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Springer-Lehrbuch
Grundkurs Theoretische Physik
Band 1
Klassische Mechanik
7. Auflage
ISBN: 3-540-21474-7
Band 2
Analytische Mechanik
7. Auflage
ISBN: 3-540-30660-9
Band 3
Elektrodynamik
7. Auflage
ISBN: 3-540-20509-8
Band 4
Spezielle Relativitätstheorie,
Thermodynamik
6. Auflage
ISBN: 3-540-24119-1
Band 5/1
Quantenmechanik –
Grundlagen
6. Auflage
ISBN: 3-540-40071-0
Band 5/2
Quantenmechanik –
Methoden
und Anwendungen
5. Auflage
ISBN: 3-540-40072-9
Band 6
Statistische Physik
5. Auflage
ISBN: 3-540-20505-5
Band 7
Viel-Teilchen-Theorie
6. Auflage
ISBN: 3-540-24117-5
Wolfgang Nolting
Grundkurs
Theoretische Physik 2
Analytische Mechanik
7. Auflage
Mit 77 Abbildungen
und 54 Aufgaben mit vollständigen Lösungen
123
Professor Wolfgang Nolting
Humboldt-Universität zu Berlin
Institut für Physik
Newtonstraße 15
12489 Berlin
Deutschland
[email protected]
Umschlagabbildung: siehe Seite 110
Die 4. Auflage des Buches erschien im Verlag Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden
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Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen
Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet
über <http://dnb.ddb.de> abrufbar.
ISBN-10 3-540-30660-9 7. Auflage Springer Berlin Heidelberg New York
ISBN-13 978-3-540-30660-3 7. Auflage Springer Berlin Heidelberg New York
ISBN 3-540-20263-3 6. Auflage Springer Berlin Heidelberg New York
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Allgemeines Vorwort
Die sieben Bände der Reihe „Grundkurs Theoretische Physik“ sind als direkte Begleiter zum Hochschulstudium Physik gedacht. Sie sollen in kompakter Form das
wichtigste theoretisch-physikalische Rüstzeug vermitteln, auf dem aufgebaut werden
kann, um anspruchsvollere Themen und Probleme im fortgeschrittenen Studium
und in der physikalischen Forschung bewältigen zu können.
Die Konzeption ist so angelegt, dass der erste Teil des Kurses,
Klassische Mechanik (Band 1)
Analytische Mechanik (Band 2)
Elektrodynamik (Band 3)
Spezielle Relativitätstheorie, Thermodynamik (Band 4),
als Theorieteil eines „Integrierten Kurses“ aus Experimentalphysik und Theoretischer
Physik, wie er inzwischen an zahlreichen deutschen Universitäten vom ersten Semester an angeboten wird, zu verstehen ist. Die Darstellung ist deshalb bewusst ausführlich, manchmal sicher auf Kosten einer gewissen Eleganz, und in sich abgeschlossen
gehalten, sodass der Kurs auch zum Selbststudium ohne Sekundärliteratur geeignet
ist. Es wird nichts vorausgesetzt, was nicht an früherer Stelle der Reihe behandelt
worden ist. Dies gilt inbesondere auch für die benötigte Mathematik, die vollständig so weit entwickelt wird, dass mit ihr theoretisch-physikalische Probleme bereits
vom Studienbeginn an gelöst werden können. Dabei werden die mathematischen
Einschübe immer dann eingefügt, wenn sie für das weitere Vorgehen im Programm
der Theoretischen Physik unverzichtbar werden. Es versteht sich von selbst, dass in
einem solchen Konzept nicht alle mathematischen Theorien mit absoluter Strenge
bewiesen und abgeleitet werden können. Da muss bisweilen ein Verweis auf entsprechende mathematische Vorlesungen und vertiefende Lehrbuchliteratur erlaubt sein.
Ich habe mich aber trotzdem um eine halbwegs abgerundete Darstellung bemüht, sodass die mathematischen Techniken nicht nur angewendet werden können, sondern
dem Leser zumindest auch plausibel erscheinen.
Die mathematischen Einschübe werden natürlich vor allem in den ersten Bänden
der Reihe notwendig, die den Stoff bis zum Physik-Vordiplom beinhalten. Im zweiten
Teil des Kurses, der sich mit den modernen Disziplinen der Theoretischen Physik
befasst,
Quantenmechanik: Grundlagen (Band 5/1)
Quantenmechanik: Methoden und Anwendungen (Band 5/2)
Statistische Physik (Band 6)
Viel-Teilchen-Theorie (Band 7),
sind sie weitgehend überflüssig geworden, insbesondere auch deswegen, weil im
Physik-Studium inzwischen die Mathematik-Ausbildung Anschluss gefunden hat.
Der frühe Beginn der Theorie-Ausbildung bereits im ersten Semester gestattet es,
die Grundlagen der Quantenmechanik schon vor dem Vordiplom zu behandeln. Der
Stoff der letzten drei Bände kann natürlich nicht mehr Bestandteil eines „Integrierten
Kurses“ sein, sondern wird wohl überall in reinen Theorie-Vorlesungen vermittelt.
Das gilt insbesondere für die „Viel-Teilchen-Theorie“, die bisweilen auch unter anderen Bezeichnungen wie „Höhere Quantenmechanik“ etwa im achten Fachsemester
angeboten wird. Hier werden neue, über den Stoff des Grundstudiums hinausgehende Methoden und Konzepte diskutiert, die insbesondere für korrelierte Systeme aus
vielen Teilchen entwickelt wurden und für den erfolgreichen Übergang zu wissenschaftlichem Arbeiten (Diplom, Promotion) und für das Lesen von Forschungsliteratur inzwischen unentbehrlich geworden sind.
In allen Bänden der Reihe „Grundkurs Theoretische Physik“ sollen zahlreiche
Übungsaufgaben dazu dienen, den erlernten Stoff durch konkrete Anwendungen
zu vertiefen und richtig einzusetzen. Eigenständige Versuche, abstrakte Konzepte
der Theoretischen Physik zur Lösung realer Probleme aufzubereiten, sind absolut
unverzichtbar für den Lernenden. Ausführliche Lösungsanleitungen helfen bei größeren Schwierigkeiten und testen eigene Versuche, sollten aber nicht dazu verleiten,
„aus Bequemlichkeit“ eigene Anstrengungen zu unterlassen. Nach jedem größeren
Kapitel sind Kontrollfragen angefügt, die dem Selbsttest dienen und für Prüfungsvorbereitungen nützlich sein können.
Ich möchte nicht vergessen, an dieser Stelle allen denen zu danken, die in irgendeiner Weise zum Gelingen dieser Buchreihe beigetragen haben. Die einzelnen Bände
sind letztlich auf der Grundlage von Vorlesungen entstanden, die ich an den Universitäten in Münster, Würzburg, Osnabrück, Valladolid (Spanien), Warangal (Indien)
sowie in Berlin gehalten habe. Das Interesse und die konstruktive Kritik der Studenten bedeuteten für mich entscheidende Motivation, die Mühe der Erstellung eines
doch recht umfangreichen Manuskripts als sinnvoll anzusehen. In der Folgezeit habe
ich von zahlreichen Kollegen wertvolle Verbesserungsvorschläge erhalten, die dazu
geführt haben, das Konzept und die Ausführung der Reihe weiter auszubauen und
aufzuwerten.
Die ersten Auflagen dieser Buchreihe sind im Verlag Zimmermann-Neufang entstanden. Ich kann mich an eine sehr faire und stets erfreuliche Zusammenarbeit
erinnern. Danach erschien die Reihe bei Vieweg. Die Übernahme der Reihe durch
den Springer-Verlag im Januar 2001 hat dann zu weiteren professionellen Verbesserungen im Erscheinungsbild des „Grundkurs Theoretische Physik“ geführt. Herrn
Dr. Kölsch und seinem Team bin ich schon jetzt für viele Vorschläge und Anregungen
sehr dankbar. Meine Manuskripte scheinen in guten Händen zu liegen.
Berlin, im April 2001
Wolfgang Nolting
Vorwort zu Band 2
Das Anliegen der Klassischen Mechanik besteht in dem Aufstellen und Lösen von
Bewegungsgleichungen für
Massenpunkte, Systeme von Massenpunkten, Starre Körper
auf der Grundlage möglichst weniger
Axiome und Prinzipien.
Letztere sind mathematisch nicht streng beweisbar, sondern stellen lediglich bislang
widerspruchsfreie Erfahrungstatsachen dar. Man könnte natürlich fragen, warum
man sich heute noch mit Klassischer Mechanik beschäftigt, obwohl diese doch wohl
in den seltensten Fällen noch einen direkten Bezug zur aktuellen Forschung aufweist.
Sie bildet jedoch die unerlässliche Basis für die modernen Richtungen der Theoretischen Physik, d. h., diese bauen auf der Klassischen Mechanik auf und sind ohne
sie nicht verständlich zu machen. Ferner gestattet sie im Zusammenhang mit relativ
vertrauten Fragestellungen eine gewisse „Gewöhnung“ an mathematische Lösungsverfahren. So haben wir im ersten Band dieses „Grundkurs Theoretische Physik“ im
Zusammenhang mit der Newton-Mechanik den Einsatz der Vektoralgebra intensiv
geübt.
Warum befassen wir uns in diesem zweiten Band nun aber noch einmal mit
Klassischer Mechanik? Die „Analytische Mechanik“ des vorliegenden zweiten Bandes
behandelt die Formulierungen nach Lagrange, Hamilton und Hamilton-Jacobi, die
gegenüber der Newton-Mechanik zwar keine „neue Physik“ beinhalten, methodisch
jedoch eleganter sind und, was viel entscheidender ist, einen direkteren Bezug zu
weiterführenden Disziplinen der Theoretischen Physik, wie der Quantenmechanik,
erkennen lassen.
Die Zielsetzung des vorliegenden Bandes 2 entspricht der des gesamten Grundkurses: Theoretische Physik. Es soll sich um einen direkten Begleiter des Grundstudiums
zum Physik-Diplom (bzw. Bachelor/Master) handeln, der es ermöglicht, Techniken
und Konzepte der Theoretischen Physik zunächst ohne aufwendige Sekundärliteratur
verstehen zu lernen. Zum Verständnis des Textes wird lediglich das in Band 1 Erarbeitete vorausgesetzt. Mathematische Einschübe werden immer dann in kompakter
und zweckgerichteter Form gebracht und geübt, wenn es für die weitere Entwicklung
der Theorie unerlässlich erscheint.
Das Manuskript zu diesem Buch ist aus mehreren Vorlesungen entstanden, die ich
in der Vergangenheit an der Universität Münster und der Humboldt-Universität zu
Berlin gehalten habe. Nach seinem Erscheinen, zunächst im Verlag ZimmermannNeufang, dann später und bis heute im Springer-Verlag, haben mir zahlreiche Studierende und Dozenten durch Vorschläge zur Verbesserung einzelner Passagen sehr
geholfen. Dafür möchte ich mich ganz herzlich bedanken. Ein ganz besonderer Dank
gebührt den Mitgliedern meines Lehrstuhls an der Humboldt-Universität zu Berlin,
die sich durch konstruktive Kritik und tatkräftige Hilfe bei redaktionellen und organisatorischen Problemen eingebracht haben. Die jetzt vorliegende 7. Auflage besitzt
gegenüber den früheren Auflagen ein stark erweitertes Aufgabenangebot. Die Zusammenarbeit mit dem Springer-Verlag, insbesondere mit Herrn Dr. T. Schneider,
war stets fair und konstruktiv und deshalb sehr erfreulich.
Berlin, im Februar 2006
Wolfgang Nolting
Inhaltsverzeichnis
1
1.1
1.2
1.2.1
1.2.2
1.2.3
1.2.4
1.2.5
1.2.6
1.2.7
1.3
1.3.1
1.3.2
1.3.3
1.3.4
1.3.5
1.4
1.4.1
1.4.2
1.4.3
1.5
2
2.1
2.1.1
2.2
2.2.1
2.2.2
2.2.3
2.3
2.3.1
2.3.2
2.3.3
2.3.4
2.4
2.4.1
Lagrange-Mechanik
Zwangsbedingungen, generalisierte Koordinaten . . . . . . . . . . . .
Das d’Alembert’sche Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lagrange-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Einfache Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Verallgemeinerte Potentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Reibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nicht-holonome Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Anwendungen der Methode
der Lagrange’schen Multiplikatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Das Hamilton’sche Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Formulierung des Prinzips . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Elemente der Variationsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lagrange-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Erweiterung des Hamilton’schen Prinzips . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Erhaltungssätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Homogenität der Zeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Homogenität des Raumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Isotropie des Raumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kontrollfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hamilton-Mechanik
Legendre-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kanonische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hamilton-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Einfache Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wirkungsprinzipien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Modifiziertes Hamilton’sches Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Prinzip der kleinsten Wirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fermat’sches Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Jacobi-Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Poisson-Klammer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Darstellungsräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
12
12
21
31
34
37
40
45
59
60
63
70
73
76
78
80
83
86
89
94
97
97
97
101
107
108
108
111
115
116
121
121
2.4.2
2.4.3
2.4.4
2.4.5
2.4.6
2.5
2.5.1
2.5.2
2.5.3
2.5.4
2.5.5
2.5.6
2.6
3
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.5.1
3.5.2
3.5.3
3.5.4
3.5.5
3.6
3.6.1
3.6.2
3.6.3
3.7
3.8
Fundamentale Poisson-Klammern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Formale Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Integrale der Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bezug zur Quantenmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kanonische Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die erzeugende Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Äquivalente Formen der erzeugenden Funktion . . . . . . . . .
Beispiele kanonischer Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kriterien für Kanonizität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kontrollfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hamilton-Jacobi-Theorie
Hamilton-Jacobi-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Lösungsmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hamilton’sche charakteristische Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Separation der Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wirkungs- und Winkelvariable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Periodische Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wirkungs- und Winkelvariable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Das Kepler-Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Entartung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bohr-Sommerfeld’sche Atomtheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Der Übergang zur Wellenmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wellengleichung der Klassischen Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . .
Einschub über Lichtwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Der Ansatz der Wellenmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kontrollfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lösungen der Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
125
128
130
131
133
135
135
140
143
147
151
153
158
164
167
172
175
181
181
184
188
195
197
198
199
203
205
208
210
213
Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
Kapitel 1
Lagrange-Mechanik
1
1
1
1.1
1.2
1.2.1
1.2.2
1.2.3
1.2.4
1.2.5
1.2.6
1.2.7
1.3
1.3.1
1.3.2
1.3.3
1.3.4
1.3.5
1.4
1.4.1
1.4.2
1.4.3
1.5
Lagrange-Mechanik
Zwangsbedingungen, generalisierte Koordinaten . . . . . . . . . . . .
Das d’Alembert’sche Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lagrange-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Einfache Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Verallgemeinerte Potentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Reibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nicht-holonome Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Anwendungen der Methode
der Lagrange’schen Multiplikatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Das Hamilton’sche Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Formulierung des Prinzips . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Elemente der Variationsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lagrange-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Erweiterung des Hamilton’schen Prinzips . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Erhaltungssätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Homogenität der Zeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Homogenität des Raumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Isotropie des Raumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kontrollfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
12
12
21
31
34
37
40
45
59
60
63
70
73
76
78
80
83
86
89
1.1
Zwangsbedingungen, generalisierte Koordinaten
3
1 Lagrange-Mechanik
1.1 Zwangsbedingungen, generalisierte Koordinaten
1.1
Die Newton-Mechanik, die Gegenstand der Überlegungen des ersten Bandes der
Reihe Grundkurs: Theoretische Physik war, befasst sich mit Systemen von Teilchen
(Massenpunkten), von denen jedes durch eine Bewegungsgleichung der Form
mi r̈ i = F (ex)
+
F ij
(1.1)
i
j =/ i
beschrieben wird. F (ex)
ist die auf Teilchen i wirkende äußere Kraft, F ij die von Teili
chen j auf Teilchen i ausgeübte (innere) Kraft. Bei N Teilchen ergibt sich aus (1.1)
ein gekoppeltes System von 3N Differentialgleichungen 2. Ordnung, dessen Lösung
die Kenntnis hinreichend vieler Anfangsbedingungen erfordert. Die typischen physikalischen Systeme unserer Umgebung sind jedoch häufig keine typischen Teilchensysteme. Betrachten wir einmal als Beispiel das Modell einer Kolbenmaschine. Die
Maschine selbst besteht aus praktisch unendlich vielen Teilchen. Der Zustand der
Maschine ist aber im Allgemeinen bereits durch Angabe des Winkels ϕ vollständig
charakterisiert. Kräfte und Spannungen, zum Beispiel in der Pleuelstange, interessieren in der Regel nicht. Sie sorgen für gewisse geometrische Bindungen der Teilchen
miteinander. Durch diese sind die Bewegungen der Teilchen eines makroskopischen
mechanischen Systems im Allgemeinen nicht völlig frei. Man sagt, sie seien eingeschränkt durch gewisse
Zwangskräfte.
Diese über die Kräfte F ij in (1.1) zu berücksichtigen, stellt praktisch immer ein
hoffnungsloses Unterfangen dar.
ϕ
Abb. 1.1. Modell einer Kolbenmaschine
Wir führen zwei für das Folgende wichtige Begriffe ein:
Definition 1.1.1
1. Zwangsbedingungen sind Bedingungen, die die freie Bewegung der Systemteilchen einschränken (geometrische Bindungen).
2. Zwangskräfte sind Kräfte, die die Zwangsbedingungen bewirken, also die freie
Teilchenbewegung behindern (z. B. Auflagekräfte, Fadenspannungen).
1.1.1
4
1. Lagrange-Mechanik
Bei der Beschreibung eines mechanischen Systems ergeben sich zwei schwerwiegende Probleme:
a) Zwangskräfte sind im Allgemeinen unbekannt. Bekannt sind nur ihre Auswirkungen. Das System (1.1) der gekoppelten Bewegungsgleichungen lässt sich also
erst gar nicht formulieren, geschweige denn lösen. Wir versuchen deshalb, die
Mechanik so umzuformulieren, dass die Zwangskräfte herausfallen. Genau dies
führt zur Lagrange-Formulierung der Klassischen Mechanik.
b) Die Teilchenkoordinaten
r i = xi , yi , zi ,
i = 1, 2, . . . , N
sind wegen der Zwangsbedingungen nicht unabhängig voneinander. Wir werden
sie deshalb später durch linear unabhängige, verallgemeinerte Koordinaten zu
ersetzen versuchen. Diese werden dann in der Regel unanschaulicher, dafür aber
mathematisch einfacher zu handhaben sein.
Es leuchtet unmittelbar ein, dass Zwangsbedingungen für die konkrete Lösung eines
mechanischen Problems eine wichtige Rolle spielen. Eine Klassifikation der mechanischen Systeme nach Art und Typ ihrer Zwangsbedingungen ist deshalb sicher
sinnvoll.
A) Holonome Zwangsbedingungen
Darunter versteht man Verknüpfungen der Teilchenkoordinaten und eventuell der
Zeit in der folgenden Form:
fν r 1 , r 2 , . . . , r N , t = 0 ,
ν = 1, 2, . . . , p .
(1.2)
A,1) Holonom-skleronome Zwangsbedingungen
Das sind holonome Zwangsbedingungen, die nicht explizit zeitabhängig sind, also
Bedingungen der Form (1.2), für die zusätzlich
∂fν
=0,
∂t
ν = 1, . . . , p
(1.3)
gilt.
Beispiele
1) Hantel
l
m1
m2
Abb. 1.2. Schematische Darstellung einer Hantel aus zwei durch eine
masselose Stange auf konstanten Abstand gehaltene Massen m1 und m2
1.1
Zwangsbedingungen, generalisierte Koordinaten
5
Die Zwangsbedingung betrifft den konstanten Abstand der beiden Massenpunkte m1
und m2 :
2 2 2
x1 − x2 + y1 − y2 + z1 − z2 = l2 .
(1.4)
2) Starrer Körper
Dieser ist durch konstante Teilchenabstände ((4.1), Bd. 1) ausgezeichnet. Das entspricht den Zwangsbedingungen:
(r i − r j )2 − cij2 = 0 ,
i, j = 1, 2, . . . , N ,
cij = const .
(1.5)
3) Teilchen auf Kugeloberfläche
m
R′
Abb. 1.3. Teilchen der Masse m auf einer Kugeloberfläche
Die Masse m ist an die Kugeloberfläche durch die Zwangsbedingung
x2 + y2 + z2 − R2 = 0
(1.6)
gebunden.
A,2) Holonom-rheonome Zwangsbedingungen
Dies sind holonome Zwangsbedingungen mit expliziter Zeitabhängigkeit:
∂fν
=/ 0 .
∂t
(1.7)
Wir wollen auch diesen Begriff durch Beispiele erläutern:
Beispiele
1) Teilchen im Aufzug
z
v0 = const
m
x
Abb. 1.4. Teilchen der Masse m auf einer mit
der Geschwindigkeit v0 sich in z-Richtung
bewegenden Ebene
6
1. Lagrange-Mechanik
Das Teilchen kann sich nur in der xy-Ebene frei bewegen. Für die z-Koordinate gilt
die Zwangsbedingung,
z(t) = v0 (t − t0 ) + z0 ,
(1.8)
hervorgerufen durch den mit konstanter Geschwindigkeit v0 sich nach oben bewegenden Aufzug.
2) Masse auf schiefer Ebene mit veränderlicher Neigung
z
m
ϕ (t )
x
Abb. 1.5. Eine Masse m auf einer schiefen Ebene mit zeitlich
veränderlichem Neigungswinkel
Die zeitlich veränderliche Neigung der Ebene sorgt für eine holonom-rheonome
Zwangsbedingung
z
− tan ϕ(t) = 0 .
x
(1.9)
Holonome Zwangsbedingungen reduzieren die Zahl der Freiheitsgrade. Ein NTeilchensystem hat ohne Zwang 3N Freiheitsgrade, bei p holonomen Zwangsbedingungen dann nur noch
S = 3N − p .
(1.10)
Ein mögliches Lösungsverfahren kann nun darin bestehen, mit Hilfe der Zwangsbedingungen (1.2) p der 3N kartesischen Koordinaten zu eliminieren und für den Rest
die Newton’schen Bewegungssgleichungen zu integrieren. Eleganter und wirkungsvoller ist jedoch die Einführung von
generalisierten Koordinaten q1 , q2 , . . . , qS ,
die zwei Bedingungen erfüllen müssen:
1. Die momentane Konfiguration des physikalischen Systems ist eindeutig durch
q1 , . . . , qS festgelegt. Insbesondere gelten Transformationsformeln
r i = r i q1 , . . . , qS , t ,
i = 1, 2, . . . , N ,
(1.11)
2.
die die Zwangsbedingungen implizit enthalten.
Die qj sind unabhängig voneinander, d. h., es gibt keine Beziehung der Form
F(q1 , . . . , qS , t) = 0.
1.1
Zwangsbedingungen, generalisierte Koordinaten
7
Das Konzept der generalisierten Koordinaten wird im Folgenden noch eine wichtige
Rolle spielen. Wir schließen an die obige Definition noch einige Bemerkungen an:
a) Unter dem
Konfigurationsraum
versteht man den S-dimensionalen Raum, der durch die generalisierten Koordinaten q1 , . . . , qS aufgespannt wird. Jeder Punkt des Konfigurationsraums (Konfigurationsvektor)
q = q1 , q2 , . . . , qS
(1.12)
entspricht einem möglichen Zustand des Systems.
b) Man nennt
q̇1 , q̇2 , . . . , q̇S
generalisierte Geschwindigkeiten .
c) Bei bekannten Anfangsbedingungen
q0 = q(t0 ) ≡ q1 (t0 ), . . . , qS (t0 ) ,
q̇0 = q̇(t0 ) ≡ q̇1 (t0 ), . . . , q̇S (t0 )
ist der Zustand des Systems im Konfigurationsraum für alle Zeiten über noch
festzulegende Bewegungsgleichungen berechenbar.
d) Die Wahl der Größen q1 , . . . , qS ist nicht eindeutig, wohl aber ihre Zahl S. Man
legt sie nach Zweckmäßigkeit fest, die in der Regel durch die physikalische Problemstellung eindeutig vorgegeben ist.
e) Die Größen qj sind beliebig. Es handelt sich dabei nicht notwendig um Längen.
Sie charakterisieren in ihrer Gesamtheit das System und beschreiben nicht mehr
unbedingt Einzelteilchen. Als Nachteil kann die Tatsache gewertet werden, dass
das Problem dadurch unanschaulicher werden kann.
Beispiele
1) Teilchen auf Kugeloberfläche
ϑ
R
m
ϕ
Abb. 1.6. Generalisierte Koordinaten für ein an eine
Kugeloberfläche gebundenes Teilchen der Masse m
8
1. Lagrange-Mechanik
Es gibt eine holonom-skleronome Zwangsbedingung:
x2 + y2 + z2 − R2 = 0 .
Dies bedeutet für die Zahl der Freiheitsgrade:
S=3−1=2.
Als generalisierte Koordinaten bieten sich zwei Winkel an:
q1 = ϑ ;
q2 = ϕ .
Die Transformationsformeln
x = R sin q1 cos q2 ,
y = R sin q1 sin q2 ,
z = R cos q1
enthalten implizit die Zwangsbedingungen. q1 , q2 legen den Zustand des Systems
eindeutig fest.
2) Ebenes Doppelpendel
y
ϑ1
l1
m1
x
l2
ϑ2
m2
Abb. 1.7. Generalisierte Koordinaten für das ebene Doppelpendel
Es gibt insgesamt vier holonom-skleronome Zwangsbedingungen:
z1 = z2 = const ,
x12 + y12 − l12 = 0 ,
2 2
x2 − x1 + y2 − y1 − l22 = 0 .
Die Zahl der Freiheitsgrade beträgt deshalb:
S=6−4=2.
1.1
Zwangsbedingungen, generalisierte Koordinaten
9
„Günstige“ generalisierte Koordinaten sind in diesem Fall offenbar:
q1 = ϑ1 ;
q2 = ϑ2 .
Die Transformationsformeln
x1 = l1 cos q1 ;
y1 = l1 sin q1 ;
x2 = l1 cos q1 + l2 cos q2 ;
z1 = 0 ,
y2 = l1 sin q1 − l2 sin q2 ;
z2 = 0
enthalten wiederum implizit die Zwangsbedingungen.
3) Teilchen im Zentralfeld
In diesem Fall gibt es keine Zwangsbedingungen. Trotzdem ist die Einführung von
generalisierten Koordinaten sinnvoll:
S=3−0=3.
„Günstige“ generalisierte Koordinaten sind in diesem Fall
q1 = r ;
q2 = ϑ ;
q3 = ϕ .
Die Transformationsformeln ((1.261), Bd. 1)
x = q1 sin q2 cos q3 ,
y = q1 sin q2 sin q3 ,
z = q1 cos q2
sind uns aus vielen Anwendungen (s. Bd. 1) bereits bekannt und dokumentieren,
dass die Verwendung von generalisierten Koordinaten auch in Systemen ohne Zwang
sinnvoll sein kann, nämlich dann, wenn infolge gewisser Symmetrien durch eine
Punkttransformation auf krummlinige Koordinaten die Integration der Bewegungsgleichungen vereinfacht wird.
B) Nicht-holonome Zwangsbedingungen
Darunter versteht man Verknüpfungen der Teilchenkoordinaten und eventuell der
Zeit, die sich nicht wie in (1.2) darstellen lassen, sodass durch sie kein Eliminieren von überflüssigen Koordinaten möglich ist. Für Systeme mit nicht-holonomen
Zwangsbedingungen gibt es kein allgemeines Lösungsverfahren. Spezielle Methoden
werden später diskutiert.
B,1) Zwangsbedingungen als Ungleichungen
Liegen die Zwangsbedingungen in Form von Ungleichungen vor, so kann man offenbar durch diese die Zahl der Variablen nicht reduzieren.
10
1. Lagrange-Mechanik
Beispiele
1) Perlen eines Rechenbretts
Die Perlen (Massenpunkte) können nur eindimensionale Bewegungen zwischen zwei
festen Grenzen ausführen. Die Zwangsbedingungen sind dann zum Teil holonom,
zi = const ;
yi = const ,
i = 1, 2, . . . , N ,
zum Teil aber auch nicht-holonom:
a ≤ xi ≤ b ,
i = 1, 2, . . . , N .
2) Teilchen auf Kugel im Schwerefeld
z
R
m
y
x
Abb. 1.8. Teilchen der Masse m auf einer Kugeloberfläche im Schwerefeld
der Erde als Beispiel für nicht-holonome Zwangsbedingungen
Die Zwangsbedingung
2
x + y2 + z2 − R2 ≥ 0
schränkt die freie Bewegung der Masse m ein, kann aber nicht dazu benutzt werden,
„überflüssige“ Koordinaten zu eliminieren.
B,2) Zwangsbedingungen in differentieller, nicht integrierbarer Form
Dies sind insbesondere Zwangsbedingungen, die Teilchengeschwindigkeiten enthalten. Sie haben die allgemeine Form:
3N
fim dxm + fit dt = 0 ,
i = 1, . . . , p ,
(1.13)
m=1
wobei sich die linke Seite nicht integrieren lässt. Sie stellt kein totales Differential
dar. Es gibt also keine Funktion Fi mit
fim =
∂Fi
∀m ;
∂xm
∂Fi
= fit .
∂t
Gäbe es eine solche Funktion Fi , dann würde aus (1.13)
Fi xi , . . . , x3N , t = const
folgen und die entsprechende Zwangsbedingung wäre doch holonom.