Klassische Teilchen und Felder (Lehramt)

Klassische
Teilchen und Felder (Lehramt)
Prof. Dr. J. Wambach
Wintersemester 2012/13
7. Übungsblatt
7. Dezember 2012
Aufgabe P14: Zwangsbedingungen I
Bestimmen Sie für die folgenden Systeme die Zwangsbedingungen. Sind die Zwangsbedingungen skleronom oder rheonom bzw. holonom oder nichtholonom?
a) Zwei Massenpunkte m1 und m2 können sich auf einem Kreis mit Radius R reibungsfrei bewegen. Sie sind mit einer
festen, masselosen Stange der Länge L (mit L < 2R) miteinander verbunden.
b) Eine Punktmasse m sei entlang einer Führungsstange frei beweglich. Die Stange bewege sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω und festem Winkel α um die z -Achse.
Aufgabe P15: Lagrange 1. Art
Ein Vollzylinder mit Radius R und Masse m rolle ohne Schlupf eine schiefe Ebene mit Neigungswinkel α herunter.
a) Geben sie beide Zwangsbedingungen für dieses Problem an.
b) Stellen Sie die Lagrange-Gleichungen erster Art auf. Lösen Sie die Bewegungsgleichungen und bestimmen Sie die
auftretenden Zwangskräfte. Was ist deren Bedeutung?
Hinweis: Für die Rotation um eine Hauptträgheitsachse folgt aus der Drehimpulserhaltung (N : Drehmoment)
J ϕ̈ = N +
X
λi
i
∂
∂ϕ
f i (~x (ϕ)).
Aufgabe P16: Lagrange-Multiplikatoren
Wir betrachten die Funktion
f(x,y)
f (x, y) = −20(x 2 + y 2 ) + (x 2 + y 2 )2
(siehe Graph).
a) Berechnen Sie die Extrema von f (x, y).
b) Nehmen Sie nun an, dass eine Nebenbedingung y = x gefordert
wird. Berechnen Sie die Ableitungen der Funktion
100
50
0
-50
f˜(x, y, λ) = f (x, y) + λ( y − x)
in den Koordinaten (x, y, λ). Welche Extrema von f (x, y) sind
auch Extrema von f˜(x, y, λ)?
-100
2
3
4
1
-4 -3
0
y
-2 -1
-1
0 1
-2
x
-3
2 3
4 -4
1
Aufgabe H15: Zwangsbedingungen II
Bestimmen Sie für die folgenden Systeme die Zwangsbedingungen. Sind die Zwangsbedingungen skleronom oder rheonom bzw. holonom oder nichtholonom?
a) Ein Teilchen mit Masse m bewege sich auf einer Kreisbahn mit Radius R in der x y -Ebene (kartesische Koordinaten
und Zylinderkoordinaten).
b) Eine Kugel mit Radius R1 < R und Masse m1 rollt im Schwerefeld reibungslos vom oberen Pol einer größeren
Kugel, mit Masse m2 und Radius R, ab.
c) Eine Masse m ist an einem Seil der Länge L befestigt. Der Aufhängepunkt des ebenen Pendels bewege sich mit der
Funktion x(t) = Acos(ωt) entlang z = 0.
d) Zwei Massenpunkte m1 und m2 im Gravitationsfeld der Erde seien über eine Rolle durch ein Seil der Länge L
verbunden.
e) Eine Masse m ist an einem Doppelpendel mit den Längen l1 und l2 mit festem Aufhängepunkt im Ursprung
verbunden.
l1
l2
m
Aufgabe H16: Bergabfahrt
Ein Massenpunkt gleite reibungsfrei unter dem Einfluss der Schwerkraft einen parabelförmigen (z = −a x 2 ) Berg hinab.
Zur Zeit t = 0 beginnt der Massenpunkt seine Bewegung im Ursprung mit einer Anfangsgeschwindigkeit v 0 > 0 in
x -Richtung.
a) Bestimmen Sie die Zwangsbedingung f (x, z) = 0 für den Massenpunkt.
b) Stellen Sie die Bewegungsgleichung (Lagrange-Gleichung 1. Art) auf. Nutzen Sie die zweite Zeitableitung der
Zwangsbedingung um λ(x, ẋ) zu bestimmen. Berechnen Sie auch die Zwangskraft F~Z .
c) Ab einer gewissen Geschwindigkeit kann das Teilchen vom Berg abheben. Was ist das Kriterium dafür? Bei welcher
Geschwindigkeit ẋ c wird dies passieren?
2