung: Spezielle Zustandsänderung idealer Gase
Es gilt
pV = nRT, ∆U = ∆Q + ∆W
mit R = 8.314 J K−1 mol−1
1. Isotherme Zustandsänderung ∆T = 0
∆U = 0, p ∼
1
V
∆Q = −∆W = nRT ln
V2
V2
2. Isochore Zustandsänderung, ∆V = 0
∆W = 0
∆U = ∆Q = ncV ∆T
3. Isobare Zustandsänderung, ∆p = 0
∆Q = ncp ∆T
= ∆U − ∆W
∆W = −p∆V
f
∆Q = ncv ∆T = n R∆T
2
f +2
∆Q = ncp ∆T = n
R∆T
2
=⇒ Cp = cv + R
4. Adiabatische Zustandsänderung, ∆Q = 0 (Q keine Zustandsgröße!)
∆U = ∆W
pV γ = const
T V γ−1 = const
T γ p1−γ = const
Verfügbare Freiheitsgrade? (Vorgriff auf Quantentheorie)
Cv =
• f : verfügbare Freiheitsgrade
• R: universelle Gaskonstante
f
f +2
R, Cp =
R
2
f
10 Wärmelehre
69
Mittlere Energie pro Freiheitsgrad:
1
Ē = kB T
2
f
f
U = N Ē = nNA kB T = n RT = ncv T
2
2
f =?
Klassische:
Gleichverteilungssatz oder Äquipartitionsprinzip, Gleichmäßige Verteilung der Energie auf alle Freiheitsgrade.
Quantenmechanik:
Einfrieren von Freiheitsgraden, das heißt nicht alle möglichen Freiheitsgrade verfügbar. Hängt von
Temperatur ab (klassisch nicht erklärbar)
10.9 Zweiter Hauptsatz der Wärmelehre
Erster Hauptsatz: Energieerhaltung, Energieflüsse.
Zweiter Hauptsatz: Richtung thermodynamischer Prozesse.
Erfahrung: Wärme fließt nur vom wärmeren zum kälteren Körper. Mechanische Arbeit kann vollständig
in Wärme, nicht aber Wärme vollständig in mechanische Arbeit umgewandelt werden.
Satz 10.11 (Zweiter Hauptsatz) Wärme fließt von selbst nur vom wärmeren zum kälteren Körper,
nie umgekehrt.
Eine mehr quantitative Formulierung erfordert die Einführung und Betrachtung reversibler und
irreversibler Prozesse.
Definition 10.12 (Reversibler Prozess) Langsam ablaufende Zustandsänderung, bei der jeder einzelne
Schritt einer infinitesimalen Veränderung des Systems entspricht, das sich verändernde System befindet
sich damit zu jedem Zeitpunkt im Gleichgewicht. Reversible Prozesse sind umkehrbar.
Definition 10.13 (Irreversibler Prozess) Zustandsänderung, bei der sich ein thermodynamisches
System stark aus seiner Gleichgewichtslage entfernt. Währen des Vorgangs sind die (statistischen)
Zustandsgrößen (e.g p, T ) nicht definiert. Irreversible Prozesse sind nicht umkehrbar.
Merke:
• Reversibler Prozess - Nach Umkehrung keine (beobachtbare) Veränderung am System und an
der Umgebung
• Irreversibler Prozess - Nach Umkehrung ist das System verändert, ebenso wie auch die Umgebung
10.9.1 Kreisprozesse:
Anfangszustand = Endzustand! =⇒
I
∆U = 0 =⇒ ∆Q = −∆W, ∆W = −
pdV
10 Wärmelehre
70
• Rechtsläufig: Wärme → Arbeit, System leistet Arbeit
• Linksläufig: Arbeit → Wärme, Arbeit wir am System geleistet
Interessant:
• zugeführte / abgeführte mechanische Arbeit ∆W > 0/∆W < 0
• zugeführte / abgeführte Wärme ∆Q > 0/∆Q < 0
Prinzip Wärmekraftmaschine
Definition 10.14 (Wirkungsgrad)
η=
|∆W |
geleistete Arbeit
QW − |Qk |
|QK |
=
=
=1−
Qw
zugeführte Wärme
QW
QW
Definition 10.15 (Leistungszahl)
|QW |
1
= >1
∆W
η
1
QK
= −L
=
∆W
η
εWärme =
(auch Wirkungsgrad einer Wärmepumpe)
εKälte
(Auch Wirkungsgrad einer Kältemaschine)
Es gilt: η ≤ 1!
Frage: η = 1 möglich?
Optimale Maschine:
• keine Wärmeverluste durch Reibung etc
• langsam ablaufende Prozess, System immer im Gleichgewicht
das heißt: Betrachtung reversibler Prozesse! Bemerkung: Optimale Maschine in der Realität offenbar
nicht realisierbar, Idealisierung!
10.9.2 Carnot-Prozess
Idealisierte Maschine zur Untersuchung der Grundlagen thermodynamischer Prozesse, Realisierung
(auch näherungsweise) schwierig
1. Isotherme Expansion (a → b), ∆U = 0 Wärmezufuhr Q1
2. Adiabatische Expansion (b → c), ∆Q = 0, T1 → T2
3. Isotherme Kompression (c → d), ∆U = 0 Wärmezufuhr Q2
4. Adiabatische Kompression (d → a), ∆Q = 0, T2 → T1
10 Wärmelehre
71
Wirkungsgrad:
ηc = 1 −
|Q2 |
Q1
Bemerkung: Schritte 2 und 4 speichern Arbeit zwischen.
Schritt 1: Isotherme:
Q1 = ∆Qab = nRT1 ln
Vb
>0
Va
da Vb > Va
Vd
<0
Cc
da Vc > VD
∆Wab = −∆Qab
Schritt 3: Isotherme:
Q2 = ∆Qcd = nRT2 ln
∆Wcd = −∆Qcd
Außerdem: Schritt 2: Adiabate:
T1 Vbγ−1 = T2 Vcγ−1 →
Vb
T2 1
= ( ) γ−1
Vc
T1
T2 Vdγ−1 = T1 Vaγ−1 →
Va
T2 1
= ( ) γ−1
Vd
T1
Schritt 4: Adiabate:
Adiabate insgesamt:
Vb
Vc
=
Va
Vd
Also: Wirkungsgrad einer Carnot-Maschine:
ηc = 1 −
T2
T1 − T2
=
<1
T1
T1
Wichtig: T1 , T2 sind absolute Temperaturen in Kelvin! Maximaler Wirkungsgrad ηc = 1 kann nur
für T2 = 0 K erreicht werden, hieraus ergibt sich eine alternative thermodynamische Definition
der absoluten Temperaturskala.
10.9.3 Ottomotor
1. Adiabate: ∆Q = 0, ∆Wab = ∆Uab
2. Isochore: ∆W, Q1 = ηcV (Tc − Tb ) < 0
3. Adiabate: ∆Q = 0, ∆Wcd = ∆Ucd
4. ∆W = 0, Q2 = ncv (Ta , Td ) > 0
10 Wärmelehre
72
|∆W |
, ∆W = ∆Uab + ∆Ucd = ncv (Tb − Ta ) + ncv (Td − Tc ) < 0
Q2
T
Ta + Tc − Tb − Td
Tb − Tc
Tb 1 − Tcb
=
=1−
=1−
Ta − Td
Ta − Td
Ta 1 − TTd
a
η0 =
Aus Adiabatengleichung erhält man
1−
Tb
Ta
=
Td
Ta :
Tb
< ηc
Ta
10.9.4 Stirling-Motor
1. Isotherme
2. Isophore
3. Isotherme
4. Isophore
Ohne Regenerator:
ηs =
R ln VVab (T1 − T2 )
RT2 ln VVab + cv (T1 − T2 )
Mit Regenerator:
ηs = 1 −
T2
= ηc
T1
10.9.5 Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik
Satz 10.16 (2. Hauptsatz der Thermodynamik) Es gibt keine periodisch arbeitende Maschine, die
einen höheren Wirkungsgrad hat als der Carnot-Prozess. Diese Aussage ist äquivalent zum ClaudiusPrinzip!
Annahme: Es gibt Wundermaschine mit η > 0
=⇒ Wärmereservoir: ∆Qx , T1 > T2 → Wundermaschine ∆W → Kältereservoir: ∆Qy , T2 < T1
∆W = η∆Qx
∆W = ∆Qx − ∆Qy
Wenn man eine Carnot-Maschine mit ∆W betreibt, also =⇒ Wärmereservoir: ∆Q1 , T1 > T2 ←
, ∆W Carnot-Prozess ← Kältereservoir: ∆Q2 , T2 < T1
=⇒ ∆Qx < ∆Q1
=⇒ ∆W = ηc ∆Q1
∆W = ∆Q1 − ∆Q2
=⇒ ∆Qy < ∆Q2
=⇒ Wärme von Kalt nach Warm ohne Arbeit `
10 Wärmelehre
73
10.10 Entropie
Zentraler Begriff der Thermodynamik!
• Kriterium für Reversibel und Irreversibel
• Erlaubt mathematische Formulierung des 2. Hauptsatzes
• Ordnungs- beziehungsweise Wahrscheinlichkeitsmaß
Betrachte Carnot-Prozess:
η =1−
T2
|∆Q2 |
=1−
T1
∆Q1
∆Q2
∆Q1
=
T2
T1
∆Q1 ∆Q2
+
=0
T1
T2
−
∆Q
T
= reduzierte Wärmemenge.
Definition 10.17 (reversible Kreisprozesse)
∑ ∆Qij,rev
=0
Ti
beziehungsweise
I
Allgemeiner Kreisprozess:
I
dQrev
=0
T
dQrev
=0
T
Definition 10.18 (irreversibler Kreisprozess)
∑ ∆Qi,rev
Ti
beziehungsweise
<0
I
I
dQrev
T
dQrev
<0
T
I
∫
dQrev
dQextern
=
+
<0
T
T
Weg A, B, Anfang: 1, Ende 2: Wegunabhängigkeit =⇒ :
∫
2
1,A
dQ
=
T
∫
2
1,B
dQ
T
10 Wärmelehre
74
Definition 10.19 (Entropie und Entropieänderung)
∫ 2
dQrev
dQrev
dS =
, ∆S =
T
T
1
∫ 2
dQrev
S(2) = S(1) +
T
1
S: Entropie, ∆S, ds: Entropieänderungen, [S] = J K−1 per Definition:
I
dQrev
=0
∆S =
T
=⇒ Bei einem reversiblen Kreisprozess bleibt die Entropie konstant
Beispiel 10.20 Arbeit → Wärme
∆S =
∆W
∆Q
=
>0
T
T
Beispiel 10.21 (Wärmeleitung) Zwei gleich große Wasserbehälter: T1 , T2 , T1 > T2 werden vermischt
=⇒ T3 , T2 < T3 < T1
∆Q1 = cm (T3 − T1 ) < 0
∆Q2 = cm (T3 − T2 ) > 0
T1 + T2
∆Q1 = −∆Q2 =⇒ T2 =
2
∫ T3
∫ T3
dQ
dT
T3
∆S1 =
= cm
= cm ln
T
T1
T1
T1 T
∫ T3
∫ T3
dQ
dT
T3
∆S2 =
= cm
= cm ln
T
T2
T2
T2 T
mit ∆s1 < 0 und ∆s1 > 0, da T3 < T1 und T2 < T3
∆S = ∆S1 + ∆S2 = cm ln
T32
(T1 + T2 )2
= cM ln
>0
T1 T2
4T1 T2
(wegen (T1 + T2 )2 > 4T1 T2 )
das heißt: Beim Temperaturausgleich zweier Systeme nimmt die Entropie des Gesamtsystems zu.
Satz 10.22 (Zweiter Hauptsatz der Wärmelehre) Allgemein gilt:
In allen abgeschlossenen Systemen nimmt die Entropie im Laufe der Zeit zu . . .. Kurz: ∆s ≥ 0
(Merke: Entropie des Universums nimmt immer zu. =⇒ Zeitrichtung, dagegen: E = const)
Das heißt: Ein natürlich, das heißt von selbst ablaufender Prozess zwischen zwei Gleichgewichtszuständen
wird nur in die Richtung ablaufen, in der die Entropie des (abgeschlossenen) Gesamtsystems zunimmt.
Aussagen ebenfalls äquivalent zum Claudius-Prinzip, da ∆s < 0 ⇐⇒ Existenz einer perfekten
Kältemaschine (das heißt ∆W = 0)
Frage: Was treibt die Zunahme der Entropie an?
Antwort ergibt such über statistische Interpretation der Entropie:
10 Wärmelehre
75
• Streben nach Unordnung
• Streben in Richtung maximaler Wahrscheinlichkeit
Hierzu: Betrachte freie, Isotherme Expansion eines idealen Gases . . .
• Zeitpunkt t = 0: Gas in Volumen V1
• Zeitpunkt t > 0: Gas in Volumen V1 + V2
Irreversibler Prozess!
Wahrscheinlichkeit nach Ventilöffnung alle Gasteilchen im Volumen V_1 zu finden ist quasi Null.
Sei p(V ) = Wahrscheinlichkeit ein Gasteilchen im Volumen V anzutreffen.
• V = V1 + V2
• t = 0 : p(V1 ) = 1, p(V2 ) = 0
• t > 0 : p(V1 ) =
V1
V , p(V2 )
=
V2
V
Jetzt: W (V ) = Wahrscheinlichkeit alle Gasteilchen im Volumen V anzutreffen =⇒
W (V1 ) = (p(V1 ))N
wobei N = Anzahl Gasteilchen, N = n kRB sehr groß, N ∼ O(102 4)
• Vorher (t = 0) : W (V1 ) = 1
• Nachher (t > 0) : W (V1 ) = ( VV1 )N ≈ 0, da
V1
V
< 1 und N extrem groß.
Logarithmieren:
• Vorher =⇒ ln Wvor = 0
• Nachher =⇒ ln Wnach = ln( VV1 )N = N ln( VVV1 )
Es folgt:
ln Wnach =
1
V1
V1 + V2
nR ln(
) =⇒ kB ln Wnach = −nR ln(
)
kB
V1 + V2
V1
Jetzt: Entropieänderung für A?
∫
Problem: Entropieänderung ∆S kann für A nicht über dQ
T bestimmt werden, da der Prozess nicht
reversibel ist und während der Zustandsänderung kein thermodynamisches Gleichgewicht herrscht.
Aber: Anfangs- und Endzustand von A und B sind gleich, das heißt Entropieänderung für beide
ebenfalls gleich!
Bemerkung 10.23 Bezieht sich nur auf betrachtete Systeme, nicht auf System + Umgebung! Denn,
im Fall A nimmt Gesamtentropie zu (Umgebung bleibt unverändert), während im Fall B die Gesamtentropie
aufgrund der Wärmeentnahme aus Umgebung konstant bleibt
10 Wärmelehre
76
Also: Bestimme Entropieänderung über reversiblen Prozess B
∫
V
∆S =
V1
dQrev
1
=
T
T
∫
V
dQrev
V1
1
=
T
∫
∫
V
V
pdV = nR
V1
V1
dV
V
V1 + V2
= vR ln
= nR ln(
)
V
V1
V1
Vergleicht mit 10.10 ergibt:
∆S = −kB ln Wnach > 0
da Wnach < 1, beziehungsweise
∆S = kB ln
1
Wvor
1
1
, Wvor = 1 =⇒ ∆S = kB ln
= kB ln
− kB ln
Wnach
Wnach
Wnach
Wvor
Im Allgemeinen ist die Wahrscheinlichkeit w eines Zustands umgekehrt proportional zur Zahl der
Realisierungsmöglichkeiten Ω, die für einen bestehenden thermodynamischen Zustand verfügbar
sind, das heißt
1
∼Ω
W
Damit
1
+ const
S = kB ln Ω = kB ln
W
Die Entropie ist proportional zum Logarithmus der Zahl der Realisierungsmöglichkeiten eines thermodynamischen
Zustands. =⇒
Wvor
Ωnach
= kB ln
∆S = kB ln
Ωvor
Wnach
Es folgt:
∆S > 0
, da Wnach < Wvor (siehe obiges Beispiel)
10.11 Thermodynamische Temperaturskala
(und 3. Hauptsatz der Wärmelehre)
10.11.1 Temperaturskala (via Carnot-Wirkungsgrad)
Es gilt:
1−η =
|∆Q2 |
T2
=
∆Q1
T1
mit T2 < T1 . Wähle Fixpunkt T1 = 273.16 K (Tripelpunkt des Wassers) =⇒
T2 = 273.16 K(1 − η), η = 1 =⇒ T2 = 0 K
Definition 10.24 (Thermodynamische Temperaturskala) Ein Kelvin ist der 273.16 ste Teil der
thermodynamischen Temperatur des Tripelpunkt des Wassers
10 Wärmelehre
77
10.11.2 Dritter Hauptsatz
Betrachte Kältemaschine:
εklte =
1
∆QK
TK
−1=
=
η
∆W
TW − TK
mit TW > TK . Arbeitsaufwand um TK = 0 zu erreichen:
∆W = ∆QK
TN − TK TK →0
−−−−→ ∞
TK
=⇒
Satz 10.25 (Dritter Hauptsatz der Wärmelehre) Es ist prinzipiell unmöglich den absoluten Temperaturnullpunkt
T = 0 K zu erreichen.
Formulierung durch W.Nernst: Für reine Stoffe gilt:
S(T = 0 K) = 0
10.12 Zusammenfassung thermodynamische Gesetze
• Erster Hauptsatz: ∆U = ∆Q + ∆W (Energieerhaltung). Es gibt kein Perpetuum Mobile
erster Art.
• Zweiter Hauptsatz: Es gibt keine perfekte Kühlmaschine. Maximaler Wirkungsgrad ηc = 1−
T2
T1 . Es gibt kein Perpetuum Mobile zweiter Art. Die Entropie des Universums nimmt immer
zu.
• Dritter Hauptsatz: Der absolute Temperaturnullpunkt ist unerreichbar
10.13 Thermodynamik realer Gase und Flüssigkeiten.
Bisher: ideales Gas, das heißt
• kein Eigenvolumen der Gasteilchen
• keine Wechselwirkung zwischen Gasteilchen
• pV = nRT
Ein ideales Gas bleibt immer gasförmig!
Aber: In der Realität Beobachtung von Phasenübergängen
10.13.1 Ausdehnung
Kovolumen:
4
VK = π(2r)3 = 8Va
3
mit Va = Volumen der Gasteilchen. =⇒ Gesamtes Kovolumen:
1
VN = N (8Va ) = 4N Va = 4(nNa )Va = nb
2
mit:
11 Transportprozesse
78
• b = 4NA Va
• Va = 43 πr3
Das Kovolumen muss vom verfügbaren Volumen für Gasteilchen abgezogen werden. Verlust an
freiem Volumen erhöht Zahl der Wandanstöße =⇒ Druckerhöhung
10.13.2 Wechselwirkung
Beschreibung der Wechselwirkung zwischen Gasteilchen durch Leenard-Jones-Potential =⇒
Langreichweitige Anziehungskraft.
U ∼ ρn ∼
n
n
V
dU
an2
= 2 = −Pinnen
dV
V
Satz 10.26 (Van-der-Waals Gleichung)
(p +
an2
)(V − nb) = nRT
V2
=⇒
p(V ) =
nRT
an2
− 2
V − nb
V
11 Transportprozesse
Nichtgleichgewichtszustände =⇒ Transport
• Wärme (Wärmeleitung, Konvektion)
• Materie (Diffusion, Strömungen)
• Ladung (Strom)
Fluss einer physikalischen Größe in Richtung Gleichgewicht
Energiefluss:
JE =
a
dE
dE
a jE =
dt
Adt
Massenfluss:
Jm =
dm
dt
jM =
dm
Adt
11 Transportprozesse
79
Ladungsfluss:
Ja =
dQ
dt
ja =
dQ
Adt
Allgemein gilt die Kontinuitätsgleichung (1-dim.):
dρ dj
+
=0
dt
dz
• ρ: Dichte
• j: Stromdichte
„Beweis:“
dj
d dm
d dm
=
=
= ρ̇
dz
dz Adt
dt dV
3-dim:
∂ρ
˙
+ div ⃗j = 0
∂t
∂
∂
∂
div ⃗j =
jx +
jy +
jz
∂x
∂y
∂z
Außerdem
⃗j = ρ⃗v
„Beweis:“
j=
dm dz
dm
=
Adt |Adz
dt
{z } |{z}
ρ
v
11.1 Wärmetransport
Beobachtung:
∆T
= const
∆x
Ansatz:
J E = −λA
a
∆T
∆x
Satz 11.1 (Fouriersches Gesetz der Wärmeleitung) 1-dim.
jQ = −λ
dT
dx
3-dim.
⃗j Q = −λ grad T
• ⃗j Q : Wärmestromdichte
11 Transportprozesse
80
• λ: Wärmeleitzahl
Bemerkung 11.2 (Analogie zum Ohmschen Gesetz)
dQ
∆T
= λA
= ∆T R
dt
∆x
∆x
R=
=⇒ ∆T = RJQ
λA
JQ =
Elektrizitätslehre:
∧
∧
JQ = I, ∆T = U, R =
d
, U = RI
σA
Besseres Verständnis über Diffusion . . ..
11.2 Diffusion
Materietransport aufgrund eines Konzentrationsgefälles. Hier: Eindimensionale, vereinfachte Betrachtung.
Box mit zwei Molekülsorten A und B.
Start t = 0: Alle Moleküle der Sorte B in V1 .
t ≫ 0: Gleichgewicht.
Betrachte Umgebung um Ebene E:
„Nettofluß“ = Fluss nach rechts - Fluss nach links = j1 − j2
1
j1 = n1 v
6
1
j2 = n2 v
6
1
j = (n1 − n2 )v
6
Aber: Allgemein gilt n = n(x).
Frage: Was muss man für
einsetzen?
Antwort:
1
n1,2 = n(xE ± ∆x)
2
1
∆x = λ
2
wobei λ die mittlere freie Weglänge der Molekülsorte B ist, das heißt man wählt die Teilchendichten
11 Transportprozesse
81
dort, wo die Moleküle nach dem letzten Stoß starten.
1
1
1
j = (n(xE − ∆x) + n(xE + ∆x))v
6
2
2
1 dn
=−
∆x
6 dx
λv dn
λ2 dn
dn
=−
= −D
=−
3 dx
3τ dx
dx
λv
λ2
D=
=
3
2τ
• λ: mittlere freie Weglänge
• τ : mittlere Zeit zwischen zwei Stößen
• v = λτ : mittlere Geschwindigkeit
Also:
Satz 11.3 (1. Ficksches Gesetz)
dn
dx
jD = −D grad n
jD = −D
(1-dim)
(3-dim)
Vergleich:
Diffusion
Wärmeleitung
laminare Strömung
Konzentrationsgradient
Temperaturgradient
Druckgradient
Laminare Strömung:
4
• Volumenstrom: V̇ = − π∆p
8ηL R
• Stromdichte: j =
V̇
A
=
dp
• =⇒ j = −ξ dx
,ξ =
L̇
πR2
2
= −R
8η
∆p
∆x , L
= ∆x
R2
8η
11.3 Wärmestrahlung
Wärmetransport im Allgemeinen sehr komplex. Zusätzlich zur Wärmeleitung: Konvektion und Wärmestrahlung.
Erfahrung:
Auch ohne direkten Kontakt findet Warenaustausch von Körpern über thermische Strahlung statt,
elektromagnetische Strahlung siehe später.
Interessant:
Emissions- und Absorptionsvermögen von Körpern.
Charakterisierungsgrößen:
11 Transportprozesse
82
Emission
−1 = W
ϕ = dQ
dt Strahlungsleistung, [ϕ] = J s
Φ
E = F Emissionsvermögen, Intensität, [E] = W m−2
Fλ =
dE
dλ
spektrales Emissionsvermögen
Es gilt:
∫
∞
E=
Absorption
I = Fϕ Bestrahlungsstärke, Intensität
Strahlungsleistung
A = absorbierte
auffallende Strahlungsleistung Absorptionsvermögen, [A] = L
Aλ =
absorbierte Strahlungsleistung im Bereich[λ,λ+dλ]
einfallende Strahlungsleistung im Bereich[λ,λ+dλ]
Eλ dλ, A, Aλ ≤ 1 ∧ R = 1 − A : Reflexionsvermögen
0
Beispiel 11.4 ( Jahresmittelwert der Sonneneinstrahlung der Erde) Solarkonstante: (merken!)
Isolar = 1.37 kW m−2 ≈ 1 kW m−2
Emissions und Absorptionsvermögen hängen sicherlich von der Art und Beschaffenheit des abstrahlenden/absorbierenden
Körpers ab.
Experiment: Leslie Würfel.
Messung:
• A : Ts > Tb
• B : Ts = Tb
Sei
Ts = T0 + ∆Ts
Tb = T0 + ∆tb
• A : ∆Ts > ∆Tb
• B : ∆ts = ∆Tb
Außerdem:
∆T ∼ ∆U ∼ ∆Q ∼ EA
Damit ergibt sich aus B:
Es Ab = Eb As =⇒
Eb
Es
=
Ab
As
Das Verhältnis von Emissions- und Absorptionsvermögen eines Körpers ist unabhängig von der
Beschaffenheit seiner Oberfläche. Übliche Referenz: Nicht-reflektierender Körper, auch „schwarzerKörper“ oder „schwarzer“ Strahler. das heißt
Asλ = 1
für alle Wellenlängen gleich!
Wichtig: Auch für Aλ = 1 sendet ein Körper Wärmestrahlung aus, seinen eigene!, das heißt ein
schwarzer Körper kann „weiß“ sein.
11 Transportprozesse
83
Technische Realisierung eines schwarzen Strahlers: Hohlraumstrahler. (Da kein Material mit Aλ =
1 existiert)
Hohlraum mit stark absorbierenden Wänden. Reflexionsvermögen der Öffnung verschwindet quasi!
=⇒
Satz 11.5 (Kirchhoffsches Strahlungsgesetz) Für alle Körper im thermischen Gleichgewicht gilt:
Eλ (T )
= Eλs (T ), ASλ (T ) = 1
Aλ (T )
das heißt das Verhältnis von spektralem Emissions- und Absorptionsvermögen ist unabhängig von
der Oberflächenbeschaffenheit eines Strahlers und gleich dem Emissionsvermögen eines schwarzen
Strahlers. (bei gegebener Temperatur) Es folgt: Ein schwarzer Strahler hat maximales Emissionsvermögen.
=⇒ Emissionsvermögen eines schwarzen Strahlers ist universell!
Experiment: Schwarzer Strahler.
Beobachtung:
1. Bei höheren Temperaturen wir mehr Energie abgestrahlt
2. Warme Körper strahlen „unsichtbar“ (IR-Strahlung), wärmere „rot“, heiße „weiß-blau“
=⇒ Mit steigender Temperatur strahlen Körper elektromagnetische Strahlung mit höheren Frequenzen
ab =⇒
q
E r (T ) = σ
E(T ) = εσT 4
(Stefan-Boltz-mannsches Strahlungsgesetz)
Planksches Strahlungsgesetz:
Eλr (T ) =
2πhc2
1
hc
5
λ e λkT − 1
EVSK (T ) =
2πhv 3
1
hc
2
c
e λkT − 1
q
• σ = 5.7 × 10−8 W m−2 K−4 : Stefan-Boltzmann-Konstante
• λ: Wellenlänge
• v: Frequenz
• h: Plancksches Wirkungsquantum