Formelsammlung

Formelsammlung
Bewegung auf einer Geraden
Geschwindigkeit
Beschleunigung
dx &
=x
dt
dv x
ax =
= v& x
dt
vx =
Spezielle Ort-Zeit-Funktionen:
Harmonische Schwingung
ax 2
t + v x0 t + x 0
2
x = x m cos (ωt + α )
Kreisfrequenz
ω = 2πf = 2π / T
Gleichmäßig beschleunigte Bewegung
Bewegung in der Ebene
Kreisbewegung:
Kreisbogen
x=
Tangentialbeschleunigung
s = ϕr
v = ϕ& r = ωr
&&r = αr
as = ϕ
Radialbeschleunigung
ar = ω 2r = v 2 / r
Bahngeschwindigkeit
Bewegungsgleichung
Impuls
r
r
F = ma
r
r
p = mv
Kraftstoß
r
r
∆p = ∫ F dt
Grundgesetz der Mechanik
Fx = ma x
p x = mv x
t2
p x 2 − p x1 =
∫ Fx dt
t1
Arbeit, Energie, Leistung
Arbeit längs eines Weges
Verschiebungsarbeit
Potentielle Energie
r r
W = ∫ F dr
r r
F dr = Fs ds = F cos α ds
W ' = − W = ∆Wp
r
r
r r
r
r
Ep ( r ) − Ep ( r0 ) = − ∫ F dr
r
r0
Kinetische Energie
Leistung
Energieerhaltungssatz der Mechanik
m 2
v
2
dW r r
P=
= Fv = Fs v
dt
Ek ( v) + Ep (r ) = E0 = const
Ek =
Ek1 + Ep1 = Ek 2 + E p2
Potentielle Energien spezieller Kräfte:
Gewichtskraft
Fz = −mg
Ep = mgz
Federkraft
Fx = −k x
Ep =
Gravitationskraft
Fr = −γ
Impulserhaltungssatz
Impulserhaltungssatz
Massenmittelpunkt
Gerader Stoß
Geschwindigkeit zweier Körper nach dem Stoß:
m1 m2
r2
r
r
vk = p0 = const
r
r
Σmk r k
rM =
Σmk
Σmk
m1 v1 + m2 v 2 = m1 v1' + m 2 v '2
vollkommen unelastisch
v' =
vollkommen elastisch
v1' =
m1 v1 + m 2 v 2
m1 + m 2
v '2 =
Bewegungsgleichung bei veränderlicher Masse
k 2
x
2
m m
Ep = −γ 1 2
r
(m1 − m2 ) v1 + 2 m2 v 2
m1 + m2
(m2 − m1) v 2 + 2 m1 v1
m1 + m2
ma x = Fx + v x
dm
dt
Statik
Drehmoment
Gleichgewicht:
Starrer Körper
Rotation starrer Körper
Winkelgeschwindigkeit
Winkelbeschleunigung
Grundgesetz
Feste Achse
Drehimpuls
Impulsmoment
Arbeit
Kinetische Energie
Drehimpulserhaltungssatz
r r r
M = r ×F
r
M = Fr sin α
r
r
ΣFk = 0
ΣMk
r
r dϕ
ω=
dt
r
r dω
α=
dt
r
r dL
M=
dt
r
r
MA = J A α
r
r
L A = JA ω
r r
r
L = r × mv
J
Ek = A ω 2
2
r
Σ L Ak = const
k
J A = ∫ r 2 dm
Satz von Steiner
Spezielle Trägheitsmomente:
J A = JS + ms2
Vollkugel
Hohlkugel (dünnwandig)
Stab (dünn)
Drehmoment einer Drillachse
Schwingungsdauer:
1
mr 2
2
2
JS = mr 2
5
2
J S = mr 2
3
1
JS =
ml2
12
MA = −Dϕ
JS =
Physikalisches Pendel
T = 2π
JA
mgs
Drehschwingung
T = 2π
JA
D
Äußere Reibung
Haftreibung
r
L = rmv sin α
W = ∫ MA d ϕ
Trägheitsmoment
Vollzylinder
=0
FR ≤ µ 0 Fn
Gleitreibung
FR = µ Fn
Rollreibung
FR =
µ'
Fn
r
Verformung fester Körper
Hookesches Gesetz:
Dehnung
Kompression
Scherung
Querkontraktion
Zusammenhang der elastischen Konstanten
Biegung des Balkens:
∆l σ
=
l
E
∆V
p
=−
V
K
τ
γ=
G
∆b
∆l
= −µ
b
l
σ=
Fn
A
τ=
Ft
A
E = 3K (1 − 2µ ) = 2G (1 + µ )
Flächenmoment 2. Grades
JF = ∫ η2 dA
Biegungspfeil (Last am Ende)
δ=
l3
F
3EJF
Ruhende Flüssigkeiten und Gase
Schweredruck
F
A
p = ρgh
Barometrische Höhenformel
p = poe
Druck
p=
−
ρogz
po
Strömung der idealen Flüssigkeit
Kontinuitätsgleichung
Bernoullische Gleichung
dV
= I = const
dt
ρ
p + ρgz + v 2 = po = const
2
Av =
Strömung realer Flüssigkeiten
Stokessches Gesetz
dv
dh
FR = 6πηr v
Hagen-Poiseuillesches Gesetz
FR = 8πηlv
Widerstandsgesetz
FR = c W
Reynoldssche Zahl
Re =
Laminare Strömung (Newton)
FR = ηA
ρ 2
v A
2
ρlv
η
Harmonische Schwingungen
Differentialgleichung
&&x + ω20x = 0
Ort-Zeit-Funktion
x = xm cos (ω 0 t + α )
Kreisfrequenz
ω 0 = 2πf =
2π
T
Periodendauer verschiedener Systeme:
Federschwingung
T = 2π
m
k
Mathematisches Pendel
T = 2π
l
g
Physikalisches Pendel
T = 2π
JA
mgs
Drehschwingung
T = 2π
JA
D
Elektrischer Schwingkreis
T = 2π
LC
Gedämpfte Schwingungen
Differentialgleichung
&&x + 2δx& + ω 02 x = 0
Ort-Zeit-Funktion
x = x A e −δt cos (ωt + α )
Abklinggesetz
x( t + T)
= e −δt
x( t )
Verhältnis der Maximalausschläge
Logarithmisches Dekrement
Federschwingung
xi + n
xi
= e − nδ T
Λ = δT
k
ω 02 =
m
δ=
r
2m
Erzwungene Schwingung
Ort-Zeit-Funktion (eingeschwungener Zustand)
&&x + 2δx& + ω 02 x = Fm cos ωt
m
x = xm cos (ωt − α )
Amplitude
xm =
Differentialgleichung
Äußere Erregung
Phasendifferenz
Wellenausbreitung
(ω
Fm / m
2
0
− ω2
Fm
= ξ mω 02
m
2ω δ
tan α = 2
ω0 − ω 2
)
2
+ 4δ 2ω 2
ω 2 = ω 02 − δ 2
Wellenfunktion
Wellenzahl und Kreisfrequenz
Phasengeschwindigkeit
η ( t, x) = ηm cos (ωt ± k x + α)
k = 2π
ω = 2π = 2πf
λ
T
ω
λ
c = = = λf
k T
2
Wellengleichung
Kalorimetrie, thermische Ausdehnung
Längenausdehnung
2
1 ∂ η= ∂ η
2
2
2
c ∂t
∂x
l = l0 (1+ αϑ )
Volumenausdehnung
V = V0 (1+ γϑ )
γ = 3α
Wärmebilanz
Σ Qauf = Σ Qab
Wärme
Q = mc ∆T
Umwandlungswärme
Q = mq
Wärmeausbreitung
Wärmeleitung
Wärmeübergang
Wärmedurchgang
Wärmedurchgangskoeffizient
Zustandsänderung - Erster Hauptsatz der Thermodynamik
Thermische Zustandsgleichung
Kalorische Zustandsgleichung
& = λ A ∆T
Q
l
& = αA ∆T
Q
& = kA ∆T
Q
l
1
1
=Σ i +Σ
k
λi
αj
pV = mR' T = νRT
U = mc V T
Ausdehnungsarbeit
W = − ∫ p dV
Erster Hauptsatz der Wärmelehre
∆U = Q + W
∆U = Q − ∫ p dV
κ
Poissonsche Gleichung
pV = const
Zusammenhang der Konstanten
κ=
Enthalpie
H = U + pV
Entropie
∆S = S 2 − S1 = ∫
dQ
T
S 2 − S1 = mc V ln
T2
V
+ mR' ln 2
T1
V1
cp
R' = c p − c V
cV
2
1
Entropieänderung beim idealen Gas
Carnotscher Kreisprozeß
Wirkungsgrad
η=
Qh + Q t Th − Tt
=
Qh
Th
Leistungsverhältnis:
Wärmepumpe
εW =
Kältemaschine
εK =
Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik
Entropieänderung im abgeschlossenen System beim
irreversiblen Prozeß
reversiblen Prozeß
Qh
Qh − Q t
Qt
Qh − Q t
∆S > 0
∆S = 0
=
Th
Th − Tt
=
Tt
Th − Tt