Experimentalphysik 1 Skript

Experimentalphysik A
Professor Weiÿ
Abschrift von Matthias Blaicher
Graken von Daniela Mockler
8. Januar 2009
1
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
I
Einführung
5
1
Was ist Physik
5
2
Teilgebiete der Physik
5
3
Aktuelle Forschungsgebiete
5
4
Physikalische Gröÿen & Maÿeinheiten
6
5
Basisgröÿen und Basiseinheiten
6
6
Zeitmessung
7
6.1
Allgemein
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
6.2
Messung kurzer Zeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
6.2.1
Sekundenpendel
7
6.2.2
Schwingquarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
6.2.3
Cäsium-Atomuhr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
6.3
7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
6.3.1
Radioaktiver Zerfall
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
6.3.2
Messen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
6.3.3
14 C-Methode
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
6.3.4
14 C-Zerfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
Längenmessung
9
7.1
Groÿe Abstände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
7.1.1
9
7.2
8
Messung langer Zeiten
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sinussatz der Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kleine Abstände
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
Messfehler
10
8.1
Fehlerfortpanzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
8.2
Mathematischer Einschub: Partielle Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . .
11
II Kinematik des Massepunkts
11
9
12
Bewegung im eindimensionalen Raum
10 Bewegung im dreidimensionalen Raum
13
11 Würfe im Gravitationsfeld der Erde.
14
2
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
12 Kreisbewegungen
15
12.1 Allgemeine Kreisbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
12.2 Gleichförmige Kreisbewegung
16
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13 Zusammenfassung
16
III Newtonsche Axiome
16
14 Trägheitsprinzip
16
14.1 Historisches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
14.2 Bewegte Bezugsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
14.2.1 Koordinatentransformation
14.3 Intertialsystem
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
14.4 Grenzen der Galilei-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
14.5 Aktionsprinzip
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
14.6 Reaktionsprinzip
14.7 Von Massen und Kräften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.7.1 Hook'sches Gesetz
18
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
14.7.2 Zerlegung von Kräften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
14.7.3 Kräfte in der Natur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
15 Gravitation
21
15.1 In der Nähe der Erdoberäche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.1.1 Mathematischer Einschub: Taylor Reihe
15.2 Feier Fall
21
. . . . . . . . . . . . . . .
22
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
15.3 Verlangsamter Fall
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
15.3.1 Schiefe Ebene (ohne Reibung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
15.3.2 Feste Rolle
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.4 Bestimmung der Gravitationskonstante
15.5 Fadenpenden
γ
22
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
15.5.1 Lösungsansatz der DGL
15.6 Harmonischer Oszillator
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
16 Kontaktkräfte
27
16.1 Typische Kraft-Abstandsabhängigkeit
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
16.2 Reibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
16.2.1 Haftreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
16.2.2 Gleitreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
16.2.3 Rollreibung
28
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.3 Strömungswiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
16.3.1 Stoksche Reibung, viskose Reibung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
16.3.2 Newtonsche-Reibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
17 Zentralbewegungen
30
3
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
17.1 Gleichförmige Kreisbewegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
17.1.1 Beispiel: Satelliten-Kreisbahn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
17.2 Mathematischer Einschub: Vektoren
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
17.2.1 Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
17.2.2 Kreuzprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
17.2.3 Rechenregeln
32
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.3 Vektor der Winkelgeschwindigkeit
ω
~
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
17.5.1 Zeitliche Änderung des Drehimpulses . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
17.4 Beschleunigte Kreisbewegung
17.5 Drehimpuls
18 Die Kepler'schen Gesetze
36
18.1 1. Keplergesetz: Ellipsensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.1.1 Die Ellipse
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
37
18.2 2. Keplergesetz: Flächensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
18.2.1 Erklärung Newtons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
18.3 3. Keplergesetz
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
18.3.1 Erklärung Newtons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
19 Scheinkräfte
38
19.1 Freier Fall im beschleunigten System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
19.2 Beispiel: Fadenpendel
39
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.3 Rotierende Bezugsysteme
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
19.3.1 Zentrifugalkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
19.3.2 Corioliskraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
20 Erhaltungssätze
42
20.1 Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
20.1.1 Wegintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
20.1.2 Hubarbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
20.2 Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
20.3 Kinetische Energie
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
20.4 Potentielle Energie
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.5 Energieerhaltungssatz
45
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
20.6 Mathematischer Einschub: Gradient, Rotation Divergenz . . . . . . . . . .
47
20.7 Äquipotentialächen
47
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21 Graviation II
48
4
3
AKTUELLE FORSCHUNGSGEBIETE
Teil I
Einführung
1 Was ist Physik
Grundlagenwissenschaft der unbelebten Natur
•
quantitative Beschreibung
•
Mathematik als Sprache
•
empirische Wissenschaft, Gesetze sind nicht beweisbar im Sinne der Mathematik
Vorgehensweise:
•
Beobachtung
•
Abstraktion, Modellsysteme
•
Gesetzmäÿigkeiten erstellen & überprüfen
•
Wechselspiel zwischen experimenteller und theoretischer Physik
Erhaltungsgröÿen in abgeschlossenen Systemen
•
Energie
•
Impuls
•
Drehimpuls
•
Ladung
2 Teilgebiete der Physik
Klassische Mechanik Bewegung massebehafteter Körper bei Einwirkung von Kräften
Quantenmechanik Verhalten von Mikroobjekten mit kleinen Massen
Thermodynamik Systeme mit vielen Teilchen
Elektrodynamik Physik elektromechanischer Felder und ihre Auswirkung
nden Anwendung in z.B. Atomphysik, Optik, Festkörperphysik,... und weiteren Ingenieurswissenschaften
3 Aktuelle Forschungsgebiete
•
Elementarteilchenphysik, Hochenergiephysik, Kernphysik, Atomphysik, Molekülphysik (physik. Chemie)
5
5
•
Plasmaphysik
•
Festkörperphysik
BASISGRÖßEN UND BASISEINHEITEN
Oberächenphysik
Nanowissenschaften
•
Biophysik
•
Geophysik
•
Meterologie
•
Astrophysik, Astroteilchenphysik
4 Physikalische Gröÿen & Maÿeinheiten
Nicht Raten - Messen!
Zustand und Eigenschaften physikalischer Systeme und Vorgänge werden durch physikalische Gröÿen beschrieben, z.B. Zeit, Temperatur, Kraft. Jede physikalische Gröÿe ist
mathematisch eine Variable. Sie kann verschiedene Werte annehmen und ist durch eine
Maÿzahl und ihre Einheit gegeben.
physikalische Gröÿe = Zahl·Einheit
5 Basisgröÿen und Basiseinheiten
Das SI-System (Système International d'Unités)
Länge
m
Meter
Masse
kg
Kilogramm
Zeit
s
Sekunde
el. Stromstärke
A
Ampere
thermo.dyn. Temperatur
K
Kelvin
Stomenge
mol
Mol
cd
Candela
Lichtstärke
+ abgeleite Einheiten
z.B. Geschwindigkeit
+ dezimale Vielfache
Solche Festlegungen und Überwachungen, sowie die Schaung von Messstandards und
Messvorschriften sind hoheitliche Aufgaben. In Deutschland: Physikalisch-Technische
Bundesanstalt (PTB) in Braunschweig (z.B. Atomuhr) und Berlin (z.B. Temperaturskala).
6
6
ZEITMESSUNG
6 Zeitmessung
6.1 Allgemein
Abzählen von periodischen Vorgängen. Periodendauer
T;
Frequenz
ν =
|{z}
1
T
[s−1 ]; 1 1s =
nü
1 Hz
(Herz)
6.2 Messung kurzer Zeiten
6.2.1 Sekundenpendel
50. Breitengrad: Pendellänge
0, 994 m ⇒
T
2
= 1s
6.2.2 Schwingquarz
T
typisch im Bereich von
10−7 s; ν ∼ 10 MHz. Abweichungen:∼ 0, 2 ms pro Tag. Verwen-
dung z.B. in Uhren.
6.2.3 Cäsium-Atomuhr
ν=
1
T
∼ 9, 19 · 109 Hz
6.3 Messung langer Zeiten
astronomische Einheiten: Stunde, Tag, Jahr...
6.3.1 Radioaktiver Zerfall
instabile Atomkerne zerfallen statisch, es gibt aber charakteristische Gesetzmäÿigkeiten.
t
N(t) = N0 · e− τ
7
6.3
Messung langer Zeiten
6
ZEITMESSUNG
N Zahl der noch vorhanden instabilen Kerne
N0
τ
Zahl der bei
Man muss
t
t=0
durch
τ
vorhandenen instabielen Kerne.
teilen, da sonst eine Einheit als Exponent von e steht. Dort darf
aber nur eine Zahl (Ohne Einheit) stehen!
Mittlere Lebensdauer hängt von dem Zerfallsprozess ab
10−9 s . . . 109 Jahren.
6.3.2 Messen
Zerfälle pro Zeitintervall = Aktiviät
Dierentialgleichung und Lösung:
dN(t)
dt
dN(t)
dt
1
t
= − N0 e− /τ
τ
1
= − N(t)
τ
Aktivität ist also proportional zur Zahl der vorhandenen radioaktiven Kerne.
6.3.3 14 C-Methode
Radioaktives
14 C wird in der Athmosphäre durch Höhenstrahlung ständig erzeugt, zer-
fällt aber ständig wieder
⇒ Gleichgewicht der 14 C-Konzentration, 14 C-Menge im CO2 der Luft ist zeitlich konstant.
14 C und CO in der Athmosphäre & die
(Man geht dabei davon aus, dass der Gehalt an
2
Höhenstrahlung vor Millionen von Jahren dem heute entspricht.)
14 C/12 C-Verhältnis der Luft ein. In toten Or14 C/12 C-Verhältnis nimmt in
ganismen wird der Austausch mit der Luft gestoppt. Das
⇒in
lebenden Organismen stellt sich das
ihnen exponentiell ab.
8
7
LÄNGENMESSUNG
6.3.4 14 C-Zerfall
14
−→14
N
6 Cn
→p7
+ e− +
ν̄e
Elektron-Antineutrino
7 Längenmessung
•
Messstab
7.1 Groÿe Abstände
Triangulieren, Carl Friedrich Gauÿ (1777-1855)
7.1.1 Sinussatz der Geometrie
b
a
c
=
=
α + β + γ = 180◦
sin γ
sin β
sin α
Basislänge
c und zwei angrenzende Winkel α, β
messen,
a und b ausrechnen. Dies gilt bis
astronomische Entfernungen.
7.2 Kleine Abstände
1
100
•
Feinmechanik, z.B. Mikrometerschraube (bis
•
optische Methoden
•
Interferometrie, Überlagerung kohärenter Lichtquellen (LASER)
Auösungsgrenze
•
∼halbe
Wellenlänge,
∼ 200 nm
Rastertunnelmikroskopie. bis atomaren Bereich
9
mm = 10 µm)
8
MESSFEHLER
8 Messfehler
Messfehler sind unvermeidbar. Werden unterschieden in
symetrische Fehler , durch Analyse des Messvorgangs erfassbar
statistische Fehler , durch Wiederholung erfassbar
Beispiel: Histogramm der Messung, z.B. Zeit
t
arithmetischer Mittelwert
htivon N -
Einzelmessungen:
hti =
N
1 X
ti
N
i=1
v u
u N ht2 i − hti2
2
t
i=1 ti − N hti
i=1 (ti − hti)
σ=
=
=
N −1
N −1
N −1
q
Standardabweichung des Messwerts, Varianz σ . Für groÿe N gilt σ =
ht2 i − hti2
s
PN
2
s
PN
2
8.1 Fehlerfortpanzung
Analyse notwendig, falls die zu bestimmende physikalische Gröÿe
durch die Messung der Gröÿen
x, y, z, . . .
G = G (x, y, z, . . .)
ermittelt wird.
hGi = G (hxi , hyi , hzi , . . .)
s
∂G 2 2
∂G 2 2
σ +
σ + ...
σG =
∂x hxi x
∂y hyi y
Wobei
∂G ∂G
∂x , ∂y
an der Stelle
. . . partielle Ableitung der Funktion G (x, y, . . .) nach den Variablen x, y, . . .
hxi , hyi , . . ..
10
8.2
Mathematischer Einschub: Partielle Ableitung
8
MESSFEHLER
8.2 Mathematischer Einschub: Partielle Ableitung
Sei
f
eine Funktion einer Variablen (z.B.
nach dieser Variablen
f0 =
Sei
f
x),
so ist die Ableitung von
an der Stelle
x
df (x)
f (x + ∆x) − f (x)
= lim
∆x→0
dx
∆x
eine Funktion mehrer Variablen (x, y, z, . . . , t),
partielle Ableitung
f
x
∂f
∂x (auch
fx0 )
f = f (x, y, z, . . . , t),
so ist die
deniert durch
f (x + ∆x, y, z, . . . , t) − f (x, y, z, . . . , t)
∂f
= lim
∂x ∆x→0
∆x
d.h. Änderungen von
f
bezüglich einer Variablen wird betrachtet, die anderen Variablen
werden festgehalten. Rechenregeln wie bei gewöhnlichen Ableitungen.
Example 1.
u = ax2 − by
Regenrinne
∂u
∂x
∂u
∂y
=
2xy
z
= −b
Teil II
Kinematik des Massepunkts
Mechanik betrachtet das Verhalten von massebehafteten Körpern unter dem Einuss von
Kräften:
Statik Körper in Ruhe
Kinematik, Dynamik Körper in Bewegung
Mechanik kann nicht die Ursache von Kräften erklären. Fundamental ist die Newtonsche
Bewegungsgleichung. Ermöglicht die Beschreibung des Verhaltens realer Körper - im Prin-
zip alles von der Billiardkugel, Achterbahn, KFZ-Knautschzone, turbolente Strömungen
in Gasen oder Flüssigkeiten.
Wir betrachten zunächst einen drastisch idealisierten Körper mit Masse
m ohne räumliche
Ausdehnung. Seine Bewegung (Kinematik) ist vollständig beschrieben durch die Angabe
des Orts (z.B. im kartesischen Koordinatensystem) und dessen Zeitabhängigkeit.
~r =
x(t) y(t) z(t)
11
9
BEWEGUNG IM EINDIMENSIONALEN RAUM
9 Bewegung im eindimensionalen Raum
Zunächst soll die Bewegung eindimensional untersucht werden, d.h. eine Koordinate
x(t)
reicht aus.
12
x=
10
BEWEGUNG IM DREIDIMENSIONALEN RAUM
Geschwindigkeit ist ebenfalls zeitabhängig
v(t) =
∆x
x(t + ∆t)
=
∆t
∆t
im Grenzwert wird aus dem Dierenquotienten ein Dierentialquotient
v(t) =
aus
x(t)
lässt sich also
Umkehrung
v(t)
v(t) −→ x(t)
dx
m
[v] =
dt
s
errechnen.
durch Integration
ˆ
t
x(t) = x0
v(t0 )dt0
t0
Anfangsbedingung
Denition 2.
x0 = x(t = 0)
t0 =
muss bekannt sein.
Impuls des Massepunktes
p=m·v
umbe-
nannte
riable
[p] = kg
m
s
Beschleunigung Änderungung der Geschwindigkeit
Bremsen Beschleunigung mit negativem Wert.
TODO:FINISH THIS CHAPTER
10 Bewegung im dreidimensionalen Raum
Es gelten die kartesischen Koordinaten.
13
Va-
11
WÜRFE IM GRAVITATIONSFELD DER ERDE.
Gröÿe
Denition
Ort (Ortsvektor)
Impuls
~r(t) = x(t) y(t) z(t)
d
~v (t) = dt
~r(t)
p~(t) = m~v (t)
Beschleunigung
~a(t) =
Geschwindigkeit
d~v (t)
dt
=
d2 ~
r(t)
dt2
Die vektorielle Schreibweise steht abkürzend für die getrennte Ableitung der Komponenten.
~v =
vx vy vz
=
~a =
ax ay az
=
dx
dt
dvx
dt
dy
dt
dvy
dt
dz
dt
dvz
dt
wichtige Festellung: Die Bewegungsabläufe in den drei Raumkoordinaten sind untereinander nicht abhängig! Ungestörte Überlagerung der Bewegung
Remark 3. Die Zeitableitung eines Vektors liegt tangential zu seiner Bahnkurve.
~r(t + ∆t) − ~r(t)
∆t
∆~r
~v (t) = lim
∆t→0 ∆t
∆~r
∆t
=
11 Würfe im Gravitationsfeld der Erde.
Wahl des Koordinatensystems
x-Richtung horizontal
z-Richtung vertikal
14
12
0 0 −g . Anfangsbedingungen ~r0 = x0 y0 z0 , ~v = v0x v0y v0z
=0
Zeitpunkt t = t0 = 0. Jede Komponente kann zeitunabhängig integriert werden!

 

x(t)
x0 + v0x t

y0
~r(t) =  y(t)  = 
1 2
z(t)
z0 + v0z t − 2 gt
Es gilt ~
a
zum
KREISBEWEGUNGEN
=
Die Zeit ist für alle Komponenten gleich und lässt sich daher elimieren, man erhält für
z(x)
Wurfparabeln. Mit
x 0 = z0 = 0
und
z=
dz
dx
=0
xmax =
Wurfhöhe
aus
Wurfweite
2xmax = 2v0xg v0z =
90◦ , α = 45◦
folgt
|~v0 | = v0
−g 2 v0z
2 x + v x
2v0x
0x
v0x v0z
g ,
2
v0z
2g
zmax =
v02
g 2 sin α cos α
=
v02
g
sin 2α.
Maximale Wurfweite bei
2α =
12 Kreisbewegungen
12.1 Allgemeine Kreisbewegung
Mittelpunkt bei
~ =
x = 0, y = 0. Radius R, Radiusvektor R
R cos ϕ R sin ϕ
. Winkel
wird im Bogenmaÿ gemessen
ϕ=
Bogenlänge
Radius
Einheit: rad, Radiant. Eigentlich ohne Einheit
15
m
m
.
1 rad ,
360◦
2π
= 57, 3◦
2π , 360◦
12.2
Gleichförmige Kreisbewegung
14
TRÄGHEITSPRINZIP
12.2 Gleichförmige Kreisbewegung
Die zeitliche Zunahme des Winkels ist konstant.
rad
1
s meist s .
Für
ϕ
gilt
dϕ
dt
=ω
(Winkelgeschwindigkeit)
[ω] =
ω
läuft mit
um den Mittelpunkt. Wir wählen
~ =
R
Periodendauer, Umlaufzeit (wenn
R cos ωt R sin ωt
ωt = 2π ): T =
1
Frequenz, Zahl der Umläufe pro Zekunde. T
des Winkels
ϕ(t = 0) = 0:
ϕ
2π
ω
=ν=
ω
2π (bei dieser Schreibweise ist
ω
im
Bogenmaÿ)
Geschwindigkeit, komponentenweise dierenzieren z.B.
vx =
~ . |~v | = v = ωR
~v ⊥ R
Beschleunigung,
~a =
d~v
dt
~ , |~a| = a = ω 2 R = ωv =
⊥ ~v , ~a ↓↑ R
dx
dt
= −R sin ωt. ~v
v2
R.
~a
tangen-
zeigt zum Kreismit-
telpunkt und heiÿt Zentripetalbeschleunigung.
13 Zusammenfassung
Ort
~r(t)
d
r(t)
Geschwindigkeit dt ~
Beschleunigung
d2
~r(t)
dt2
= ~v (t)
=
d
v (t)
dt ~
= ~a(t)
Unabhängigkeitsprinzip
Teil III
Newtonsche Axiome
Bisher:
Jetzt:
Ent-
wicklung
~
ϕ = ωt, R
tial, d.h.
Zeitl.
Kinematik eines Massepunkts beschreibt dessen Bewegungsablauf
~r(t).
Dynamik, Ursache für einen bestimmten Bewegungsablauf. (z.B. Wurfparabeln,
Planetenbahnen). Zentrale Begrie sind hierbei: Kraft, Masse
14 Axiom 1 - Trägheitsprinzip (Galilei)
Ein Körper bleibt in Ruhe oder bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit weiter, wenn
keine resultierende Kraft auf ihn einwirkt.~
v
= const. ∨ ~v = 0
16
falls
P
F~ = i F~i = 0.
14.1
Historisches
14
TRÄGHEITSPRINZIP
14.1 Historisches
Was ist die natürliche Bewegung eines Körpers ohne Einwirkung?
Galilei
→ ~v = const.
Newton
Beschleunigungen werden von Kräften verursacht. ~
a
= 0 ⇔ F~ = 0 ⇒Kräftefreies
System
14.2 Bewegte Bezugsysteme
Alle Bewegungen laufen wie gewohnt ab, wenn das Bezugsystem sich mit konstanter
Geschwindigkeit bewegt.
Für P gilt von S aus gesehen:
~v = ~v 0 + ~vs
(Überlagerungsprinzip)
14.2.1 Koordinatentransformation
x0 = x − vs t
y0 = y
z0 = z
t0 = t




Gallilei-Transformation



vx0 = ẋ0 = vx − vs
vy0 = vy
vz0 = vz
a0x = v̇x0 = v̇x = ax
a0y = ay
a0z = az
17
14.3
Intertialsystem
14
Beschleunigungen sind im System
s
und
s0
TRÄGHEITSPRINZIP
gleich. Im Bezugsystem mit
~v = const
gelten
die Nwtonschen Gesetze!
14.3 Intertialsystem
Von lat. inertia = Trägheit. Beschleunigte Bezugsysteme sind keine Inertialsysteme. Kraft
nötig um eine Position im beschleunigten System zu halten.
14.4 Grenzen der Galilei-Transformation
Zeit ist nicht absolut, muss mittransformiert werden beim Wechsel von einem System
zum anderen. Unwichtig solange
v, v 0 , vs Lichtgeschwindigkeit.
14.5 Axiom 2 - Aktionsprinzip (Das Newtonsche Axiom)
Die Beschleunigung eines Körpers ist umgekehrt proportional zu seiner Masse und direkt
proportional zur resultierenden Kraft, die auf ihn wirkt.
~a ∝ F~
1
|~a| ∝
m
F~
~a =
m
F~
Allgemeiner mit Impuls
= m · ~a
p~ = m~v
d
F~ = p~
dt
14.6 Axiom 3 - Reaktionsprinzip
Kräfte treten immer paarweise auf. Übt Körper A auf den Körper B eine Kraft
F~AB
aus,
so wirkt eine gleich groÿe, entgegengesetzt gerichtetete Kraft von Körper B auf Körper
A.
F~AB = −F~BA
14.7 Von Massen und Kräften
F~ = m~a
F~
nötig, um
m
Eigenschaft von Körpern, sich einer Beschleunigung zu widersetzen. Träge
~v
zu verändern,
F~ k ~a
Masse
18
14.7
Von Massen und Kräften
14
TRÄGHEITSPRINZIP
14.7.1 Hook'sches Gesetz
Kräfte lassen sich messen z.B. mit Federwage.
1. Alles in Ruhe
P
i Fi
2.
= 0,
also
F~Rück = −F~schwer
x ∝ Fschwer
Denition 4.
Hook'sches Gesetz
F~Rück = −Dx
14.7.2 Zerlegung von Kräften
Kräfte lassen sich vektoriell zerlegen und addieren.
Example 5.
Rolle auf schiefer Ebene, mit Federwaage festhalten.
Gewichtskraft zerlegbar in Komponenten
⊥
und
k
zur Unterlage.
F~G = F~N + F~T
19
14.7
Von Massen und Kräften
F~N
F~T
P
Tangentialkraft
=0
wegen Beschleunigung
Example 6.
der
TRÄGHEITSPRINZIP
Normalenkraft
i Fi
Bei
14
a=0
(Statik). Experiment zeigt:
FT = 21 FG
bei
30◦ .
Kraftdreieck mit Seilen
P ~
◦
~ ~ ~
i Fi = 0 sein (Statik). Daher F3 + F4 + F5 = 0. Bei 90 gilt für das Verhältnis
2
2
2
Kräfte, d.h. für die Beträge von Fi : 5 = 3 + 4 (Pythagoras)
◦ muss
Remark 7. Mit Rollen wird die Kraftrichtung geändert, nicht der Betrag. Rollenlager
müssen die Umlenkkraft aufbringen.
14.7.3 Kräfte in der Natur
Es gibt 4 fundamentale Kräfte, oder Wechselwirkungen
1. Gravitation
2. Elektromagnetische Wechselwirkung
z.b. Coulombkraft, Lorentzkraft, auch Kontaktkräfte, die bei Berührung von Körpern auftreten (Reibung, Druck)
20
15
GRAVITATION
3. Starke Wechselwirkung
→Bindung
zwischen Kernbausteinen
4. Schwache Wechselwirkung
→Umwandlung,
Zerfall von Elementarteilchen
15 Gravitation
Newton's gröÿte Entdeckung: Das universelle Gravitationsgesetz.
m1 m2 ~r
F~ = γ 2
r
|~r|
mit
γ ≈ 6.674 · 10−11
m3
=Gravitationskonstante.
kg·s2
15.1 In der Nähe der Erdoberäche
FG = ms g
FG entspricht
dem Gewicht, die Schwerkraft eines Körpers mit der schweren Masse
mit
g=γ
Fläche mit
g = const.:
ms
mErde
m
= 9, 81 2 ≈ const.
2
s
rErde
Geoid (,verbeulte Birne)
F
ME ms
r2
ME m s
= γ
(RE + h)2
γME
ms
=
·
2
2
RE
1 + RhE
= γ
= gms 1
2
1 + RhE
h2
h3
h
(T aylor) = gms 1 − 2
+ 3 2 − 4 2 + ...
RE
RE
RE
Frage: Wo bleibt die r 2 -Abhängigkeit? Ist vernachlässigbar, falls r −RE RE . RE =
1
−8 mit 1 = 24629 · 10−8 . Also ein relativer Fehler
6371 km, vgl. z.B. 6371
2 = 2, 4637 · 10
6372
−5
von nur 3, 2 · 10
.
21
15.2
Feier Fall
15
GRAVITATION
15.1.1 Mathematischer Einschub: Enwicklung einer Funktion in einer Taylor Reihe
Eine Funktion
y = f (x),
die stetig ist, und alle Ableitungen für
x=a
besitzt, kann in
vielen Fällen als Summe einer Potenzreihe geschrieben werden.
x−a 0
(x − a)2 00
(x − a)3 000
(x − a)n (n)
f (x) = f (a) +
f (a) +
f (a) +
f (a) + . . . +
f (a) + . . .
1!
2!
3!
n!
1
um
(1+x)2
x5
x7
5! − 7! . . .
z.B.
f (x) =
x−
x3
3!
+
x = a = 0: f (x) = 1 − 2x + 2x2 − 4x2 − 4x3 + 5x4 . . .; sin x =
15.2 Feier Fall
FG zum Erdmittelpunkt gezoE
ms . FG = ms g , g = γ M
. Nach dem 2. Newtonschen
R2
Alle Körper werden mit ihrer Gewichtskraft (Schwerkraft)
gen aufgrund ihrer schweren Masse
E
Axiom (Bewegungsgleichung; Körper widersetzt sich mit seiner trägen Masse
Beschleunigung
a)
gilt
a=g
gilt nur, wenn
rung:
mS −mT
ms
FG = mT a. → a =
mS = mT ,
< 10−12
FG
mT
=
ms
mT
dies ist das Äquivalenzprinzip. Experimentelle Verizie-
15.3.1 Schiefe Ebene (ohne Reibung)
(mit
der
· g.
15.3 Verlangsamter Fall
a = g sin α
mT
mS = mT )
15.3.2 Feste Rolle
F
= (m1 − m2 ) g
mges = m1 + m2
a =
=
F
mges
m1 − m2
·g
m1 + m2
22
15.4
Bestimmung der Gravitationskonstante
γ
15
15.4 Bestimmung der Gravitationskonstante γ
Versuchsaufbau (Sicht von oben)
Stab mit den Massen
m1
hat einen Spiegel und hängt an einem Draht.
Experimentelle Daten
m1 = 0, 015 kg
m2 = 1, 5 kg
R = 0, 05 m
r = 0, 04 m
α = 13, 75 m
Zum Spiegel
23
GRAVITATION
15.4
Bestimmung der Gravitationskonstante
Erleuterung
=m·a
m2
auf den Abstand
und die Massen
m1
r
zu den Massen
α=
x
R und
2α =
messe
m1 gebracht.
ã ⇒ a ⇒ γ .
exp:
2x
R
t = 90 s
x̃ = 5 · 2 cm = 0, 1 m
1 2
=
ãt
2
2x̃
0, 2 m
ã =
=
2
t
(90 s)2
m
= 2, 5 · 10−5 2
s
m 0, 05 m
2x̃
= 2, 5 · 10−5 2 ·
2
t
s 27, 5 m
−8 m
= 4, 5 · 10
s2
⇒ a = ã ·
4, 5 · 10−8 sm2 · (0, 04 m)2
ar2
=
⇒γ =
m2
1, 5 kg
3
m
= 4, 8 · 10−11
kg · s2
Literaturwert
γ = 6.673 · 10−11
Dann wirkt
F =
m2
r2
x̃
α folgt für die Beschleunigung des Lichtpunkts
ã = a
Experiment
GRAVITATION
werden beschleunigt mit
a=γ
mit
15
In der Ausgangsstellung neutralisieren sich die Gravitationskräfte. Dann
werden die Massen
γ m1r2m2
γ
m3
kg·s2
24
¨ an der Wand.
ã = x̃
15.5
Fadenpenden
15
GRAVITATION
15.5 Fadenpenden
Es wirken Seilkraft und Gravitation. Für die rücktreibende Kraft gilt
Fr = FG sin α
= ms g sin α
F
= mT a
= mT lα̈
a = ẍ = lα̈
mS g sin α
= −
mT
Durch
sin α
ist dies eine schwierige Dierentialgleichung als Bewegungsgleichung. Für
kleine Auslenkungen gilt als Näherung
sin α = α
mit
α
im Bogenmaÿ.
15.5.1 Lösungsansatz der DGL
α = α0 sin(ωt + ϕ0 )
2π
ω =
T
mit beliebiger Zeitphase
ϕ0 ,
je nach Anfangsbedingung.
α̇ = −α0 ω cos (ωt + ϕ0 )
α̈ = −α0 ω 2 sin (ωt + ϕ0 )
25
15.6
Harmonischer Oszillator
α
α̈
und
15
in Dierentialgleichung einsetzen, und
α0
und
sin (ωt + ϕ0 )
GRAVITATION
kürzen sich raus, es
bleibt:
−ω 2 +
Experiment
mS g
·
mT l
= 0
r
r
mS
g
ω =
·
mT
l
Apfel, Stahlkugel, Handy
→Alle
Körper verhalten sich gleich.
⇒ mS = mT
r
ω =
Denition 8.
Kreisfrequenz
r
ω=
ω
g
l
g
l
ist die Winkelgeschwindigkeit, mit der sich die Phase von
zu verwechseln mit
α̇,
sin (ωt + ϕ0 )
ändert. Nicht
der Winkelgeschwindigkeit des Pendels.
15.6 Harmonischer Oszillator
Wichtigstes Objekt in der Physik. Mechanische Realisierung durch träge Masse an
masseloser Feder bei Gültigkeit des Hook'schen Gesetzes.
Anhängen einer Masse bewirkt Auslenkung der Feder um
Ruhelage sei
−Dx.
x = 0.
Eine Auslenkung aus
x=0
um
x
= ma
−Dx = ma
mẍ − Dx = 0
26
FG
D , statisch. Für neue
bewirkt eine Rückstellkräft
Nach dem 2. Axiom gilt für die Bewegungsgleichung
F
∆x =
F =
16
Denition 9.
KONTAKTKRÄFTE
Dierentialgleichung des harmonischen Oszillators, ohne Reibung, ohne
Anregung
mẍ + Dx = 0
Lösungen sind sin- oder cos-Zeitfunktionen z.B.
ẍ
folgt, dass
ω2 =
D
m
r
ω=
z.B. Messung von
ω
oder
T
x = x0 sin (ωt + ϕ0 ) einsetzen von x und
D
m
bei gegbener Mass erlaubt die Bestimmung von
D
(oder
umgekehrt).
16 Kontaktkräfte
Berührung führt immer zu Verschiebung von Atomen und damit zu Rückstellkräften.
16.1 Typische Kraft-Abstandsabhängigkeit
Für kleine Auslenkungen um den Gleichgewichtsabstand gilt
F (x) = −c (x − x0 )
Dies ist die mikroskopische Ursache für das Hook'sche Gesetz. Kontaktkräfte (z.B. Zuggraft im Seil, Reibung, Stöÿe zwischen Gasatomen, ...) werden durch Coulombkräfte
verursacht. Sie bestimmen die Wechselwirkung der Elektronen untereinander und mit
den Atomkernen. Zum vollen Verständnis wird die Quantenmechanik benötigt.
16.2 Reibung
technisch wichtig, wissenschaftlich schwierig. Hier: makroskopische Beschreibung, die der
allgemeinen Erfahrung entspricht.
27
16.2
Reibung
16
KONTAKTKRÄFTE
16.2.1 Haftreibung
Körper wird durch eingesetzte Kraft nicht beschleunigt.
a = 0 ⇔ F~ = −F~HR
FHR
hat einen maximalen Wert.
FHR,max = µH FN
µH
Haftreibungszahl
FN
Normal, Auagekraft
FHR
⊥Unterlage
ist unabhängig von makroskopischer Auageäche, abhängig von der Struktur der
Oberäche.
Versuch
16.2.2 Gleitreibung
Gleitreibung
exponentiell
FGR = µG FN
µG < µH
Gleitreibung ist unabhängig von Geschwindigkeit und Auageäche.
16.2.3 Rollreibung
µR < µG
Wichtig:
F~HR , F~GR , F~RR ⊥ F~N
und sind der Bewegungsrichtung entgegengesetzt.
28
16.3
Strömungswiderstand
Example 10.
16
KONTAKTKRÄFTE
Schiefe Ebene
bis zu einem Grenzwinkel haftet der der Körper
F~HR = −F~T
FHR = µH FN
= µH FG cos α
wenn er gleitet, gilt:
F
= ma = FT − FGR
ma = FG (sin α − µG cos α)
16.3 Strömungswiderstand
Geschwindigkeitsabhängig in einer im Allgemeinen komplizierten Weise. Mögliche Darstellung:
FR = bv n
mit
n = 1 . . . 2. b
enthält die Geometrie des Körpers und Fluid-Parameter.
16.3.1 Stoksche Reibung, viskose Reibung
bei ausreichend kleiner Geschwindigkeit
FR ∝ v
F~R = −γ~v
kg
[γ] =
s
Kugel
γ = 6πηR
η
Viskusität
[η] =
R
Kugelradius
kg
s·t
29
17
ZENTRALBEWEGUNGEN
16.3.2 Newtonsche-Reibung
bei schneller Bewegung.
FR ∝ v 2
1
FR =
cw ρAv 2
2
ρ
Dichte des Fluids
A
Querschnittsäche des Körpers
cW
Widerstandskoezient, hängt von der Form des Körpers ab.
17 Zentralbewegungen
17.1 Gleichförmige Kreisbewegungen
mit
ω = const.
Wir wissen, dass dies eine Beschleunigung erfordert, die zum Kreismit-
telpunkt gerichtet ist. Ihr Betrag ist
a = ω2r =
v2
= ωv, ~a ⊥ ~v
r
Nach dem 2. Axiom ist dann eine Kraft nötig, die zum Kreismittelpunkt zeigt, mit dem
Betrag
FZP = mω 2 r.
Denition 11.
Zentripetalkraft
FZP = mω 2 r
30
17.2
Mathematischer Einschub: Vektoren
17
ZENTRALBEWEGUNGEN
17.1.1 Beispiel: Satelliten-Kreisbahn um die Erde
FZP
= FG
ME · m
mω 2 r = γ
r2
2π
ME
= γ 3
T
r
Folgt für die Umlaufzeit:
T2 =
Spionage-Satelliten
4π 2 r3
·
γ ME
mit Höhe über der Erdoberäche von ca.
100 km
(d.h. endliche
Lebensdauer wegen Luftreibung). Die Bahnebene ist gegen Äquator gekippt
ωSpion ωErde
Geostationär
steht über einem festen Punkt des Äquators
ωSatellit = ωErde
Wie kann also die Orientierung der Kreisbahn angegeben werden?
kelgeschwindigkeit
ω
~. ω
~
ist ein achsialer Vector
~ -Feld, ~v
(Kraft, E
→den Vektor der Win-
sind polaren Vektoren).
17.2 Mathematischer Einschub: Vektoren
17.2.1 Skalarprodukt
Denition 12.
Skalarprodukt oder Punktprodukt. Das Ergebnis ist ein Skalar
~a · ~b
31
17.2
Mathematischer Einschub: Vektoren
~a =
~b =
~a · ~b =
17
ax ay az
bx by bz
ax ay az
·
ZENTRALBEWEGUNGEN
bx by bz
= ax bx + ay by + az bz
= |~a| · ~b · cos ϑ
Senkrechte Vektoren
Es gilt die Orthogonalitätsbedingung
~a · ~b = 0
Parallele Vektoren
~a
k ~a
~a · ~a = |~a|2
= a2
17.2.2 Kreuzprodukt
Denition 13.
Kreuzprodukt oder Vektorprodukt

 

ax
bx
~a × ~b =  ay  ×  by 
az
bz


ay bz − az by
=  az bx − ax bz 
ax by − ay bx
= |~a| · ~b · sin ϑ
17.2.3 Rechenregeln
~a × ~b × ~c = (~a · ~c) ~b − ~a · ~b ~c
Beweis durch Ergänzungstricks z.B.
+ax bx cx − ax bx cx
~a · ~b = ~b ·~a
~a × ~b = − ~b × ~a
32
17.3
Vektor der Winkelgeschwindigkeit
ω
~
17
ZENTRALBEWEGUNGEN
Multiplikation mit einem Skalar A
A ~a · ~b
= (A~a) · ~b = ~a · A~b
A ~a × ~b
= (A~a) × ~b = ~a × A~b
Doppelte Produkte
~a · ~b · ~c
6
=
~a · ~b · ~c
~a × ~b × ~c
6
=
~a × ~b × ~c
Distributivgesetz
~a · ~b + ~c
= ~a · ~b + ~a · ~c
~a × ~b + ~c
= ~a × ~b + ~a × ~c
Dierentiation
d ~a ± ~b
dt
d
(A~a)
dt
d ~
~a · b
dt
d ~a × ~b
dt
d
d
~a ± ~b
dt
dt
d
d
= ~a A + A ~a
dt
dt
d
d
= ~b ~a + ~a ~b
dt
dt
d~a ~ d~b
=
×b+
× ~a
dt
dt
=
17.3 Vektor der Winkelgeschwindigkeit ω
~
•
parallel zur Drehachse
•
senkrecht zu
•
Betrag
ω=
~v
dϕ
dt
=
dϕ ds
·
→ |~
ω| =
ds |{z}
dt
|{z}
r
v
r
v
Im allgemeinen gilt
~v = ω
~ × ~r
33
17.4
Beschleunigte Kreisbewegung
daraus
ω
~ = ...
17
ZENTRALBEWEGUNGEN
durch
~r × ~v = ~r × (~
ω × ~r)
= ω
~ (~r · ~r) − ~r (~r · ω
~)
mit
~r ⊥ ω
~
= ω
~ r2 − 0
⇒ω
~ =
Für die Zentripetalbeschleunigung bei
1
(~r × ~v )
r2
ω
~ = const.
folgt
= ω
~ × ~v
~aZP
= −ω 2~r
17.4 Beschleunigte Kreisbewegung
Winkelbeschleunigung
α=
dω
dt
d2 ϕ
,
dt2
=
Positive Beschleunigung
α
~ ↑↑ ω
~
negative Beschleunigung
~a ↓↑ ω
~
h
i
rad
, s12 . Auch
s2
ist ein achsialer Vektor
(Bremsvorgang)
Verknüpft ist die Tangentialbeschleunigung
~atan = α
~ × ~r.
liegt, ändert sich die Bahnebene.
17.5 Drehimpuls
Dynamische Gröÿe auf einen Raumpunkt bezogen.
Denition 14.
α
~
Drehimpuls
~ = ~r × p~
L
34
Falls
α
~
nicht parallel zu
ω
~
17.5
Drehimpuls
17
Beispiel 1: geradliniger Vorbeiug mit
p~ = const.
d.h.
ZENTRALBEWEGUNGEN
F~ = 0
Von oben gesehen
~ = ~r × p~ = const.
⇒L
Ohne äuÿere Einüsse ist der Drehimpuls erhaltend
Beispiel 2: Kreisbewegung
~ = ~r × p~
L
= ~r × (m~v )
= ~r × (m~
ω × ~r)
= m~r × (~
ω × ~r)
= m (~
ω (~r · ~r) − ~r (~
ω · ~r))
= mr2 ω
~
~ = mr2 ω
L
~
Drehimpuls
ähnlich
=
Trägheitsmoment
· Winkelgeschw.
p~ = m · ~v .
17.5.1 Zeitliche Änderung des Drehimpulses
~
dL
dt
d
(~r × p~)
dt
d~r
d~
p
=
× p~ + ~r ×
dt
dt
= ~|v ×{zm~v} +
~|r ×
{zF}
=
=0
=Drehmoment M
Man kann also nur eine Impulsänderung machen, wenn man Kraft aufwendet.
35
18
Denition 15.
DIE KEPLER'SCHEN GESETZE
Drehmoment
~
M
Drehmoment
= ~r × F~
=
Hebelarm
× Kraft
Drehmoment bewirkt eine Änderung des Drehimpulses.
X
~
dL
~i
M
=
dt
i
Falls äuÿeres Drehmoment
M <0
→
~
dL
~ = const.
=0 L
dt
dies gilt insbesonder für Zentralbewegungen, dabei ist eine Kraft (Beschleunigung) immer
auf einen Punkt gerichtet.
F~
↓↑ ~r
~a ↓↑ ~r
~
→M
~
→L
= ~r × F~ = 0
=
const.
Es gilt:
1. Bahn verläuft in einer Ebene.
2. der vom Beschlunigungszentrum ausgehende Ortsvektor überstreicht in gleichen
Zeitabschnitten gleiche Flächen. (Flächensatz, 2. Kepler'sches Gesetz)
18 Die Kepler'schen Gesetze
•
beschreiben die Planetenbahnen
•
sind begründet auf genauen Messungen von Tycho Brahe
•
wurden von Kepler (1571-1630) vor den Erkenntnissen von Newton aufgestellt
36
18.1
1. Keplergesetz: Ellipsensatz
18
DIE KEPLER'SCHEN GESETZE
18.1 1. Keplergesetz: Ellipsensatz
Die Planeten bewegen sich um die Sonne auf Ellipsenbahnen, die Sonne steht im Brennpunkt dieser Ellipse.
18.1.1 Die Ellipse
Normalform
Es gilt:r
x2
a2
+
y2
b2
=1
+ r0 = 2a
Polarkoordinaten
r=
a(1−ε2 )
1−ε cos ϕ
Bemerkungen:
•
alle Planetenbahnen leigen nahezu in einer Ebene
•
Drehsinn ist gleich
⇒Gemeinsam
•
entstanden.
Exzentrität klein:
εErde
εVenus
εMerkur
εPluto
=0,0167
=0,0068
=0,206
=0,25
18.2 2. Keplergesetz: Flächensatz
Die Verbindungslinie (Fahrstrahl) von der Sonne zum Planeten überstreicht in gleichen
Zeiten gleiche Flächen
37
18.3
3. Keplergesetz
19
SCHEINKRÄFTE
18.2.1 Erklärung Newtons
In
dt
~
dA
überstrichene Dreiecksäche
~ =
dA
=
=
~
L
~
konstant wegen Zentralkraft (M
1
(~r × ~v dt)
2
1
(~r × m~v dt)
2m
1 ~
Ldt
2m
√
~
= ~r × F~ = 0) → ddtA = const. ,→ Flächensatz
18.3 3. Keplergesetz
Vergleich der Bahnen verschiedener Planeten ergibt: Das Quadrat der Umlaufdauer eines
Planeten ist proportional zur 3. Potenz der Länge der groÿen Halbachse seiner Bahn,
T 2 ∝ a3
2
a3
18 m
=
3,
35
·
10
= CSonne
T2
s2
18.3.1 Erklärung Newtons
Gravitationsgesetz
F =γ
m
Sonne
·m
r2
Planet ; für elliptische Bahnen mathematisch etwas
aufwendig, bei Annahme von Kreisbahnen einfach. Siehe auch Satellit
T2
4π 2
1
1
=
=
=
3
r
γ
MSonne
C
19 Trägheitskräfte, Scheinkräfte
treten in beschleunigten Bezugsystemen auf. Ursache ist die Trägheit der Körper. Zur
Erinnerung: Newton's Gesetze gelten in Inertialsystemen mit
38
v = const.
19.1
Freier Fall im beschleunigten System
19
SCHEINKRÄFTE
19.1 Freier Fall im beschleunigten System
~a =
a0 0 0
→Beschleunigung
nur in x-Richtung
Bei Anwendung des Aktionsprinzips (2. Axiom) im beschleunigten System muss zur
Beschreibung der Bewegung eine zusätzliche Kraft eingeführt werden - die Scheinkraft,
Trägheitskraft.
Hier:
F~Schein = −m~a
19.2 Beispiel: Fadenpendel
Sicht aus Inertialsystemen
39
19.3
Rotierende Bezugsysteme
19
SCHEINKRÄFTE
Beschleunigung der Pendelmasse wird durch die horizontale Komponente der Scheinkraft
aufgebracht.
Sicht aus beschleunigtem System
Pendel ist in Ruhe aber schief !
F~Schein = −m~a
nötig, damit
P ~
i Fi = 0
19.3 Scheinkräfte in rotierenden Nicht-Inertialsystemen
Wir beschränken uns auf
ω = 0,
bei gleichmäÿiger Kreisbewegung des Bezugsystems.
19.3.1 Zentrifugalkraft
Ruhendes Objekt im rotierenden System.
v 0 = 0.
40
19.3
Rotierende Bezugsysteme
19
SCHEINKRÄFTE
Sicht aus Inertialsystemen
F~ZP = −mω 2~r.
F~Seil + F~G = F~ZP
Zentripetalkraft
aufgebracht:
Wird durch die horizontale Komponente der Seilkraft
Sicht aus beschleunigtem System
Pendel ruht, aber schief !
F~ZF
so, dass
P ~
2 r2
~
i Fi = 0. FZF = mω ~
heiÿt Zentrifugalkraft
19.3.2 Corioliskraft
Bewegtes Objekt im rotierenden System (v
0
6= 0) ⇒Zentrifugalkraft
Ablenkende Scheinkraft ohne Herleitung:
F~C
= 2m ~v 0 × ω
= 2mv 0 ω sin ∠ ~v 0 , ω
~
TODO: Add Foucaultisches Pendel
41
+ Corioliskraft.
20
ERHALTUNGSSÄTZE
20 Erhaltungssätze
20.1 Arbeit
Denition 16.
Arbeit (physikalische Denition). Wirkt eine Kraft
F~
auf einen mate-
riellen Punkt oder Körper und verschiebt ihn dabei um eine Weglänge
∆~r,
so hat die
Kraft den Zustand des Körpers verändert, sie hat Arbeit verrichtet.
Denition 17.
Arbeit (mechanische Denition).
∆W
= |F~ | · |∆~r| · cos ∠ F~ , ∆~r
dW
= F~ · d~r
20.1.1 Wegintegral
dierentielle Formulierung ist nötig, wenn sich
sich ändern.
42
~
F oder Winkel zwischen Kraft und Weg
20.1
Arbeit
Arbeit eines Wegs von
20
~r1
nach
~r2
ˆ
~
r2
dW
W12 =
~
r1
ˆ ~r2
F~ d~r
=
~
r1
[W ] =
=
Nm
kg·m2
s2
=J
Dieses Integral wird auch als Wegintegral bezeichnet.
20.1.2 Hubarbeit gegen Gewichtskraft
Direktes lotrechtes Heben
F
= mg
h = h2 − h1
ˆ h2
W12 =
mgdh
h1
= mgh
Heben auf reibungsfreier schiefen Ebene
F
= mg sin α
h2 − h1
∆r =
sin α
⇒ W12 = mgh
Absichtlich komplizierter Weg im Halbkreis
43
ERHALTUNGSSÄTZE
20.2
Leistung
20
ERHALTUNGSSÄTZE
Parametrisierung des Weges

h
~r(t) =
2
t

sin t
 t = 0...π
0
1 − cos t
ist hierbei nicht unbedingt die Zeit.


cos t
h
d~r
=  0 
dt
2
sin t
Denition 18.
Parametrisches Wegintegral
ˆ
~
r2
W12 =
ˆ
F~ (~r) dr =
~
r1
~
r2
~
r1
d~r
F~ (~r(t)) · dt
dt
Aus der Denition des parametrischen Wegintegrals und
F~ =
0 0 mg
folgt
ˆ
π
h
sin t dt
mg
2
0
h
=
mg [− cos]π0
2
h
=
mg (1 − (−1))
2
= mgh
W12 =
Note 19. Das Arbeitsintegral ist wegunabhängig für konservative Kraftfelder.
Add Ortsunabhängige Kräfte wie Federrückstellkraft.
20.2 Leistung
Leistung ist deniert als Arbeit pro Zeiteinheit
Denition 20.
P =
∆W
∆t .
Leistung
P
=
[P ] =
dW (t)
= F~ · ~v
dt
Nm
= W (Watt)
s
20.3 Kinetische Energie
Verknüpfung von Arbeit mit dem 2. Newtonschen Axiom. Massepunkt hat momentan
am Ort
~r
den Impuls
p~ = m~v .
Kraft bewirkt Impulsänderung
d~
p = F~ dt
44
20.4
Potentielle Energie
Positionsänderung ist
mit
d~r = ~v dt.
20
Eliminierung von
ERHALTUNGSSÄTZE
dt:
~v · d~
p − F~ d~r = 0
p~ · d~
p ~
− F d~r = 0
m
d (~
p · p~) = d~
p · p~ + p~d~
p = 2~
p · dp folgt
2
p
− F~ · d~r = 0
d
2m
Zwei dierentielle Gröÿen deren Summe konstant bleibt.
Denition 21.
Kinetische Energie
Ekin =
dEkin = d
p2
2m
p2
1
= mv 2
2m
2
ist die Änderung der kinetischen Energie längs der Wegstrecke
Einwirkung der Kraft
d~r
bei
F~ .
20.4 Potentielle Energie
Man könnte die bei obrigen Beispielen eingesetzte Arbeit zur Beschleunigung einer Masse
nutzen
Gespannte Feder
kann die Arbeit
Angehobene Masse
´
kann die Arbeit
−Dx dx
´
verrichten
−mg dz
Oenbar besitzen die beide Systeme durch die von auÿen an ihnen verrichtete Arbeit die
Eigenschaft, selbst wieder Arbeit verrichten zu können. Diese Eigenschaft heiÿt potentielle
Energie.
Angehobene Masse
gespannte Feder
Epot = mgh
Epot = 12 Dx2
20.5 Energieerhaltungssatz
Die verschiedenen Energieformen können ineinander umgewandelt werden.
Denition 22.
Energieerhaltungssatz der Mechanik
Ekin + Epot = const.
Verluste durch Reibung sind nicht berücksichtigt, bzw. in einem abgeschlossenen System
ist die Gesamtenergie eine Erhaltungsgröÿe. Dies schlieÿt die durch Reibungsverluste
entstehende Wärmeenergie mit ein.
45
20.5
Energieerhaltungssatz
20
ERHALTUNGSSÄTZE
Beispiel: harmonischer Oszillator
1
Dx2
2
1
=
mv 2
2
= Epot + Ekin = const.
Epot =
Ekin
Egesamt
x0
ist die maximale Auslenkung (Amplitude)
1
Eges = Dx0 = Epot,max = Ekin,max
2
Energieerhaltungssatz ist ein mächtiges Prinzip, erlaubt oft erhebliche Vereinfachung bei
Berechnung von Bewegungsabläufen.
⇔konservative
Note 23. Energieerhaltung
Kräfte
⇔rot F~ = 0 ⇔F~ (~r) = −grad Epot
Beispiel: Gewichtskraft
F~
rot F~
F~
= F~G =
0 0 −mg
= 0
= −grad( mgz )
|{z}
=Epot
→
Beispiel: Gravitationskraft
konservatives Kraftfeld
Siehe mathematischen Einschub.
46
20.6
Mathematischer Einschub: Gradient, Rotation Divergenz
20
ERHALTUNGSSÄTZE
F~
rot F~
F~
= −γ
m1 m2
· r̂
r2
= 0
m1 m2
= −grad(−γ
)
| {zr }
=Epot
→
Beispiel: Reibungskraft
konservatives Kraftfeld
ist nicht konservativ, hängt nicht in eindeutiger Weise vom
Ort ab, lässt sich nicht als Gradientenfeld eines skalaren Potentials darstellen.
20.6 Mathematischer Einschub: Gradient, Rotation Divergenz
To be continued; momentarily please refer to the mighty Nolting :)
20.7 Äquipotentialächen
Äquipotentialächen bezeichnen Orte gleicher potentieller Energie. Deniert durch
const.
Beispiel: Gravitationspotential
z.B. der Sonne (auch Coulomb-Potential)
mSonne mP lanet
r
Epot
=
mP lanet
mSonne
= −γ
r
Epot = −γ
φSonne
φ, Epot ∝ −
1
r
47
Epot (~r) =
21
Richtung der Kraft
linien
F~ = −grad Epot
GRAVIATION II
ist stets senkrecht zu den Äquipotentialächen/-
→Kraftlinien
21 Gravitation II - ausgedehnte Masseverteilungen
N anderen Massen ist berechenbar als
m0 aus der Umgebung der N Massen nach Un~0 = F~01 + F~02 + · · · + F~0N gilt:
Wegen F
ˆ ∞
ˆ ∞
ˆ ∞
~
~
W =
F01 d~r +
F02 d~r + . . . +
F~0N d~r
~
r0
~
r0
~
r0
m1 m2
mN
= γm0
+
+ ... +
r1
r2
rN
Potentielle Energie einer Mase
m0
im Feld von
Arbeit, die verrichtet werden muss, um
endlich zu bringen.
Epot,m0
= −m0 γ
n
X
mi
i=1
ri
bei kontinuierlicher Masserverteilung (Massenelemente
ˆ
Epot,m0 = −m0 γ
oder
48
dm
dm
r
im Abstand
r)
21
Denition 24.
Gravitationspotential der Massenverteilung
ˆ
Epot,m0 = −m0 γ
V
Dichte
ρ(~r)
GRAVIATION II
ρ(~r)
ρ(~r)
dV
r
ist ortsabhängig. Auswertung eines solchen Integrals erfordert Computer.
Analytisch geht es nur bei einfachen Geometrien.
49