blatt7

Übungen zu Theoretische Physik I - Mechanik
im Sommersemester 2013
Blatt 7 vom 10.06.13
Abgabe: 17.06.13
Aufgabe 29
3 Punkte
Keplers 3. Gesetz
Das 3. Keplersche Gesetz für die Planetenbewegung besagt, dass das Verhältnis T 2 /a3 für alle Planeten
gleich ist. Hier ist T die Umlaufzeit, a die große Halbachse der Ellipsenbahn. Dieses Gesetz gilt nur für
ein Zweikörperproblem unter der Annahme, dass die Masse der Sonne M sehr groß ist gegenüber der
Masse des Planeten m. Beweisen Sie dieses Gesetz, ausgehend von der Drehimpulserhaltung.
Hinweis: Starten Sie mit dem Ausdruck für den Betrag des Drehimpulses l = µr2 θ̇ (µ ist die reduzierte
Masse, r der momentane Abstand Sonne-Planet und θ der Winkel des Fahrstrahls zur x-Achse) und
integrieren Sie beide Seiten dieser Gleichung über die Umlaufzeit. Benutzen Sie dann die Beziehungen
für Aphel- und Perihel-Achse aus der Vorlesung und die Näherung m M .
Aufgabe 30
3 Punkte
Teilchen im konstanten Zentralkraftfeld
Ein Teilchen der Masse m mit Ortsvektor ~r bewege sich in einem dreidimensionalen Kraftfeld, wobei die
Kraft in Richtung auf den Ursprung zeigt und ihr Betrag K unabhängig vom Ort ist.
(a) Wie lautet die Newton’sche Bewegungsgleichung für dieses Problem? Bestimmen Sie die zugehörige
potentielle Energie und geben Sie den Energieerhaltungssatz an.
(b) Zeigen Sie, ausgehend von der Newton’schen Bewegungsgleichung, dass auch der Drehimpuls erhalten
ist. Wie kann man daraus schließen, dass die Bewegung in einer Ebene erfolgt?
(c) Beweisen Sie den Zusammenhang
~2
L
~r˙ 2 = 2 2 + ṙ2 .
m r
~ ist der Drehimpuls.
Hier ist r der Abstand vom Ursprung und L
2
~ und benutzen Sie (~a × ~b)2 = |~a|2 |~b|2 − (~a · ~b)2 .
Hinweis: Berechnen Sie L
Aufgabe 31
2 Punkte
Der Runge-Lenz-Vektor
Wir betrachten die Relativbewegung zweier durch die Gravitation wechselwirkender Massen m und M ,
die Gravitationskonstante sei G. Wir definieren ~x als den Verbindungsvektor zwischen den beiden Massen.
Die Bewegungsgleichung lautet daher mit der reduzierten Masse µ = mM/(m + M ) und r = |~x|
¨ = −GmM
µ~x
~x
.
r3
~ eine Erhaltungsgröße ist (d.h. unabhängig von der Zeit
Zeigen Sie, dass der sog. Runge-Lenz-Vektor A
ist):
1
~=
~ − ~x ,
~x˙ × L
A
µG (M + m)
r
~ = µ~x × ~x˙ der (erhaltene) Drehimpuls ist.
wobei L
Kommentar: Die Erhaltung dieses Vektors tritt nur beim 1/r-Potenzial auf und ist der tiefere Grund
dafür, dass die Planetenbahnen geschlossene Bahnen sind.
1
Aufgabe 32
4 Punkte
Gleiten und Zwangsbedingungen
Wir betrachten einen Block der Masse m1 auf einem Keil der Masse m2 . Der Keil gleitet nur auf der
horizontalen Ebene, während der Block auf dem Keil gleitet. Die Bewegung ist zur Gänze auf die xy Ebene beschränkt (siehe Abbildung). Betrachten Sie nur die Bewegung, solange sich der Block auf
dem Keil befindet. Die beiden Bewegungen verlaufen ohne Reibung. Das System befinde sich in einem
homogenen Schwerefeld.
y
g
R
ne
oh
un
eib
g
m1
y1
m2
α
y2
x2
ohne Reibung
x1
x
(a) Formulieren Sie die geometrischen Zwangsbedingungen.
(b) Konstruieren Sie die Ausdrücke für die Zwangskräfte, die zunächst unbekannte Lagrangeparameter
enthalten. Wieviele sind das?
(c) Nun führen wir neue Koordinaten s1 und s2 ein, die alle Zwangsbedingungen beinhalten:
x2 = s2 , y2 = 0, x1 = s2 + s1 cos α, y1 = s1 sin α.
Bestimmen Sie die Lagrange-Funktion als Funktion von s1 und s2 und geben Sie die resultierenden
Bewegungsgleichungen an.
(d) Bestimmen Sie wenigstens eine Erhaltungsgröße für die Lagrange-Funktion aus Teilaufgabe c (Hinweis: es gibt insgesamt 2 Erhaltungsgrößen).
Aufgabe 33
3 Punkte
Wirkungsintegral
Wir betrachten die eindimensionale Bewegung eines Teilchens der Masse m in einem homogenen Schwerefeld entlang der vertikalen z-Achse. Benutzen Sie die Koordinate z für die Höhe des Teilchens. Die
potenzielle Energie ist V (z) = mgz. Berechnen Sie das Wirkungsintegral:
Z t1
W =
L (ż(t), z(t), t) dt, t1 > 0
t0 =0
(a) für die tatsächliche Bahnkurve z(t) = − 21 gt2 ;
(b) für die virtuellen Bahnkurven zν (t) = aν tν , ν > 12 . Dabei ist aν so definiert, dass zν (t1 ) = z (t1 ) =
− 21 gt21 . Zeigen Sie, dass das Wirkungsintegral gegeben ist durch
mg 2 t31
ν2
1
W =
+
.
2
4(2ν − 1) ν + 1
(c) Zeigen Sie, dass der Fall ν = 2 zu einem Extremwert des Wirkungsintegrals führt. Hilfe: Betrachten
Sie die Ableitung von W nach ν.
2