Kapitel 4: Anwendungen in der Mechanik

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4
Grundprobleme der Mechanik: Anwendungen aus der Newtonschen Mechanik
Die Newtonsche Mechanik beruht auf den so genannten Newton Axiomen (siehe z.B. Physik I-Vorlesung). Alle bisher vorgestellten mathematischen Methoden werden zu deren
Formulierung und Anwendung benötigt. Im Folgenden sind einige Anwendungen aufgeführt und zwei davon vertieft.
4.1
Gradientenfelder und Energieerhaltung
~ (~r).
Es sei ein Kraftfeld F~ (~r) als Gradient eines skalaren Feldes V (~r) gegeben: F~ (~r) = −∇V
Die Funktion V (~r) heißt Potential und kann als potentielle Energie interpretiert werden.
Betrachtet man die Summe aus letzterer und der kinetischen Energie mv 2 /2 = m~v 2 /2 =
m~r˙ 2 /2, so findet man (für den Fall zeitunabhängiger Masse m):
1
E = Ekin + Epot = m~r˙ 2 + V (~r)
2
Kettenregel
~
~
F = −∇V
dE
dV
d~
r
~ (~r) ·
⇒
= Ė = m~r˙ · ~r¨ +
= m~r˙ · ~r¨ + ∇V
= m~r˙ · ~r¨ − F~ · ~r˙
dt
dt
dt
m = const.
2. Newton-Axiom:
F~ = m~r¨
= (m~r¨ − F~ ) · ~r˙ = 0
Es folgt also, dass die Gesamtenergie (in Inertialsystemen) erhalten ist:
1
E = m~r˙ 2 + V (~r) = const.
2
Bemerkung: Mit Hilfe der Energierhaltung gelingt in einigen Fällen die Lösung
mechanischer Problemstellungen, ohne dass eine Differentialgleichung
(=
ˆ Newtonsche Bewegungsgleichung) gelöst werden muss.
4.1.1
Der schräge Wurf
−→ siehe Kapitel zu Differentialgleichungen
4.1.2
Das Federpendel
−→ siehe Kapitel zu Differentialgleichungen
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4.1.3
Das mathematische Pendel
−→ siehe Abschnitt 1.4(E) =
ˆ Fadenpendel
Hier:
✿✿✿✿✿
4.1.4
Neues Konzept: Phasenraum, siehe Kapitelende
Bewegungsgleichung in Polarkoordinaten
−→ siehe Abschnitt 1.4(E)
4.2
Impulssatz und Drehimpulssatz
Beide kennen Sie wahrscheinlich bereits aus der Physik I-Vorlesung:
m 6= m(t)
Impulssatz :
Drehimpulssatz :
|
F~ = m~r¨ = m~v˙ = p~˙ also:
~ = ~r × p~
L
| {z }
d~p
= F~
dt
Drehimpuls
⇒
~˙ =
L
~r˙ × p~
| {z }
=0, da p
~=m~
r˙
~
+ ~r × p~˙ = ~|r × F~{z= M
}
Drehmoment
also:
~
dL
~
=M
dt
Diese Thematik wird ebenso in den Vorlesungen zur Theoretischen Mechanik behandelt
wie...
4.3
Das Zweiteilchensystem
−→ siehe Mechanik-Vorlesungen
4.4
Zentralkraftfelder und Drehimpulserhaltung
−→ siehe Mechanik-Vorlesungen
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Exkurs:
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Der Phasenraum
... ist ein nützliches Konzept zur Beschreibung der dynamischen Möglichkeiten eines physikalischen Systems:
Definition:
Der von den (ggf. verallgemeinerten) Orts- und Geschwindigkeitsvektoren aufgespannte Raum heißt Phasenraum. Eine Kurve (~r(t), ~r˙ (t))
in diesem Raum heißt Phasenbahn.
Beispiel:
Das
Fadenpendel
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Die Phasenbahnen ergeben sich aus der Betrachtung der Energieerhaltung:
~r = l~er ⇒ ~r˙ = l~e˙ r = lϕ̇~eϕ ⇒ ~r˙ 2 = l2 ϕ̇2
1
1
1
m~v 2 = m~r˙ 2 = ml2 ϕ̇2 ; l = const.
Ekin =
2
2
2
Epot = mgh = mg(l − l cos ϕ) = mgl(1 − cos ϕ)
1
⇒
E = Ekin + Epot = ml2 ϕ̇2 + mgl(1 − cos ϕ) = const.
2
r
2
⇒
ϕ̇ = ±
[E − mgl(1 − cos ϕ)]
ml2
Also:
✿✿✿✿✿
(ϕ, ϕ̇) = (0, 0), (±2π, 0), ... =
ˆ stabile Fixpunkte (Pendel hängt nach unten)
(ϕ, ϕ̇) = (±π, 0), (±3π, 0), ... =
ˆ instabile Fixpunkte (Pendel hängt nach oben)
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