Formelsammlung: Physik I für Naturwissenschaftler

Formelsammlung:
Physik I für Naturwissenschaftler
Stand: 12. Februar 2015
1 Messen und Einheiten
• Physikalische Größe
X = Zahl · [X]
-
Einheit
• SI-Basiseinheiten (Mechanik)
Zeit
Länge
Masse
[t] = 1 s
[x] = 1 m
[m] = 1 kg
2 Mechanik
2.1 Kinematik in 1D
bekannt
gesucht
Bahn x(t)
Operation
Geschwindigkeit
Beschleunigung
Bahn
Geschwindigkeit v(t)
v(t) = ẋ(t) =
differenzieren
d2 x
a(t) = ẍ(t) = 2
dt
integrieren
x(t) =
Zt
v(t0 ) dt0 + x0
0
Beschleunigung
Beschleunigung a(t)
dx
dt
differenzieren
differenzieren
Geschwindigkeit
integrieren
a(t) = v̇(t)
v(t) =
Zt
a(t0 ) dt0 + v0
0
Bahn
integrieren
x(t) =
Zt
v(t0 ) dt0 + x0
0
x0 : Anfangsort
v0 : Anfangsgeschwindigkeit
→ vollständige Information über 1D-Bahn: a(t), x0 , v0 !
Beispiel: Bahn bei a = const.
x(t) = 21 a t2 + v0 t + x0
1
2.2 Kinematik in 2D
x (t)
y (t)
• Ortsvektoren (angeheftet an Koordinatenursprung!)
~x (t) =
• Momentangeschwindigkeit (Tangente an Bahn)
~v (t) = ~x˙ (t) =
Bahngeschwindigkeit
v(t) = |~v | =
!
ẍ (t)
ÿ (t)
!
Allgemeiner Wurf unter Abwurfwinkel ϕ mit Erdbeschleunigung
g = 9,81 sm2
Anfangsgeschwindigkeit
Anfangsort
Damit folgt für die Bahn
z.B. Wurfweite
• Beispiel 2:
ẋ (t)
ẏ (t)
√ 2
ẋ + ẏ 2
~a (t) = ~x¨ (t) = ~v˙ (t) =
• Beschleunigung
• Beispiel 1:
!
xA =
~v0 =
v0 cos(ϕ)
v0 sin(ϕ)
~x0 =
0
0
~x (t) =
!
!
v0 cos ϕ · t
v0 sin ϕ · t − 12 gt2
v02
· sin(2ϕ)
g
Gleichförmige Kreisbewegung mit Umlaufzeit T und Radius R
cos(ω t)
sin(ω t)
!
Bahn
~x (t) = R ·
Winkelgeschwindigkeit
ω=
Bahngeschwindigkeit
v = |~v | = ω · R = const.
2π
= const. (gleichförmig!)
T
Zentripetalbeschleunigung a = |~a| = ω 2 · R =
2
v2
R
(Betrag)
!
2.3 Dynamik
m ~x¨ (t) =
• 2. Newtonsches Axiom:
X
F~i
i
– Lineare Superposition aller am Massenpunkt m angreifenden Kräfte F~i ,
[F ] = 1 N = 1 kgs2m
– Mit Anfangsort ~x(0) und Anfangsgeschwindigkeit ~x˙ (0) folgt damit die gesamte
Bahn ~x(t) („Programm der Mechanik“)
• Reibungskräfte (Beträge)
– proportional zur Normalkraft Fn
– Maximale Haftreibungskraft
FRH = µH · Fn
– Gleitreibungskraft
FRG = µG · Fn
µG < µH
• Gravitationskraft (Betrag) zwischen Massen m1 und m2 im Abstand r
m1 m2
FG = G ·
r2
wirkt anziehend entlang Verbindung der Massenpunkte mit Gravitationskonstante
G = 6,67 · 10−11
• Federkraft (Hooke’sches Gesetz)
Nm2
kg2
F (x) = kx
x:
k:
Dehnung/Stauchung der Feder
Federkonstante
2.4 Arbeit und Energie
• Arbeit einer Kraft F~ (~x) auf dem Weg von ~x1 nach ~x2
W =
Variante in 1D
W =
Z~x2
~
x1
Zx2
F~ (~x) d~x ,
[W ] = 1 kgsm
= 1 J(Joule)
2
F (x) dx
(Fläche unter Kurve F (x))
2
x1
• Satz von der kinetischen Energie:
Energiebilanz für einen Massenpunkt m
mit der kinetischen Energie Ekin
1
1
m~v12 + W = m~v22
2
2
1
= m~v 2
2
3
• Energieerhaltungssatz: Bei konservativen Kräften F~ wird
W = Epot (~x1 ) − Epot (~x2 )
Epot (~xi ): potentielle Energie am Punkt ~xi
Damit folgt der Energieerhaltungssatz
1
1
m~v12 + Epot (~x1 ) = m~v22 + Epot (~x2 ) = Eges = const.
2
2
• Beispiele zur potentiellen Energie:
– Schwerefeld
Epot (z) = mgz
z:
vertikale Koordinate
– Feder
Epot (x) = 12 kx2
x:
Dehnung/Stauchung der Feder
– Potentielle Energie im Gravitationsfeld der Masse M
mM
r
Achtung: Referenzpunkt ist hier r = ∞
Epot (r) = −G
r:
Abstand von Masse M
2.5 Impuls und Impulserhaltungssatz
• Impuls einer Masse m mit Geschwindigkeit ~v
p~ = m~v
• Wenn nur innere Kräfte (actio = reactio) zwischen den Massen mi wirken, gilt der Impulserhaltungssatz
X
X
−−−→
p~i =
mi~vi = const.
i
i
• Anwendung: Zentraler elastischer Stoß zwischen den Massen m1 und m2
vi :
vi0 :
v10 =
(m1 − m2 )v1 + 2m2 v2
m1 + m2
v20 =
(m2 − m1 )v2 + 2m1 v1
m1 + m2
Anfangsgeschwindigkeit von Masse mi mit Vorzeichen
Endgeschwindigkeit von Masse mi mit Vorzeichen
4
2.6 Starrer Körper – Drehbewegungen
• Translation des Schwerpunkts ~xS
~xS ≡
~xi :
P
mges = mi :
1 X
mi~xi
mges i
Positionen der Massenpunkte mi
Gesamtmasse
i
Dann lautet die Bewegungsgleichung der Translation
mges ~x¨S =
X
F~i
i
F~i :
äußere Kräfte
• Kinematische Grundgrößen der Rotation (um eine feste Drehachse)
– „Bahn“ der Rotation = Winkel um Drehachse ϕ(t)
– Winkelgeschwindigkeit
ω(t) = ϕ̇(t)
– Winkelbeschleunigung
α(t) = ϕ̈(t)
• Drehmoment (skalare Formulierung)
F
M = rF sin Θ
Θ
F : angreifende Kraft unter Winkel Θ im
Abstand r zur Drehachse („Ursache“
der Rotation)
r
+
Drehachse
• Bewegungsgleichung der Rotation
ID ϕ̈ =
X
Mi
i
ID =
P
i
Mi :
mi ri2 :
Trägheitsmoment der Massen mi im Abstand ri zur Drehachse D
angreifende Drehmomente
• Satz von Steiner zu Trägheitsmomenten
ID = IS + mges · d2
IS : Trägheitsmoment um Schwerpunktsachse S
ID : Trägheitsmoment um Achse D parallel zu S im Abstand d
• Drehimpuls um eine Achse D mit zugehörigem Trägheitsmoment ID
L ≡ ID ϕ̇ = ID ω
5
Damit wird die Bewegungsgleichung der Rotation
L̇ =
X
Mi
i
Wenn keine äußeren Drehmomente am starren Körper angreifen, gilt Drehimpulserhaltung
L = ID ω = const.
• Kinetische Energie der Rotation („Rotationsenergie“) um eine Achse
1
Erot = ID ω 2
2
Anwendung:
Rollen eines Rades (auch Zylinder oder Kugel) mit Radius R und der
Masse mges im Schwerefeld
1
1
Eges = mges vS2 + IS ω 2 + mges gh = const.
2
2
Schwerpunktsgeschwindigkeit
vS = ωR
(Rollbedingung)
• Gegenüberstellung von Translation und Rotation
Translation (1D)
Rotation
Masse
m
Trägheitsmoment
ID
Geschwindigkeit
v
Winkelgeschwindigkeit
ω
Kraft
F
Drehmoment
M
Impuls
p = mv
Drehimpuls
L = ID ω
Bewegungsgleichung
ṗ = F
Bewegungsgleichung
L̇ = M
Kinetische Energie
Ekin = 12 mv 2
Rotationsenergie
Erot = 12 ID ω 2
2.7 Schwingungen
• Freie, ungedämpfte Schwingungen: harmonischer Oszillator
– Wichtig: linear rückstellende Kraft (z.B. Feder)
F = −kx
6
– Bewegungsgleichung (2. Newton’sches Axiom) für Masse m
ẍ + ω02 x = 0
ergibt Schwingung (Bahn der Masse m)
x(t) = A · cos(ω0 t)
mit Amplitude A und Eigenfrequenz (Kreisfrequenz!)
s
ω0 ≡
k
m
– Periodendauer der Schwingung T ≡ 2π/ω0
– zugehörige Frequenz
f=
1
ω0
=
T
2π
• Mathematisches Pendel (Massenpunkt) der Länge l
ϕ̈ + ω02 ϕ = 0
– Eigenfrequenz ω0 =
q
g/l
• Physikalisches Pendel (starrer Körper, Masse m) mit Trägheitsmoment ID um Drehachse im Abstand d vom Schwerpunkt
ϕ̈ + ω02 ϕ = 0
– Eigenfrequenz ω0 =
s
mgd
=
ID
s
mgd
IS + md2
• Freie, gedämpfte Schwingung
– Wichtig: lineare, rückstellende Kraft F = −kx und Reibungskraft FR ∼ ẋ
– Bewegungsgleichung für Masse m
ẍ + 2κẋ + ω02 x = 0
– Exponentiell abklingende Schwingung
x(t) = A e−κt cos(ωt)
mit Dämpfungskonstante κ und Kreisfrequenz ω =
• Angetriebener Oszillator – Resonanz
– Äußere antreibende Kraft F ∼ cos(Ωt)
7
q
ω02 − κ2 < ω0
– Bewegungsgleichung für Masse m
ẍ + 2κẋ + ω02 x = const.·cos(Ωt)
wird gelöst von
x(t) = A(Ω) cos [Ωt − ψ(Ω)]
– Amplitude
A(Ω) ≡ r
const.
Ω2 − ω02
2
+ 4κ2 Ω2
mit Resonanzfrequenz (Maximum)
Ωres ≡
q
ω02 − 2κ2
– Phasenverschiebung (Oszillator „hinkt hinterher“)
2κΩ
ψ(Ω) ≡ arctan 2
ω0 − Ω2
Skalierte Amplitude A
6
κ / ω0 = 0.1
5
κ / ω0 = 0.2
κ / ω0 = 0.4
4
3
2
1
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Skalierte Kreisfrequenz
1.4
1.6
1.8
2
Ω
ω0
(a) Amplitude A(Ω) zeigt Resonanz
Phasenverschiebung ψ
π
3π/4
κ / ω0 = 0.1
κ / ω0 = 0.2
κ / ω = 0.4
0
π/2
π/4
0
0
0.5
1
Skalierte Kreisfrequenz
(b) Phasenverschiebung ψ(Ω)
8
1.5
Ω
ω0
2
2.8 Mechanik fluider Medien (inkompressibel)
• Grundgrößen
– Druck
p=
F⊥
A
ausgeübt von der senkrechten Komponente F⊥ einer Kraft F~ auf eine Fläche A mit
den Einheiten
N
[p] = 1 2 = 1 Pa(Pascal) = 10−5 bar
m
– Dichte
m
V
eines Körpers mit der Masse m und dem Volumen V mit der Einheit
ρ=
[ρ] = 1
• Hydrostatischer Druck
kg
m3
p = p0 + ρgz
in der Tiefe z bei äußerem Druck p0
• Kontinuitätsgleichung (Erhaltungsgesetz)
Av = const.
bei laminarer, stationärer Strömung mit Geschwindigkeit v durch Querschnittsfläche A
• Bernoulli-Gleichung
1
p + ρv 2 = const.
2
bei Geschwindigkeit v und statischem Druck p
• Oberflächenspannung
∆W
∆A
bei Vergrößerung ∆A einer Oberfläche und dazu notwendiger Arbeit ∆W .
Einfache Messmethode über eine Kraft F zum Heben der Fluidlamelle mit Länge l ergibt
σ≡
σ=
Anwendung: Kapillare Steighöhe
h=
F
2l
2σ
ρgr
in einem Rohr mit Radius r (totale Benetzung)
9
3 Thermodynamik (Wärmelehre)
3.1 Thermodynamische Systeme
• Teilchenzahl N ∼ 1023
• Stoffmenge
n=
N
,
NA
[n] = 1 mol
mit Avogadro-Konstante
NA = 6,022 · 1023
1
mol
• Makroskopische Zustandsgrößen:
– Druck p
– Volumen V
– Temperatur T (in Kelvin)
3.2 Temperatur
• Empirische Celsius-Temperatur θC in ◦ C und Temperatur T in Kelvin
!
θC
+ 273,15 K
◦C
T =
3.3 Thermische Zustandsgleichungen
• Ideales Gas
pV = nRT = N kB T
mit allg. Gaskonstante R = NA kB = 8,314 molJ K
und Boltzmann-Konstante kB = 1,38 · 10−23
J
K
• Kinetische Theorie des idealen Gases: Grundgleichung
∞
Z
N 1
3kB T
p=
m hv 2 i
mit
hv 2 i = dv v 2 fM (v) =
V 3
m
0
und der Maxwell-Verteilung
fM (v) = 4πv
2
m
2πkB T
m : Masse eines idealen Gasteilchens
N : Anzahl der Gasteilchen
10
3/2
mv 2
exp −
2kB T
!
3.4 Klassischer Gleichverteilungssatz – kalorische Zustandsgleichung
• Mittlere thermische Energie eines Gasteilchens
hi = f
1
kB T
2
f : Anzahl Freiheitsgrade
kB : Boltzmann-Konstante mit kB = 1,38 · 10−23
J
K
Damit folgt die innere Energie eines idealen Gases, die sog. kalorische Zustandsgleichung
f
U = N hi = nR T
2
3.5 Erster Hauptsatz der Thermodynamik
• Differentielle Form
dU = δQ + δW
dU : differentielle Änderung der Zustandsgröße innere Energie
δQ : differentielle Änderung der Prozessgröße Wärme
δW : differentielle Änderung der Prozessgröße Arbeit
z.B. Volumenarbeit δW = −p dV
• Molare, spezifische Wärmen Cm idealer Gase mit f Freiheitsgraden
– isochorer Prozess: dV = 0
δQ|V = n · CmV · dT
mit
CmV =
f
R
2
mit
Cmp =
f
R+R
2
– isobarer Prozess: dp = 0
δQ|p = n · Cmp · dT
• Adiabatische Prozesse: δQ = 0
– Adiabatengleichung des idealen Gases
p V κ = const.
κ : Adiabatenexponent
mit
κ≡
Cmp
2
=1+
CmV
f
– Varianten der Adiabatengleichung (Poisson’sche Gleichungen)
T V κ−1 = const.
T κ p1−κ = const.
11
3.6 Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik
• 1. Hauptsatz für Kreisprozesse
I
dU = 0 ⇔ −
I
δW =
I
δQ = QW + QK = |QW | − |QK |
− δW : nach außen geleistete Arbeit
QW : aufgenommene („warme“) Wärmemengen
QK : abgegebene („kalte“) Wärmemengen
H
• 2. Hauptsatz nach Thomson (Lord Kelvin)
Bei zyklischen Prozessen muss immer eine endliche Wärmemenge abgegeben werden.
QK < 0 :
• Thermischer Wirkungsgrad einer Wärme-Kraft-Maschine
− δW
QW + QK
|QK |
ηth =
=
=1−
QW
QW
|QW |
H
2. Hauptsatz: ηth < 1.
• Wichtige Kreisprozesse (mit idealem Gas)
– Stirling (mit idealer Regeneration):
ηStirling = 1 −
– Carnot (zwischen zwei Wärmebädern):
ηCarnot = 1 −
• Zustandsgröße Entropie S
dS ≡
δQrev
T
δQrev :
reversibel ausgetauschte Wärmemengen
• Richtung von Prozessen
Irreversibler Kreisprozess
I
δQ
<0
T
(Clausius–Ungleichung)
Im abgeschlossenen System folgt für Prozess 1 → 2:
S(2) − S(1) > 0
12
TK
TW
TK
TW