Baumechanik V - Bauhaus

Bauhaus – Universität Weimar Fakultät Bauingenieurwesen
Name :
Baumechanik V
Prüfung am 20. Februar 2006
1.
2.
3.
4.
Summe:
Erklärung:
Unterschrift
Ich erkläre, dass ich mich gesundheitlich in der Lage fühle, die
nachfolgende Prüfung zu absolvieren und habe alle erforderliche
Prüfungsvoraussetzungen erfüllt.
<
Aufgabe 1 (45 )
P1
a) Stellen Sie für das dargestellte Tragwerk
entsprechend dem vollständigen Weggrößenverfahren
die elastische Gesamtsteifigkeitsmatrix und den
1,4
Gesamtlastvektor auf!
b) Nach mehreren Iterationen wurde folgender
Verschiebungsvektor ermittelt:
 V1   −0,01522 m 
V =  V2  =  0,01529 m 
 V3   −0,08806 rad
V3
V1
a
kf
V2
P2
b
~
x
2,1
Berechnen Sie den Vektor der Ungleichgewichtskräfte
nach dem geometrisch nichtlinearen, physikalisch
linearen Weggrößenverfahren!
~
z
1,5
1,5
m
c) Berechnen Sie nach der klassischen Stabilitätstheorie
die kritische Belastung Pkrit = λ⋅(P1;P2) ! Setzen Sie
dafür die Federsteifigkeit kf →∞ !
(E = 2 ⋅10 kNm , kf = 12 kN/cm; P1 = 150 kN; P2 = 200 kN;
2
4
A = 10 cm ;
Iy = 1200 cm )
7
-2
Aufgabe 2 (20 )
Der skizzierte Schwinger besteht aus einer homogenen
Kreisscheibe der Masse m1, die im Punkt A an einer Feder mit
kf
der Steifigkeit kf hängt. Über die Scheibe mit dem Radius R ist ein
undehnbares, masseloses Seil gelegt, welches an einem Ende
R
befestigt ist und am anderen Ende die Masse m2 trägt.
A
Man bestimme
a) die Bewegungsgleichung für die Masse m2;
m1
b) die Eigenkreisfrequenz;
c) die Lösung der Bewegungsgleichung x(t), wenn m2 aus seiner
m2
x
Ruhelage mit einer Anfangsgeschwindigkeit v0 in Bewegung
gesetzt wird;
(m1 = 40 kg; m2 = 8 kg, kf = 128 kN/m, v0 =9,325 m/s)
1
a
2
Aufgabe 3 (40):
P
Für das gegeben Tragsystem mit den Kennwerten:
x
b
c
z
3,2 m
E = 2,1⋅105 Nmm-2, σF = 240 Nmm-2,
Aa = Ab = 10 cm2; Ac = 6 cm2
sind mit Hilfe der vollständigen Weggrößenmethode
bei geometrischer Linearität für linear-elastisch, ideal
3
4
2,4 m
plastisches Material zu ermitteln:
a) die Elastizitätsgrenzlast PF;
b) die plastische Grenztraglast PG;
c) das Last-Verschiebungsdiagramm für die
Vertikalverschiebung im Punkt 2
Aufgabe 4 (15)
Ein Eisenbahnwaggon der Masse m bewegt sich zum Zeitpunkt t = 0 mit einer
Geschwindigkeit von v0 = 72 km/h auf gerader Strecke in Richtung eines abgestellten
Zuges aus 4 Waggons jeweils gleicher Masse m .
a) Wie lange braucht der rollende Waggon, um die dazwischen liegende Entfernung
von 1,5 km zurückzulegen,
b) wie groß sind die Geschwindigkeiten aller Waggons unmittelbar nach dem
Zusammenstoß,
wenn man von einer Stoßzahl von 0,5 und einer Reibungszahl von 0,01 ausgeht?
Lösungen
1. Aufgabe
a)
Gesamtsteifigkeitsmatrix
7933,8
0
117,6
0
5820,9
160
117,6
160
594,3
Gesamtlastvektor
0 - (0 + 129,6)
0 - (-75 - 0)
0 - (-56,25 +100,8)
a
b
= -129,6
= 75,0
= -44,55
Feder
b) Vektor der Ungleichgewichtskräfte : P -ΣS0i – Fi –Fi -Fi
-129,6 – (-101,2 –10,14 –18,26) = 0
Na = -101,2 kN
Nb = -87,56 kN
Das Gleichgewicht ist nahezu erfüllt
c) Klassische Stabilität:
75,0 – (-12,19 + 87,56 + 0 )
= - 0,37
-44,55 – (-22,32 – 22,21 +0 )
= - 0,02
det(Ke +λ ⋅ Kσ) = 0 für kf →∞ V1 = 0
λ1 = 14,47
λ2 = -57093 entfällt
Na = 0,257 kN;
Nb = -87,37 kN
P1 krit = λ1 ⋅150 = 2175 kN
P2 krit = λ1 ⋅200 = 2900 kN
2. Aufgabe
a)
3m1

&x& ⋅ 
+ 4m2  + k f ⋅ x = 0 Bewegungsgleichung der Masse m2
 2

b) ω0 = 37,3 rad/s
c) x(t) = 0,25 sin(37,3 ⋅ t)
3. Aufgabe:
a) Lösen des Gleichungssystems nach u und v für P = 1 kN
a
P=1
u
106400
-25200
v
x
b
c
z
-25200
72975
⋅
u
v
=
-1
0
Ermittlung der aktuellen Stabkräfte für P = 1 kN
Sa = -0,896 kN, Sb = -0,174 kN, Sc = 0,139 kN
kleinster Multiplikator bis zur
Fließgrenze PF
λmin = λa = 267,98
Stab a fließt zuerst
PF = 267,98 kN, uF = -0,00274 m, vF = -0,000947 m
b) plastische Grenztraglast : PG = 348 kN ,
0,00366m
nach Eintritt des Fließens im Stab c
c) Last-Verschiebungsdiagramm
PG 348 kN
PF 268kN
uG = -0,01059 m, vG = -
0,95
4. Aufgabe:
a) Der rollende Waggon braucht 99,1 s
b) Nach dem Zusammenstoß rollt der einzelne Waggon mit v1’ = 2,056 m/s = 7,4 km/h zurück.
Die vier stehenden Waggons setzen sich mit
v2’ = 3,084 m/s =11,1 km/h in Bewegung
3,66
V
mm