Formelsammlung: Physik I für Naturwissenschaftler Stand: 24. Januar 2014 1 Was ist Physik? • Physikalische Größe X = Zahl · [X] - Einheit • SI-Basiseinheiten (Mechanik) Zeit Länge Masse [t] = 1 s [x] = 1 m [m] = 1 kg 2 Mechanik 2.1 Kinematik in 1D bekannt gesucht Bahn x(t) Operation Geschwindigkeit Beschleunigung Bahn Geschwindigkeit v(t) v(t) = ẋ(t) = differenzieren d2 x a(t) = ẍ(t) = 2 dt integrieren x(t) = Zt v(t0 ) dt0 + x0 0 Beschleunigung Beschleunigung a(t) dx dt differenzieren differenzieren Geschwindigkeit integrieren a(t) = v̇(t) v(t) = Zt a(t0 ) dt0 + v0 0 Bahn integrieren x(t) = Zt v(t0 ) dt0 + x0 0 x0 : Anfangsort v0 : Anfangsgeschwindigkeit → vollständige Information über 1D-Bahn: a(t), x0 , v0 ! Beispiel: Bahn bei a = const. x(t) = 21 a t2 + v0 t + x0 1 2.2 Kinematik in 2D x (t) y (t) • Ortsvektoren (angeheftet an Koordinatenursprung!) ~x (t) = • Momentangeschwindigkeit (Tangente an Bahn) ~v (t) = ~x˙ (t) = Bahngeschwindigkeit v(t) = |~v | = ! ẍ (t) ÿ (t) ! Allgemeiner Wurf unter Abwurfwinkel ϕ mit Erdbeschleunigung g = 9,81 sm2 Anfangsgeschwindigkeit Anfangsort Damit folgt für die Bahn z.B. Wurfweite • Beispiel 2: ẋ (t) ẏ (t) √ 2 ẋ + ẏ 2 ~a (t) = ~x¨ (t) = ~v˙ (t) = • Beschleunigung • Beispiel 1: ! xA = ~v0 = v0 cos(ϕ) v0 sin(ϕ) ~x0 = 0 0 ~x (t) = ! ! v0 cos ϕ · t v0 sin ϕ · t − 12 gt2 v02 · sin(2ϕ) g Gleichförmige Kreisbewegung mit Umlaufzeit T und Radius R cos(ω t) sin(ω t) ! Bahn ~x (t) = R · Winkelgeschwindigkeit ω= Bahngeschwindigkeit v = |~v | = ω · R = const. 2π = const. (gleichförmig!) T Zentripetalbeschleunigung a = |~a| = ω 2 · R = 2 v2 R (Betrag) ! 2.3 Dynamik m ~x¨ (t) = • 2. Newtonsches Axiom: X F~i i – Lineare Superposition aller am Massenpunkt m angreifenden Kräfte F~i , [F ] = 1 N = 1 kgs2m – Mit Anfangsort ~x(0) und Anfangsgeschwindigkeit ~x˙ (0) folgt damit die gesamte Bahn ~x(t) („Programm der Mechanik“) • Reibungskräfte (Beträge) – proportional zur Normalkraft Fn – Maximale Haftreibungskraft FRH = µRH · Fn – Gleitreibungskraft FRG = µRG · Fn µRG < µRH • Gravitationskraft (Betrag) zwischen Massen m1 und m2 im Abstand r FG = G · m1 m2 r2 wirkt anziehend entlang Verbindung der Massenpunkte mit Gravitationskonstante G = 6,67 · 10−11 • Federkraft (Hooke’sches Gesetz) Nm2 kg2 F (x) = kx x: k: Dehnung/Stauchung der Feder Federkonstante 2.4 Arbeit und Energie • Arbeit einer Kraft F~ (~x) auf dem Weg von ~x1 nach ~x2 W = Variante in 1D W = Z~x2 ~ x1 Zx2 F~ (~x) d~x , [W ] = 1 kgsm = 1 J(Joule) 2 F (x) dx (Fläche unter Kurve F (x)) 2 x1 • Satz von der kinetischen Energie: Arbeit ↔ Bewegungsenergie für einen Massenpunkt m 1 1 m~v12 + W = m~v22 2 2 3 • Energieerhaltungssatz: Bei konservativen Kräften F~ wird W = Epot,1 − Epot,2 Epot,i : potentielle Energie des Punktes ~xi Damit folgt der Energieerhaltungssatz 1 1 m~v12 + Epot,1 = m~v22 + Epot,2 = Eges = const. 2 2 • Beispiele zur potentiellen Energie: – Schwerefeld Epot (z) = mgz z: vertikale Koordinate – Feder Epot (x) = 12 kx2 x: Dehnung/Stauchung der Feder – Potentielle Energie im Gravitationsfeld der Masse M mM r Achtung: Referenzpunkt ist hier r = ∞ Epot (r) = −G r: Abstand von Masse M 2.5 Impuls und Impulserhaltungssatz • Impuls einer Masse m mit Geschwindigkeit ~v p~ = m~v • Wenn nur innere Kräfte (actio = reactio) zwischen den Massen mi wirken, gilt der Impulserhaltungssatz X X −−−→ p~i = mi~vi = const. i i • Anwendung: Zentraler elastischer Stoß zwischen den Massen m1 und m2 vi : vi0 : v10 = (m1 − m2 )v1 + 2m2 v2 m1 + m2 v20 = (m2 − m1 )v2 + 2m1 v1 m1 + m2 Anfangsgeschwindigkeit von Masse mi mit Vorzeichen Endgeschwindigkeit von Masse mi mit Vorzeichen 4 2.6 Starrer Körper – Drehbewegungen • Translation des Schwerpunkts ~xS ~xS ≡ ~xi : P mges = mi : 1 X mi~xi mges i Positionen der Massenpunkte mi Gesamtmasse i Dann lautet die Bewegungsgleichung der Translation mges ~x¨S = X F~i i F~i : äußere Kräfte • Kinematische Grundgrößen der Rotation (um eine feste Drehachse) – „Bahn“ der Rotation = Winkel um Drehachse ϕ(t) – Winkelgeschwindigkeit ω(t) = ϕ̇(t) – Winkelbeschleunigung α(t) = ϕ̈(t) • Drehmoment (skalare Formulierung) F M = rF sin Θ Θ F : angreifende Kraft unter Winkel Θ im Abstand r zur Drehachse („Ursache“ der Rotation) r + Drehachse • Bewegungsgleichung der Rotation I ϕ̈ = X Mi i I= P i Mi : mi ri2 : Trägheitsmoment der Massen mi im Abstand ri zur Drehachse angreifende Drehmomente • Satz von Steiner zu Trägheitsmomenten I = IS + mges · d2 IS : Trägheitsmoment um Schwerpunktsachse S I: Trägheitsmoment um Achse parallel zu S im Abstand d • Drehimpuls um eine Achse mit zugehörigem Trägheitsmoment I L ≡ I ϕ̇ = Iω 5 Damit wird die Bewegungsgleichung der Rotation L̇ = X Mi i Wenn keine äußeren Drehmomente am starren Körper angreifen, gilt Drehimpulserhaltung L = Iω = const. • Kinetische Energie der Rotation („Rotationsenergie“) um eine Achse 1 Erot = Iω 2 2 Anwendung: Rollen eines Rades (auch Zylinder oder Kugel) mit Radius R und der Masse mges im Schwerefeld 1 1 Eges = mges vS2 + IS ω 2 + mges gh = const. 2 2 Schwerpunktsgeschwindigkeit vS = ωR (Rollbedingung) • Gegenüberstellung von Translation und Rotation Translation (1D) Rotation Masse m Trägheitsmoment I Geschwindigkeit v Winkelgeschwindigkeit ω Kraft F Drehmoment M Impuls p = mv Drehimpuls L = Iω Bewegungsgleichung ṗ = F Bewegungsgleichung L̇ = M Kinetische Energie Ekin = 12 mv 2 Rotationsenergie Erot = 12 Iω 2 2.7 Schwingungen • Freie, ungedämpfte Schwingungen: harmonischer Oszillator – Wichtig: linear rückstellende Kraft (z.B. Feder) F = −kx 6 – Bewegungsgleichung (2. Newton’sches Axiom) für Masse m ẍ + ω02 x = 0 ergibt Schwingung (Bahn der Masse m) x(t) = A · cos(ω0 t) mit Amplitude A und Eigenfrequenz (Kreisfrequenz!) s ω0 ≡ k m – Periodendauer der Schwingung T ≡ 2π/ω0 – zugehörige Frequenz f= 1 ω0 = T 2π • Mathematisches Pendel (Massenpunkt) der Länge l ϕ̈ + ω02 ϕ = 0 – Eigenfrequenz ω0 = q g/l • Physikalisches Pendel (starrer Körper, Masse m) mit Trägheitsmoment ID um Drehachse im Abstand d vom Schwerpunkt ϕ̈ + ω02 ϕ = 0 – Eigenfrequenz ω0 = s mgd = ID s mgd IS + md2 • Freie, gedämpfte Schwingung – Wichtig: lineare, rückstellende Kraft F = −kx und Reibungskraft FR ∼ ẋ – Bewegungsgleichung für Masse m ẍ + 2κẋ + ω02 x = 0 – Exponentiell abklingende Schwingung x(t) = A e−κt cos(ωt) mit Dämpfungskonstante κ und Kreisfrequenz ω = • Angetriebener Oszillator – Resonanz – Äußere antreibende Kraft F ∼ cos(Ωt) 7 q ω02 − κ2 < ω0 – Bewegungsgleichung für Masse m ẍ + 2κẋ + ω02 x = const.·cos(Ωt) wird gelöst von x(t) = A(Ω) cos [Ωt − ψ(Ω)] – Amplitude A(Ω) ≡ r const. Ω2 − ω02 2 + 4κ2 Ω2 mit Resonanzfrequenz (Maximum) Ωres ≡ q ω02 − 2κ2 – Phasenverschiebung (Oszillator „hinkt hinterher“) 2κΩ ψ(Ω) ≡ arctan 2 ω0 − Ω2 Skalierte Amplitude A 6 κ / ω0 = 0.1 5 κ / ω0 = 0.2 κ / ω0 = 0.4 4 3 2 1 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 Skalierte Kreisfrequenz 1.4 1.6 1.8 2 Ω ω0 (a) Amplitude A(Ω) zeigt Resonanz Phasenverschiebung ψ π 3π/4 κ / ω0 = 0.1 κ / ω0 = 0.2 κ / ω = 0.4 0 π/2 π/4 0 0 0.5 1 Skalierte Kreisfrequenz (b) Phasenverschiebung ψ(Ω) 8 1.5 Ω ω0 2 2.8 Mechanik fluider Medien (inkompressibel) • Grundgrößen – Druck p= F⊥ A ausgeübt von der senkrechten Komponente F⊥ einer Kraft F~ auf eine Fläche A mit den Einheiten N [p] = 1 2 = 1 Pa(Pascal) = 10−5 bar m – Dichte m V eines Körpers mit der Masse m und dem Volumen V mit der Einheit ρ= [ρ] = 1 • Hydrostatischer Druck kg m3 p = p0 + ρgh in der Tiefe h bei äußerem Druck p0 • Kontinuitätsgleichung (Erhaltungsgesetz) Av = const. bei laminarer, stationärer Strömung mit Geschwindigkeit v durch Querschnittsfläche A • Bernoulli-Gleichung 1 p + ρv 2 + ρgy = const. 2 bei Geschwindigkeit v und statischem Druck p in der Höhe y • Oberflächenspannung ∆W ∆A bei Vergrößerung ∆A einer Oberfläche und dazu notwendiger Arbeit ∆W . Einfache Messmethode über eine Kraft F zum Heben der Fluidlamelle mit Länge l ergibt σ≡ σ= Anwendung: Kapillare Steighöhe h= F 2l 2σ ρgr in einem Rohr mit Radius r (totale Benetzung) 9 3 Thermodynamik (Wärmelehre) 3.1 Thermodynamische Systeme • Teilchenzahl N ∼ 1023 • Stoffmenge n= N , NA [n] = 1 mol mit Avogadro-Konstante NA = 6,022 · 1023 1 mol • Makroskopische Zustandsgrößen: – Druck p – Volumen V – Temperatur T (in Kelvin) 3.2 Temperatur • Empirische Celsius-Temperatur θC in ◦ C und Temperatur T in Kelvin ! θC + 273,15 K ◦C T = 3.3 Thermische Zustandsgleichungen • Ideales Gas pV = nRT = N kB T mit allg. Gaskonstante R = NA kB = 8,314 molJ K und Boltzmann-Konstante kB = 1,38 · 10−23 J K • Kinetische Theorie des idealen Gases: Grundgleichung ∞ Z N 1 3kB T p= m hv 2 i mit hv 2 i = dv v 2 fM (v) = V 3 m 0 und der Maxwell-Verteilung fM (v) = 4πv 2 m 2πkB T m : Masse eines idealen Gasteilchens N : Anzahl der Gasteilchen 10 3/2 mv 2 exp − 2kB T !