Ubungen zur Theoretischen Physik Ia (Mechanik)

Universität Regensburg, Institut für Theoretische Physik
SS 2017
Gunnar Bali, Giovanni Chirilli, Fabian Hutzler, Simon Maier, Linda Sollfrank,
Sebastian Waeber, Philipp Wein
Übungen zur Theoretischen Physik Ia (Mechanik)
Blatt 3 (vorzurechnen am 16., 17. oder 18.5.)
Aufgabe 9
Wir betrachten die Höhe x eines Körpers der Masse m in einem homogenen konstanten Gravitationsfeld. Der Fall wird durch einen geschwindigkeitsabhängigen Luftwiderstand abgebremst. Wir nennen diese dissipative Kraft Fdiss . Die Bewegungsgleichung
lautet:
mẍ = Fkons + Fdiss ,
Fdiss = −γ ẋ ,
Fkons = −
dU
,
dx
U = mgx .
Lösen Sie diese Gleichung für x(0) = ẋ(0) = 0. Diskutieren Sie das Ergebnis im Grenzfall kleiner und großer Zeiten. Überprüfen Sie, ob für die sich ergebende Höhenfunktion
x(t) die Leistung in der Tat gegeben ist durch
P :=
dE
= ẋFdiss .
dt
Aufgabe 10
Berechnen Sie mit Hilfe des Virialtheorems die mittlere quadratische Geschwindigkeit
hv2 i eines Punktteilchens der Masse m und der Energie E in einem logarithmischen
Potential (r = |r|):
r
U (r) = C ln
, C > 0 , r/r0 > 0 .
r0
Hätte man dieses Ergebnis auch aus Dimensionsargumenten erraten können? Diskutieren Sie das Resultat.
1
Aufgabe 11
Wir betrachten ein System von n Punktteilchen der Massen mi , i ∈ {1, P
2, . . . , n} an
den Orten ri ∈ R3 . Wir definieren die Gesamtmasse des Systems M = i mi sowie
Schwerpunkt- und Relativkoordinaten und die zugehörigen kinetischen Energien und
Drehimpulse:
n
1 X
mi ri ,
rS =
M i=1
X mi
T =
ṙ2i ,
2
i
xi = ri − rS ,
L=
X
mi ri × ṙi ,
i
M 2
ṙ ,
TS =
2 S
LS = M rS × ṙS .
a) Die kinetische Energie läßt sich faktorisieren in: T = TS + Trel . Zeigen Sie, dass
für n = 2 gilt: Trel = 12 µṙ2 , wobei r = r1 − r2 und µ = m1 m2 /M .
b) Der Gesamtdrehimpuls
läßt sich aufspalten in: L = LS + Lrel . Zeigen Sie, dass
P
Lrel = i mi xi × ẋi .
c) Zeigen Sie, dass für n = 2 gilt: Lrel = µr × ṙ.
Aufgabe 12
Wir betrachten ein Zweikörperproblem mit dem Abstandsvektor r, der Energie E (im
Schwerpunktsystem) und dem Potential
β
U (r) = − ,
r
β > 0,
wobei r = |r|. Wir definieren den Laplace-Runge-Lenz-Vektor
r
A = p × L − βµ .
r
Dabei ist L = µr× ṙ der (Relativ-)Drehimpuls und p der (Relativ)-Impuls. µ bezeichnet
die reduzierte Masse.
a) Zeigen Sie, dass A · L = 0.
b) Zeigen Sie, dass A2 = µ2 β 2 + 2µE L2 .
c) Leiten Sie aus der Bewegungsgleichung unter Ausnutzung der bekannten Erhaltungssätze ab, dass dA/dt = 0.
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