Analysis - Mathematisches Institut

Hans-Peter Gittel
Analysis
(für Informatiker/Grundschullehrer)
Wintersemester 2013/14
Universität Leipzig, Institut für Mathematik
Version vom 5. Februar 2014
Es wird keinerlei Gewähr für die Richtigkeit und Vollständigkeit der hier vorliegenden Mitschrift gegeben.
Diese Mitschrift wurde ursprünglich von Felix Dietzsch mit Hilfe von LATEX 2ε im Wintersemester 2007/2008 gesetzt. Die jeweils aktuellste Version der Mitschrift ist erhältlich
unter:
http://www.math.uni-leipzig.de/∼gittel/Analysis13.html
Inhaltsübersicht
1 Grundbegriffe
1
2 Die reellen Zahlen
11
3 Folgen und Reihen
27
4 Stetigkeit
61
5 Differenzierbarkeit
81
6 Integrierbarkeit
101
iii
Inhaltsverzeichnis
1 Grundbegriffe
1.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.0.0.1 Beispiel: Flächeninhalt eines Halbkreises
1.2 Grundlagen aus der Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.0.0.1 Definition einer Menge . . . . . . . . . .
1.2.0.0.2 Angabe von Mengen: . . . . . . . . . . .
1.2.1 Grundlegende Bezeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Venn-Diagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Kartesisches Produkt veranschaulicht . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Rechenregeln für Mengenoperationen . . . . . . . . . . . .
1.2.4.0.1 Bezeichnungen: . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4.0.2 Bemerkung: . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.0.0.1 Definition einer Abbildung: . . . . . . .
1.3.0.0.2 Beispiele: . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1.0.1 Beispiele: . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1.0.2 Beispiel: . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Hintereinanderausführung von Abbildungen . . . . . . . .
1.3.2.0.1 Beispiel: . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2.0.2 Bijektive Abbildungen: . . . . . . . . . .
1.3.3 Anwendung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3.0.1 Definition der Gleichmächtigkeit: . . . .
1.3.3.0.2 Satz: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3.0.3 Bemerkungen: . . . . . . . . . . . . . . .
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9
2 Die reellen Zahlen
11
2.1 Warum braucht man reelle Zahlen? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Algebraische Struktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.0.0.1 Eindeutigkeit von Null- und negativem Element in K 12
2.2.0.0.2 Bezeichnungen: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Ordnungsstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.1 Einige Rechenregeln für Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . 13
v
2.3.2
2.4
2.5
2.6
Bezeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2.0.1 Folgerung: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2.0.2 Satz: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2.0.3 Beispiel: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vollständigkeitseigenschaften der reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2.0.1 Analytische Charakterisierung von sup M: . . . .
2.4.3 Vollständigkeitsaxiom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.3.0.1 Bemerkungen: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.4 Folgerungen aus dem Vollständigkeitsaxiom . . . . . . . . . . . . .
2.4.4.0.1 Satz von Archimedes: . . . . . . . . . . . . . .
2.4.4.0.2 Definition: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.4.0.3 Beispiele: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Intervallschachtelungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.0.0.1 Beispiel: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.0.0.2 Gegenbeispiel: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.0.0.3 Prinzip der Intervallschachtelung . . . . . . . . .
2.5.1 Dezimalbruchentwicklung reeller Zahlen . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1.0.1 Bemerkung: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2 Anwendung: Nachweis der Überabzählbarkeit von R . . . . . . . . .
2.5.2.0.1 Behauptung: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Natürliche Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1 Anwendung: Beweisprinzp der vollständigen Induktion . . . . . . .
2.6.1.0.1 Beispiel: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.2 Beweis weiterer Gleichungen und Ungleichungen . . . . . . . . . . .
2.6.2.1 Binomische Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.2.1.1 Beispiel: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.2.1.2 Eigenschaften: . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.2.1.3 Beweis der binomischen Formel . . . . . . . . . .
2.6.2.1.4 Folgerung: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.2.2 Bernoullische Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.2.3 Ungleichung von geometrischen und arithmetischen Mittel
2.6.2.4 Cauchy-Schwarzsche Ungleichung für Summen . . . . .
3 Folgen und Reihen
3.1 Der Grenzwertbegriff . . . . . . . . . . .
3.1.1 Definition: Zahlenfolge . . . . . .
3.1.1.0.1 Bemerkung: . .
3.1.1.1 Beispiele . . . . . . . . .
3.1.2 Definition: Konvergenz . . . . . .
3.1.2.0.1 Interpretation:
3.1.2.0.2 Folgerung: . . .
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3.1.2.1
3.1.2.2
3.2
3.3
3.4
Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Eigenschaften konvergenter Folgen . . . . . . . . . .
3.1.2.2.1 Anwendung: . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2.3 Rechenregeln für konvergente Zahlenfolgen . . . . . .
3.1.2.4 Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2.5 Weitere Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Konvergenzkriterien für Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Monotone Zahlenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1.1.1 Beispiel: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1.2 Monotonieprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1.3 Anwendung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Teilfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2.0.1 Definition: . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2.1 Teilfolgenprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2.1.1 Beispiel: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2.1.2 Bemerkung: . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2.1.3 Beispiel: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Auswahlprinzip von Bolzano-Weierstraß . . . . . . . . . . . .
3.2.4 Cauchy-Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.4.0.1 Beobachtung: . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.4.0.2 Definition: . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.4.1 Cauchysches Konvergenzprinzip . . . . . . . . . . .
3.2.4.1.1 Beispiel: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Häufungswerte und Häufungspunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2.0.1 Beispiele: . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2.0.2 Bezeichnungen: . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2.0.3 Beispiel: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2.0.4 Satz: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3 Häufungspunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3.0.5 Definition: . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3.1 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3.2 Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3.2.1 Satz von Bolzano-Weierstraß (für Mengen):
Unendliche Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.4 Konvergenzkriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.4.0.1 Monotoniekriterium: . . . . . . . . . . . . .
3.4.4.0.2 Cauchy-Kriterium: . . . . . . . . . . . . .
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3.4.4.1
3.5
Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.4.1.1 Majorantenkriterium und Minorantenkriterium
3.4.4.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.4.2.1 Wurzelkriterium: . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.4.3 Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.4.3.1 Beispiel: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.4.3.2 Quotientenkriterium: . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.4.3.3 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.4.4 Alternierenden Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.4.4.1 Leibniz-Kriterium . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.4.4.2 Beispiel: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.5 Rechnen mit Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.5.0.1 Definition: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.5.0.2 Satz: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.5.0.3 Beispiel: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.5.0.4 Folgerung: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.6 Zusammenstellung wichtiger Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . .
Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1.1 Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2 Konvergenzradius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2.0.1 Satz: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2.0.2 Definition: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2.0.3 Berechnungsformel für ̺(P ): . . . . . . . . . . .
3.5.2.1 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2.1.1 Bemerkung: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2.2 Rechenregeln für Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.3 Elementare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.3.1 Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.3.1.1 Eigenschaften: . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.3.1.2 Darstellung der Exponentialfunktion: . . . . . .
3.5.3.2 Trignonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.3.2.1 Eigenschaften: . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.3.2.2 Anmerkung: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.3.2.3 Abgeleitete Funktionen: . . . . . . . . . . . . .
3.5.3.3 Hyperbelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.3.3.1 Eigenschaften: . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.3.3.2 Abgeleitete Funktionen: . . . . . . . . . . . . .
3.5.3.4 Weitere wichtige Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . .
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4 Stetigkeit
4.1 Grenzwerte und Stetigkeit reeller Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.0.0.1 Beispiel: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Grenzwert-Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1.1 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1.1.1 ε-δ-Kriterium für Grenzwert einer Funktion f : . .
4.1.1.2 Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1.2.1 Beispiel: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Definition der Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2.0.1 ε-δ-Kriterium für Stetigkeit einer Funktion f : . .
4.1.2.0.2 Bemerkung: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2.1 Beispiele stetiger Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2.2 Unstetigkeiten reeller Funktionen . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Eigenschaften stetiger Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Satz über den Vorzeichenerhalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Extremalsatz von Weierstraß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2.0.1 Bemerkung: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3 Nullstellensatz von Bolzano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.4 Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.4.0.1 Zwischenwertsatz von Bolzano: . . . . . . . . .
4.2.4.0.2 Bisektionsverfahren zu Nullstellenbestimmung: . .
4.2.5 Stetigkeit der Umkehrfunktion (der inversen Funktion) f −1 . . . . .
4.2.5.1 Definition (Monotonie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.5.1.1 Beispiel: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.5.1.2 Satz über Umkehrfunktion: . . . . . . . . . . . .
4.2.5.1.3 Anwendung: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Weitere Klassen stetiger Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1.1 Satz über die Stetigkeit von Potenzreihen . . . . . . . . .
4.3.1.1.1 Hilfssatz: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1.2 Wichtige Folgerung aus dem Stetigkeitssatz für Potenzreihen
4.3.1.2.1 Identitätssatz für Potenzreihen: . . . . . . . . . .
4.3.1.2.2 Bemerkung: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1.3 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Zusammengesetzte (oder mittelbare oder verkettete) Funktionen . .
4.3.2.0.1 Satz: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2.0.2 Beispiele: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
61
61
62
62
63
65
65
65
65
66
66
66
69
69
70
71
71
72
72
72
73
73
74
74
74
75
75
75
75
76
76
77
78
79
79
79
5 Differenzierbarkeit
5.1 Differentialquotient und Differentiationsregeln
5.1.1 Definition der Ableitung . . . . . . . .
5.1.1.0.1 Folgerung: . . . . . .
5.1.1.0.2 Beispiel: . . . . . . .
81
81
81
82
82
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5.2
5.3
5.1.1.1 Zusammenhang zwischen Differenzierbarkeit und Stetigkeit 82
5.1.2 Differentiationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.1.2.1 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.1.2.2 Differentiation von Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . 84
5.1.2.2.1 Satz: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.1.2.2.2 Beispiele: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.1.2.3 Differentiation von verketteten oder zusammengesetzten Funktionen 85
5.1.2.3.1 Beispiele: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.1.3 Höhere Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.1.3.1 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.1.4 Partielle Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.1.4.0.1 Beispiel: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.1.4.1 Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.1.4.1.1 Beispiel: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Mittelwertsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.2.1 Mittelwertsatz der Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.2.1.0.1 Geometrische Deutung: . . . . . . . . . . . . . . 89
5.2.2 Satz von Rolle (Sonderfall des Mittelwertsatzes) . . . . . . . . . . 89
5.2.2.0.1 Bemerkung: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.2.2.0.2 Beweis des Mittelwertsatzes: . . . . . . . . . . . . 90
5.2.3 Anwendungen des Mittelwertsatzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.2.4 Satz über die Differenzierbarkeit der Umkehrfunktion . . . . . . . . 91
5.2.4.0.1 Bemerkung: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.2.4.1 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.2.5 Verallgemeinerter Mittelwertsatz (Quotientenmittelwertsatz) . . . . 93
5.2.6 Folgerung (Grenzwertregel von l’Hospital) . . . . . . . . . . . . . 93
5.2.6.1 Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.2.6.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Taylorscher Lehrsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.3.1 Taylorsche Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.3.1.1 Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.3.1.2 Beweis der Taylorschen Formel . . . . . . . . . . . . . . 95
5.3.1.3 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.3.2 Anwendungen des Taylorschen Lehrsatzes . . . . . . . . . . . . . 96
5.3.2.1 Taylorentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.3.2.1.1 Beispiel: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.3.2.1.2 Spezialfall: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.3.2.2 Extremwertbetrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.3.2.2.1 Definitionen: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.3.2.2.2 Satz: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.3.2.2.3 Bemerkungen: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.3.2.2.4 Beispiel: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6 Integrierbarkeit
101
6.1 Stammfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.1.0.2.1 Definition: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.1.1 Grundintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.1.2 Integrationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.1.2.0.1 Folgerung: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.1.2.1 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.1.3 Integration von Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.1.3.0.1 Beispiel: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.1.4 Integration rationaler Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.1.4.1 Umformung rationaler Funktionen . . . . . . . . . . . . . 106
6.1.4.2 Partialbruchzerlegung rationaler Funktionen (Spezialfall) . 106
6.1.4.2.1 Satz: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.1.4.2.2 Beispiel: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.2 Das Riemannsche Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.2.1 Geometrische Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.2.2 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.2.2.1 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.2.2.2 Integrierbarkeitskriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6.2.2.2.1 Satz: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6.2.3 Eigenschaften des Riemannschen Integrals . . . . . . . . . . . . . . 110
6.2.4 Mittelwertsatz der Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.2.4.0.1 Erweiterter Mittelwertsatz der Integralrechnung: . 112
6.2.4.0.2 Festlegungen: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6.2.5 Hauptsatz der Differential-Integral-Rechnung . . . . . . . . . . . . . 112
6.2.5.0.1 Kommentar: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6.3 Anwendungen der Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.3.1 Flächenberechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.3.1.0.1 Beispiel: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.3.2 Gewöhnliche Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.3.2.1 Beispiel: Wachstumsdifferentialgleichung . . . . . . . . . . 114
6.3.2.1.1 Bemerkung: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.3.2.1.2 Einfachste Fälle: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.3.2.2 Verallgemeinerung: Differentialgleichungen mit getrennten Variablen115
6.3.2.2.1 Satz: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.3.2.2.2 Bemerkung: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.3.2.2.3 Formaler Lösungsweg: . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.3.2.2.4 Beispiel: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.3.3 Numerische Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.3.3.1 Trapezregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.3.3.1.1 Bemerkung: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.3.3.1.2 Fehlerabschätzung: . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.3.3.2 Summierte Trapezregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Literaturverzeichnis
[1] Adams, G., Kruse, H.-J., Pfeiffer, U. und Sippel, D.: Mathematik zum Studieneinstieg.
Grundwissen der Analysis. Springer 2013
[2] Deiser, O.: Analysis 1,2. Mathematik für das Lehramt. Springer 2012
[3] Forster, O.: Analysis 1. Teubner 1989
[4] Heuser, H.: Lehrbuch der Analysis I. Teubner 1990
[5] Königsberger, K.: Analysis 1. Springer 1990
[6] Kreußler, B. und Pfister, G.: Mathematik für Informatiker. Springer 2009
[7] Oberguggenberger, M. und Ostermann, A.: Analysis für Informatiker. Springer 2005
[8] Schmieder, G.: Analysis. Vieweg 1994
xiii
Kapitel 1
Grundbegriffe
1.1
Einführung
Gegenstand der Analysis: Untersuchung und Beschreibung des Änderungsverhaltens abhängiger Größen
Frage: Was sind die richtigen Begriffe und Methoden für diese Beschreibung?
Bei vielen Problemen in Mathematik, Physik, Naturwissenschaften usw. stößt man auf
Grenzprozesse, z.B. bei der Bestimmung der Momentangeschwindigkeit eines Autos, bei
der Berechnung von Flächeninhalten und Volumen krummlinig begrenzter Figuren oder
Körper u.ä.
1.1.0.0.1
Beispiel: Flächeninhalt eines Halbkreises
r
Bestimmung mittels Ausschöpfungsmethode (Archimedes 287-212 v. Chr.).
r
α
A△
h
Unterteilung des Halbkreises in Teildreiecke.
I
Fläche A ≈ Summe der Flächen der Teildreiecke
1
2
KAPITEL 1. GRUNDBEGRIFFE
1
1
A△ = rh = r 2 sin α
2
2
Wählt man die Unterteilung des gestreckten Winkels gleichmäßig, so ist
⇒
n
A ≈ r 2 sin
2
I
1
α = 180◦
n
180◦
n
,
n∈N
Für großes n nähert sich anschaulich die Fläche der Teildreiecke der Fläche des Halbkreises
an. In welchem Sinn ist der Grenzprozess mathematisch zu verstehen?
1.2
Grundlagen aus der Mengenlehre
1.2.0.0.1 Definition einer Menge: (G. Cantor, 1845-1918) Eine Menge ist eine
Zusammenfassung von bestimmten wohl unterschiedenen Objekten unserer Anschauung
oder unseres Denkens – welche Elemente der Menge genannt werden – zu einem Ganzen.
Schreibweise: x ∈ M (oder M ∋ x), Gegenteil: x ∈
/M
1.2.0.0.2
Angabe von Mengen:
1) durch Aufschreiben ihrer Elemente. Zum Beispiel:
M = {2, 6, 9} = {9, 2, 6} = {6, 6, 2, 9, 2, 6}
2) durch Beschreibung der charakterisierenden Eigenschaften ihrer Elemente. Zum Beispiel:
M = {x ∈ N | x < 7 und x gerade} = {2, 4, 6}
1.2. GRUNDLAGEN AUS DER MENGENLEHRE
1.2.1
3
Grundlegende Bezeichnungen
Symbol
Bedeutung
Definition
x∈M
x 6∈ M
∅
|M|
P(M)
A⊆B
x ist Element der Menge M
x ist kein Element von M
leere Menge
Mächtigkeit der Menge M
Potenzmenge von M
A ist Teilmenge von B
(B ist Obermenge von A)
A ist echte Teilmenge von B
Durchschnitt von A und B
Vereinigung von A und B
Differenz von A und B
(Komplement von B in A
kartesisches Produkt von A und B
M enthält x
M enthält nicht x
Menge, die kein Element enthält
Anzahl der Elemente von M
P(M) := {A|A ⊆ M}
Für alle x ∈ A gilt x ∈ B
Symbol
Bedeutung
Definition
N
N0
Menge aller natürlichen Zahlen
Menge aller nichtnegativen ganzen
Zahlen
Menge aller ganzen Zahlen
Menge aller rationalen Zahlen
Menge aller reellen Zahlen
Menge aller nichtnegativen reellen
Zahlen
Menge aller n-Tupel reeller Zahlen
N := {1, 2, 3, . . .}
N0 := N ∪ {0}
A⊂B
A∩B
A∪B
A\B
A×B
Z
Q
R
R+
Rn
A ⊆ B, A 6= B
A ∩ B := {x|x ∈ A und x ∈ B}
A ∪ B := {x|x ∈ A oder x ∈ B}
A \ B := {x|x ∈ A und x 6∈ B}
zusätzlich A ⊇ B)
A × B := {(a, b)|a ∈ A, b ∈ B}
Z := {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}
Q := {x | x = pq , p ∈ Z, q ∈ N}
R+ := {x ∈ R | x ≥ 0}
Rn := R × . . . × R
Dabei gilt:
1) ∅ ⊆ M, M ⊆ M für jede Menge M
2) N ⊂ Z
3) M = {a, b}, P(M) = {∅, M, {a}, {b}}, P(∅) = {∅} (P(∅) ist eine einelementige
Menge)
4) Ist A ⊆ B und B ⊆ A, so muss A = B.
Umgekehrt: Falls A = B, so ist A ⊆ B und B ⊆ A.
Also: A = B ist äquivalent mit A ⊆ B und B ⊆ A.
4
KAPITEL 1. GRUNDBEGRIFFE
1.2.2
Venn-Diagramme
B
A⊂B
A
B
A
A B
A
A∪B = C
B
■
C
C
A
B
A
A\B =C
■
Ā = CA
C
1.2.3
■
Kartesisches Produkt veranschaulicht
B
A×B
A
A=B
A∩B =C
1.2. GRUNDLAGEN AUS DER MENGENLEHRE
1.2.4
5
Rechenregeln für Mengenoperationen
Kommutativgesetze:
1) A ∩ B = B ∩ A
2) A ∪ B = B ∪ A
Assoziativgesetze:I
3) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
4) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
Distributivgesetze:
5) (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
Beweis:
a) Sei x ∈ (A ∪ B) ∩ C, d.h. x ∈ (A ∪ B) und x ∈ C also (x ∈ A oder x ∈ B) und
x ∈ C.
Somit x ∈ A ∩ C oder x ∈ B ∩ C und folglich x ∈ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C), also
A(∪B) ∩ C ⊆ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C).
b) Sei x ∈ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C), d.h. x ∈ A ∩ C oder x ∈ B ∩ C.
Somit gilt x ∈ C und (x ∈ A oder x ∈ B), d.h. x ∈ C und x ∈ A ∪ B. Folglich
ist x ∈ C ∩ (A ∪ B) und damit (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) ⊆ C ∩ (A ∪ B) = (A ∪ B) ∩ C.
6) (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)
1.2.4.0.1
Bezeichnungen:
1) Zwei Mengen heißen disjunkt, falls A ∩ B = ∅.
2) A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An =
3) A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An =
n
T
i=1
n
S
i=1
4) A1 × A2 × . . . × An =
Ai = {x | x ∈ Ai für jedes i ∈ {1, . . . , n}}
Ai = {x | x ∈ Ai für ein i ∈ {1, . . . , n}}
n
Q
i=1
Ai = {(a1 , a2 , . . . , an ) | ai ∈ Ai für i ∈ {1, . . . , n}}
|
{z
}
n-Tupel
Spezialfall: Sind A1 = A2 = . . . = An = A:
n
A1 × A2 × . . . × An = A
{z× . . . × A} = A
| ×A×A
n-mal
I
Die Klammern können folglich weggelassen werden.
6
KAPITEL 1. GRUNDBEGRIFFE
1.2.4.0.2 Bemerkung: Jeder mathematische Satz ist grundsätzlich eine „wenn-dannAussage“, d.h. zu gewissen Aussagen (Voraussetzungen, Premissen) folgt eine andere Aussage (Behauptung, Konklusion). Dieser Schluss wird mittels der Regeln der Logik im Beweis
dieser Behauptung erbracht.
formal:
• A – Voraussetzung
• B – Behauptung
A⇒B
• ⇒ – Implikation (Folgepfeil)
Andere Sprechweisen:
• „A ist hinreichend für B“
• „B ist notwendig für A“
Damit ist „A ⇒ B“ gleichbedeutend mit „ B̄ ⇒ Ā“, wobei „ Ā“ die Negation der Aussage A
(Gegenteil von A) bedeutet.
A ⇔ B bedeutet: „A ist notwendig und hinreichend für B“ oder „A und B sind äquivalent“.
1.3
Abbildungen
1.3.0.0.1 Definition einer Abbildung: Seien X und Y Mengen. Eine Abbildung
oder Funktion f von X nach Y (bzw. in Y ) ist eine Vorschrift, welche jedem x ∈ X genau
ein f (x) ∈ Y zuordnet.
Schreibweise:
f : X → Y (X – Definitionsbereich), elementweise: f : x 7→ f (x) (x – Urbild, f (x) – Bild)
{y ∈ Y | y = f (x) für ein x ∈ X} heißt Wertevorrat oder Bildbereich.
1.3.0.0.2
Beispiele:
1) f1 : Z → N0 definiert durch f1 (x) = x2 für x ∈ Z
2) f2 : R → R+ definiert durch
(
x
f2 (x) = |x| :=
−x
für x ≥ 0
,
für x < 0
|x|
−x
heißt der Betrag von x ∈ R .
|x|
0
x
|x| ist der Abstand von x ∈ R
zu 0.
1.3. ABBILDUNGEN
7
3) f3 : X → X mit X = {1, 2, 3} definiert durch 1 7→ 1, 2 7→ 3, 3 7→ 2
4) Multiplikation reeller Zahlen als Abbildung:
∈
R
∈
R×R →
(a, b)
7→ a · b
Allgemein kann jede Operation als Abbildung aufgefasst werden.
5) identische Abbildung bzw. Identität idX auf der Menge X, definiert durch
∈
∈
idX :
X → X
x 7→ x
1.3.1
Definitionen
1) Eine Abbildung f : X → Y heißt injektiv (eineindeutig), falls keine 2 Elemente von
X dasselbe Bild in Y haben. (D.h. f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x1 = x2 ))
2) f heißt surjektiv (bzw. Abbildung auf Y ), falls zu jedem y ∈ Y ein x ∈ X existiert
mit y = f (x).
3) f heißt bijektiv, falls f injektiv und surjektiv ist.
1.3.1.0.1
Beispiele:
1) f1 ist weder surjektiv noch injektiv, denn 3 ∈ N0 ist kein Bild und f1 (−1) = (−1)2 =
1 = (1)2 = f1 (1).
2) f2 ist nicht injektiv, weil f2 (−1, 5) = | − 1, 5| = 1, 5 = |1, 5| = f2 (1, 5). f2 ist jedoch
surjektiv, denn ihr Bildbereich ist gleich R+ .
3) f3 ist bijektiv.
Zu einer bijektiven Abbildung f : X → Y kann man die Abbildung f −1 : Y → X erklären,
welche Wirkung von f rückgängig macht, indem man definiert:
Zu y ∈ Y sei f −1 (y) = x ∈ X mit f (x) = y. f −1 ist bijektive Abbildung und heißt
Umkehrabbildung bzw. inverse Abbildung zu f .
1.3.1.0.2
1.3.2
Beispiel: f3−1 : X → X, 1 7→ 1, 2 7→ 3, 3 7→ 2.
Hintereinanderausführung von Abbildungen
f : X → Y, g : Y → Z. Dann ist g ◦ f : X → Z definiert durch (g ◦ f )(x) = g (f (x)) die
Hintereinanderausführung bzw. Komposition von g nach f .
8
KAPITEL 1. GRUNDBEGRIFFE
1.3.2.0.1 Beispiel: Die Abbildung h : R → R definiert durch h(x) :=
Komposition h = g ◦ f mit
p
|x| ist die
• f : R → R+ mit f (x) = |x| und
√
• g : R+ → R mit g(y) = y.
1.3.2.0.2
Bijektive Abbildungen: Hier gilt:
i) Sind f und g bijektiv, so ist auch g ◦ f bijektiv, denn:
a) Setzen wir h := g ◦ f , so folgt aus h(x1 ) = h(x2 ) (mit x1 , x2 ∈ X):
g (f (x1 )) = g (f (x2 ))
⇒
f (x1 ) = f (x2 ) , weil g injektiv ist.
Aus Injektivität von f folgt dann x1 = x2 . Somit ist h injektiv.
b) Zur Surjektivität von h: Für jedes z ∈ Z (Z ist Bildmenge von g) gibt es y ∈ Y
mit z = g(y) (Surjektivität von g). Weiterhin gibt es zu y ein x ∈ X mit
y = f (x) (Surjektivität von f ), also z = g (f (x)) = h(x).
ii) Sei f : X → Y bijektiv, so ist f ◦ f −1 = idY und f −1 ◦ f = idX .
1.3.3
Anwendung
Wann haben zwei Mengen X und Y gleichviel Elemente? Antwort: Einfach bei endlichen
Mengen (durch Vergleich ihrer Mächtigkeiten |M1 |, |M2 |), aber wie bei unendlichen Mengen?
1.3.3.0.1 Definition der Gleichmächtigkeit: Zwei Mengen X und Y heißen gleichmächtig, falls es eine bijektive Abbildung von X nach Y gibt.
1.3.3.0.2
Satz: N0 und Z sind gleichmächtig.
Beweis: durch Konstruktion einer Abbildung f : N0 → Z, welche bijektiv ist.
N0 :
f:
Z:
0 1 2 3
↓ ↓ ↓ ↓
0 −1 1 −2 2 −3 3
Analytische Darstellung:
f (2n) = n
f (2n − 1) = −n
für n ∈ N0
für n ∈ N.
1.3. ABBILDUNGEN
9
• Zur Surjektivität von f : Z = N0 ∪ {−n | n ∈ N}, d.h. jedes m ∈ Z ist ein Bild bei
der Abbildung f .
• Zur Injektivität von f : Für f (x) gibt es zwei Möglichkeiten. Entweder f (x) ≥ 0 ⇒
f (x) = n ⇒ x = 2n mit einem n ∈ N0 oder f (x) < 0 ⇒ f (x) = −n ⇒ x = 2n − 1
mit einem n ∈ N.
In beiden Fällen ist das Urbild x eindeutig bestimmt.
1.3.3.0.3
Bemerkungen:
1) N0 ist echte Teilmenge von Z, aber gleichmächtig zu Z.
Allgemein gilt: Jede unendliche Menge enthält stets eine echte Teilmenge der gleichen
Mächtigkeit. (Dedekind, 1831-1916)
2) Einteilung der unendlichen Mengen:
a) Alle Mengen, welche gleichmächtig zu N0 sind, heißen abzählbar unendlich, d.h.
man kann deren Elemente indizieren bzw. durchnummerieren.
Beispiele: Z, N, Q
b) Alle übrigen unendlichen Mengen heißen überabzählbar, beispielsweise R, P(N0 )
10
KAPITEL 1. GRUNDBEGRIFFE
Kapitel 2
Die reellen Zahlen
2.1
Warum braucht man reelle Zahlen?
I
a) Bei vielen Grenzprozessen kommt man mit den rationalen Zahlen Q nicht aus, z.B. bei
der Bestimmung des Flächeninhalts A eines Halbkreises mittels Ausschöpfungsme2
I
thode (s. 1.1.0.0.1). Denn im Grenzübergang ist A = π r2 nicht rational, auch wenn
die Teildreiecke so gewählt werden, dass ihr Flächeninhalt immer rational bleibt.
b) Das Problem, dass Q „zu klein“ ist, tritt auch bei der Längenbestimmung von Strecken
auf, z.B. Länge der Diagonalen eines Quadrats mit Seitenlänge 1:
d
Satz des Pythagoras:
1
d 2 = 12 + 12 ,
d=
√
2∈
/Q
1
Die Entdeckung von Strecken mit nichtrationalen Längenmaßzahlen führte zur 1.
Grundlagenkrise in der Mathematik (Lösung durch Eudoxos, 408-355 v. Chr.).
d
√
−1
0
1
P
2
2
Dreht man d um 0 auf die Zahlengerade, so muss die rationale Zahlengerade an der
Stelle P eine Lücke haben. Die rationale Zahlengerade ist lückenhaft, obwohl die
11
12
KAPITEL 2. DIE REELLEN ZAHLEN
rationalen Zahlen dicht liegen. I Genauer: Diese Zahlengerade enthält mehr Lücken
(nämlich überabzählbar viele) als Punkte, weil Q abzählbar unendlich ist.
Wir werden deshalb die reellen Zahlen R benutzen, wobei R neben den uns geläufigen Eigenschaften noch zusätzlichen Axiomen genügen muss (Axiomatischer Zugang nach
David Hilbert 1862-1943). Dabei versteht man unter Axiomen solche Grundsätze einer Theorie, welche man als gegeben ansieht und die nicht bewiesen werden. Aus diesen
Axiomen müssen sich alle anderen Eigenschaften und Sätze gemäß der Regeln der Logik
ableiten lassen.
Durch diesen Zugang gelingt es, den Grenzübergang exakt zu erfassen. Gleichzeitig entsteht eine Vielfalt von Möglichkeiten, das Änderungsverhalten von abhängigen Größen
(Funktionen) mathematisch zu beschreiben.
2.2
Algebraische Struktur
Die Menge R der reellen Zahlen bildet einen Körper. Dabei versteht man unter einem
Körper K eine nichtleere Menge, auf der zwei Verknüpfungen + und · definiert sind, d.h.
zu jedem Paar (a, b) ∈ K wird ein Element a + b ∈ K und ein Element a · b ∈ K zugeordnet
mit folgenden Eigenschaften:
(A1) (a + b) + c = a + (b + c) für alle a, b, c ∈ K (Assoziativität),
(A2) a + b = b + a für alle a, b ∈ K (Kommutativität),
(A3) es existiert ein Nullelement 0 ∈ K mit a + 0 = a für alle a ∈ K,
(A4) zu jedem a ∈ K gibt es ein negatives Element −a ∈ K mit a + (−a) = 0,
(M1) (a · b) · c = a · (b · c) für alle a, b, c ∈ K (Assoziativität),
(M2) a · b = b · a für alle a, b ∈ K (Kommutativität),
(M3) es existiert ein Einselement 1 ∈ K mit a · 1 = a für alle a ∈ K,
(M4) zu jedem a ∈ K \ {0} gibt es ein inverses Element a−1 ∈ K mit a · a−1 = 1,
(D) (a + b) · c = a · c + b · c für alle a, b, c ∈ K (Distributivität).
2.2.0.0.1 Eindeutigkeit von Null- und negativem Element in K
Eins- und inverses Element)
(analog für
1) Es gibt nur ein Element aus K, das (A3) erfüllt.
Denn gelte für 0′ ∈ K : a + 0′ = a für alle a ∈ K. Mit a = 0 folgt dann 0 = 0 + 0′ =
0′ + 0 = 0′ wegen (A2) und (A3) (mit a = 0′ )
I
Zwischen r1 , r2 ∈ Q liegt stets eine weitere Zahl r3 ∈ Q, z.B. r3 = 12 (r1 + r2 ).
2.3. ORDNUNGSSTRUKTUR
13
2) Es gibt nur ein negatives Element zu a ∈ K.
(folgt aus Übungsaufgabe 6.a)
2.2.0.0.2 Bezeichnungen: Zur Abkürzung definiert man a − b := a + (−b) und a :
b = ab := a · b−1 (für b 6= 0).
2.3
Ordnungsstruktur
Wir gehen davon aus, dass auf R eine „Kleiner-Beziehung“ a b.II
(O2) Transitivität
Aus a < b, b < c folgt a < c.
(O3) Monotonie
Ist a < b, so folgt a + c 0.
Aus diesen Ordnungsaxiomen folgen die bekannten Rechenregeln für Ungleichungen, z.B.:
2.3.1
Einige Rechenregeln für Ungleichungen
I)
a0
denn
a b ist eine andere Schreibweise für b < a.
a+c< b+d
)
⇒
(O2)
a+c<b+d
14
KAPITEL 2. DIE REELLEN ZAHLEN
III)
a·b>0
beide Faktoren a, b sind entweder positiv oder negativ
⇔
Beweis:
(⇐) Ist a, b > 0
⇒
a · b > 0 · b = 0.
(O3)
0 − a = −a > 0
.
0 − b = −b > 0
I)
Nach oben Bewiesenem ist
(−a)(−b) > 0
| {z }
Ist a, b < 0
⇒
=(−1)(−1)ab=ab
(⇒) indirekt:
Sei
⇒
a > 0, b < 0
a > 0, −b > 0
⇒
a)
a(−b) > 0
| {z }
⇒
−ab
(Analog: a < 0, b > 0)
IV)
a < b, c < 0
denn aus a 0,
(b − a)(−c) > 0
|
{z
}
⇒
(O3)
ac > bc
−c > 0
ac = (ac − bc) + bc > bc
=−bc+ac
2.3.2
Bezeichnungen
1) a ≤ b bedeutet a < b oder a = b.
2)
• abgeschlossenes Intervall
[a, b] := {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}
• offenes Intervall
(a, b) := {x ∈ R | a < x < b}
• halboffenes Intervall (rechtsseitig offen)
[a, b) := {x ∈ R | a ≤ x < b}
halboffenes Intervall (linksseitig offen)
(a, b] := {x ∈ R | a < x ≤ b}
ab < 0.
2.3. ORDNUNGSSTRUKTUR
15
• b − a heißt die Intervalllänge.
• unendliche Intervalle
(a, ∞) = {x ∈ R | a < x}
(−∞, a) = {x ∈ R | x < a}
[a, ∞) = {x ∈ R | a ≤ x}
(−∞, a] = {x ∈ R | x ≤ a}
• (−∞, ∞) := R, weil R = (−∞, a] ∪ (a, ∞)
3)
(
a
falls a ≥ 0
|a| :=
−a falls a < 0
war der Betrag von a ∈ R .
Aus der Definition folgt unmittelbar:
| − a| = |a|,
|ab| = |a||b|,
|a| ≥ 0,
|a| ≥ a,
|a| = 0 ⇔ a = 0
Weiterhin gilt die Dreiecksungleichung:
(2.3.2.1)
|a + b| ≤ |a| + |b|,
denn a + b ≤ |a| + |b| und −(a + b) = (−a) + (−b) ≤ | − a| + | − b| = |a| + |b|.
2.3.2.0.1
Beweis:
Folgerung: |a − b| ≥ |a| − |b|
|a| = |a − b + b| = |(a − b) + b|
≤
(2.3.2.1)
|a − b| + |b|
|a| − |b| ≤ |a − b|
Vertauschung von a und b liefert
|b| − |a| ≤ |b − a| = | − (b − a)| = |a − b|
2.3.2.0.2
Satz: Sei ε > 0. Dann gilt:
|x − x0 | < ε
⇔
x0 − ε < x < x0 + ε
⇔
x ∈ (x0 − ε, x0 + ε)
{z
}
|
=: Uε (x0 )
(ε-Umgebung von x0 )
Uε (x0 )
x0 − ε
ε
x0
ε
x0 + ε
Beweis: Nach Definition von |x − x0 | bedeutet |x − x0 | < ε die Gültigkeit der beiden
Ungleichungen x − x0 < ε und − (x − x0 ) < ε. Nach Rechenregeln ist das äquivalent zu
x < x0 + ε und x > x0 − ε .
16
KAPITEL 2. DIE REELLEN ZAHLEN
2.3.2.0.3
Beispiel:
M = {x ∈ R | |x − 0, 5| < ε}
=
(2.3.2.0.2)
{x ∈ R | 0, 5 − ε < x < 0, 5 + ε}
= (0, 5 − ε, 0, 5 + ε) = Uε (0, 5)
U 1 (0, 5)
4
0
2.4
0, 5
1
Vollständigkeitseigenschaften der reellen Zahlen
Die Vorstellung von der „Lückenlosigkeit“ der reellen Zahlengerade wurde von R. Dedekind (1831-1916) axiomatisch gefasst (Axiom vom Dedekindschen Schnitt). Wir verwenden
hier eine äquivalente Fassung dieses Axioms.
2.4.1
Definitionen
a) M ⊆ R heißt nach oben beschränkt, falls ein c ∈ R existiert mit x ≤ c für alle x ∈ M.
b) Ein solches c heißt obere Schranke von M.
c) Eine obere Schranke c von M heißt obere Grenze oder Supremum von M (c = sup M),
falls jedes c′ < c keine obere Schranke ist.
d) Gehört c = sup M zu M, so heißt c Maximum (c = max M).
e) M ⊆ R heißt nach unten beschränkt, falls ein c ∈ R existiert mit x ≥ c für alle x ∈ M.
f) Ein solches c heißt untere Schranke von M.
g) Eine untere Schranke c von M heißt untere Grenze oder Infinum von M (c = inf M),
falls jedes c′ > c keine untere Schranke ist.
h) Gehört c = inf M zu M, so heißt c Minimum (c = min M).
i) M heißt beschränkt, falls M nach oben und nach unten beschränkt ist, d.h. es gibt
c1 , c2 ∈ R mit c1 ≤ x ≤ c2 für alle x ∈ M.
2.4. VOLLSTÄNDIGKEITSEIGENSCHAFTEN DER REELLEN ZAHLEN
2.4.2
17
Beispiele
1. M = [0, ∞)
Intervall M
0
• keine obere Schranken
• untere Schranke: −1, −π, −210 , . . . , 0
• 0 = inf M = min M, da 0 ∈ M
2. M = {x ∈ R | x = n1 , n ∈ N}
0
1
• obere Schranken: 2, 42, 678, π 2, . . . , 1
• 1 = sup M = max M, da 1 ∈ M
• untere Schranken: −10, −4, . . . , 0
• 0 = inf M, aber es gibt kein min M, weil 0 ∈
/ M. 0 ist die größte aller unteren
1
Schranken von M, weil für jedes ε > 0 gilt n < ε für n „genügend groß“, d.h. n > 1ε
(s. Satz von Archimedes 2.4.4.0.1).
3. M =
S∞
n=1 ([−2n, −2n
−4
−3
+ 1) ∪ [2n, 2n + 1))
−2
−1
0
1
2
3
4
5
M ist unbeschränkt.
2.4.2.0.1
2.4.3
Analytische Charakterisierung von sup M:
i) x ≤ c für alle x ∈ M
c = sup M ⇔
ii) zu jedem ε > 0 gibt es y ∈ M mit c − ε < y
Vollständigkeitsaxiom
Es gilt das Supremumprinzip, d.h. jede nichtleere nach oben beschränkte Teilmenge von R
hat ein Supremum.
18
KAPITEL 2. DIE REELLEN ZAHLEN
2.4.3.0.1
Bemerkungen:
1) Aus dem Vollständigkeitsaxiom folgt auch das Infimumprinzip, denn für eine nach
unten beschränkte Menge M ⊆ R ist die Menge M̃ := {x ∈ R| − x ∈ M} nach oben
beschränkt. Somit existiert s = sup M̃ und inf M = −s.
2) Das Supremum einer nach oben beschränkte Menge ist eindeutig bestimmt, was sich
unmittelbar aus der Definition ergibt.
3) Durch die Körper-, Ordnungs- und Vollständigkeitsaxiome wird R eindeutig definiert.
R bildet einen vollständigen angeordneten Körper, Q dagegen nur einen angeordneten
Körper.
2.4.4
Folgerungen aus dem Vollständigkeitsaxiom
2.4.4.0.1 Satz von Archimedes: N ist nach oben unbeschränkt, d.h. zu jedem a ∈
R gibt es n ∈ N mit n > a.
Beweis: (indirekt)
Wäre N beschränkt nach oben, so gibt es (nach 2.4.3) G := sup N. Für G′ := G − 21 gilt:
G′ ist nicht obere Schranke, d.h. es gibt m ∈ N mit
G′ < m
⇒
G<m+
1
<m+1
2
Widerspruch zur Definition von G, weil m + 1 ∈ N.
2.4.4.0.2
Definition: Sei M = M(x) := {m ∈ Z | m ≤ x}
x
zu gegebenem x ∈ R. Nach 2.4.3 existiert sup M(x) =: [x] .
Behauptung: Dabei ist [x] charakterisiert durch:
i) [x] ∈ Z
ii) [x] ≤ x < [x] + 1
[x] heißt größter ganzer Anteil der reellen Zahl x und ist eine Abbildung [·] : R → Z.
Beweis:
2.5. INTERVALLSCHACHTELUNGEN
Sei x ≥ 0. Dann ist
19
sup M(x) = sup {m ∈ N0 | m ≤ x}
{z
}
|
=:M0
Nach dem Satz von Archimedes hat M0 endlich viele Elemente, d.h. es gibt ein größtes
Element n0 ∈ M0 :
n0 = max M0 = sup M(x) = [x] ≤ x
n0 + 1 ist obere Schranke von M, n0 + 1 ∈
/ M, d.h. n0 + 1 > x.
(Fall x < 0 lässt sich durch Verschiebung lösen.)
2.4.4.0.3
Beispiele:
16
1) [ 13
]=1
2) [405, 8] = 405
3) [−0, 62] = −1
4) [−24] = −24
2.5
Intervallschachtelungen
Sei In = [an , bn ] und Ln := bn − an (Länge von In ) für n ∈ N. {In | n ∈ N} heißt
Intervallschachtelung, wenn
a) I1 ⊃ I2 ⊃ I3 ⊃ . . .
b) Zu jedem ε > 0 gibt es n0 = n0 (ε), so dass Ln0 < ε.
2.5.0.0.1
Beispiel:
I2
I1
−1
0
1
1 1
In = − ,
,
n n
n∈N
I3
ist Intervallschachtelung, denn a) ist offensichtlich, und b) gilt, weil Ln =
(n existiert nach Satz von Archimedes 2.4.4.0.1).T
Es ist 0 ∈ In für jedes n, mit anderen Worten 0 ∈ ∞
n=1 In .
2
n
< ε für n >
2
ε
20
KAPITEL 2. DIE REELLEN ZAHLEN
2.5.0.0.2
Gegenbeispiel:
I3
I1
−1
0
1
1
1
In = − , 1 +
n
n
2
I2
Hier liegt keine Intervallschachtelung vor, obwohl a) erfüllt ist. Jedoch gilt Bedingung b)
nicht (Ln > 1).
2.5.0.0.3 Prinzip der Intervallschachtelung Jede Intervallschachtelung {In | n ∈
N} zieht sich auf einen Punkt zusammen, d.h. es existiert genau ein x ∈ R mit x ∈ In für
alle n ∈ N.
Beweis:
i) Nach Definition gilt wegen a)
a1 ≤ a2 ≤ . . . ≤ an < bn ≤ . . . ≤ b2 ≤ b1
Damit ist A := {an | n ∈ N} nach oben beschränkt durch jedes bm . Nach Supremumprinzip gibt es sup A mit
am ≤ sup A ≤ bm
⇔
sup A ∈ Im
für alle m ∈ N
ii) Zur Eindeutigkeit (indirekt):
T
′
′
Sei x, x′ ∈ ∞
n=1 In mit x 6= x . Setze ε = |x − x |. Nach b) gibt es n0 mit Ln0 < ε.
′
′
Wegen x, x ∈ In0 ist Ln0 ≥ |x − x | = ε. Das führt auf ε ≤ Ln0 < ε und damit auf
einen Widerspruch.
2.5.1
Dezimalbruchentwicklung reeller Zahlen
Ein Symbol der Form
z1 z2 . . . zh , zh+1 . . .
mit
zi ∈ {0, 1, . . . , 9}
heißt Dezimalbruch mit den Ziffern zi . Jedem solchen Bruch wird durch die Festlegungen
an =
n
X
zi 10h−i ,
bn = an + 10h−n
i=1
und
In = [an , bn ],
n = 1, 2, . . .
2.5. INTERVALLSCHACHTELUNGEN
21
eine Intervallschachtelung zugeordnet. Ist x die eindeutig bestimmte reelle Zahl, die allen
Intervallen angehört, dann schreiben wir
x = z1 z2 . . . zh , zh+1 . . . .
Umgekehrt existiert zu jeder positiven reellen Zahl x ein eindeutig bestimmter Dezimalbruch, so dass x in allen Intervallen In enthalten und dabei nie rechter Endpunkt III ist. Bei
der Dezimalbruchdarstellung einer reellen Zahl wird vereinbart, führende Nullen bei h > 1
wegzulassen (o.B.d.A. sei z1 6= 0) und ebenfalls Nullperioden 0 am Ende.
2.5.1.0.1 Bemerkung: Wählt man eine andere Basis a ∈ N, a ≥ 2 anstelle von a = 10,
d.h. man unterteilt ein Intervall nicht in 10 sondern in a Teilintervalle, so erhält man
allgemeiner die a-Bruchentwicklung einer reellen Zahl mit
zi ∈ {0, 1, . . . , a − 1},
an =
n
X
zi ah−i ,
bn = an + ah−n ,
i=1
Wichtige Fälle: a = 2 (Dualbruchentwicklung), a = 16 (Hexadezimalbruchentwicklung).
2.5.2
Anwendung: Nachweis der Überabzählbarkeit von R
Den Beweis führen wir durch Verwendung von Dezimalbrüchen zur Darstellung der Elemente von R und zeigen, dass [0, 1) ⊂ R überabzählbar ist.
2.5.2.0.1 Behauptung: [0, 1) ist nicht gleichmächtig zu N.
Beweis: (indirekt, mittels zweitem Cantorschen Diagonalverfahren)
Wäre [0, 1) gleichmächtig zu N, so [0, 1) = {ck |k ∈ N } und alle Elemente von [0, 1) lassen
sich darstellen in dem unendlichen Schema
c1 = 0, x11 x12 x13 . . .
c2 = 0, x21 x22 x23 . . .
c3 = 0, x31 x32 x33 . . .
..
.
mit xkl ∈ {0, 1, . . . , 9}. Bilden wir nun die relle Zahl
b := 0, y1 y2 y3 . . .
mit den Ziffern yn :=
(
xnn − 1
8
für xnn ≥ 1
für xnn = 0
für jedes n ∈ N, so ist b ∈ [0, 1). Andererseits kann dieses b nach Konstruktion in keiner
Zeile des obigen Schemas auftreten, denn cn hat an der n-ten Nachkommastelle die Ziffer
xnn , während b dort die Ziffer yn 6= xnn hat. Damit ergibt sich der Widerspruch.
III
Das entspricht dem Verbot des Auftretens von 9-Perioden.
22
KAPITEL 2. DIE REELLEN ZAHLEN
2.6
Natürliche Zahlen
Wir müssen noch die Menge N der natürlichen Zahlen als spezielle Teilmenge von R charakterisieren. Diese bildet weder bezüglich + noch bezüglich · eine Gruppe. N ist nur
abgeschlossen bezüglich dieser Operationen, d.h. a + b, a · b ∈ N für alle a, b ∈ N. Die
Menge N kann man definieren mittels des Axiomensystems von Peano (1889).
Besonders wichtig ist das Induktionsaxiom:
Sei M ⊆ N mit den Eigenschaften:
1) 1 ∈ M,
2) Falls n ∈ M, so ist auch n + 1 ∈ M.
Dann ist M = N.
2.6.1
Anwendung: Beweisprinzp der vollständigen Induktion
Sei eine Aussage A(n) für alle n ∈ N0 mit n ≥ n0 formuliert.
Zeige:
• Induktionsanfang (IA): A(n0 ) ist richtig.
• Induktionsschluss (IS):
Aus der Induktionsvoraussetzung (IV): „A(n) sei richtig.“
folgt die Induktionsbehauptung (IB): „A(n + 1) ist auch richtig.“
Falls (IA) und (IS) nachgewiesen sind, ist A(n) für alle n ≥ n0 , n ∈ N bewiesen, denn für
M := {k ∈ N | A(k + n0 − 1) ist richtig}
gilt 1 ∈ M wegen (IA). Weiterhin folgt aus (IS), dass mit n ∈ M auch n + 1 ∈ M ist. Nach
dem Induktionsaxiom muss dann M = N sein.
2.6.1.0.1
Beispiel:
1| 3 + 23 +
. . . + n}3 =
{z
P
n
k=1
k3
• Induktionsanfang: Für n = 1 ist 13 = 1 und
n2 (n + 1)2
4
12 (1+1)2 )
4
=1
• Induktionsschluss:
Pn
2
2
k 3 = n (n+1)
4
Pn+1 3
– Induktionsbehauptung: Dann gilt auch k=1 k =
– Induktionsvorraussetzung: Sei
k=1
(n+1)2 (n+2)2
4
2.6. NATÜRLICHE ZAHLEN
23
– Beweis der Induktionsbehauptung:
n+1
X
k
3
3
3
3
3
= 1 + 2 + . . . + n + (n + 1) =
2.6.2
(n + 1) 2
(n + 1)2
n (n + 1)
+ (n + 1)3 =
(n + 4n + 4) =
(n + 2)2
4
4
4
2
(IV)
k 3 + (n + 1)3
k=1
2
k=1
=
n
X
2
Beweis weiterer Gleichungen und Ungleichungen mittels vollständiger Induktion
2.6.2.1
Binomische Formel
n n
n
n n−1 1
n n
1 n−1
n
b
ab
+
a b + ...+
a +
(a + b) =
n
n−1
1
0
n X
n n−k k
a b
=
k
k=0
n
Dabei ist k der Binomialkoeffizient definiert durch
n!
n
:=
k
k!(n − k)!
mit
k! := 1 · 2 · 3 · . . . · k =
Qk
j=1 j
für n ∈ N, k = 0, . . . , n
(k Fakultät),
0! := 1.
2.6.2.1.1
Beispiel:
16 · 15 · 14 · 13!
16!
16
=
= 16 · 5 · 7 = 560
=
3! · 13!
1 · 2 · 3 · 13!
3
2.6.2.1.2
Eigenschaften:
a) Symmetrie
(folgt aus Definition)
b) Additionsgesetz
(2.6.2.2)
n
n
=
n−k
k
n+1
n
n
=
+
k+1
k+1
k
(Beweis s. Übungsaufgabe, Formel bietet Möglichkeit zur rekursiven Berechnung der
Binomialkoeffizienten)
24
KAPITEL 2. DIE REELLEN ZAHLEN
2.6.2.1.3
Beweis der binomischen Formel durch vollständige Induktion:
• Induktionsanfang
n = 1:
1 1
1 1
a +
b
(a + b) = a + b =
1
0
|{z}
|{z}
1
=1
• Induktionsschluss
=1
Sei (2.6.2.2) für ein n ∈ N richtig.
(a + b)n+1 = (a + b)n (a + b) =
(IV)
Umbennung k = l
(a + b)n+1
2.6.2.1.4
n X
n
k=0
k
an−k bk
!
(a + b)
Indexverschiebung: k + 1 = l
z }|
z }|
{
{
n
n
X
X
n n+1−k k
n n−k k+1
=
a
b +
a b
k
k
k=0
k=0
n+1
n
X n X n
n+1−l l
an+1−l bl
a
b +
=
l−1
l
l=1
l=0
n
X n n n
n
n+1 0
n+1−l l
+
=
a b +
a0 bn+1
a
b +
l
−
1
l
0
n
l=1 |
| {z }
| {z }
{z
}
n+1
nach
b)
=1=(n+1
=
=1=
( l )
(n+1
0 )
n+1)
n+1
X n+1
an+1−l bl
⇒ (a + b)n+1 =
l
l=0
Folgerung:
n X
n 2
n k
x + . . . + xn
x =1+n·x+
(1 + x) =
2
k
k=0
n
>
1+n·x
für n ≥ 2 und x > 0
Allgemeiner gilt:
2.6.2.2
Bernoullische UngleichungIV
(1 + x)n
>
1+n·x
Beweis: (durch vollständige Induktion)
IV
Jakob Bernoulli, 1654-1705
für n ∈ N \ {1} und x > −1, x 6= 0
(2.6.2.3)
2.6. NATÜRLICHE ZAHLEN
25
• Induktionsanfang
n = 2:
(1 + x)2 = 1 + 2x +
x2
|{z}
>
1 + 2x
>0 für x6=0
• Induktionsschluss Sei (2.6.2.3) für ein n ∈ N richtig.
(1 + x)n+1 = (1 + x)(1 + x)n
| {z }
(1 + x)(1 + n · x)
{z
}
|
>
(IV)
>0
Weil
gilt, folgt aus (O2)
1 + (n + 1)x + n · x2
(1 + x)n+1
2.6.2.3
>
=1+(n+1)x+nx2
>
1 + (n + 1)x
1 + (n + 1)x
Ungleichung von geometrischen und arithmetischen Mittel
Sei a1 , . . . , an ≥ 0, dann gilt:
√
n
a · a · . . . · an
| 1 2{z
}
1
(a1 + a2 + . . . + an )
{z
}
|n
≤
geometrisches Mittel
Kurzfassung:
n
Y
j=1
aj
arithmetisches Mittel
! n1
n
≤
1X
aj
n j=1
(2.6.2.4)
Beweis durch vollständige Induktion nach n ∈ N (s. Tutorium)
2.6.2.4
Cauchy-Schwarzsche Ungleichung für SummenV
Für n ∈ N und zj , wj ∈ R gilt:
n
X
j=1
v
v
uX
uX
n
u
u n
2
|zj | t
|wj |2
|zj wj | ≤ t
Beweis:
j=1
|
{z
=:A
(2.6.2.5)
j=1
}|
{z
=:B
}
a) Im Fall A = 0 oder B = 0 ist Ungleichung (2.6.2.5) klar, denn z.B. A = 0 impliziert
|zj |2 = 0 ⇒ zj = 0 für alle j = 1, . . . , n.
V
Cauchy 1789-1857, Schwarz 1843-1921
26
KAPITEL 2. DIE REELLEN ZAHLEN
b) Sei jetzt A > 0 und B > 0. Setze aj :=
n
X
j=1
a2j
=
1
A2
n
X
j=1
2
|zj | =
A2
A2
Damit ist (2.6.2.5) äquivalent zu
folgender Nebenrechnung:
Es gilt für alle x, y ∈ R:
1
xy ≤ (x2 + y 2)
2
⇔
= 1,
|zj |
A
und bj :=
n
X
b2j
= 1,
j=1
Pn
j=1
|wj |
,
B
n
X
dann gilt: aj ≥ 0, bj ≥ 0,
aj bj =
1
AB
n
X
j=1
j=1
|zj wj |.
aj bj ≤ 1. Die letzte Ungleichung ergibt sich aus
2xy ≤ (x2 + y 2 )
⇔
x2 − 2xy + y 2 ≥ 0 .
{z
}
|
=(x−y)2
Somit haben wir für jedes j: aj bj ≤ 21 a2j + b2j . Aufsummierung aller dieser n Ungleichungen liefert
!
n
n
n
X
X
X
a2j +
b2j = 21 (1 + 1) = 1.
aj bj ≤ 12
j=1
j=1
j=1
Kapitel 3
Folgen und Reihen
3.1
3.1.1
Der Grenzwertbegriff
Definition: Zahlenfolge
Eine Abbildung
heißt (reelle) Zahlenfolge und wird mit
∈
∈
N → R
n 7→ an
(an ) = (an )∞
n=1
bezeichnet.
3.1.1.0.1 Bemerkung: (an ) heißt für das geordnete unendliche Tupel reeller Zahlen
(a1 , a2 , . . . , an , . . .).
3.1.1.1
Beispiele
1) (an ) = (n)
0
2) (an ) =
1
n
1
2
3
4
0
1
3) (an ) = (c) = (c, c, c, . . .)
27
28
KAPITEL 3. FOLGEN UND REIHEN
4) (an ) = ((−1)n ) = (−1, +1, −1, +1, . . .)
5) Beispiel aus der Volkswirtschaft
Modell:
Die Mitglieder einer Volkswirtschaft geben durchschnittlich q · K EUR ihres Vermögens von K EUR für Verbrauchsgüter aus (q ∈ (0, 1)). Ein Unternehmen tätigt eine
Investition von K EUR. Die Erstempfänger dieses Betrages geben q · K EUR aus. Die
Zweitempfänger geben davon q(q · K) = q 2 · K EUR aus, usw.
Nachdem die n-ten Empfänger q n · K EUR ausgegeben haben, hat sich das Volkseinkommen um
2
n
K + q · K + q · K + ...+ q · K = K ·
|
{z
}
=:an
n
X
i=0
qj = K ·
1 − q n+1
1−q
EUR erhöht.
Da man nicht genau weiß, wie groß n in einem gegebenen Zeitraum ist, sucht man einen
von n unabhängigen Wert a, so dass für genügend große n die Werte an um weniger als
eine vorgegebene Fehlerschranke ε > 0 von a abweichen, d.h.
an ∈ (a − ε, a + ε) = Uε (a)
gilt.
3.1.2
Definition: Konvergenz
Eine Zahlenfolge (an ) konvergiert gegen a ∈ R, wenn zu jedem ε > 0 ein Index n0 = n0 (ε)
existiert, so dass
|an − a| < ε für alle n ≥ n0
(ε-n0 -Abschätzung)
(3.1.2.1)
a heißt Grenzwert oder Limes von (an ).
Symbolisch:
a = lim an
n→∞
oder
an → a (für n → ∞)
Eine Zahlenfolge, die nicht konvergiert, heißt divergent.
3.1.2.0.1 Interpretation: (3.1.2.1) besagt, dass fast alle an , d.h. alle bis endlich viele
Ausnahmeglieder der Zahlenfolge (an ), in einer ε-Umgebung Uε (a) von a liegen.
a − ε1
a − ε2
a
a + ε2
a + ε1
3.1. DER GRENZWERTBEGRIFF
29
3.1.2.0.2 Folgerung: Ändert man endlich viele Glieder von (an ) ab, so verändert sich
das Konvergenzverhalten von (an ) nicht.
3.1.2.1
Beispiele
1) (an ) = (c). Wähle
a=c
⇒
|an − a| = |c − c| = 0
<
ε
für jedes ε > 0 und alle n ∈ N, also n0 (ε) = 1. d.h.
lim c = c
n→∞
2) (an ) = ((−1)n ) konvergiert nicht, denn a2k = 1 und a2k−1 = −1 (k ∈ N)).
−1
⇒
(analog für −1)
3) (an ) = n1 .
1
|a2k − 1| = 0, aber |a2k−1 − 1| = 2 für alle k ∈ N
1
=0
n→∞ n
lim
denn
1
1
< ε für n >
n
ε
Nach dem Satz von Archimedes gibt es n0 (ε) ∈ N mit n0 (ε) > 1ε . Dann gilt für alle
n ∈ N mit n ≥ n0 (ε) die Ungleichung (3.1.2.1).
|an − 0| =
Genauer:
1
+1
n0 (ε) =
ε
4) (an ) = (q n ).
lim q n = 0 für 0 < |q| < 1
n→∞
denn
1
|q|
> 1, somit
1
|q|
= 1 + x mit x > 0.
1
|q|
n
= (1 + x)n
1 + nx für n ≥ 2
>
(2.6.2.3)
Damit ist
|q n − 0| = |q|n
<
1
1 + nx
<
1
nx
<
ε
für n >
1
|q|
=
εx
ε(1 − |q|)
30
KAPITEL 3. FOLGEN UND REIHEN
Genauer: Wähle zu ε > 0 den Index
|q|
n0 (ε) =
+1
ε(1 − |q|)
Dann ist für alle n ≥ n0 (ε) die Ungleichung (3.1.2.1) richtig.
3.1.2.2
Eigenschaften konvergenter Folgen
1) Grenzwert einer konvergenten Zahlenfolge (an ) ist eindeutig bestimmt.
Beweis:
Seien a, a′ Grenzwerte von (an ) mit |a − a′ | > 0. Nach Definition gibt es zu jedem ε > 0
ein n0 (ε), n′0 (ε):
|an − a| < ε für n ≥ n0 (ε) und |an − a′ | < ε für n ≥ n′0 (ε)
Wähle ε = 12 |a − a′ | und n ≥ max{n0 (ε), n′0 (ε)}. Dann ist
|a − a′ | = |(a − an ) + (an − a′ ) ≤ |a − an | + |an − a′ |
| {z } | {z }
<ε
⇒ Widerspruch
⇒
<
2ε = |a − a′ |
<ε
a = a′
2) Jede konvergente Zahlenfolge (an ) ist beschränkt, d.h. {an | n ∈ N} ist nach oben und
unten beschränkt.
Beweis:
Sei limn→∞ an = a. Dann gilt an ∈ U1 (a) (⇔ |an − a| < 1) für alle n ≥ n0 (1), d.h.
a − 1 ≤ an ≤ a + 1
Die restlichen Glieder a1 , . . . , an0 (1)−1 bilden eine endliche Menge, welche ein Maximum
M und ein Minimum m hat.
min{m, a − 1} ≤ an ≤ max{M, a + 1} für alle n ∈ N
Achtung: Umkehrung des Satzes gilt im Allgemeinen nicht, so zum Beispiel: (an ) =
((−1)n ).
3.1.2.2.1 Anwendung: (an ) = (n) ist unbeschränkt nach dem Satz von Archimedes und damit divergent.
3.1. DER GRENZWERTBEGRIFF
3.1.2.3
31
Rechenregeln für konvergente Zahlenfolgen
Sei an → a und bn → b. Dann gilt:
1. Summensatz
an ± bn → a ± b
(Der „−“-Fall ergibt sich als Folgerung mit 2.)
Beweis:
Nach Definition ist:
|an − a| < ε
|bn − b| < ε
⇒
für
für
n ≥ n0 (ε)
n ≥ n̂0 (ε)
|an + bn − (a + b)| = |(an − a) + (bn − b)| ≤ |an − a| + |bn − b| < 2ε
für n ≥ ñ0 (ε) := max{n0 (ε), n̂0 (ε)}
2. Produktsatz
an · bn → a · b
(Spezialfall: α · an → α · a für jedes α ∈ R)
Beweis:
≤K
z}|{
|an · bn − a · b| = |(an − a)bn + (bn − b)a| ≤ |an − a| |bn | +|bn − b||a|
<
εK
+ ε|a| für n ≥ ñ0 (ε)
3. Quotientensatz
Ist b 6= 0, so ist bn 6= 0 für n ≥ n1 und
an
a
→ .
bn
b
Beweis:
Nach 6. ist |bn | → |b| =
6 0. Wähle ε = 12 |b|, dann ist
Mit 5. ist
|b| + ε > |bn | > |b| − ε = 21 |b| für n ≥ n̂0 12 |b|
|b − bn |
1
1
2
< 2 |b − bn |
⇒ c̃n := − =
bn
b
|b · bn |
|b|
2
0 ≤ c̃n < 2 |b − bn | ⇒ c̃n → 0,
|{z}
|b|
→0
| {z }
Produktregel ergibt Behauptung.
→0
1
1
→
bn
b
32
KAPITEL 3. FOLGEN UND REIHEN
4. Vergleichssatz
Ist an ≤ bn für n ∈ N, so
a ≤ b.
Beweis: (s. Übungsaufgabe)
5. Einschnürungssatz (Polizistenregel, Sandwichsatz)
Ist a = b und an ≤ cn ≤ bn , so
a1
a2
c2
cn → a.
b2
c1
b1
Beweis:
Nach Definition gilt a − ε < an , bn < a + ε für n ≥ ñ0 (ε).
⇒
a − ε < an ≤ cn ≤ bn < a + ε
d.h. cn → a.
6. Betragssatz
|an | → |a|
Beweis:
Nach Definition gilt |an − a| < ε für n ≥ n0 (ε). Wegen Dreiecksungleichung ist
||an | − |a|| ≤ |an − a| < ε für dieselben n ∈ N.
3.1.2.4
Bemerkungen
i) Regeln 1.-3. schreibt man in der Form
lim (an ± bn ) = lim an ± lim bn
n→∞
lim
n→∞
an
bn
=
n→∞
limn→∞ an
,
limn→∞ bn
n→∞
lim (an bn ) = lim an lim bn
n→∞
n→∞
n→∞
(Gleichungen sind von rechts nach links zu verstehen!)
ii)
an → a
⇔
an − a → 0
6.
⇒
⇐
Def.
|an − a| → 0
3.1. DER GRENZWERTBEGRIFF
3.1.2.5
33
Weitere Beispiele
i)
1 1
1
1
=0
lim
= lim
· · ...·
n→∞ nk
n→∞ n n
n
|
{z
}
k-Faktoren
nach k-facher Anwendung der Produktregel, k ∈ N.
ii)
lim
n→∞
√
n
n=1
√
Denn setzen wir an := n n − 1, so müssen wir zeigen an → 0. Dazu benutzen wir den
Einschnürungssatz.
n 2
n n
n 2
n
n
n
a
an ≥ 1 +
an + . . . +
an +
+
n = (an + 1) =
2 n
n
2
1
0
| {z }
=1
weil an > 0 für n ≥ 2.
⇒
2
2(n − 1)
n−1
=
a2n ≤ n =
n(n − 1)
n
2
weil
lim
n→∞
iii) Wogegen konvergiert
r
√
2
|an | ≤ √
n
⇔
⇔
√
√
2
2
− √ ≤ an ≤ √
n
n
|{z}
|{z}
→0
1
=0
n
(s. Übungsaufgabe)
⇒ an → 0
√
n q
für q > 0?
1. Fall: q > 1
Da es n1 ∈ N gibt mit n1 > q, folgt für alle n ≥ n1 :
√
√
n
n > nq>1 ⇒
n ≥ n1 > q ⇒
|{z}
5.
→1
√
n
q→1
ii)
2. Fall: 0 < q < 1
a := 1q , so ist a > 1. Nach 1. Fall
√
n
1
a= √
→1
n q
nach Quotientenregel.
⇒
lim
n→∞
√
n
1
=1
q = lim √
n
n→∞
a
→0
34
KAPITEL 3. FOLGEN UND REIHEN
3.2
Konvergenzkriterien für Folgen
Kann man Rechenregeln auf eine gegebenene Zahlenfolge nicht direkt anwenden, so bleibt
nur die ε-n0 -Abschätzung und das Erraten des Grenzwerts.
Frage: Kann man aus den inneren Eigenschaften einer Zahlenfolge (d.h. ohne Kenntnis des
Grenzwerts) auf deren Konvergenz schließen?
3.2.1
Monotone Zahlenfolgen
3.2.1.1
Definition
• Zahlenfolge (an ) heißt monoton wachsend, wenn an ≤ an+1 für alle n ∈ N.
• Zahlenfolge (an ) heißt monoton fallend, wenn an ≥ an+1 für alle n ∈ N.
• Wird „=“ nicht zugelassen, so spricht man von strenger Monotonie.
3.2.1.1.1 Beispiel: Wir betrachten eine Bakterienpopulation in gewissen Zeitraum
[0, T ] und können dabei annehmen, dass der Zuwachs ∆p in einem Zeitintervall ∆t proportional zur Populationsgröße p(t) und ∆t ist.
∆p = α · p(t) · ∆t,
α= γ−τ
(γ – Geburtsrate, τ – Todesrate)
Sei jetzt α > 0. Wir beobachten zu den Zeitpunkten tk =
erhalten die Werte:
k
,
T
k = 0, . . . , n, ∆t =
T
n
und
1
2
k
T
T
T
p0 , p1 = p0 +∆p = p0 · 1 + α
, p2 = p1 +∆p = p0 · 1 + α
, . . . , pk = p0 · 1 + α
n
n
n
mit dem Endzustand
T
pn = p0 · 1 + α
n
n
Die Beobachtung wird um so besser, je größer n wird. Gesucht:
lim pn
n→∞
Der Einfachheit halber sei αT = 1. Wir untersuchen die Eigenschaften von
n
1
an = 1 +
n
3.2. KONVERGENZKRITERIEN FÜR FOLGEN
1. (an ) ist streng monoton wachsend:
n X
n 1
n 1
an = 1 +
<
=
k
k
n
n
k=0
denn
1
n+1
n 1
<
k
k
(n + 1)k
k n
n+1 X
n+1
k
k=0
⇔
⇔
⇔
35
1
=
(n + 1)k
1+
1
n+1
n+1
= an+1
n!
1
(n + 1)!
1
<
k
k!(n − k)! n
k!(n + 1 − k)! (n + 1)k
n+1−k
nk
>
k
(n + 1)
n+1
k
1
k
1−
>1−
n+1
n+1
Die letze Relation gilt für k ≥ 2 wegen Bernoullischer Ungleichung (2.6.2.3).
2. (an ) ist beschränkt.
a1 = 2, a2 = 2, 25, . . .
Wegen 1. ist an > a1 = 2 für n ≥ 2.
n 1
n · (n − 1) · . . . · (n − k + 1) 1
=
·
k
k n
n· n ·...· n
k!
n X
n 1
n 1
an = 1 +
=
k nk
n
k=0
≤
≤
1·
1
k(k − 1) · . . . · 1
n 1
an ≤ 2 · 1 −
+1<3
2
Frage: Konvergiert (an )?
Allgemein gilt das Monotonieprinzip.
Monotonieprinzip
• Ist (an ) monoton wachsend und nach oben beschränkt, so
an → sup an := sup{an | n ∈ N}
• Ist (an ) monoton fallend und nach unten beschränkt, so
an → inf an := inf{an | n ∈ N}
1
2k−1
für k ≥ 2
n
n k−1
X
X
1
1
+1
+1+1=
k−1
2
2
k=2
k=1
|
{z
}
1 n
1−( 2
)
=
1− 1
2
3.2.1.2
≤
36
KAPITEL 3. FOLGEN UND REIHEN
Beweis:
Sei (an ) beschränkt und monoton wachsend und a := sup an . Nach Definition gibt es zu
jedem ε > 0 einen Index n0 = n0 (ε):
a − ε < an0
Wegen Monotonie ist an ≥ an0 für n ≥ n0 .
⇒
a − ε < an ≤ a
d.h. an ∈ Uε (a).
Das Monotonieprinzip kann auch umformuliert werden zu:
Eine monotone Zahlenfolge konvergiert genau dann, wenn sie beschränkt ist.
(Beachte! : Jede konvergente Zahlenfolge ist beschränkt.)
3.2.1.3
Anwendung
1) Definition der Eulerschen Zahl e
n n
konvergiert gegen sup 1 + n1 =: e , mit anderen Worten:
(an ) = 1 + n1
n
1
lim 1 +
=: e .
n→∞
n
2) Dichtheit von Q in R
Sei x ∈ R, so existiert die Dezimalbruchentwicklung von x. Dabei ist
x∈
∞
\
In , In = [an , bn ].
n=1
d.h. an ≤ x ≤ bn für alle n ∈ N. Weiterhin ist an+1 ≥ an , also (an ) ist monoton wachsend
und nach oben beschränkt (z.B. durch x). Nach dem Monotonieprinzip gilt:
lim an = sup an = x
n→∞
(s. Beweis zum Intervallschachtelungsprinzip)
Da an ∈ Q ist, lässt sich somit jedes reelle x (auch falls x 6∈ Q) als Grenzwert einer
Folge rationaler Zahlen erhalten, d.h. beliebig gut durch rationale Zahlen approximieren
(annähern).
3.2. KONVERGENZKRITERIEN FÜR FOLGEN
3.2.2
37
Teilfolgen
3.2.2.0.1 Definition: Sei (nk )∞
k=1 = (n1 , n2 , n3 , . . .) eine streng monoton wachsende
Folge natürlicher Zahlen, so ist (ank ) eine Teilfolge von (an ),
in Zeichen: (ank ) ⊆ (an )
3.2.2.1
Teilfolgenprinzip
Eine Zahlenfolge konvergiert genau dann gegen a ∈ R, wenn jede ihrer Teilfolgen gegen a
konvergiert.
Beweis:
a) (⇐) Da (an ) selbst eine Teilfolge von (an ) ist, folgt an → a.
b) (⇒) Sei jetzt limn→∞ an = a und (ank ) ⊆ (an ).
a−ε
a+ε
a
Dann ist wegen
n1 < n2 < . . . < nk < . . .
nk ≥ k für k ∈ N und folglich
ank ∈ (a − ε, a + ε) für alle k ≥ n0 (ε)
(Beachte: Zu jedem ε > 0 gibt es n0 (ε) : |an − a| < ε für n ≥ n0 (ε).)
3.2.2.1.1
Beispiel: Es gilt:
lim
n→∞
n
=e
1
1+
2k
2k
=e
k2
=e
1
1+
n
Damit ist auch
• mit nk = 2k, k ∈ N:
lim
lim
k→∞
• mit nk = k 2 , k ∈ N:
k→∞
1
1+ 2
k
38
KAPITEL 3. FOLGEN UND REIHEN
3.2.2.1.2
lenfolge.
Bemerkung: Logische Negation liefert Kriterium für Divergenz einer Zah-
3.2.2.1.3
Beispiel:
(an ) = ((−1)n )
nk = 2k :
nk = 2k − 1 :
(Konvergenz gegen +1)
(Konvergenz gegen −1)
(a2k ) = (1) = (1, 1, . . .)
(a2k−1 ) = (−1) = (−1, −1, . . .)
Teilfolgen spielen wichtige Rolle beim Studium des Verhältnisses von Beschränktheit und
Konvergenz von Zahlenfolgen.
Bekannt ist: Konvergenz ⇒ Beschränktheit.
Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht, aber:
3.2.3
Auswahlprinzip von Bolzano-Weierstraß
(Bolzano 1781-1848, Weierstraß 1815-1897)
Jede beschränkte Zahlenfolge besitzt eine konvergente Teilfolge.
Beweis:
Wir verwenden die Intervallhalbierungsmethode (Bisektion).
i) Sei (cn ) eine beschränkte Zahlenfolge, d.h. m ≤ cn ≤ M für alle n ∈ N.
I1
Setze I1 := [m, M] = [a1 , b1 ].
m
a1
1
(m
2
+ M)
M
b1
I2
I1
Halbiere I1 und wähle als I2 =
[a2 , b2 ] dasjenige Halbintervall, in
dem unendlich viele cn liegen.
m
a1
a2
1
(m
2
b2
+ M) M
b1
3.2. KONVERGENZKRITERIEN FÜR FOLGEN
39
I3
I2
I1
Halbiere I2 und wähle als I3 =
[a3 , b3 ] dasjenige Halbintervall, in
dem unendlichviele cn liegen, usw.
1
(m
2
m
a1
a2
a3
+ M) M
b1
b2
b3
Damit entsteht eine Intervallschachtelung: I1 ⊃ I2 ⊃ I3 ⊃ . . . ,
n
n
1 1
1
1
1
L1 =
(M −m) → 0
für n → ∞.
Ln+1 = Ln = · Ln−1 = · · · =
2
2 2
2
2
T
Nach dem Prinzip der Intervallschachtelung gibt es x ∈ ∞
n=1 In , genauer
x = lim an = lim bn .
n→∞
n→∞
ii) Auswahl von (cnk ) ⊆ (cn ) nach folgendem Schema:
Sei cnk ∈ Ik gewählt, dann gibt es cnk+1 ∈ Ik+1 mit nk+1 > nk , weil in Ik+1 unendlich
viele cn liegen.
cn k ∈ Ik
⇔
ak ≤ cnk ≤ bk
|{z}
|{z}
→x
→x
für k → ∞
Nach dem Einschnürungssatz folgt
lim cnk = x .
k→∞
3.2.4
Cauchy-Folgen
3.2.4.0.1 Beobachtung: Verdichtungseigenschaft konvergenter Folgen:
Nach Definition von limn→∞ an = a gibt es ñ0 := n0 2ε , so dass
|an − a| <
ε
für n ≥ ñ0
2
ε ε
+ = ε falls n, m ≥ ñ0
2 2
d.h.: „Späte“ Glieder einer konvergenten Zahlenfolge liegen beliebig dicht beieinander.
⇒
|an − am | = |(an − a) + (a − am )| ≤ |an − a| + |a − am | <
3.2.4.0.2 Definition: Die Zahlenfolge (an ) heißt Cauchy-Folge oder Fundamentalfolge, wenn zu jedem ε > 0 ein n0 = n0 (ε) existiert mit |an − am | < ε für alle n, m ≥ n0 .
40
KAPITEL 3. FOLGEN UND REIHEN
3.2.4.1
Cauchysches Konvergenzprinzip
Eine Zahlenfolge konvergiert genau dann, wenn sie eine Cauchy-Folge ist.
Beweis:
i) (⇒) s. o.
ii) (⇐) Erfülle (an ) die Bedingung von 3.2.4.0.2.
1. Schritt: (an ) ist beschränkt. Wähle in 3.2.4.0.2 ε = 1. Dann gilt mit n1 = n0 (1):
|an − an1 | < 1 für n ≥ n1
⇒ |an | ≤ |an − an1 | + |an1 | ≤ 1 + |an1 | für dieselben n ∈ N
⇒ |an | ≤ max {|a1 |, |a2 |, . . . , |an1 −1 |, 1 + |an1 |} für alle n ∈ N .
Nach 3.2.3 gibt (ank ) ⊆ (an ) und a ∈ R mit a = limk→∞ ank .
2. Schritt: Wir zeigen an → a. Für jedes ε > 0 gibt es k0 (ε) ∈ N mit |ank − a| < ε für
k ≥ k0 (ε).
|an − a| ≤
|a − a |
| n {z nk}
<ε(wegen 3.2.4.0.2)
+ |ank − a| < 2ε
| {z }
<ε
für n ≥ n0 (ε) und k ≥ max {k0 (ε), n0 (ε)}. (nk ≥ k)
3.2.4.1.1
Beispiel: Wir definieren eine Zahlenfolge (an ) rekursiv durch
a1 = 2,
an+1 :=
2 + an
1 + an
Gesucht: limn→∞ an
Idee: Grenzübergang n → ∞ in Bildungsvorschrift, falls (an ) konvergiert.I
Nachweis, dass (an ) eine Cauchy-Folge ist: Mittels vollständiger Induktion ergibt sich
1 ≤ an ≤ 2. (Übung!)
I
Daher muss die Zahlenfolge zunächst immer auf Konvergenz untersucht werden.
3.3. HÄUFUNGSWERTE UND HÄUFUNGSPUNKTE
41
m > n:
|am − an | = 1 +
1
|an−1 − am−1 |
1
=
− 1+
1 + am−1
1 + an−1
|(1 + am−1 )(1 + an−1 )|
|am−1 − an−1 |
|am−2 − an−2 |
≤
≤
4
42
n−1
1
≤ ... ≤
|am−n+1 − a1 |
4
n−1
n
1
1
(|am−n+1 | + |a1 | ) ≤
· 16
≤
| {z } |{z}
4
4
≤2
Wegen limn→∞
≤2
1 n
4
= 0 gibt es n0 (ε):
n
n
1
1
|am − an | ≤
· 16 = − 0 · 16 < ε für n ≥ n0 (ε)
4
4
d.h. 3.2.4.0.2 ist erfüllt. Nach 3.2.4.1 existiert
a = lim an mit a ∈ [1, 2]
n→∞
⇒
2 + an
2+a
lim an+1 = lim
=
n→∞
1+a
| {z } n→∞ 1 + an
⇒
=a
a2 = 2
3.3
3.3.1
⇒
a=
√
a(1 + a) = 2 + a
2
Häufungswerte und Häufungspunkte
Definition
Eine Zahl h ∈ R heißt Häufungswert einer Zahlenfolge (an ), wenn es eine Teilfolge (ank ) ⊆
(an ) gibt mit limk→∞ ank = h.
3.3.2
Folgerungen
1. Gilt limn→∞ an = a, so hat (an ) nur den einen Häufungswert (wegen Teilfolgenprinzip
3.2.2.1).
2. h ist Häufungswert von (an ). ⇔ Für jedes ǫ > 0 liegen unendlich viele an in Uε (h).
h−ǫ
h
h+ǫ
42
KAPITEL 3. FOLGEN UND REIHEN
Beachte: Unendlich viele der an können auch außerhalb von Uε (h) sein.
Zum Beispiel: (an ) = (−1)n hat die Häufungswerte +1 und −1.
3. Auswahlprinzip von Bolzano-Weierstraß 3.2.3 lautet jetzt:
Jede beschränkte Zahlenfolge hat mindestens einen Häufungswert.
Die Menge der Häufungswerte von (an ) heißt oft Limesmenge und sei mit L(an ) bezeichnet.
3.3.2.0.1
Beispiele:
a) (an ) = ((−1)n ) ⇒ L ((−1)n ) = {−1, 1},
√
√
b) (an ) = ( n n) ⇒ L ( n n) = {1},
c) (an ) = (n) ⇒ L(n) = ∅.
3.3.2.0.2
Bezeichnungen:
inf L(an ) =: lim inf an = lim an
sup L(an ) =: lim sup an = lim an
3.3.2.0.3
Beispiel: lim inf(−1)n = −1,
lim sup(−1)n = 1
Die bisherigen Resultate ergeben folgenden
3.3.2.0.4 Satz: Eine Zahlenfolge (an ) konvergiert genau dann, wenn sie beschränkt ist
und genau einen Häufungswert besitzt.
In diesem Fall ist
3.3.3
lim an = lim sup an = lim inf an .
n→∞
Häufungspunkte
3.3.3.0.5 Definition: Ein Punkt z ∈ R heißt Häufungspunkt der Menge M ⊆ R, wenn
es eine Folge (zn ) gibt mit limn→∞ zn = z, zn ∈ M und zn 6= z für alle n ∈ N.
3.3.3.1
Beispiele
1) M = (0, 1] hat zum Beispiel die Häufungspunkte 0, 12 , 1, . . ., denn
M∋
0
1
2
1
1 1
1
1
→ 0, M ∋ + →
n
2 n
2
n≥2
1
M ∋ 1− →1
n
3.4. UNENDLICHE REIHEN
43
2)
M = Z hat keine Häufungspunkte, denn
2−ε 2+ε
|m − n| ≥ 1
-2
für m, n ∈ Z, m 6= n.
3.3.3.2
-1
0
1
2
Bemerkungen
i) Ein Häufungspunkt von M kann zu M gehören oder auch nicht, s. Beispiel 1).
ii) Punkte aus M, welche selbst keine Häufungspunkte von M sind, heißen isolierte Punkte. Zum Beispiel besteht M = Z nur aus isolierten Punkten.
iii) Beachte Unterschied zwischen Häufungspunkt einer Menge und Häufungswert einer
Folge.
3.3.3.2.1 Satz von Bolzano-Weierstraß (für Mengen): Jede beschränkte, unendliche Teilmenge von R besitzt mindestens einen Häufungspunkt.
3.4
Unendliche Reihen
3.4.1
Definitionen
i) Die unendliche Reihe
∞
X
ak = a0 + a1 + a2 + . . .
k=0
bedeutet die Folge der Partialsummen (Teilsummen)
(sn )∞
n=0
mit sn :=
n
X
ak = a0 + a1 + . . . + an ; n = 0, 1, 2, . . .
k=0
bzw. sn+1 = sn + an+1 ,
ii)
P∞
k=0 ak
(=
P
Schreibweise:
(ak ∈ R)
ak ) heißt konvergent gegen s, falls limn→∞ sn = s ist.
∞
X
k=0
ak = s = lim
n→∞
n
X
k=0
ak
!!
P
s heißt auch Summe der Reihe
ak . Eine nichtkonvergente Reihe heißt divergent.
P
P
iii)
ak heißt absolut konvergent, wenn
|ak | konvergiert.
44
KAPITEL 3. FOLGEN UND REIHEN
3.4.2
Bemerkungen
1) Auf
P∞Glieder kommt es bei Reihen nicht an, d.h. Konvergenzverhalten von
P∞ endlich viele
k=N ak mit N ∈ N ist dasselbe.
k=0 ak und
P∞
2)
k=0 ak wird in zwei Bedeutungen verwendet:
a) Zahlenfolge (sn )
b) Summe der Reihe
3.4.3
Beispiele
1. Beispiel aus der Volkswirtschaft (s. 3.1.1.1.5)).
Zuwachs an Volkseinkommen
sn := K + qK + q 2 K + . . . + q n K
ist Partialsumme zur Reihe
∞
X
k=0
Kq k
|{z}
ak
Diese Reihe konvergiert für |q| < 1, q ∈ R und
Begründung:
∞
X
P
q k heißt geometrische Reihe.
1−0
1
1 − q n+1
=K·
=K·
Kq = lim sn = lim K ·
n→∞
n→∞
1−q
1−q
1−q
k=0
2.
k
∞
X
k=0
n
X
1
1
1
1
=
+
+
+ ...
(k + 1)(k + 2)
1·2 2·3 3·4
n
X 1 + (k + 1) − (k + 1)
1
sn =
=
(k + 1)(k + 2) k=0
(k + 1)(k + 2)
k=0
n n
X
1
1
(1 + k + 1) − (k + 1) X
=
−
=
(k + 1)(k + 2)
k+1 k+2
k=0
k=0
1
1 1
1 1
1 1
1
1
=
+
+
+ ...+
=1−
−
−
−
−
1 2
2 3
3 4
n+1 n+2
n+2
∞
X
1
1
=1
= lim sn = lim 1 −
n→∞
n→∞
(k
+
1)(k
+
2)
n
+
2
k=0
P
P
1
q k , (k+1)(k+2)
konvergieren absolut.
3.4. UNENDLICHE REIHEN
3.4.4
45
Konvergenzkriterien
Durch unmittelbare Anwendung der Konvergenzkritierien für Zahlenfolgen auf (sn ) folgt:
P
3.4.4.0.1 Monotoniekriterium:
dann, wenn (sn ) beschränkt ist, denn
ak mit ak ≥ 0 für k = 0, 1, 2, . . . konvergiert genau
sn+1 = sn + an+1 ≥ sn + 0 = sn
d.h. (sn ) monoton wachsend.
P
3.4.4.0.2 Cauchy-Kriterium:
ak konvergiert genau dann, wenn zu jedem ε > 0
ein n0 (ε) ∈ N existiert, so dass
n+p X (3.4.4.2)
ak = |an+1 + . . . + an+p | < ε für alle n ≥ n0 (ε) und alle p ∈ N
n+1
denn (sn ) konvergiert ⇔ (sn ) Cauchy-Folge, d.h.
|sn − sm | < ε für n, m ≥ n0 (ε)
Setze m = n + p, dann ist
n+p
n+p
n
X
X
X
ak ak = ak −
|sn − sm | = k=0
k=0
3.4.4.1
k=n+1
Folgerungen
P
1. Konvergiert
ak , so muss limn→∞ an = 0 und limn→∞ rn = 0 mit
rn =
∞
X
ak
(Reihenrest)
k=n+1
denn setzen wir in (3.4.4.2) p = 1, so ist
|an+1 | < ε für n ≥ n0 (ε)
d.h. an+1 ∈ (−ε, ε).
Andererseits ergibt Grenzübergang p → ∞ in (3.4.4.2):
∞
X
ak ≤ ε
k=n+1
d.h. rn ∈ (−2ε, 2ε) für dieselben n.
46
KAPITEL 3. FOLGEN UND REIHEN
Aber!: limn→∞ an = 0 ist nicht hinreichend für Konvergenz von
∞
X
1
k=1
k
=1+
Obwohl limn→∞ an = limn→∞
1 1
+ + ...
2 3
1
n
P
ak , z.B.
(harmonische Reihe).
= 0 ist, divergiert
Sei n > 2m+1 , so
P1
k
, denn (sn ) ist unbeschränkt.
2m Summanden
sn > s2m+1
>0+
>G
1
=1+ +
2
1
1
+
3
4
|{z}
> 14
+
1
1
+...+ 3
5
2
|{z}
>
1
23
+ ...+
z
>
1
2
22
2m
1
+ 2 + 3 + . . . + m+1 = (m + 1)
2 2
2
2
2
falls
m > 2G − 1
⇒
}|
{
1
1
+ . . . + m+1
m+1
2
|2 {z
}
1
2m+1
lim sn = +∞ .
n→∞
P
P
2. Absolute
Konvergenz
von
a
⇒
Konvergenz
von
ak ,
k
P
denn
|ak | konvergiert heißt: Zu ε > 0 existiert n0 (ε):
n+p
n+p
X
X
|ak | < ε
⇒
|ak | =
(Dreiecksungleichung)
k=n+1
k=n+1
⇒
(3.4.4.2)
n+p
n+p
X
X
|ak | < ε für n ≥ n0 (ε), p ∈ N
ak ≤
k=n+1
X
k=n+1
ak konv.
Bemerkung: Bei absoluter Konvergenz gilt verallgemeinerte Dreiecksungleichung
∞
∞
X
X
ak ≤
|ak |
k=0
k=0
(Herleitung durch Grenzübergang aus Dreiecksungleichung für n Summanden)
3.4.4.1.1
Majorantenkriterium und Minorantenkriterium
• Majorantenkriterium
P
P
Konvergiert
ck für alle k ≥ k0 , so konvergiert
ak
P ck mit ck ≥ 0 und gilt |ak | ≤ P
absolut. ( ck ist konvergente Majorante zu
ak .)
3.4. UNENDLICHE REIHEN
47
Beweis:
X
ck konvergiert
⇔
n+p X ck = cn+1 +cn+2 +. . .+cn+p < ε für n ≥ n0 , p ∈ N
Zu jedem ε > 0 existiert n0 (ε) : k=n+1
n+p
n+p
⇒
X
|ak | ≤
|{z}
k=n+1 ≤c
k
X
k=n+1
ck < ε für n ≥ max{n0 , k0 − 1}, p ∈ N
⇒
(3.4.4.2)
abs. Konv. von
X
ak
• Minorantenkriterium
P
P
Divergiert
d
mit
d
≥
0
und
a
≥
d
für
alle
k
≥
k
,
so
divergiert
ak .
k
k
k
k
0
P
P
( dk ist divergente Minorante zu
ak .)
Beweis (durch Widerspruch aus Majorantenkriterium)
3.4.4.2
Beispiele
1)
∞
∞
X
X
1
1
=
2
n
(k + 1)2
n=1
k=0
konvergiert (absolut), weil
∞
X
1
1
1
≤
für
alle
k
∈
N
und
konv.
(k + 1)2
k(k + 1)
k(k
+
1)
k=1
2)
∞
X
1
√
n
n=1
divergiert, weil
√
n≥1
⇒
∞
X
1
1
1
√ ≥ für n ∈ N und
div.
n
n
n
n=1
Wichtige Spezialfälle entstehen aus 3.4.4.1.1 durch Verwendung der geometrischen Reihe
als Vergleichreihe.
48
KAPITEL 3. FOLGEN UND REIHEN
p
Wurzelkriterium: Konvergiert n |an | und ist
p
P
• limn→∞ n |an | < 1, so konvergiert ∞
n=0 an absolut.
p
P
• limn→∞ n |an | > 1, so divergiert ∞
n=0 an absolut.
3.4.4.2.1
3.4.4.3
Bemerkungen
p
P
i) Ist limn→∞ n |an | = 1, so ist Konvergenz oder Divergenz von
ak möglich.
Zum Beispiel:
Dagegen:
∞
X
1
divergiert , aber
n
n=1
r
n
1
1
= √
→ 1 für n → ∞.
n
n
n
r
2
∞
X
1
1
1
n
konvergiert, aber
= √
→1·1=1
n
2
2
n
n
n
n=1
p
ii) Existiert limn→∞ n |an | nicht, so gilt allgemeiner:
X
p
lim sup n |an | < 1 ⇒ Konvergenz von
an
X
p
an
lim inf n |an | > 1 ⇒ Divergenz von
Beweis von 3.4.4.2.1:
p
a) Sei α := limn→∞ n |an |, so gilt
p
α − ε < n |an | < α + ε für n ≥ n0 (ε), ε > 0
Bei α ∈ [0, 1), wähle ε =
α−ε
0
α α+ε
ε
0), so ist
α+1
<1
2
n
1−α
α+1
für n ≥ n0
|an | <
2
2
0<
1
1−α
(>
2
p
n
|an | < α + ε =
P
1+α n
Da ∞
konvergiert, ergibt sich Behauptung aus dem Majorantenkriterin=0
2
um.
>0
b) Bei α > 1 setze ε = α−1
2
p
α 1
n
|an | > α − ε = + > 1
⇒
2 2
α−1
⇒ |an | > 1 für n ≥ n0
2
P
Somit kann (an ) nicht gegen 0 konvergieren. ⇒ Divergenz von
an .
3.4. UNENDLICHE REIHEN
3.4.4.3.1
49
Beispiel:
∞
X
n2
n=1
2n
,
n2
an = n ,
2
p
n
√ 2
( n n)
12
1
|an | =
→
= < 1 für n → ∞.
2
2
2
⇒ Reihe konvergiert (absolut).
3.4.4.3.2
an+1 Quotientenkriterium: Konvergiert an und ist
P
• limn→∞ an+1
< 1, so konvergiert
an absolut.
an P
• limn→∞ an+1
> 1, so divergiert
an absolut.
an Beweis: (s. Übungsaufgabe)
(Bemerkungen i), ii) analog zu denen des Wurzelkriteriums 3.4.4.2.1.)
3.4.4.3.3
Beispiel
∞
X
n!
,
n
n
n=1
an =
⇒ Reihe konvergiert.
n!
,
nn
an+1
(n + 1)! nn
nn
1
1
n → < 1
=
·
=
=
1
n+1
n
an
(n + 1)
n!
(n + 1)
e
1+ n
P
Die Kriterien 3.4.4.1.1 bis 3.4.4.3.2 lieferten die absolute Konvergenz von P∞
n=0 an . Sol∞
che
Reihen
besitzen
die
bemerkenswerte
Eigenschaft,
dass
jede
Umordnung
k=0 ank von
P∞
n=0 an (dabei muss die Abbildung k 7→ nk eine Bijektion von N0 auf N0 sein) ebenfalls
konvergiert und zwar gegen dieselben Summe. Diese Eigenschaft ist für endliche Summen
bekannt, ist jedoch für nicht absolut konvergente Reihen falsch.
3.4.4.4
Alternierenden Reihen
Reihen, welche nicht notwendigerweise absolut konvergieren, sind z.B. alternierende Reihen:
∞
X
(−1)k bk = b0 − b1 + b2 − b3 + . . . mit bk > 0 für k = 0, 1, 2, . . .
k=0
Für diese alternierenden Reihen gilt:
50
KAPITEL 3. FOLGEN UND REIHEN
3.4.4.4.1 Leibniz-Kriterium
(1676): Sei limn→∞ bn = 0 und bn ≤ bn−1 für alle
P∞
k
n ∈ N, so konvergiert k=0 (−1) bk .
Beweis:
a)
n+p
X
(−1)k bk = (−1)n+1 (bn+1 − bn+2 ) + (bn+3 − bn+4 ) + . . . + (−1)p−1 bn+p
|
{z
} |
{z
}
k=n+1
= (−1)
n+1
≥0
≥0
Rn+1,p
Dabei ist Rn+1,p ≥ 0, denn nur bei ungeradem p bleibt (−1)p−1 bn+p ≥ 0 unbeklammert.
b)
n+p
X
(−1)k bk = (−1)n+1 (bn+1 − Rn+2,p )
k=n+1
⇒
n+p
X
k (−1) bk = +Rn+1,p = bn+1 − Rn+2,p ≤ bn+1
| {z }
k=n+1
(3.4.4.3)
≥0
Wegen
P limn→∞ bn = 0 ist 0 ≤ bn < ε für n ≥ n0 (ε). Mit (3.4.4.2) folgt die Konvergenz
von (−1)k bk .
Zusatz: Für solche Reihen gilt die Fehlerabschätzung für die Summe
∞
∞
n
X
X
X
s=
(−1)k bk , sn =
(−1)k bk , |s − sn | = (−1)k bk ≤ bn+1
k=0
n+1
k=0
(nach Grenzübergang p → ∞ in (3.4.4.3))
3.4.4.4.2
Beispiel: Leibnizsche Reihe:
∞
X
k=0
(−1)k
1
1 1 1
= 1 − + − + ...
k+1
2 3 4
1
Leibnizsche Reihe konvergiert nach Leibniz-Kriterium 3.4.4.4.1, weil (bk ) = k+1
eine
monoton fallende Nullfolge bildet.
P
1
1
Aber!: Sie konvergiert nicht absolut, denn (−1)k bk = k+1
und ∞
k=0 k+1 divergiert (harmonische Reihe).
Die Summe s der Leibnizschen Reihe kann annähernd durch die Partialsummen
sn =
n
X
k=0
(−1)k
1
k+1
3.4. UNENDLICHE REIHEN
berechnet werden, z.B. bis
1
1000
51
genau, durch sn mit einem n gemäß
|s − sn | ≤
d.h. n ≥ 998.
⇒
Umordnung der Leibnizschen Reihe:
1
1
≤
n+2
1000
s ≈ s998 = 0, 694
1 1 1 1 1 1
1
1
1
1
1− − + − − + −
− + −
−...
| {z 2} 4 |3 {z 6} 8 |5 {z10} 12 |7 {z14}
= 21
= 16
1
= 10
1
= 14
1
1
1
1 1 1 1
− + − +
−
+
2 4 6 8 10 12 14
1
1 1 1 1 1 1
=
1 − + − + − + −...
2
2 3 4 5 6 7
1
= s
2
=
3.4.5
Rechnen mit Reihen
Unmittelbar aus den Rechenregeln für Folgen angewendet auf (sn ) ergibt sich: Konvergente
Reihen dürfen gliedweise addiert, subtrahiert und mit einem Faktor multipliziert werden,
genauer:
Sei
P
ak und
P
bk konvergent, dann gilt
∞
X
(ak + bk ) =
k=0
∞
X
k=0
∞
X
ak +
k=0
∞
X
αak = α
k=0
∞
X
bk
k=0
ak ,
α∈R
Bezüglich dieser Operation verhalten sich konvergente Reihen wie endliche Summen.
Problem: Multiplikation von Reihen, genauer: Wie muss man die Produkte ak bl anordnen,
so dass Produktreihe konvergiert?
3.4.5.0.1
Reihe
Definition: Die Cauchysche Produktreihe der Reihen
∞
X
n=0
cn :=
∞
X
n=0
P
ak ,
(a b + a1 bn−1 + a2 bn−2 + . . . + an−1 b1 + an b0 )
| 0 n
{z
}
n
X
=
ak bn−k =: cn
k=0
P
bk ist die
52
KAPITEL 3. FOLGEN UND REIHEN
P
P
3.4.5.0.2 Satz: Sind ak , bk absolut konvergent, dann konvergiert auch ihre Cauchysche
Produktreihe wieder absolut (und somit auch jede andere Produktreihe) und es gilt:
!
!
∞
∞
∞
X
X
X
cn =
ak ·
bk
n=0
k=0
k=0
Beweis (über großen Umordnungssatz, s. Literatur)
Beispiel: ak = bk = z k
!2
!
∞
∞
∞
X
X
X
k
0 n
1 n−1
n−1
n 0
z
z z + |z z{z } + . . . + |z {z z} + z|{z}
=
=
(n + 1)z n
z
|{z}
3.4.5.0.3
n=0
k=0
=z n
=z n
mit Summe
3.4.5.0.4
Folgerung: Da
⇒
3.4.6
=z n
1
1−z
2
=
=z n
n=0
1
(1 − z)2
P
(n + 1)z n konvergiert, muss limn→∞ (n + 1)z n = 0 sein.
lim nz n = 0 für |z| < 1, z ∈ R
n→∞
Zusammenstellung wichtiger Reihen
• Geometrische Reihe
∞
X
zn =
n=0
• Harmonische Reihe
1
1−z
∞
X
1
n
n=1
abs. konv. für |z| < 1
divergent
• Leibnizsche Reihe
∞
X
(−1)n+1
n=1
•
•
für |z| < 1
n
(= ln 2)
konvergent, aber
nicht abs. konv.
∞
X
π2
1
=
2
n
6
n=1
∞
X
1
nα
n=1
konvergent
konvergent für α > 1,
divergent für α ≤ 1
3.5. POTENZREIHEN
3.5
53
Potenzreihen
Eine wichtige Klasse von Reihen sind die Potenzreihen, welche eine Verallgemeinerung der
Polynome darstellen.
3.5.1
Definitionen
Sei an ∈ R für n ∈ N0 und z0 ∈ R gegeben. Dann heißt
P (z) :=
∞
X
n=0
an (z − z0 )n ,
z∈R
Potenzreihe in (z − z0 ) mit dem Entwicklungspunkt z0 und Koeffizienten an .
3.5.1.1
Bemerkungen
1) Konvergiert die Potenzreihe P (z) für alle z ∈ M ⊆ R, so vermittelt P eine Abbildung
M → R (reelle Funktion).
2) Durch die Transformation ζ := z − z0 erhält man den Standardfall einer Potenzreihe
mit Entwicklungspunkt 0.
P (z) = P (ζ + z0 ) =
∞
X
an ζ n
n=0
3.5.1.2
Beispiele
a) geometrische Reihe: z0 = 0, an = 1 für n ∈ N0 , absolut konvergent für |z| < 1
P∞
n
b)
n=0 (z + 1) ist Potenzreihe mit z0 = −1, an = 1. Wegen a) konvergiert diese Potenz1
reihe für |z + 1| < 1 gegen 1−(z+1)
= − z1 .
3.5.2
Konvergenzradius
Jede Potenzreihe P (z) ist für z = z0 konvergent, wobei auch in diesem Fall (z − z0 )0 = 1
gesetzt wird (⇒ P (z0 ) = a0 ).
Wenn P (z) für ein z1 ∈ R \ {z0 } absolut konvergiert, dann konvergiert P (z) auch für alle
z ∈ R mit
|z − z0 | ≤ |z1 − z0 |
absolut nach Majorantenkriterium,
P
denn es ist |an (z − z0 )n | = |an | |z − z0 |n ≤ |an | |z1 − z0 |n , und |an (z1 − z0 )n | konvergiert.
54
KAPITEL 3. FOLGEN UND REIHEN
Sei A = {r > 0 | P (z) konvergiert für alle z ∈ R mit |z − z0 | < r}. Dann ist A 6= ∅, weil
|z1 − z0 | ∈ A. Setze ̺(P ) := sup A ∈ (0, ∞) ∪ {∞} = (0, ∞]. Nach Definition von sup A ist
somit die Potenzreihe P (z) für alle z ∈ R mit |z − z0 | > ̺(P ) divergent.
Ergänzung: Konvergiert P (z) nur für z = z0 , so setze ̺(P ) := 0.
3.5.2.0.1 Satz: Zu jeder Potenzreihe P (z) gibt es genau ein ̺(P ) ∈ [0, ∞], so dass
P (z) absolut konvergiert für alle z mit |z − z0 | < ̺(P ) und divergiert für |z − z0 | > ̺(P ).
Beweis:
a) Existenz von ̺(P ) s. oben.
b) Eindeutigkeit:
Sei ̺1 , ̺2 zwei Zahlen mit den genannten Eigenschaften und ̺1 < ̺2 . Dann wähle x ∈ R
so, dass ̺1 < x < ̺2 . Wegen der Eigenschaften von ̺2 ist die Potenzreihe P (z0 + x)
konvergent, wegen der Eigenschaften von ̺1 jedoch divergent. ⇒ Widerspruch.
3.5.2.0.2 Definition: ̺(P ) heißt Konvergenzradius der Potenzreihe
P
n
P (z) = ∞
n=0 an (z − z0 ) .
U̺(P ) (z0 ) := {z ∈ R | |z − z0 | < ̺(P )} = (z0 − ̺(P ), z0 + ̺(P ))
heißt Konvergenzintervall zu P (z).
3.5.2.0.3
Berechnungsformel für ̺(P ): Konvergiert die Zahlenfolge
1
,
̺(P ) = lim p
n→∞ n |a |
n
p
n
|an | , so ist
denn nach Wurzelkriterium 3.4.4.2.1 ist P (z)
• konvergent, falls
lim
n→∞
p
n
|an (z − z0 )n | = lim
n→∞
q
p
n
|an | |z − z0 |n = lim n |an | |z − z0 | < 1
n→∞
• divergent, falls
lim
n→∞
p
n
|an (z − z0
)n |
q
p
= lim n |an | |z − z0 |n = lim n |an | |z − z0 | > 1
n→∞
n→∞
3.5. POTENZREIHEN
55
⇒
Allgemeiner gilt mit r := lim sup
̺(P ) =
1
limn→∞
p
n
p
n
|an |
|an |:

1

falls r ∈ (0, ∞)
r
̺(P ) = 0 falls r = ∞


∞ falls r = 0
3.5.2.1 Beispiele
p
P∞ n
n
|an | = 1, Konvergenzradius: 1
a)
n=0 z : z0 = 0, an = 1,
Für |z| = 1: |z n | = |z|n = 1 → 1 6= 0, Divergenz der geometrischen Reihe
P∞
n
b)
n=0 (z + 1) , z0 = −1, an = 1, Konvergenzradius: 1
p
P∞ n
n
n n
|an | = n → ∞, Konvergenzradius: 0
c)
n=0 n (z − 2, 7) : z0 = 2, 7, an = n ,
d.h. Potenzreihe divergiert für alle z ∈ R \ {2, 7}
P∞ z n
1 √
1
1
n a
d)
n n → 1 = 1, Konvergenzradius: 1
n = √
n=0 n : z0 = 0, an = n ,
• Für z = 1: Divergenz (harmonische Reihe)
• Für z = −1: Konvergenz (Leibnizsche Reihe)
3.5.2.1.1 Bemerkung: Auf dem Rand des Konvergenzintervalles U̺(P ) (z0 ), d.h. für
z ∈ R mit |z − z0 | = ̺(P ) kann sowohl Konvergenz als auch Divergenz vorliegen.
3.5.2.2
Rechenregeln für Potenzreihen
P∞
P
n
n
Besitzen die Potenzreihen ∞
n=0 bn z die Konvergenzradien ̺1 und ̺2 , so
n=0 an z und
gilt zumindest für |z| < min{̺1 , ̺2 }:
i)
α
∞
X
n
an z + β
n=0
∞
X
n
bn z =
∞
X
an z n
n=0
!
∞
X
bn z n
n=0
denn Cauchysche Produktreihe von
cn =
n
X
k=0
(αan + βbn )z n ,
α, β ∈ R
n=0
n=0
ii)
∞
X
!
P∞
=
∞
n
X
X
n=0
n=0 an z
ak z k bn−k z n−k =
n
ak bn−k
k=0
und
n
X
k=0
P∞
!
n=0 bn z
ak bn−k
!
n
zn
zn
ist
P∞
n=0 cn ,
wobei
56
KAPITEL 3. FOLGEN UND REIHEN
3.5.3
Elementare Funktionen
3.5.3.1
Exponentialfunktion
∞
X
zn
n=0
n!
=: exp(z) = ez
(Exponentialreihe)
Berechnung des Konvergenzradius:
Bequemer als die Formel ist hier die Anwendung des Quotientenkriteriums 3.4.4.3.2:
z n+1 |z|n+1 n!
|z|
(n+1)! =
→ 0 für n → ∞
zn = n
n! |z| (n + 1)n!
n+1
⇒ Konvergenz für alle z ∈ R ⇔ ̺(exp) = ∞, also:
3.5.3.1.1
exp : R → R (reelle Funktion).
Eigenschaften:
1) exp(z + w) = exp(z) exp(w) für alle z, w ∈ R, denn:
! ∞
!
!
∞
n
∞
X wn
X
X
X
z k w n−k
zn
=
exp(z) exp(w) =
n!
n!
k! (n − k)!
n=0
n=0
n=0
k=0
!
n
∞
n ∞
X
X
1 X z k w n−k
1 X n k n−k
z w
n!
=
=
k
n!
k! (n − k)!
n!
n=0
n=0
k=0
=
∞
X
n=0
2) exp(0) =
1
0!
k=0
1
(z + w)n = exp(z + w)
n!
=1
3) exp(z) 6= 0 für alle z ∈ R, denn
1 = exp(0) = exp z + (−z) = exp(z) exp(−z)
2)
4) exp(−z) =
1
exp(z)
1)
⇒
exp(z) 6= 0
(Rechnung wie in 3)
5) exp(x) > 0 für x ∈ R, genauer:
• exp(x) > 1 für x > 0, denn
exp(x) =
∞
X
xn
n=0
n!
=1+x+
∞
X
xn
n!
|n=2{z }
≥0
≥1+x>1
3.5. POTENZREIHEN
57
• 0 < exp(x) < 1 für x < 0, denn
exp(x) =
4)
6) exp(1) = e = limn→∞ 1 +
1 n
,
n
1
∈ (0, 1), weil − x > 0
exp(−x)
denn:
∞
1 X 1
1+ ≤
n
k!
k=0
k
1
1
1
= exp(1) n
= exp
n
n
weil


1
1 1
exp(1) = exp  + + . . . +  =
n} 1)
|n n {z
n Summanden
Andererseits ist
k
X
∞
1
1
1
1·
≤
=
exp
n
n
1−
k=0
⇒
1
n
=
n
1
exp
n
1
n
=1+
n−1
n−1
n
n n−1 1
1
1
1
1+
≤ exp(1) ≤ 1 +
= 1+
· 1+
n
n−1
n−1
n−1
|
{z
} |
{z
}
→e für n→∞
→1 für n→∞
Nach Grenzübergang n → ∞ folgt e ≤ exp(1) ≤ e · 1.
7) exp(r) = er für r ∈ Q, denn:
exp( m
) = exp
n
m
m m
1
= en
+ · · · + n1 = exp( n1 ) = exp(1) n
6)
6)
{z
} 1)
|
1
n
exp(0) = 1 = e0 ,
2)
m-mal
exp − m
=
n
4)
1
1
−m
n .
m = m = e
exp( n )
en
für m, n ∈ N,
58
KAPITEL 3. FOLGEN UND REIHEN
3.5.3.1.2
Darstellung der Exponentialfunktion:
∞
X
1 n
e := exp(z) :=
z
n!
n=0
z
(absolut konvergent für alle z ∈ R)
expHxL
20
15
10
5
x
-3
3.5.3.2
-1
-2
1
2
3
Trignonometrische Funktionen
∞
X
(−1)n 2n+1
z
=: sin z
(2n
+
1)!
n=0
∞
X
(−1)n
n=0
(2n)!
z 2n =: cos z
(Sinusreihe)
(Kosinusreihe)
Konvergenzradius ist für beide Reihen ∞, denn bei Anwendung des Quotientenkriteriums
3.4.4.3.2 ergibt sich z.B.
(−1)n+1 z 2n+3 (2n+3)! |z|2
=
→ 0 für n → ∞ .
n
2n+1
(−1) z
(2n+1)! (2n + 3)(2n + 2)
3.5.3.2.1
Eigenschaften:
1) sin 0 = 0,
cos 0 =
(−1)0
2·0!
=1
2)
sin(−z) = − sin z
cos(−z) = cos z
(ungerade Funktion)
(gerade Funktion)
3.5. POTENZREIHEN
59
3) Additionstheoreme
cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y
sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y,
(x, y ∈ R)
denn:
sin x cos y =
∞
X
(−1)n 2n+1
x
(2n
+
1)!
n=0
!
∞
X
(−1)n
n=0
(2n)!
y 2n
!
∞
n
X
X
(−1)k 2k+1 (−1)n−k 2n−2k
x
y
=
(2k
+
1)!
(2n
−
2k)!
n=0
k=0
∞
X
(−1)n
=
(2n + 1)!
n=0
!
n
X
x2k+1
y 2n+1−(2k+1)
(2n + 1)!
(2k + 1)! (2n + 1 − (2k + 1))!
k=0
!
analog
∞
X
(−1)n
cos x sin y =
(2n + 1)!
n=0
n
X
x2k
y 2n−2k+1
(2n + 1)!
(2k)! (2n − 2k + 1))!
k=0
⇒
∞
X
(−1)n
sin x cos y + cos x sin y =
(2n + 1)!
n=0
(Andere Formel analog)
|
2n+1
X
l=0
!
,
!
2n + 1 l 2n+1−l
= sin(x + y)
xy
l
{z
}
=(x+y)2n+1
4) cos2 x + sin2 x = 1, denn:
cos2 x + sin2 x = cos x cos(−x) − sin x sin(−x) = cos(x + (−x)) = cos 0 = 1 .
2)
3)
1)
3.5.3.2.2 Anmerkung: Alle aufgeführten Eigenschaften wurden aus den PotenzreihenDarstellungen zu ez , sin z, cos z abgeleitet, d.h. ohne Rückgriff auf die Funktionen gleichen
Namens aus der Schule.
Es bleibt der Nachweis, dass die Potenzreihen für z ∈ R mit den elementargeometrischen
Ausdrücken zusammenfallen, insbesondere, dass π2 die Nullstelle von cos in (0, 2) ist, d.h.
das diese Nullstelle die Hälfte der Kreiszahl π ist (über Integralrechnung, s. Literatur).
3.5.3.2.3
Abgeleitete Funktionen:
tan z :=
(Potenzreihen-Entwicklung später)
sin z
,
cos z
cot z :=
cos z
sin z
,
60
KAPITEL 3. FOLGEN UND REIHEN
3.5.3.3
Hyperbelfunktionen
sinh z =
cosh z =
∞
X
n=0
∞
X
n=0
(Konvergenzradius: ∞)
3.5.3.3.1
1
z 2n+1
(2n + 1)!
(sinus hyperbolicus)
1 2n
z
(2n)!
(cosinus hyperbolicus)
Eigenschaften:
1)
sinh z =
(s. Übungsaufgabe)
1 z
e − e−z ,
2
cosh z =
1 z
e + e−z
2
2)
cosh2 z + sinh2 z = 1 für z ∈ R
denn
2 1 z
2
1 z
e + e−z −
e − e−z
2) 4
4
1 2z
=
e + 2e0 + e−2z − e2z − 2e0 + e−2z
4
1
= ·4=1
4
cosh2 z − sinh2 z =
3.5.3.3.2
Abgeleitete Funktionen:
tanh z :=
sinh z
,
cosh z
coth z :=
cosh z
sinh z
(Potenzreihen-Entwicklung später)
3.5.3.4
Weitere wichtige Potenzreihen
(Herleitung später)
• Logarithmusreihe
∞
X
(−1)n+1
n=1
• Binomische Reihe
∞ X
β
n=0
n
n
z n = ln(1 + z) abs. konv. für |z| < 1
z n = (1 + z)β , β ∈ R abs. konv. für |z| < 1
Kapitel 4
Stetigkeit
4.1
Grenzwerte und Stetigkeit reeller Funktionen
Zur Erinnerung: Eine Abbildung f : M ⊆ R → R heißt reelle Funktion mit Definitionsbereich D(f ) = M und Wertebereich W (f ).
4.1.0.0.1
Beispiel:
s. (3.5.3.2,2))
sin : R → [−1, 1]
Uns interessiert das Verhalten einer reellen Funktion f , wenn sich x einem Punkt a ∈ R
nähert. Das lässt sich durch Folgen (xn ) beschreiben mit limn→∞ xn = a und zugehörigen
Zahlenfolgen (f (xn )).
y
y = f (x)
(xn , f (xn ))
f(xn )
a
x
xn
61
62
KAPITEL 4. STETIGKEIT
4.1.1
Grenzwert-Definition
Sei f : M ⊆ R → R und a ein Häufungspunkt von M, so bedeutet:
i)
lim f (x) = A mit A ∈ [−∞, ∞] := R ∪ {−∞, ∞}
x→a
dass für jede Zahlenfolge (xn ) ⊂ M mit xn 6= a und limx→∞ xn = a gilt:
lim f (xn ) = A
n→∞
(in Worten: A ist Grenzwert von f für x → a, im Falle von A = ±∞ uneigentlicher
Grenzwert)
ii)
lim f (x) = A
x→∞
⇔ Für jede Zahlenfolge (xn ) ⊂ M mit limn→∞ xn = +∞ gilt: f (xn ) → A.
lim f (x) = A
x→−∞
⇔ Für jede Zahlenfolge (xn ) ⊂ M mit limn→∞ xn = −∞ gilt: f (xn ) → A.
iii) Werden in i) nur Zahlenfolgen (xn ) mit xn > a bzw. mit xn < a zugelassen, so schreibt
man
lim f (x) = A+
(A+ – rechtsseitiger Grenzwert von f an der Stelle a)
lim f (x) = A−
(A− – linksseitiger Grenzwert von f an der Stelle a).
x→a+
bzw.
x→a−
Als unmittelbare Folgerung ergibt sich die Übertragung der Rechenregeln für Grenzwerte
von Zahlenfolgen auf die entsprechenden Rechenregeln für Grenzwerte von Funktionen.
4.1.1.1
Beispiele
1)
lim xp = ap für p ∈ N
x→a
denn für jede beliebige Zahlenfolge (xn ) mit limx→∞ xn = a ist
p
lim xpn = lim xn = ap
n→∞
2)
n→∞
1
x→0+ x
lim
4.1. GRENZWERTE UND STETIGKEIT REELLER FUNKTIONEN
y=
63
1
x
xn
denn für alle (xn ) mit xn > 0 und limn→∞ xn = 0 gilt:
1
= +∞ .
n→∞ xn
lim
3)
lim
x→∞
√
x2 − x + 4 − x = lim
x→∞
√
2
x2 − x + 4 − x2
−x + 4
√
= lim q
x→∞
x2 − x + 4 + x
x
1 − x1 + x42 + 1
−1 +
= lim q
x→∞
1 − x1 +
denn für (xn ) mit limn→∞ xn = ∞ ist
s
1−
1
xn
4
x
4
x2
+1
=√
1
−1 + 0
=− ,
2
1−0+0+1
→ 0 und
√
4
1
− 2 → 1 − 0 − 0 = 1 für n → ∞ .
xn xn
4.1.1.1.1 ε-δ-Kriterium für Grenzwert einer Funktion f : Sei f : M ⊆ R → R
und a sei ein Häufungspunkt von M, dann gilt
lim f (x) = A mit A ∈ (−∞, ∞)
x→a
genau dann, wenn
64
KAPITEL 4. STETIGKEIT
Für jedes ε > 0 gibt es δ = δ(ε) > 0, so dass
|f (x) − A| < ε für alle x ∈ M mit 0 < |x − a| < δ
y
A+ε
A
A−ε
a−δa a+δ
x
Beweis:
a) (⇐)
Sei ε-δ-Bedingung erfüllt und (xn ) ⊂ M mit xn 6= a, lim xn = a. Dann ist für δ > 0:
0 < |xn − a| < δ für alle n ≥ n0 (δ)
Setze δ = δ(ε), dann folgt:
|f (xn ) − A| < ε für n ≥ n0 (δ(ǫ)) = ñ0 (ε)
d.h. f (xn ) → A für n → ∞.
b) (⇒) (indirekter Beweis)
Es existiere limx→a f (x) = A und die ε-δ-Bedingung sei „verletzt“, d.h.: Es gibt ein
„Ausnahme“-ε, z.B. ε0 > 0, so dass für alle δ > 0 ein x = x(δ) ∈ M mit 0 < |x(δ)−a| < δ
existiert mit |f (x(δ)) − A| ≥ ε0 .
Speziell für δ = n1 , n ∈ N setze xn := x n1 . Dann ist limn→∞ xn = a und xn 6= a. Nach
Voraussetzung folgt damit limn→∞ f (xn ) = A im Widerspruch zu |f (xn ) − A| ≥ ε0 .
4.1. GRENZWERTE UND STETIGKEIT REELLER FUNKTIONEN
4.1.1.2
65
Bemerkungen
1. ε-δ-Kriterium kann auch als Definition für limx→a f (x) = A verwendet werden.
2. Ähnliche „folgenfreie Definitionen“ gelten auch für die anderen Fälle von limx→a f (x),
z.B. für A ∈ {−∞, ∞}. (s. Übungsaufgabe)
3. Weitere Kriterien für die Existenz von limx→a f (x) ergeben sich durch Übertragung
der Kriterien für die Konvergenz von Zahlenfolgen, z.B. ein „grenzwertfreies“ CauchyKriterium.
4.1.1.2.1
Beispiel:
x3 − 1
=3,
x→1 x − 1
lim
denn
3
3
x − 1 − 3x + 3 (x − 1)3 + 3(x − 1)2 x − 1
=
= |(x − 1)(x + 2)| .
x − 1 − 3 = x−1
x−1
Wegen |x + 2| = |(x − 1) + 3| ≤ |x − 1| + 3 < 4 für |x − 1| < 1 ist
3
n εo
x − 1
x − 1 − 3 < |x − 1| · 4 < ε für alle x ∈ R mit 0 < |x − 1| < min 1, 4 =: δ(ε) .
4.1.2
Definition der Stetigkeit
a) Sei I ⊆ R ein Intervall auf f : I → R. Dann heißt f stetig in a ∈ I, falls
lim f (x) = f (a)
x→a
ist, d.h.
lim f (xn ) = f
n→∞
lim xn
n→∞
für jede Zahlenfolge (xn ) ⊂ I mit lim xn = a
n→∞
b) f heißt stetig auf I, falls f stetig in jedem a ∈ I ist.
4.1.2.0.1 ε-δ-Kriterium für Stetigkeit einer Funktion f : Sei f : M ⊆ R → R und
a sei ein Häufungspunkt von M, dann gilt
f ist stetig in a ∈ M
genau dann, wenn
Für jedes ε > 0 gibt es δ = δ(ε) > 0, so dass
|f (x) − f (a)| < ε für alle x ∈ M mit (0 <)|x − a| < δ
66
KAPITEL 4. STETIGKEIT
4.1.2.0.2 Bemerkung: Aus den Rechenregeln für Grenzwerte für Funktionen ergibt
sich unmittelbar:
Sind f, g : I ⊆ R → R stetig in a ∈ I, so sind auch die Funktionen
f + g,
wieder stetig in a (α ∈ R, bei
4.1.2.1
f
g
α · f,
f · g,
f
g
muss g(a) 6= 0 sein).
Beispiele stetiger Funktionen
1) Polynome
am xm + am−1 xm−1 + . . . + a1 x + a0
sind stetig auf R.
2) Rationale Funktionen
am xm + . . . + a0
bk xk + . . . + b0
(m, k ∈ N0 , aj , bl ∈ R)
sind stetig auf ihrem (maximalen) Definitionsbereich.
3) Betragsfunktion
(
x
für x ≥ 0
f (x) = |x| =
−x für x < 0
y = |x|
f ist stetig für alle x ∈ R, da aus limn→∞ xn = x stets limn→∞ |xn | = |x| folgt nach dem
Betragssatz 3.1.2.3, 6. für Zahlenfolgen.
4.1.2.2
Unstetigkeiten reeller Funktionen
Sei
A− := lim f (x),
x→a−
A+ := lim f (x)
x→a+
1) Unstetigkeiten 1. Art: A− und A+ existiert.
a)
A− = A+ 6= f (a)
(hebbare Unstetigkeit)
4.1. GRENZWERTE UND STETIGKEIT REELLER FUNKTIONEN
67
f˜(x)
(
f (x)
f˜(x) :=
A+ = A−
für x 6= a
für x = a
A−
= A+
y = f (x)
Dann ist f˜ stetig in a.
a
Beispiel:
7
6
5
f (x) =
(
x3 −1
x−1
0
4
für x 6= 1
für x = 1
3
2
1
-2
-1
1
2
1
2
b)
A− 6= A+
(Sprungstelle)
Sprung hat Höhe A+ − A− .
Beispiel:
2
1.5
(
x für x ≥ 0
f (x) =
1 für x < 0
1
0.5
-2
-1
68
KAPITEL 4. STETIGKEIT
2) Unstetigkeiten 2. Art: A− oder A+ existiert nicht.
a)
A− ∈ {−∞, ∞}, A+ ∈ [−∞, ∞]
(Polstelle)
(bzw. umgekehrt)
Beispiele:
i)
10
8
f (x) =
(
1
x
0
6
für x > 0
für x ≤ 0
4
2
-1
-2
1
2
ii)
10
f (x) =
(
1
x2
für x 6= 0
10 für x = 0
b) A− oder A+ existiert auch nicht im uneigentlichen Sinn (wesentliche Unstetigkeit)
Beispiel:
(
sin
f (x) =
0
1
x
für x 6= 0
für x = 0
4.2. EIGENSCHAFTEN STETIGER FUNKTIONEN
69
1
0.5
-0.4
-0.2
0.2
0.4
-0.5
-1
Nachweis, dass limx→0+ f (x) nicht existiert:
i) 0 < xn : sin
1
xn
= 0,
1
d.h. xn = nπ
, n ∈ N, limn→∞ xn = 0 und sin
n → ∞. ii) 0 < x̃n : sin x̃1n = 1,
1
xn
1
,n
π
+2nπ
2
d.h. x̃n =
∈ N, limn→∞ x̃n = 0 aber sin
π
sin 2 = 1 → 1 für n → ∞.
4.2
4.2.1
= sin(nπ) = 0 → 0 für
1
x̃n
= sin
π
2
+ 2nπ
=
Eigenschaften stetiger Funktionen
Satz über den Vorzeichenerhalt
y
Ist f stetig in a ∈ I und f (a) > 0, so gibt
es Uδ (a) = (a−δ, a+ δ), so dass f (x) > 0
für alle x ∈ Uδ (a) ∩ I.
f (a)
a−δ
a a+δ
Beweis: Setze in ε-δ-Kriterium 4.1.2.0.1 ε = 21 f (a). Dann gilt:
1
|f (x) − f (a)| < f (a) für x ∈ I,
2
|x − a| < δ = δ
1
f (a)
2
x
70
KAPITEL 4. STETIGKEIT
⇒
1
1
f (a) − f (a) < f (x) < f (a) + f (a) für x ∈ I mit a − δ < x < a + δ
2
|
{z2
}
= 21 f (a)>0
4.2.2
Extremalsatz von Weierstraß
Sei f stetig auf dem abgeschlossenen, beschränkten Intervall [a, b]. Dann ist f beschränkt,
genauer: f besitzt auf [a, b] eine Minimalstelle und eine Maximalstelle, d.h. es existieren
xmin , xmax ∈ [a, b] mit f (xmin ) ≤ f (x) ≤ f (xmax ) für alle x ∈ [a, b]
Bezeichnungsweise:
f (xmin ) = min f = min {f (x) | x ∈ [a, b]} = inf {f (x) | x ∈ [a, b]}
[a,b]
f (xmax ) = max f = max {f (x) | x ∈ [a, b]} = sup {f (x) | x ∈ [a, b]}
[a,b]
Beweis:
a) Sei m := inf {f (x) | x ∈ [a, b]}. Dann ist m = −∞ oder m ∈ R. Nach Definition von inf
gibt es eine Zahlenfolge (f (xn )) mit limn→∞ f (xn ) = m, wobei xn ∈ [a, b] und paarweise
verschieden ist. Nach dem Auswahlprinzip von Bolzano-Weierstraß 3.2.3 gibt es eine
Teilfolge (xnk ) ⊂ (xn ) mit limk→∞ xnk =: x̃, x̃ ∈ [a, b].
b) Benutze Stetigkeit von f auf [a, b] ⇒ f (xnk ) → f (x̃). Nach dem Teilfolgenprinzip 3.2.2.1
muss f (xnk ) → m.
⇒
m = f (x̃)
⇒
m 6= −∞ und f (x̃) = min f
[a,b]
c) Wegen
sup {f (x) | x ∈ [a, b]} = − inf {−f (x) | x ∈ [a, b]}
lässt sich die Existenz von xmax auf a), b) zurückführen.
y
y = f (x)
0
x
y = −f (x)
4.2. EIGENSCHAFTEN STETIGER FUNKTIONEN
4.2.2.0.1
71
Bemerkung: Der Extremalsatz von Weierstraß 4.2.2 ist i.A. falsch für:
i) unstetige f auf [a, b]
Beispiel:
7
f (x) =
(
x3 −1
x−1
0
6
für x 6= 1
für x = 1
5
4
3
sup f = 3, aber f (x) < 3
2
[0,1]
1
für alle x ∈ [0, 1]
-1
-2
1
2
1
2
ii) stetige f auf (a, b]
Beispiel:
10
8
f (x) =
(
1
x
0
für x > 0
für x ≤ 0
6
4
sup f = +∞
(0,1]
2
-1
-2
4.2.3
Nullstellensatz von Bolzano
y
Ist f auf [a, b] stetig und gilt f (a) >
0, f (b) < 0 (oder f (a) < 0, f (b) > 0),
so hat f eine Nullstelle xN ∈ [a, b], d.h.
f (xN ) = 0.
y = f (x)
0
x
a
b
72
KAPITEL 4. STETIGKEIT
Beweis:
a) Sei A := {x ∈ [a, b] | f (x) ≥ 0}. Dann ist A 6= ∅ (weil a ∈ A) und beschränkt. Dann
existiert xN := sup A, xN ∈ [a, b], genauer xN < b, denn es gibt (xn ) ⊂ A mit
lim xn = xN
n→∞
⇒
f (xn ) → f (xN ) .
wegen der vorausgestzten Stetigkeit von f . Weil f (xn ) ≥ 0 ist, muss auch f (xN ) ≥ 0
sein.
b) Wäre f (xN ) > 0, so existiert δ > 0 : f (x) > 0 für alle x ∈ (xN − δ, xN + δ) ∩ [a, b].
xN − δ xN + δ
xN
a
b
Wegen xN 0 für xN < x < xN + δ < b im Widerspruch zur Definition von xN = sup A ⇒
f (xN ) = 0.
4.2.4
Folgerungen
4.2.4.0.1
Zwischenwertsatz von BolzanoI
y
f (b)
Ist f stetig auf [a, b], so nimmt f jeden
Wert zwischen f (a) und f (b) an,
denn sei η ∈ (f (a), f (b)) (falls f (a) <
f (b)), dann wende Nullstellensatz 4.2.3
auf g(x) := η − f (x) an. (g(a) >
0, g(b) < 0)
η
f (a)
a
x0
b
x
4.2.4.0.2 Bisektionsverfahren zu Nullstellenbestimmung: Durch wiederholte Halbierung und Anwendung von 4.2.3 erhält man näherungsweise eine Nullstelle der reellen
Funktion f gemäß folgendem Algorithmus:
gegeben: f : [a, b] → R stetig, f (a) · f (b) < 0, Fehlerschranke e
gesucht: Nullstelle xN ∈ [a, b] mit Genauigkeit e
I
Der Zwischenwertsatz kann aus dem Nullstellensatz abgeleitet werden und umgekehrt.
4.2. EIGENSCHAFTEN STETIGER FUNKTIONEN
73
1. Schritt: Setze a1 := a, b1 = b.
a
b
x
Führe für n = 1, 2, 3, . . . folgende Schritte aus.
2. Schritt: Ist bn −an < e, so xN := an (oder xN := bn ), weil |xN −a|, |xN −b| < bn −an < e
und Abbruch, sonst
an +bn
.
2
Ist f (xn ) = 0, so xN := xn , andernfalls
x1
=
a
a1
b
x
=
3. Schritt: xn :=
b1
4. Schritt: Gilt f (an ) · f (xn ) < 0, so an+1 := an und bn+1 := xn und gehe zu 2. Schritt.
=
a1
x1
b
=
x2
=
=
a
b2
b1
x
a2
(f (a1 ) · f (x1 ) < 0)
=
a1
x2
=
x1
b
=
=
a
=
=
5. Schritt: Gilt f (an ) · f (xn ) > 0, so an+1 := xn und bn+1 := bn und gehe zu 2. Schritt.
a3 b3
b2
b1
x
a2
(f (a2 ) · f (x2 ) > 0)
4.2.5
Stetigkeit der Umkehrfunktion (der inversen Funktion) f −1
4.2.5.1
Definition
Sei f : I ⊆ R → R, I Intervall.
• Dann heißt f monoton wachsend auf I, falls aus x1 , x2 ∈ I mit x1 < x2 folgt:
f (x1 ) ≤ f (x2 ).
• Dann heißt f monoton fallend auf I, falls aus x1 , x2 ∈ I mit x1 < x2 folgt:
f (x1 ) ≥ f (x2 ).
Wird „=“ ausgeschlossen, so spricht man von strenger Monotonie.
74
KAPITEL 4. STETIGKEIT
4.2.5.1.1 Beispiel: f (x) = xm , m ∈ N ist auf [0, ∞) streng monoton wachsend, denn
m
aus 0 ≤ x1 < x2 folgt 0 ≤ xm
1 < x2 .
4.2.5.1.2 Satz über Umkehrfunktion: Ist f auf [a, b] stetig und streng monoton
wachsend, so ist f eine bijektive Abbildung von [a, b] auf [f (a), f (b)]. f −1 ist wieder stetig
und streng monoton wachsend auf [f (a), f (b)].
(analog für streng monoton fallendes f )
Beweis:
a) Für a < x < b gilt f (a) < f (x) < f (b), d.h. f : [a, b] → [f (a), f (b)]. Wegen Zwischenwertsatz 4.2.4.0.1 ist jedes η ∈ (f (a), f (b)) auch Bild eines Punktes x ∈ (a, b) und somit
die Abbildung f surjektiv.
b) Wir haben
a < x1 < x2 < b
⇔
f (a) < f (x1 ) < f (x2 ) < f (b) .
Daraus folgt die Injektivität von f und die strenge Monotonie von f −1 wegen
y = f (x) ⇔ x = f −1 (y).
c) Zur Stetigkeit von f −1 : Sei y, yn ∈ [f (a), f (b)] mit limn→∞ yn = y, yn 6= y. Dann ist
y = f (x), yn = f (xn ) mit x, xn ∈ [a, b]. Wegen der Beschränktheit der Zahlenfolge
(xn ) enthält diese eine konvergente Teilfolge (xnk ), wobei limk→∞ xnk = ξ ∈ [a, b] ist.
Stetigkeit von f liefert ynk = f (xnk ) → f (ξ), und aus Eindeutigkeit des Grenzwertes
folgt f (ξ) = y = f (x) ⇒ ξ = x. Daraus ergibt sich, dass jede Teilfolge von (xn ) gegen x
konvergiert. Nach Teilfolgenprinzip 3.2.2.1 ist das gleichbedeutend mit limn→∞ xn = x,
d.h. limn→∞ f −1 (yn ) = f −1 (y).
4.2.5.1.3
Anwendung:
Gemäß obigem Beispiel 4.2.5.1.1 ist die Umm
kehrfunktion zu f (x) = x√
(y = xm ⇔
√
x = m y), d.h. f −1 (x) = m x (Wurzelfunktion) stetig und streng monoton wachsend
auf [0, ∞). Mit dem Produktsatz 3.1.2.3, 2
ist folglich jede Potenzfunktion
m
r
mit
r
∈
Q
r
=
x
,
m,
n
∈
N
|{z}
n
√ m
=( n x )
stetig auf [0, ∞).
y
y = xm
y=
√
m
1
0
1
x
x
4.3. WEITERE KLASSEN STETIGER FUNKTIONEN
4.3
75
Weitere Klassen stetiger Funktionen
Bisher: Betragsfunktion, Polynome, rationale Funktionen, Wurzelfunktion, Potenzfunktion
mit rationalen Exponenten als stetige Funktionen erkannt.
4.3.1
Potenzreihen
P
n
Sei P (x) = ∞
n=0 an x eine Potenzreihe mit Konvergenzradius ̺ = ̺(P ) > 0 und an ∈ R.
Dann ist P : (−̺, ̺) → R eine reelle Funktion.
4.3.1.1
Satz über die Stetigkeit von Potenzreihen
P (x) ist für alle x ∈ (−̺, ̺) stetig.
Beweisidee: Sei a ∈ (−̺, ̺). Zu zeigen limx→a P (x) = P (a). Benutze die Darstellung
!
∞
n−1
X
X
(4.3.1.1)
an
xk an−1−k
P (x) − P (a) = (x − a)Q(x) mit Q(x) = a1 +
n=2
k=0
wobei der Reihen für |x| < ̺ konvergieren.
Zum Beweis von 4.3.1.1:
4.3.1.1.1 Hilfssatz: Hat P (z) den Konvergenzradius ̺ > 0, so hat Q(z) :=
den gleichen Konvergenzradius ̺.
P∞
n=0
nan z n
Beweis:
a) Sei |z| < ̺, so wählen wir ̺1 ∈ R : |z| < ̺1 < ̺. Wegen limn→∞ nq n = 0 für |q| < 1,
n
n
< 1 für n ≥ n0 (1).
→ 0, also n |z|
folgt n |z|
̺1
̺n
1
⇒
d.h.
|nan z n | = n |an | |z|n < |an | ̺n1
P
an ̺n1 eine konvergente Majorante zu Q(z). ⇒ ̺(Q) ≥ ̺(P )
P∞
n
b) Sei |z| > ̺. Dann divergiert
n=0 |an | |z| und bildet eine divergente Minorante zu
Q(z), weil |nan z n | ≥ |an ||z|n . ⇒ ̺(Q) ≤ ̺(P )
Beweis von 4.3.1.1:
i) Sei a ∈ (−̺, ̺). Zu zeigen limx→a P (x) = P (a).
P (x) − P (a) = a1 (x − a) + a2 (x2 − a2 ) + . . . + an (xn − an ) + . . .
76
KAPITEL 4. STETIGKEIT
Wegen xn − an = (x − a)
Reihe) ist
n
Pn−1
k=0
n
|x − a | ≤ |x − a|
|P (x) − P (a)| ≤ |x − a|
∞
X
n=0
xk an−1−k (Summenformel der endlichen geometrischen
n−1
X
k=0
|x|k |a|n−1−k ≤ |x − a|n (max{|x|, |a|})n−1
(Reihe konvergiert
Hilfssatz 4.3.1.1.1)
|an | n(max{|x|, |a|})n−1
|
{z
}
nach
<̺
≤ |x − a|M(a), falls |x − a| <
̺ − |a|
2
ii) Sei limn→∞ xn = a, (xn ) ⊂ (−̺, ̺)
⇒
4.3.1.2
4.3.1.2.1
|P (xn ) − P (a)| ≤ |xn − a| M(a) → 0 für n → ∞
a)
⇒
P (xn ) → P (a)
Wichtige Folgerung aus dem Stetigkeitssatz für Potenzreihen
Identitätssatz für Potenzreihen: Seien
P (x) =
∞
X
n=0
n
an (x − x0 ) ,
Q(x) =
∞
X
n=0
bn (x − x0 )n
absolut konvergent für x ∈ (x0 − ̺, x0 + ̺). Gilt für eine Folge (xn ) ⊂ (x0 − ̺, x0 + ̺),
xn 6= x0 mit limn→∞ xn = x0
P (xn ) = Q(xn ) für alle n ∈ N,
so ist P (x) = Q(x) für alle x ∈ (x0 − ̺, x0 + ̺), d.h. an = bn für alle n ∈ N.
Beweis (mittels vollständiger Induktion):
O.B.d.A. sei x0 = 0.
• Induktionsanfang:
Nach Stetigkeitssatz 4.3.1.1 ist
P (0) = lim P (xn ) = lim Q(xn ) = Q(0)
n→∞
| {z }
| {z } n→∞
=a0
• Induktionsschluss:
=b0
Sei a0 = b0 , a1 = b1 , . . . , an = bn . Setze
P1 (x) = an+1 + an+2 x + an+3 x2 + . . .
Q1 (x) = bn+1 + bn+2 x + bn+3 x2 + . . .
konvergent für x ∈ (−̺, ̺)
4.3. WEITERE KLASSEN STETIGER FUNKTIONEN
77
Für x 6= 0:
P
P (x) − nk=0 ak xk
P1 (x) =
,
xn+1
P
Q(x) − nk=0 bk xk
Q1 (x) =
xn+1
P1 (xn ) = Q1 (xn ) für alle n ∈ N
Stetigkeitssatz für Potenzreihen 4.3.1.1 liefert
P1 (0) = Q1 (0)
| {z } | {z }
=an+1
4.3.1.2.2
Bemerkung:
=bn+1
i) Der Identitätssatz liefert die Methode des Koeffizientenvergleichs für Potenzreihen:
P (x) = Q(x)
für alle x ∈ (x0 − ̺, x0 + ̺)
⇔
für alle n ∈ N .
an = bn
Beispiel:
P (x) =
∞
X
an xn ist eine gerade Funktion, d.h.
n=0
P (x) = P (−x) für alle x ∈ (−̺, ̺), ̺ = ̺(P ) > 0
m
a2k+1 = 0 für alle k = 0, 1, 2, . . . ,
denn
P (x) − P (−x) =
∞
X
n=0
n
n
(an x − an (−x) ) =
∞
X
k=0
2k
a2k x
2k
−x
+
∞
X
k=0
a2k+1 x2k+1 + x2k+1 .
Falls P eine gerade Funktion ist, so gilt
0 = P (x) − P (−x) =
∞
X
k=0
2a2k+1 x2k+1
für alle x ∈ (x0 − ̺, x0 + ̺)
⇔
2a2k+1 = 0 ,
da links die Potenzreihe identisch 0 steht.
(Schlussrichtung ⇑ offensichtlich.)
ii) Der Identitätssatz gilt auch für Polynome, da diese als Potenzreihen aufgefasst werden
können, wobei ab einem gewissen Index alle Koeffizienten in diesen Reihen verschwinden (Konvergenzradius ∞).
78
KAPITEL 4. STETIGKEIT
4.3.1.3
Anwendungen
1) ex , sin x, cos x, sinh x, cosh x sind stetig für alle x ∈ R.
∞
X
1 n
z =: ez
n!
n=0
∞
X
(−1)n 2n+1
z
=: sin z
(2n + 1)!
n=0
∞
X
n=0
∞
X
n=0
n
(−1) 2n
z =: cos z
(2n)!
1
z 2n+1 = sinh z
(2n + 1)!
∞
X
n=0
1 2n
z = cosh z
(2n)!
(alle absolut konvergent für z ∈ R)
2) Umkehrfunktion zu y = f (x) = ex :
Sei x1 < x2 .
x2
x1
2 −x1
⇒ x2 − x1 > 0, |ex{z
} >1 ⇒ e >e
1
= ex2 x1
e
⇒ ex streng monoton wachsend auf R. ⇒ Es
existiert Umkehrfunktion
y
y = ex
y = ln(x)
1
x = f −1 (y) =: ln y = log y
(natürliche Logarithmusfunktion) mit Definitionsbereich (0, ∞), stetig für jedes y ∈
(0, ∞).
1
x
3) Umkehrfunktion zu y = sin x:
Für x > 0 ist Reihe alternierend, damit gilt:
x3
x3
x2
x3
x2
| sin x − x|
≤
=x−
⇔ x 1−
≤ sin x ≤ x +
=x 1+
6
6
6
6
(s. 3.4.4.4.1) 3!
√
Für 0 < x < 6 ist sin x > 0.
Weiterhin gilt: cos x > 0 für x ∈ − π2 , π2 . Ist − π2 < x1 < x2 < π2 , so
x2 + x1
x2 − x1
cos
sin x2 − sin x1 = 2 sin
| {z2 } | {z 2 }
>0
(nach Übungsaufgabe 35.a)
>0
⇒ sin x2 > sin x1 , d.h. sin-Funktion ist streng monoton wachsend auf − π2 , π2
4.3. WEITERE KLASSEN STETIGER FUNKTIONEN
79
π
2
Nach dem Satz über Umkehrfunktion 4.2.5.1.2 existiert
x = sin−1 (y) =: arcsin(y)
y = arcsin(x)
y = sin(x)
1
− π2
(Arcussinus-Funktion) mit Definitionsbereich [−1, 1] und ist stetig.
−1
1
π
2
−1
− π2
4) Umkehrfunktion zu y = cos x:
Wegen cos x = sin π2 − x ist cos-Funktion streng monoton fallend für x ∈ [0, π]. (s. 3))
⇒ Es existiert
x = cos−1 (y) =: arccos(y)
(Arcusscosinus-Funktion),
definiert und stetig auf [−1, 1].
5) Umkehrfunktionen zu y = sinh x und y = cosh x sind die sogenannten Areafunktionen
(s. Übungsaufgabe 44).
4.3.2
Zusammengesetzte (oder mittelbare oder verkettete) Funktionen
4.3.2.0.1 Satz: Sei F (x) = f (g(x)) = (f ◦ g)(x), d.h. F ist Hintereinanderausführung
von f nach g, x ∈ (a, b). Ist g stetig in x0 ∈ (a, b) und f stetig in g(x0 ), so ist F stetig in x0 .
Beweis:
Sei (xn ) ⊂ (a, b), xn 6= x0 , limn→∞ xn = x0 . Dann folgt g(xn ) → g(x0 )
⇒
f (g(xn )) → f (g(x0 )) .
| {z }
| {z }
=F (xn )
4.3.2.0.2
Beispiele:
1)
F (x) = cosh
=F (x0 )
sin(x4 + 7x − 6)
x192 + 17x2 + 4
80
KAPITEL 4. STETIGKEIT
ist stetig für alle x ∈ R, denn
F = cosh ◦
f1
mit f1 (x) = sin(f3 (x)), f3 (x) = x4 + 7x − 6 und f2 (x) = x192 + 17x2 + 4
f2
2) Definition der allgemeinen Potenz
bα := eα ln b = exp [α ln b]
für α ∈ R (Exponent) und b > 0 (Basis)
a) Exponentialfunktion zur Basis b
bx = (exp ◦(id ln b)) (x)
definiert und stetig für alle x ∈ R. Dabei ist
y = bx ⇔ x = logb y :=
ln y
für y, b > 0; b 6= 1 (Logarithmus von y zur Basis b).
ln b
b) Potenzfunktion
xα = (exp ◦(α ln)) (x)
definiert und stetig für alle x > 0.
Kapitel 5
Differenzierbarkeit
5.1
Differentialquotient und Differentiationsregeln
geometrische Motivation: Tangentenproblem (17. Jahrhundert)
y
f (x)
T
S – Sekante durch
x0 , f (x0 ) , x0 + h, f (x0 + h)
hat Anstieg
f (x0 )
f (x0 + h) − f (x0 )
h
S
x0
5.1.1
x0 + h
Für Grenzübergang h → 0 geht S in eine
Grenzlage, nämlich in Tangente T , über.
x
Definition der Ableitung
Sei f definiert für x ∈ (x0 − ε, x0 + ε). Dann heißt der (eigentliche) Grenzwert
f (x0 + h) − f (x0 )
=: f ′ (x0 )
h→0
h
lim
Ableitung (oder 1. Ableitung) oder Differentialquotient von y = f (x) an der Stelle x0 .
f : (x0 − ε, x0 + ε) → R heißt dannn differenzierbar in x0 .
81
82
KAPITEL 5. DIFFERENZIERBARKEIT
Bezeichnung:
df
dy
(x0 ) =
(x0 )
(nach Leibniz)
dx
dx
(x0 )
.
Der Differentialquotient ist Grenzwert der Differenzenquotienten f (x0 +h)−f
h
f ′ (x0 ) =
5.1.1.0.1 Folgerung: Die Tangente T an y = f (x) im Punkt x0 , f (x0 ) hat den
Anstieg f ′ (x0 ).
Gleichung von T :
y − f (x0 )
= f ′ (x0 )
x − x0
5.1.1.0.2
⇔
y = f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 )
Beispiel: f (x) = x2
(x0 + h)2 − x20
f (x0 + h) − f (x0 )
= lim
= lim (2x0 + h) = 2x0
h→0
h→0
h→0
h
h
f ′ (x0 ) = lim
5.1.1.1
Zusammenhang zwischen Differenzierbarkeit und Stetigkeit
Wir schreiben
Damit folgt:
f (x0 + h) − f (x0 ) = f ′ (x0 )h + r(h)
(Zerlegungsformel).
f ist in x0 differenzierbar
f (x0 + h) − f (x0 )
r(h)
′
= lim
− f (x0 ) = 0
⇔ lim
h→0
h→0 h
h
⇔ f (x) − f (x0 ) = f ′ (x0 )(x − x0 ) + r(x − x0 )
r(x − x0 )
mit
→ 0 für x → x0
x − x0
(5.1.1.1)
lim f (x0 + h) − f (x0 ) = 0
| {z }
h→0
x
d.h. f (x) → f (x0 ) für x → x0 , also
Differenzierbarkeit in x0
⇒
Achtung!: Umkehrung dieser Aussage ist falsch,
z.B. ist die Funktion y = |x| stetig für x0 = 0,
aber dort nicht differenzierbar, weil
|0 + h| − |0|
|h|
f (0 + h) − f (0)
= lim
= lim
h→0
h→0 h
h→0
h
h
Stetigkeit in x0
y
y = |x|
lim
nicht existiert.
h
|h|
−h
|h|
= lim
= +1, lim
= lim
= −1
h→0+ h
h→0− h
h→0− h
h→0+ h
lim
x
5.1. DIFFERENTIALQUOTIENT UND DIFFERENTIATIONSREGELN
5.1.2
83
Differentiationsregeln
Seien f, g differenzierbar in x0 . Dann gilt:
i) Summenregel
(αf + βg)′(x0 ) = αf ′ (x0 ) + βg ′(x0 ) für α, β ∈ R
Beweis:
1
αf (x0 + h) + βg(x0 + h) − αf (x0 ) + βg(x0 )
h
1
1
= α f (x0 + h) − f (x0 ) + β g(x0 + h) − g(x0 ) → αf ′ (x0 ) + βg ′(x0 )
h
h
für h → 0
ii) Produktregel
(f g)′(x0 ) = f ′ (x0 )g(x0 ) + f (x0 )g ′ (x0 )
Beweis: siehe Übungsaufgabe
iii) Quotientenregel
′
f
f ′ (x0 )g(x0 ) − f (x0 )g ′(x0 )
,
(x0 ) =
g
g(x0 )2
falls g(x0 ) 6= 0.
Beweis:
1 f (x0 + h) f (x0 )
−
h g(x0 + h)
g(x0 )
1
=
g(x0 + h)g(x0 )
g(x0 + h) − g(x0 )
f (x0 + h) − f (x0 )
g( x0 ) − f (x0 )
h
h
{z
}
{z
}
|
|
→f ′ (x0 )
→g ′ (x0 )
Wegen der Stetigkeit von g in x0 ist limh→0 g(x0 + h) = g(x0 ), so dass
1 f (x0 + h) f (x0 )
1
′
′
→
−
2 f (x0 )g(x0 ) − f (x0 )g (x0 )
h g(x0 + h)
g(x0 )
g(x0 )
5.1.2.1
Anwendungen
1)
(xn )′ = n · xn−1 , n ∈ N
!
84
KAPITEL 5. DIFFERENZIERBARKEIT
denn
(xn )′ = (x · xn−1 )′ = 1 · xn−1 + x · (xn−1 )′ = xn−1 + x(x · xn−2 )′
ii)
n−1
=x
ii)
+ x(1 · xn−2 + x · (xn−2 )′ ) = 2xn−1 + x2 (xn−2 )′
= n · xn−1 + xn (x0 )′
|{z}
=0
n−1
=n·x
2)
′
0 · x − 1 · x′
1
1
=− 2
=
2
x iii)
x
x
3)
(am xm + am−1 xm−1 + . . . + a1 x + a0 )′ = am mxm−1 + am−1 (m − 1)xm−2 + . . . + a1
i),1)
5.1.2.2
Differentiation von Potenzreihen
P
n
5.1.2.2.1 Satz: Sei P (x) = ∞
(−̺, ̺), ̺ > 0. Dann
n=0 an x absolut konvergent
P für x ∈n−1
a
nx
und P ′ (x) besitzt
ist die Potenzreihe P (x) dort differenzierbar mit P ′(x) = ∞
n=1 n
den gleichen Konvergenzradius ̺.
Beweis:
Im Beweis des Stetigkeitssatzes für Potenzreihen 4.3.1.1 hatten wir die Darstellung (4.3.1.1)
hergeleitet:
!
∞
n−1
X
X
xk x0n−1−k
P (x) − P (x0 ) = (x − x0 )Q(x) mit der Reihe Q(x) = a1 +
an
n=2
k=0
welche für |x0 | < ̺ und |x − x0 | < ̺ − |x0 | absolut konvergiert. Durch Umordnung entsteht
aus Q wieder eine Potenzreihe in x. Der Stetigkeitssatz für Potenzreihen 4.3.1.1 impliziert
limx→x0 Q(x) = Q(x0 ).
⇒
P (x) − P (x0 )
= Q(x) → Q(x0 ),
x − x0
d.h.
′
P (x0 ) = Q(x0 ) = a1 +
∞
X
an
n=2
|
n−1
X
x0n−1
k=0
{z
=nxn−1
0
!
}
=
∞
X
n=1
an nx0n−1
5.1. DIFFERENTIALQUOTIENT UND DIFFERENTIATIONSREGELN
5.1.2.2.2
85
Beispiele:
1)
x ′
(e ) =
=
∞
X
1 n
x
n!
n=0
!′
∞
∞
∞
X
X
1
1
1 n ′ X
n−1
(x ) =
nx
=
xn−1
=
n!
(n − 1)! · n
(n − 1)!
n=1
n=1
n=1
∞
X
1
= ex für alle x ∈ R
m!
m=0
2)
(sin x)′ =
=
∞
X
1
(−1)n
x2n+1
(2n
+
1)!
n=0
∞
X
n=0
(−1)n
1 2n
x = cos x
(2n)!
!
=
∞
X
n=0
(−1)n
1
(2n + 1)x2n
(2n + 1)!
Analog ergibt sich
3)
4)
5)
5.1.2.3
(cos x)′ = − sin x
(sinh x)′ = cosh x
(cosh x)′ = sinh x
Differentiation von verketteten oder zusammengesetzten Funktionen
Eine der wichtigsten Differentiationsregeln ist die Kettenregel :
Sei F (x) := f (g(x)) = (f ◦ g)(x) für x ∈ (a, b), g differenzierbar in x0 ∈ (a, b) und f
differenzierbar in g(x0 ). Dann ist F differenzierbar in x0 mit
F ′ (x0 ) = (f ◦ g)′ (x0 ) = f ′ (g(x0 ))g ′(x0 )
Setzt man u := g(x) und y := F (x) = f (u), dann gilt:
dF
df dg
=
·
dx
du dx
Beweis:
⇔
dy
dy du
=
·
dx
du dx
86
KAPITEL 5. DIFFERENZIERBARKEIT
Wir setzen u0 := g(x0 ), dann gilt mit 5.1.1.1
r(u − u0 )
=0
u→u0 u − u0
f (u) − f (u0 ) = f ′ (u0 )(u − u0 ) + r(u − u0 ) mit lim
=u
=u
z}|{
z }|0 {
1
1
(F (x) − F (x0 )) =
(f (g(x)) − f (g(x0 )))
x − x0
x − x0
g(x) − g(x0 ) r(g(x) − g(x0 )) g(x) − g(x0 )
= f ′ (u0)
+
·
x − x0
g(x) − g(x0 )
x − x0
F (x) − F (x0 )
x→x0
x − x0
g(x) − g(x0 )
r(g(x) − g(x0 ))
g(x) − g(x0 )
= f ′ (u0 ) · lim
+ lim
· lim
x→x0
x→x0 g(x) − g(x0 )
x→x0
x − x0
x − x0
′
′
′
= f (g(x0 ))g (x0 ) + 0 · g (x0 )
F ′ (x0 ) = lim
Beachte, dass wegen der Stetigkeit von g in x0 gilt limx→x0 g(x) = g(x0 ).
5.1.2.3.1
Beispiele:
2 ′
1) (sin x ) :
y = sin u, u = x2
′ dy
dy du
sin x2 =
=
·
= cos u · 2x = 2x cos x2
dx
du dx
′
2) (bx )′ = ex ln b :
y = eu , u = x ln b
(bx )′ =
3)
x4
dy du
dy
=
·
= eu · ln b = ln b · bx
dx
du dx
′
cosh e
:
y = cosh u, u = ev , v = x4
4 ′ dy
4
dy du dv
4
cosh ex
=
=
·
·
= sinh u · ev · 4x3 = 4x3 ex sinh ex
dx
du dv dx
5.1.3
Höhere Ableitungen
Setzt man h(x) := f ′ (x), x ∈ (a, b), so ist
h′ (x0 ) = f ′′ (x0 ) = f (2) (x0 ) =
d2 f
(x0 )
dx2
die 2. Ableitung von f an der Stelle x0 ∈ (a, b).
Allgemein definiert man die n-te Ableitung von f rekursiv durch:
dn f
df (n−1)
(x
)
=
(x0 ), n = 2, 3, . . .
0
dxn
dx
f (1) (x0 ) = f ′ (x0 ), f (0) (x0 ) = f (x0 )
f (n) (x0 ) =
5.1. DIFFERENTIALQUOTIENT UND DIFFERENTIATIONSREGELN
5.1.3.1
87
Beispiele
1) f (x) = x2 :
f ′ (x) = x2
′
= 2x, f ′′ (x) = (2x)′ = 2, f ′′′ (x) = (2)′ = 0, f (n) (x) = 0 für n = 4, 5, . . .
2
2) f (x) = xex :
2 ′
2 ′
2
2
2
2
f ′ (x) = xex
= 1 · ex + x ex = ex + xex · 2x = ex (1 + 2x2 )
2 ′
2 ′
2
f ′′ (x) = 1 + 2x2 ex = (1 + 2x2 )′ ex + (1 + 2x2 ) ex
2
2
2
= 4 · ex + (1 + 2x2 )ex · 2x = ex 6x + 4x3
3) Jede Potenzreihe P (x) ist beliebig oft differenzierbar in (x0 − ρ, x0 + ρ), ρ > 0, und
alle Ableitungen von P werden gliedweise berechnet.
5.1.4
Partielle Ableitungen
Sei f : M ⊆ Rk → R, M = (a1 , b1 ) × (a2 , b2 ) × . . . × (ak , bk ) eine reellwertige Funktion der
Variablen x1 , x2 , . . . , xk . Hält man alle Variablen bis auf x1 fest, d.h. xj = pj ∈ (aj , bj ) für
j = 2, . . . , k.
⇒ f1 (x1 ) := f (x1 , p2 , p3 , . . . , pk )
Dann heißt
∂f
(p) = fx1 (p)
∂x1
die partielle Ableitung von f nach x1 in p ∈ M.
f1′ (p1 ) =:
Analog definiert man die partielle Ableitung von f nach xj durch:
∂f
f (p + hej ) − f (p)
(p) = fxj (p) = lim
,
h→0
∂xj
h
5.1.4.0.1
j = 1, . . . , k.
=j
Beispiel: f (x1 , x2 , x3 , x4 ) = x23 − 2x1 x4 + ex2 :
fx1 = −2x4 ,
5.1.4.1
ej = (0, . . . , |{z}
1 , . . . , 0),
fx2 = ex2 ,
fx3 = 2x3 ,
fx4 = −2x1
Bemerkungen
∂f
(p)
∂xj
∂f
∂f
und ∂x
∂x1
2
1) Sei y = f (x1 , x2 ). Dann gibt
in Richtung xj an, falls
den Anstieg der Tangentialebene T an f in p ∈ M
stetig in p sind.
Gleichung von T :
y = f (p1 , p2 ) + fx1 (p1 , p2 )(x1 − p1 ) + fx2 (p1 , p2 )(x2 − p2 )
2) Vorsicht! : Zusammenhang zwischen partieller Differenzierbarkeit und Stetigkeit ist im
Rk , k ≥ 2 anders als im R1 !
88
KAPITEL 5. DIFFERENZIERBARKEIT
5.1.4.1.1
Beispiel: f (x1 , x2 ) = sin (x1 x22 )
fx1 = x22 cos x1 x22 ,
fx2 = 2x1 x2 cos x1 x22
Tangentialebene T an y = f (x1 , x2 ) in p = (0, 1)
y = f (0, 1) + fx1 (0, 1)(x1 − 0) + fx2 (0, 1)(x2 − 1) = 0 + 1(x1 − 0) + 0(x2 − 1)
T : y = x1
2
1
y
0
2
-1
-2
0
x2
-2
0
-2
x1
2
5.2
Mittelwertsätze
Ziel: Aus Kenntnissen über die 1. Ableitung f ′ der reellen Funktion f auf Eigenschaften
von f selbst schließen. Zentrale Methode dafür ist die Anwendung der Mittelwertsätze.
5.2.1
Mittelwertsatz der Differentialrechnung
Ist f stetig auf [a, b] und differenzierbar in (a, b), so gibt es ξ ∈ (a, b) mit f ′ (ξ) =
f (b)−f (a)
.
b−a
5.2. MITTELWERTSÄTZE
5.2.1.0.1
89
Geometrische Deutung:
y
y = f (x)
S (Sekante)
f (b)
T
Mittelwertsatz bedeutet:
Zu jeder Sekante S an
y = f (x) gibt es mindestens
eine
parallele
Tangente T .
T (Tangente)
f (a)
xi
a
5.2.2
xi
x
b
Satz von RolleI (Sonderfall des Mittelwertsatzes)
y
Ist g stetig auf [a, b], differenzierbar in (a, b) und
g(a) = g(b). Dann hat g ′
mindestens eine Nullstelle
ξ ∈ (a, b), d.h. es gibt ξ ∈
(a, b) mit g ′(ξ) = 0.
y = g(x)
x2
x1
=
a
=
g(a) = g(b)
xi
xi
b
x
Beweis:
i) Nach dem Satz von Weierstraß 4.2.2 hat die stetige Funktion g auf [a, b] ein Minimum
in x1 ∈ [a, b] und ein Maximum in x2 ∈ [a, b], d.h.
g(x1 ) = min g ≤ g(x) ≤ max g = g(x2 ) für alle x ∈ [a, b]
[a,b]
[a,b]
1. Fall:
g(x1 ) = g(x2 )
2. Fall:
⇒
g(x) = const
⇒
g ′ (x) = 0
g(x1 ) < g(x2 )
Dann muss nach Voraussetzung x1 ∈ (a, b) oder x2 ∈ (a, b) sein. Sei x1 ∈ (a, b).
I
Rolle (1652-1719)
90
KAPITEL 5. DIFFERENZIERBARKEIT
ii) Da g(x1 ) = min[a,b] g ≤ g(x) folgt
g(x) − g(x1 )
≥ 0 für x1 < x < b
x − x1
g(x) − g(x1 )
≤ 0 für a < x < x1
x − x1
g(x) − g(x1 )
≥0
x→x1 +
x − x1
g(x) − g(x1 )
≤0
x→x1 −
x − x1
g ′ (x1 ) = lim
⇒
g ′(x1 ) = lim
0 ≤ g ′(x1 ) ≤ 0
⇒
g ′(x1 ) = 0
5.2.2.0.1 Bemerkung: Aus dem Beweisteil ii) folgt unmittelbar:
Hat g in einem Punkt x1 ∈ (a, b) ein Minimum (oder Maximum), so ist g ′(x1 ) = 0.
5.2.2.0.2
Beweis des Mittelwertsatzes:
Setze g(x) := f (x) −
f (b) − f (a)
(x − a) ,
b−a
dann sind für g die Voraussetzungen des Satzes von Rolle 5.2.2 erfüllt, denn g(a) = f (a) =
(a)
g(b). Somit existiert ein ξ ∈ (a, b) mit g ′ (ξ) = f ′ (ξ) − f (b)−f
= 0.
b−a
5.2.3
Anwendungen des Mittelwertsatzes
I) Umformulierung:
f (x0 + h) − f (x0 ) = f ′ (x0 + ϑh)h mit h ∈ (−h0 , h0 ), ϑ ∈ (0, 1)
(a = x0 , b = x0 + h (oder umgekehrt), ξ = x0 + ϑh)
ξ
=
x0
x0 + h
x0 + ϑ · h
II) Ist f ′ (x) = 0 für alle x ∈ (a, b), so ist f (x) = const für x ∈ [a, b], denn für festes
x0 ∈ (a, b) ist mit x ∈ [a, b] nach I)
f (x) − f (x0 ) = f ′ ( x0 + ϑ(x − x0 ) )(x − x0 ) = 0 · (x − x0 ) = 0
{z
}
|
∈(x0 ,x)∪(x0 ,x)⊆(a,b)
III) Gilt f1′ (x) = f2′ (x) für alle x ∈ (a, b), so f1 = f2 + const, denn setze f := f1 − f2 und
wende II) auf f an.
5.2. MITTELWERTSÄTZE
91
IV) Herleitung von Ungleichungen aus dem Mittelwertsatz, z. B.
| sin x1 − sin x2 | ≤ |x1 − x2 | für x1 , x2 ∈ R
Begründung:
sin x1 − sin x2 = sin′ (x2 + ϑ(x1 − x2 ))(x1 − x2 )
I)
|sin x1 − sin x2 | = |cos (x2 + ϑ(x1 − x2 ))| |x1 − x2 |
{z
}
|
≤1
V) Monotonietest
Ist f ′ (x) ≥ 0 für alle x ∈ (a, b), so ist f (x) in [a, b] monoton wachsend. Wird „=“
ausgeschlossen, so gilt strenge Monotonie.
Ist f ′ (x) ≤ 0 für alle x ∈ (a, b), so ist f (x) in [a, b] monoton fallend. Wird „=“
ausgeschlossen, so gilt strenge Monotonie.
Beweis (1. Aussage):
Sei a ≤ x1 < x2 ≤ b, dann gilt nach I)
f (x1 ) − f (x2 ) = f ′ (x2 + ϑ(x1 − x2 )) (x1 − x2 ) ≤ 0
{z
} | {z }
|
f (x1 ) ≤ f (x2 )
<0
≥0
5.2.4
⇒
Satz über die Differenzierbarkeit der Umkehrfunktion
Ist f stetig auf [a, b], differenzierbar in (a, b) mit f ′ (x) > 0 für alle x ∈ (a, b). Dann existiert
f −1 : [f (a), f (b)] → (a, b) mit
Beweis:
′
f −1 (y) =
1
f′
(f −1 (y))
für alle y ∈ (f (a), f (b))
a) Wegen f ′ (x) > 0 für x ∈ (a, b) ist f streng monoton wachsend und nach dem Satz über
die Stetigkeit der Umkehrfunktion 4.2.5.1.2 ist f bijektiv und f −1 stetig.
b) Sei (yn ) ⊂ [f (a), f (b)] eine beliebige Zahlenfolge mit limn→∞ yn = y, yn 6= y. Dann gibt
es
(xn ) ⊂ [a, b] mit yn = f (xn ) ⇔ xn = f −1 (yn ) und
x ∈ (a, b) mit y = f (x) ⇔ x = f −1 (y)
xn − x
f −1 (yn ) − f −1 (y)
=
=
yn − y
f (xn ) − f (x)
1
f (xn )−f (x)
xn −x
→
1
f ′ (x)
für n → ∞
92
KAPITEL 5. DIFFERENZIERBARKEIT
weil
lim xn = lim f −1 (yn ) = f −1
n→∞
wegen Stetigkeit von f
n→∞
−1
nach a)
lim yn = f −1 (y) = x
n→∞
f −1 (ỹ) − f −1 (y)
1
= ′ −1
ỹ→y
ỹ − y
f (f (y))
⇒ lim
5.2.4.0.1
Bemerkung:
i) Regel zur Differentiation der Umkehrfunktion x = f −1 (y) zu y = f (x) ist gemäß
Leibniz:
1
dx
1
df −1
=
= dy = df
dy
dy
dx
dx
ii) Ein analoger Satz gilt bei f ′ (x) < 0.
5.2.4.1
Beispiele
√
1) y = x2 ⇔ x = y für x, y > 0
√ d y
dx
1
=
= dy =
dy
dy
dx
oder
1
d(x2 )
dx
1
1
= √
2x
2 y
√ ′
1
x = √
2 x
2) y = ex ⇔ x = ln y, y > 0
dx
1
d(ln y)
=
= dy =
dy
dy
dx
also (ln x)′ =
=
1
d(ex )
dx
=
1
1
=
x
e
y
1
x
3)
(xα )′ = eα ln x
′
=
d (eu ) du
1
1
= eu · α = αeα ln x · = αxα−1
du dx 2)
x
x
(α ∈ R, x > 0, u = α ln x)
4) y = sin x ⇔ x = arcsin y, x ∈ − π2 , π2
d(arcsin y)
dx
1
=
= dy =
dy
dy
dx
1
d
(sin x)
dx
also
(arcsin x)′ = √
=
1
1
1
= p
=p
cos x
1 − y2
+ 1 − sin2 x
1
,
1 − x2
x ∈ (−1, 1)
5.2. MITTELWERTSÄTZE
93
5) y = cos x ⇔ x = arccos y, x ∈ (0, π)
(arccos x)′ = − √
5.2.5
1
1 − x2
Verallgemeinerter Mittelwertsatz (Quotientenmittelwertsatz)
Sind f, g stetig in [a, b], differenzierbar in (a, b) mit g ′(x) 6= 0 für alle x ∈ (a, b). Dann gilt:
f ′ (ξ)
f (b) − f (a)
= ′
g(b) − g(a)
g (ξ)
mit einem ξ ∈ (a, b).
Beweis:
Anwendung des Satzes von Rolle 5.2.2 auf
h(x) := f (b) − f (a) g(x) − g(b) − g(a) f (x)
Dann ist h(a) = f (b)g(a) − g(b)f (a) = h(b) und es existiert ein ξ ∈ (a, b) mit
h′ (ξ) = f (b) − f (a) g(ξ) − g(b) − g(a) f (ξ) = 0 .
5.2.6
Folgerung (Grenzwertregel von l’HospitalII )
Seien f, g in (a, b) differenzierbar mit limx→a+ f (x) = 0, limx→a+ g(x) = 0 und g ′ (x) 6= 0
für x ∈ (a, b). Dann gilt:
f ′ (x)
f (x)
= lim ′
lim
x→a+ g (x)
x→a+ g(x)
falls rechtsstehender Grenzwert existiert in [−∞, ∞] (im eigentlichen oder uneigentlichen
Sinne).
Beweis:
Wir setzen f (a) := 0 und g(a) := 0. Dann sind die Voraussetzungen des Quotientenmittelwertsatzes erfüllt, und wir haben für x > a
f (x)
f (x) − f (a)
f ′ (ξ)
=
= ′
g(x)
g(x) − g(a)
g (ξ)
⇒
und somit die Behauptung.
II
l’Hospital(1661-1704)
f ′ (x)
f ′ (ξ(x))
=
lim
x→a+ g ′ (x)
x→a+ g ′ (ξ(x))
lim ξ(x) = a und lim
x→a+
mit a < ξ < x, ξ = ξ(x)
94
KAPITEL 5. DIFFERENZIERBARKEIT
5.2.6.1
i)
Bemerkungen
f
g
ist an der Stelle x = a ein sogenannter unbestimmter Ausdruck des Typs „ 00 “. Regel
∞
gilt auch für „ ∞
“, also falls limx→a+ f (x) = +∞, limx→a+ g(x) = +∞ ist.
ii) Regel gilt entsprechend für x → b−, also auch für x → x0 , x0 ∈ (a, b), sowie für
x → +∞ bzw. x → −∞.
iii) Oft führt erst wiederholte Anwendung der Regel zur Berechnung des Grenzwertes.
5.2.6.2
Beispiele
sin x
, Prüfung der Voraussetzung: limx→0 sin x = sin 0 = 0, limx→0 x = 0,
x
(Typ „ 00 “)
1) limx→0
(sin x)′
cos x
sin x
= lim
=
lim
= cos 0 = 1
5.2.6 x→0
x→0
x→0 x
x′
1
lim
2) limx→∞
ex
,
x2
“)
(Typ „ ∞
∞
ex
(ex )′
ex
ex
=
lim
=
lim
=
lim
= +∞
x→∞ x2 5.2.6 x→∞ (x2 )′
x→∞ 2x 5.2.6 x→∞ 2
lim
(limx→∞ ex = +∞, weil ex > x für x > 0)
3) limx→0+ x ln x,
Umschreibung in
(Typ „0 · ∞“)
lim
limx→0+ x ln x = limx→0+
x→0+
5.3
5.3.1
ln x
1
x
= lim
5.2.6 x→0+
ln x
1
x
(ln x)′
= lim
1 ′
x
x→0+
“)
(Typ „ ∞
∞
,
1
x
− x12
= lim (−x) = 0
x→0+
Taylorscher Lehrsatz
Taylorsche FormelIII
Es sei die reelle Funktion f in Uh (x0 ) = (x0 − h, x0 + h), h > 0, (n + 1)-differenzierbar.
Dann gibt es zu jedem x ∈ Uh (x0 ) eine Zwischenstelle ξ = x0 + ϑ(x − x0 ), ϑ ∈ (0, 1), so
dass gilt:
f (x) = f (x0 ) +
|
III
f ′′ (x0 )
f (n) (x0 )
f (n+1) (ξ)
f ′ (x0 )
(x − x0 )1 +
(x − x0 )2 + . . . +
(x − x0 )n +
(x − x0 )n+1
1!
2! {z
n!
(n
+
1)!
} |
{z
}
n
(k)
X
f (x0 )
=: Rn (x)
k
(x − x0 ) =: Tn (x)
k!
Taylor (1685-1731)
k=0
5.3. TAYLORSCHER LEHRSATZ
5.3.1.1
95
Bemerkungen
1) Taylorsche Formel lautet kurz:
f (x) = Tn (x) + Rn (x)
mit dem n-ten Taylorpolynom Tn und dem Lagrangeschen Restglied IV Rn .
2) Die Taylorsche Formel ist von fundamentaler Bedeutung für die Analysis, weil
jede beliebige differenzierbare Funktion durch bekannte Funktionen (Polynome Tn )
approximiert werden kann (bis auf Rest Rn (x)).
3) Beachte: ξ hängt von x, x0 , n ab!
4) Für n = 0 ist die Taylorsche Formel der Mittelwertsatz.
5.3.1.2
Beweis der Taylorschen Formel
a) Wir setzen F (x) := f (x) − Tn (x), G(x) := (x − x0 )n+1 . Dann gilt:
G(x0 ) = 0, G′ (x0 ) = 0, G′′ (x0 ) = 0,
. . . ,G(n) (x0 )= 0, G(n+1) (x)=(n + 1)!
F (x0 ) = 0, F ′ (x0 ) = f ′ (x0 ) − f ′ (x0 ) = 0,. . . ,F (n) (x0 )= 0, F (n+1) (x)=f (n+1) (x)
für x ∈ Uh (x0 ) = (x0 − h, x0 + h).
b) Wiederholte Anwendung des Quotientenmittelwertsatzes 5.2.5 liefert
F (x)
F ′ (x0 + ϑ1 (x − x0 ))
F (x) − F (x0 )
F ′ (x0 + ϑ1 (x − x0 )) − F ′ (x0 )
=
= ′
= ′
G(x)
G(x) − G(x0 ) 5.2.5 G (x0 + ϑ1 (x − x0 ))
G (x0 + ϑ1 (x − x0 )) − G′ (x0 )
=
5.2.5
f (n+1) (ξ)
F (n+1) (x0 + ϑ(x − x0 ))
F ′′ (x0 + ϑ2 ϑ1 (x − x0 ))
=
.
.
.
=
=
5.2.5 G(n+1) (x0 + ϑ(x − x0 )) a) (n + 1)!
G′′ (x0 + ϑ2 ϑ1 (x − x0 )) 5.2.5
mit ϑ1 , ϑ2 ∈ (0, 1) und ϑ = ϑn ϑn−1 . . . ϑ1 ∈ (0, 1).
⇒ F (x) =
5.3.1.3
Beispiel
f (x) =
IV
f (n+1) (ξ)
(x − x0 )n+1 ⇒ 5.3.1
(n + 1)!
√
Lagrange (1736-1813)
1 1
1 3
3 5
x, f ′ (x) = x− 2 , f ′′ (x) = − x− 2 , f ′′′ (x) = x− 2
2
4
8
96
KAPITEL 5. DIFFERENZIERBARKEIT
x0 = 1:
f (x) =
√
1+
1
1 −2
ξ
2 0
1
(x − 1) = |{z}
1 + ξ0−1 (x − 1)
1!
|2
{z
}
T0 (x)
R0 (x)
1
1 − 32
2
f (x) = 1 + (x − 1) + − ξ1 (x − 1)
| 2{z
} | 8 {z
}
T1 (x)
R1 (x)
1
1
3 − 25
f (x) = 1 + (x − 1) − (x − 1)2 +
ξ2 (x − 1)3
| 2
{z 8
} |6 · 8 {z
}
T2 (x)
R2 (x)
mit ξi = 1 + ϑi (x − 1), ϑi ∈ (0, 1), i = 0, 1, 2.
Anwendung:
√
2 = f (2) ≈ T2 (2) ≈ 1 +
1
1
· 1 − · 12 = 1.375
2
8
mit Fehler R2 (2).
5.3.2
Anwendungen des Taylorschen Lehrsatzes
5.3.2.1
Taylorentwicklung
Nachteil von 5.3.1 ist das Restglied Rn (x), da i.A. ξ nicht bekannt ist. Häufig lässt sich
jedoch Rn (x) abschätzen.
Wichtiger Fall: Ist f in Uh (x0 ) beliebig oft differenzierbar, so kann 5.3.1 für jedes n ∈ N0
aufgeschrieben werden und Grenzübergang n → ∞ betrachtet werden. Unter der Voraussetzung, dass limn→∞ Rn (x) = 0 ist für x ∈ Uh (x0 ), ergibt sich
∞
X
f (k) (x0 )
f (x) =
(x − x0 )k
(Taylorreihe)
k!
k=1
5.3. TAYLORSCHER LEHRSATZ
5.3.2.1.1
97
Beispiel: f (x) = (1 + x)α , x0 = 0, α ∈ R, x ∈ (−1, 1)
f ′ (x) = α(1 + x)α−1
f ′′ (x) = α(α − 1)(1 + x)α−2
f
(n)
(x) = α(α − 1) . . . (α − n + 1)(1 + x)
α
5.3.1 ⇒ (1 + x) =
n X
α
k=0
α−n
α
(1 + x)α−n
= n!
n
α
(1 + ϑx)α−n−1 xn+1 ,
x +
n+1
k
|
{z
}
k
ϑ ∈ (0, 1)
Rn (x)
Für 0 ≤ x < 1 ist 1 ≤ 1 + ϑx < 1 + x.
⇒ (1 + ϑx)α−n−1 ≤ 1 für n > α − 1
α
· 1 · |x|n+1
⇒ |Rn (x)| ≤ n+1 Hilfsbetrachtung:
Die Potenzreihe
3.4.4.3.2:
P∞
α
n=0 n
z n wird auf Konvergenz untersucht mittels Quotientenkriterium
n+1 α
(α − n)z z
n+1
→ |z| für n → ∞
=
α n
n
+
1
z
n
Damit ist der Konvergenzradius gleich 1 und
α n
z → 0 , falls |z| < 1 .
n
Das bedeutet für 0 ≤ x < 1: limn→∞ Rn (x) = 0 (analog für −1 < x < 0)
∞ X
α k
α
x
(binomische Reihe)
⇒ (1 + x) =
k
k=0
5.3.2.1.2
Spezialfall:
f (x) =
Sei f (x) durch eine Potenzreihe gegeben, d.h.
∞
X
n=0
an (x − x0 )n , an ∈ R, x ∈ (x0 − ̺, x0 + ̺)
Dann ist f beliebig oft differenzierbar in x ∈ (x0 − ̺, x0 + ̺) mit
′
f (x) =
∞
X
n=1
f (k) (x) =
∞
X
n=k
an n(x − x0 )
n−1
′′
, f (x) =
∞
X
n=2
an n(n − 1)(x − x0 )n−2
an n(n − 1) . . . (n − k + 1)(x − x0 )n−k ,
k∈N
98
KAPITEL 5. DIFFERENZIERBARKEIT
(durch gliedweise Differentiation)
⇒ f (x0 ) = a0 , f ′ (x0 ) = a1 · 1, f ′′ (x0 ) = a2 · 2 · 1, . . . , f (k) (x0 ) = ak · k!
⇒ f (x) =
∞
X
f (n) (x0 )
n=0
n!
(x − x0 )n
(0! = 1)
Ergebnis: Eine Potenzreihe ist die Taylorreihe ihrer Summenfunktion an der Entwicklungsstelle x0 .
5.3.2.2
5.3.2.2.1
Extremwertbetrachtungen
Definitionen:
a) Eine reelle Funktion f hat auf dem Intervall I ein lokales (bzw. relatives) Minimum in
x0 ∈ I, falls es eine Umgebung Uδ (x0 ) = (x0 −δ, x0 +δ), δ > 0 gibt, so dass f (x) ≥ f (x0 )
für alle x ∈ Uδ (x0 ) ∩ I.
b) Eine reelle Funktion f hat auf dem Intervall I ein lokales (bzw. relatives) Maximum in
x0 ∈ I, falls es eine Umgebung Uδ (x0 ) = (x0 −δ, x0 +δ), δ > 0 gibt, so dass f (x) ≤ f (x0 )
für alle x ∈ Uδ (x0 ) ∩ I.
c) Lokale Maxima bzw. Minima heißen auch lokale Extrema im Gegensatz zu den globalen
(bzw. absoluten) Extrema maxx∈I f (x) bzw. minx∈I f (x).
x1 , x2 – lokale Minimalstellen
x3 , x4 – lokale Maximalstellen
x2 , x4 – globale Extremalstellen
x3
x1
x2
Intervall I
x4
Als Folgerung des Beweises des Satzes von Rolle 5.2.2 ergab sich die
notwendige Bedingung für ein lokales Extremum in x0 ∈ (a, b) :
f ′ (x0 ) = 0.
Für hinreichende Bedingungen nutzen wir die Kenntnis des Verhaltens von (x − x0 )n aus:
5.3. TAYLORSCHER LEHRSATZ
99
y
y
(x − x0 )n
n ungerade
(x − x0 )n
n gerade
x0
x0
x
x
5.3.2.2.2 Satz: Die Funktion f besitze in Uδ (x0 ) stetige Ableitung bis zur Ordnung n
und es sei
f ′ (x0 ) = f ′′ (x0 ) = . . . = f (n−1) (x0 ) = 0
jedoch f (n) (x0 ) 6= 0.
1. Fall: Ist n ungerade, dann ist x0 keine Extremalstelle.
2. Fall: Ist n gerade, dann hat f in x0 ein lokales Minimum, falls f (n) (x0 ) > 0 bzw. ein
lokales Maximum, falls f (n) (x0 ) < 0.
Beweis:
In Taylorformel ist Tn−1 (x) = f (x0 ) wegen der Voraussetzung f (k) (x0 ) = 0, k = 1, . . . , n−
1 und folglich
1 (n)
f (x) − f (x0 ) = f (x) − Tn−1 (x) =
f (ξ)(x − x0 )n ,
ξ = x0 + ϑ(x − x0 )
5.3.1 n!
Wegen Stetigkeit von f (n) (x) ist Vorzeichen von f (n) (x0 ) und f (n) (ξ) dasselbe.
5.3.2.2.3
Bemerkungen:
i) Andere hinreichende Bedingungen für lokale Extrema erhält man durch Diskussion
des Vorzeichens der 1. Ableitung in Umgebung von x0 mit f ′ (x0 ) = 0 oder auch durch
Anwendung des Satzes von Weierstraß 4.2.2.
ii) Zur Bestimmung von eventuell vorhandenen globalen Extrema von f auf I muß man
die Funktionswerte von f an den Intervallenden von I mit denen an allen lokalen
Extremstellen vergleichen.
iii) Ist x0 = (x01 , x02 , . . . , x0k ) eine lokale Extremstelle der reellwertigen Funktion f =
f (x1 , x2 , . . . , xk ) von k Variablen, so muss notwendigerweise gelten:
∂f 0
(x ) = 0
für jedes j = 1, . . . , k ,
∂xj
denn x0 ist lokale Extremstelle von f in jede Koordinatenrichtung xj .
100
KAPITEL 5. DIFFERENZIERBARKEIT
5.3.2.2.4
Beispiel: f (x) = x3 ex , D(f ) = R
• notwendige Bedingung: f ′ (x) = (3x2 + x3 )ex = x2 (3 + x)ex
f ′ (x) = 0 ⇔ x = 0 oder x = −3
• hinreichende Bedingung: f ′′ (x) = (6x + 6x2 + x3 )ex
f ′′ (0) = 0
f ′′ (−3) = 9e−3 > 0 ⇒ lokales Minimum in xmin = −3, f (xmin ) =
f ′′′ (0) = 6 · e0 + 0 · e0 = 6 6= 0 ⇒ kein Extremum
−27
= −1.34
e3
• globale Extrema:
lim f (x) = lim x3 ex = +∞,
x→∞
(Anwendung von l’Hospital)
x→∞
3x2
6
6
x3
=
lim
= lim −x = lim −x = 0
−x
−x
x→−∞ −e
x→−∞ e
x→∞ e
x→−∞ e
lim f (x) = lim x3 ex = lim
x→−∞
x→−∞
supR f = +∞, d.h. globales Maximum existiert nicht. xmin = −3 ist auch Stelle des
globalen Minimums, d.h. minR f = f (xmin )
• Skizze:
y
2
y=x3 ãx
1
-3 -
!!!!
3
xmin
-3 +
0
!!!!
3
-1
1
x
Kapitel 6
Integrierbarkeit
6.1
Stammfunktionen
Umkehrung der „Operation“ Differentiation ist die Integration.
6.1.0.2.1 Definition: Sei f : I → R, I Intervall. Dann heißt F : I → R Stammfunktion zu f auf I, falls F ′ (x) = f (x) für alle x ∈ I.
Da sich 2 Stammfunktionen nur durch eine Konstante unterscheiden, schreibt man
Z
Z
f dx = f (x) dx = F (x) + c
für die Gesamtheit aller Stammfunktionen. Es heißt unbestimmtes Integral zu f (f – Integrand, x – Integrationsvariable).
101
102
KAPITEL 6. INTEGRIERBARKEIT
6.1.1
Z
Grundintegrale
xn+1
+c
n+1
Z
xα+1
xα dx =
+c
α+1
Z
dx
ln x + c
für x > 0
= ln |x| + c
=
ln(−x) + c für x < 0
x
Z
ax
ax dx =
+c
ln a
Z
cos x dx = sin x + c
Z
sin x dx = − cos x + c
Z
dx
= tan x + c
cos2 x
Z
dx
= − cot x + c
2
sin
x
Z
cosh x dx = sinh x + c
Z
sinh x dx = cosh x + c
Z
dx
= tanh x + c
2
cosh
x
Z
dx
= − coth x + c
2
Z sinh x
dx
√
= arcsin x + c
1 − x2
Z
dx
= arctan x + c
1 + x2
Z
√
dx
√
= ln(x + 1 + x2 ) + c
1 + x2
Z
√
dx
√
= ln |x + x2 − 1| + c
x2 − 1
Z
1 x + 1 dx
+c
= ln 1 − x2
2
x − 1
xn dx =
(n 6= −1, n ∈ Z, für n < −1 ist x 6= 0)
(α 6= −1, α ∈ R, x > 0)
(x 6= 0)
(a > 0, a 6= 1)
(x 6=
π
2
+ kπ, k ∈ Z)
(x 6= kπ, k ∈ Z
(x 6= 0)
(|x| < 1)
(|x| > 1)
(|x| =
6 1)
6.1. STAMMFUNKTIONEN
6.1.2
103
Integrationsregeln
6.1.2.0.1 Folgerung: Aus jeder Differentiationsregel ergibt sich eine Integrationsregel,
welche durch Differentiation bewiesen wird.
1) Summenregel (aus 5.1.2.i):
Z
(αf + βg) dx = α
Z
f dx + β
Z
g dx
für α, β ∈ R
2) Partielle Integration (aus Produktregel 5.1.2.ii):
Z
′
f g dx = f g −
Z
f ′ g dx
3) (aus Kettenregel 5.1.2.3)
Z
′
f g(x) g (x) dx = F g(x)
mit F (ξ) =
Z
f dξ
Anwendung von 3) in der Substitutionsregel:
Sei f auf I definiert und g : T → I mit g ′ (t) 6= 0 für alle t ∈ T (T, I ⊆ R – Intervalle).
Dann gilt:
Z
Z
dx
dt
(Substitution: x = g(t))
dt
Z
= f g(t) g ′ (t) dt|t=g−1 (x)
f (x) dx =
f g(t)
R
R
D.h. f (x) dx = G (g −1 (x) , wobei G(t) := f g(t) g ′ (t) dt, also G die Stammfunktion
zu (f ◦ g)g ′ ist.
Beweis:
a) Wegen g ′ (t) 6= 0 ist x = g(t) streng monoton wachsend oder fallend. Folglich existiert
t = g −1 (x) mit
1
dt
1
= dx = ′ −1 dx
g g (x)
dt
104
KAPITEL 6. INTEGRIERBARKEIT
b)
dG dt
g −1(x)
·
dt dx
= (f ◦ g)g ′ g −1(x) ·
dG −1 g (x) =
dx
1
g′
g −1 (x)
1
= f g g −1 (x) · g ′ g −1 (x) · ′ −1 | {z }
g g (x)
x
= f (x) · 1 = f (x)
6.1.2.1
Beispiele
1.
Z
2
x
=f
=g ′
2 x
Z
2x |{z}
ex dx
|{z}
=f ′ =g
Z
2 x
x
= x e − 2 · (xe −
(x)′ ex dx)
|{z}
2)
=1
x
2
= e · x − 2x + 1 + c
x |{z}
e dx = x e −
|{z}
2)
2.
Z
Z
1 · ln x dx
|{z}
=x′
Z
Z
′
= x · ln x − x ln(x) dx = x ln x − 1 dx
ln x dx =
= x ln x − x + c = x(ln x − 1) + c
3.
Z
x2
e
2x dx =
|{z}
=(x2 )′
=
Z
et
Z
et dt = (et + c)|t=x2
dt dx
dt
·
|dx{z dt}
=1
2
= ex + c
Substitution: x2 = t
6.1. STAMMFUNKTIONEN
105
4.
Z
√
Z
√
1
dx
2x + 3 dx = ·
2x + 3 · |{z}
2
2
=(2x+3)′
Z
√
dt dx
1
·
t
=
dt
Substitution: t = 2x + 3
2
|dx{z dt}
=1
Z
1
1 2 3
1
=
t 2 dt = · · t 2 + c
2
2 3
3
√
1
= ·
2x + 3 + c
3
6.1.3
Integration von Potenzreihen
P
n
Gesucht: Stammfunktion P
zu P (x) = ∞
n=0 an (x − x0 ) , absolut konvergent für |x − x0 | < ̺,
an
n+1
den gleichen Konvergenzradius wie P und
̺ > 0. Dann hat Q(x) = ∞
n=0 (n+1) (x − x0 )
′
Q (x) berechnet sich gliedweise, d.h.
∞
∞
X
X
an
n+1 ′
=
an (x − x0 )n = P (x)
Q (x) =
(x − x0 )
n+1|
{z
} n=0
n=0
′
=(n+1)(x−x0 )n
für x ∈ (x0 − ̺, x0 + ̺), also
Z
6.1.3.0.1
P (x) dx =
Z
∞
X
n=0
an (x − x0 )n
!
dx = Q(x) + c .
Beispiel: Taylorreihe von f (x) = ln(1 + x) an der Stelle x0 = 0:
∞
X
1
1
f (x) =
=
=
(−x)n für |x| < 1
(geometrische Reihe)
1+x
1 − (−x) n=0
X
Z
Z
∞ ∞
n+1
X
dx
n
n
n x
f (x) =
=
(−1) · x dx =
(−1)
+c
1 + x n=0
n+1
n=0
′
x = 0:
f (0) = ln(1 + 0) = 0 =
∞
X
n=0
ln(1 + x) =
∞
X
(−1)n+1
n=1
n
· xn
(−1)n · 0 + c ⇒ c = 0
für |x| < 1
(Logarithmus-Reihe) .
106
KAPITEL 6. INTEGRIERBARKEIT
6.1.4
Integration rationaler Funktionen
6.1.4.1
Umformung rationaler Funktionen
Sei
r(x) :=
am xm + am−1 xm−1 + . . . + a0
,x ∈ R
bn xn + bn−1 xn−1 + . . . + b0
mit m, n ∈ N, am , bn 6= 0, a0 , . . . , am , b0 , . . . , bn ∈ R eine (gebrochen)rationale Funktion in
x. Dann ergibt sich durch Polynomdivision
r(x) = P (x) +
Z(x)
N(x)
mit Polynomen P, Z, N, wobei l = Grad(Z) < Grad(N) = n.
Dabei ist das Polynom P (x) eine ganzrationale Funktion und
Z(x)
eine echt gebrochenraN(x)
tionale Funktion.
N(x) = bn xn + . . . + b0 ,
6.1.4.2
Z(x) = cl xl + . . . + c0 ,
cl 6= 0
Partialbruchzerlegung rationaler Funktionen (Spezialfall)
Z(x)
habe das NennerpolyN(x)
nom N(x) den Grad n und n paarweise verschiedene reelle Nullstellen λ1 , λ2 , . . . , λn . Dann
gilt die Darstellung
n
Y
N(x) = bn
(x − λk )
6.1.4.2.1
Satz: Für die echt gebrochenrationale Funktion
k=1
und die Zerlegung in Partialbrüche
d2
dn
d1
Z(x)
+
+ ...+
=
N(x)
x − λ1 x − λ2
x − λn
(6.1.4.1)
mit eindeutig bestimmten Koeffizienten dk ∈ R.
Beweis: (durch vollständige Induktion über n = Grad(N), siehe z.B. Heuser I, S. 398 ff.,
auch allgemeiner Fall)
Die Koeffizienten dk in (6.1.4.1) können mittels Koeffizientenvergleich ermittelt werden:
Multipliziere (6.1.4.1) mit N(z) und kürze entsprechend. Dann ergeben sich links und
rechts zwei Polynome, deren Koeffizienten gleich sein müssen ⇒ dk .
6.1.4.2.2
Beispiel: Berechnung von
r(x) =
R
r(x) dx mit
−3x4 + 2x3 + 12x2 + 16
x3 − 4x
6.1. STAMMFUNKTIONEN
107
1. Schritt: Polynomdivision
(−3x4 +2x3 +12x2
−(−3x4
−
: (x3 − 4x) = −3x + 2 +
+16)
+12x2 )
2x3
8x + 16
x3 − 4x
+16
3
−8x)
(2x
8x + 16
2. Schritt: Nullstellen des Nenners
x3 − 4x = x(x2 − 4) = 0 ⇔ x = 0 oder x2 − 4 = 0
Nullstellen: λ1 = 0, λ2 = 2, λ3 = −2, ⇔ Zerlegung: x3 − 4x = x(x − 2)(x + 2)
3. Schritt: Ansatz zur Partialbruchzerlegung
A
B
C
8x + 16
=
+
+
3
x − 4x
x−0 x−2 x+2
(mit zu bestimmenden Konstanten A, B, C ∈ R)
4. Schritt: Bestimmung der Koeffizienten
Multiplikation des Ansatzes mit x3 − 4x
⇒ 8x + 16 = A(x2 − 4) + B(x2 + 2x) + C(x2 − 2x)
x0 : 16 = −4A
⇒
A = −4
1
x : 8 = 2B − 2C
⇒ B−C =4
2
x : 0 =A+B+C ⇒ B+C =4
⇒ 2B = 8, B = 4 C = 0
r(x) = −3x + 2 −
4
4
+
x x−2
5. Schritt: Integrieren
Z
r(x) dx = −3
Z
x dx + 2
Z
dx − 4
Z
dx
+4
x
Z
dx
x−2
3
= − x2 + 2x − 4 ln |x| + 4 ln |x − 2| + c
2
(x − 2)4
3 2
+c
= − x + 2x + ln
2
x4
108
KAPITEL 6. INTEGRIERBARKEIT
6.2
6.2.1
Das Riemannsche IntegralI
Geometrische Motivation
Sei f : [a, b] → R, f ≥ 0.
Gesucht: Flächeninhalt |A|
der Fläche A, begrenzt durch
y = f (x), der x-Achse und den
Geraden x = a und x = b.
y
y=f(x)
Dazu Zerlegung Z von [a, b]
durch Teilpunkte a = x0 <
x1 < . . . < xn = b in Teilintervalle Ik = [xk−1 , xk ], k =
1, . . . , n.
|A| ≈
n
X
k=1
R1
|Rk |
|Rk | = (xk − xk−1 )f (ξk )
a=x0
ξk ∈ Ik (Zwischenwert oder
Zwischenpunkt)
ξ1 x1 ξ2 x2
ξ n xn=b
Anschaulich ist klar, dass die obige Approximation von |A| umso besser ist, je kleiner das
Feinheitsmaß ∆(Z) = maxk=1,...,n (xk −xk−1 ) der Zerlegung Z wird. Um diesen Grenzprozess
exakt zu fassen, betrachtet man Folgen von Zerlegungen
n
o
(j)
(j)
Zj := x0 , x1 , . . . , x(j)
mit lim ∆(Zj ) = 0
nj
j→∞
und zu jedem Zj eine Menge Tj von Zwischenwerten
i
o
n
h
(j)
(j)
(j)
Tj := ξk ∈ xk−1 , xk | k = 1, . . . , nj
6.2.2
Definition
i) Für die reelle Funktion f : [a, b] → R ist
nj
X
(j)
(j)
(j)
xk − xk−1
Sf [Zj , Tj ] =
f ξk
k=1
die Zwischensumme oder Riemann-Summe zu f im Intervall [a, b] zugehörig zu Zj , Tj .
I
B. Riemann 1826-1866
x
6.2. DAS RIEMANNSCHE INTEGRAL
109
ii) Die Funktion f heißt Riemann-integrierbar auf [a, b], wenn jede Folge (Sf [Zj , Tj ])∞
j=1
von Zwischensummen gegen ein und denselben Grenzwert S konvergiert (bei beliebiger
Wahl von Zj , Tj mit limj→∞ ∆(Zj ) = 0). Man bezeichnet S durch das Symbol
Z b
(Riemannsches Integral oder bestimmtes
f (x) dx
Integral von f über [a, b])
a
Z b
f (x) dx := lim Sf [Zj , Tj ] mit ∆(Zj ) → 0
j→∞
a
Achtung: Trotz der Ähnlichkeit der Symbolik und des Namens haben bestimmtes und
unbestimmtes Integral zunächst nichts miteinander zu tun! Der Zusammenhang wird
erst durch den Hauptsatz der Differential-Integral-Rechnung geliefert.
6.2.2.1
Beispiele
I) f (x) = x:
y=x
y
Z sei äquidistante (gleichmäßige) Zerlegung von [a, b], xk = a + k · b−a
, k =
n
0, . . . , n.
b−a
∆(Z) =
n
Zwischenwerte
ξk = xk−1 + 12 b−a
= a + k − 12 b−a
n
n
(Mittelpunkte von Ik )
a=x0 x1 x2 ξ 3 x3
xn=b
b−a
n
Zwischensumme
=ξk
n z }| {
n
X
X
Sf [Z, T ] =
a + k − 21 b−a
·
f (ξk )(xk − xk−1 ) =
n
k=1
b−a
= n na +
k=1
b−a
n
n
X
k
|k=1
{z }
=
= 21 b2 − 21 a2
b−a
n
n(n+1)
2
− 12 (b
− a)
=
b−a
n
na + 21 (b − a)(n + 1) − 12 b + 12 a
Ergebnis: Fallsf (x) = x Riemann-integrierbar ist, muss
Rb
a
x dx = 12 b2 − 12 a2 sein.
x
110
KAPITEL 6. INTEGRIERBARKEIT
II) Dirichlet-Funktion:
(
1 für x ∈ Q
d(x) =
0 für x ∈ R \ Q
Sei Z irgendeine Zerlegung und T = {ξk ∈ Ik | k = 1, . . . , n mit ξk ∈ Q}.
Sd (Z, T ) =
n
X
k=1
d(ξ )(x − xk−1 ) = xn − x0 = b − a
| {zk} k
=1
n
o
Für T̃ = ξ˜k ∈ Ik | k = 1, . . . , n mit ξ˜k ∈ R \ Q ist dagegen
n
X
d ξ˜k (xk − xk−1 ) = 0
Sd Z, T̃ =
k=1 | {z }
=0
Ergebnis: Die Funktion d(x) ist nicht Riemann-integrierbar.
6.2.2.2
Integrierbarkeitskriterien
Welche reellen Funktionen sind Riemann-integrierbar?
Um diese Frage zu beantworten gibt es eine Vielzahl von Integrierbarkeitskriterien (siehe
z.B. Heuser I, S. 454 ff.).
6.2.2.2.1 Satz: Ist f beschränkt und an höchstens abzählbar vielen Stellen unstetig
auf [a, b] (sonst stetig), dann ist f Riemann-integrierbar auf [a, b].
Beweis: (siehe Heuser I, S. 470 ff.)
Spezialfall: Jede auf [a, b] stetige Funktion ist Riemann-integrierbar auf [a, b], ebenso jede
stückweise stetige Funktion.
6.2.3
Eigenschaften des Riemannschen Integrals
Sei f, g Riemann-integrierbar auf [a, b], dann gilt:
1) Wird f an endlich vielen Stellen abgeändert, so bleibt
Rb
a
f (x) dx unverändert.
2) f ist auch auf [α, β] ⊆ [a, b] Riemann-integrierbar.
Rb
Rc
Rb
3) Ist a < c < b, so a f dx = a f dx + c f dx, denn diese additive Zerlegung bereits für
die entsprechenden Zwischensummen von f auf [a, b], [a, c] und [c, b] gilt.
Rb
Rb
4) Mit α ∈ R ist auch αf Riemann-integrierbar und a αf (x) dx = α a f (x) dx, denn
Sαf [Z, T ] = αSf [Z, T ].
6.2. DAS RIEMANNSCHE INTEGRAL
5) Ist f (x) ≥ 0 für alle x ∈ [a, b], so
111
Rb
f (x) dx ≥ 0, denn Sf [Z, T ] ≥ 0.
Rb
Rb
Rb
6) f + g ist wieder Riemann-integrierbar auf [a, b] und a (f + g) dx = a f dx + a g dx,
denn Sf +g [Z, T ] = Sf [Z, T ] + Sg [Z, T ].
Rb
Rb
7) Ist f (x) ≥ g(x) für alle x ∈ [a, b], so a f (x) dx ≥ a g(x) dx, denn
a
Z
h(x) := f (x) − g(x) ≥ 0 ⇒
{z
}
|
5)
b
=f (x)+(−1)·g(x)
− |f (x)| ≤ f (x) ≤ |f (x)| ⇒ −
4),7)
b
a
|f | dx ≤
≥0
4),6)
8) |f | ist ebenfalls Riemann-integrierbar auf [a, b] und |
gleichung für Integrale), denn
Z
h(x) dx
| a {z }
R
R
= ab f dx− ab g dx
Z
Rb
a
f dx| ≤
b
f dx ≤
a
Z
Rb
a
|f | dx (Dreiecksun-
b
|f | dx
Z b
Z b
⇒ ±
f dx ≤
|f | dx
a
a
6.2.4
a
Mittelwertsatz der Integralrechnung
y
Sei f stetig auf [a, b], dann
gibt es ein ξ ∈ [a, b] mit
Rb
f (x) dx = f (ξ)(b − a).
a
geometrische Deutung: Zur Fläche A unter der Kurve y =
f (x) gibt es ein flächengleiches
Rechteck über [a, b].
y=f(x)
A
f(ξ)
ξ
a
b
x
Beweis:
Nach dem Satz von Weierstraß 4.2.2 hat f auf [a, b] ein Minimum m := min[a,b] f = f (xmin )
und ein Maximum M := max[a,b] f = f (xmax ) (xmin , xmax ∈ [a, b]).
⇒ m ≤ f (x) ≤ M für alle x ∈ [a, b] ⇒ m
Z
b
dx ≤
| {z }
a
=b−a
Z
a
b
f dx ≤ M
Z
b
dx
| {z }
a
=b−a
112
KAPITEL 6. INTEGRIERBARKEIT
Rb
1
f (x) dx gilt q ∈ [m, M]. Nach dem Zwischenwertsatz von Bolzano
⇒ Für q := b−a
a
4.2.4.0.1 gibt es ξ = xmin + ϑ(xmax − xmin ), ϑ ∈ [0, 1] mit q = f (ξ). ⇒ Behauptung, weil
ξ ∈ [a, b].
6.2.4.0.1 Erweiterter Mittelwertsatz der Integralrechnung: Sei f stetig auf [a, b],
Rb
g Riemann-integrierbar
und g ≥ 0 auf [a, b], so gibt es ein ξ ∈ [a, b] mit a f · g dx =
R
f (ξ) g dx.
Beweis (wie zuvor):
m · g(x) ≤ (f · g)(x) ≤ M · g(x) ⇒ m
1. Fall: Ist
2. Fall: Ist
6.2.4.0.2
Rb
a
Rb
a
g dx = 0, so
Rb
a
a
b
g dx ≤
Z
b
a
f · g dx ≤ M
Z
b
g dx
a
f · g dx = 0 (ξ beliebig wählbar).
g dx > 0, so gilt für q :=
Rb
a
1
g dx
Rb
a
f · g dx wieder q ∈ [m, M]. ⇒ Behauptung.
Festlegungen:
Z
a
f (x) dx := 0 und
a
6.2.5
Z
Z
b
a
f (x) dx := −
Z
b
f (x) dx mit a < b
a
Hauptsatz der Differential-Integral-Rechnung
Sei f stetig auf [a, b], dann gilt:
Rx
1) F (x) := a f (t) dt ist eine Stammfunktion von f .
2) Mit irgendeiner Stammfunktion φ von f ist
Z
a
6.2.5.0.1
Kommentar:
b
b
f (t) dt = φ(b) − φ(a) = φ(x)a
• Der Haupsatz der Differential-Integral-Rechnung 6.2.5 stellt den Zusammenhang zwischen zwei völlig verschiedenen geometrischen Problemen her: Flächenbestimmung
(über Zwischensummen) und Tangentenbestimmung (über Differentialquotient).
• Der erste Teil des Hauptsatzes besagt, dass jede auf [a, b] stetige Funktion eine
Stammfunktion besitzt. Diese kann durch Grenzwerte von Zwischensummen ermit2
telt werden, auch dann, wenn f nicht elementar integrierbar ist, z.B. f (x) = e−x
(Integrand beim Gaussschen Fehlerintegral).
6.3. ANWENDUNGEN DER INTEGRALRECHNUNG
113
• Der zweite Teil des Hauptsatzes ermöglicht die Berechnung von
komplizierten Riemannschen Grenzprozess.
Rb
a
f dx ohne den
Beweis des Hauptsatzes:
zu 1) x0 ∈ (a, b)
1
1
F (x0 + h) − F (x0 ) =
h
h
Z
x0 +h
a
f dt −
Z
a
x0
Z
1 x0 +h
f dt = f (ξh )
f dt =
6.2.4
4) h x0
Dabei ist ξh = x0 + ϑh mit einem ϑ ∈ [0, 1], ⇒ limh→0 ξh = x0 und wegen der
Stetigkeit von f
lim f (ξh ) = f lim ξh = f (x0 ).
h→0
h→0
1
⇒ lim F (x0 + h) − F (x0 ) = f (x0 ) bzw. F ′ (x0 ) = f (x0 ).
h→0 h
zu 2) Da φ, F Stammfunktionen zu f sind, gilt
F (x) = φ(x) + c für alle x ∈ [a, b]
Wegen F (a) = 0 folgt c = −φ(a).
Z
a
6.3
6.3.1
b
f (t) dt = F (b) = φ(b) + c = φ(b) − φ(a)
1)
Anwendungen der Integralrechnung
Flächenberechnungen
Gemäß geometrischer Interpretation ist bei f (x) ≥ 0 für x ∈ [a, b] der Inhalt der Fläche
Rb
unter der Kurve y = f (x) durch a f (x) dx gegeben. Allgemeiner gilt:
Seien f, g zwei reelle Funktionen, die sich in x = a und x = b schneiden. Dann erhält man
|A| von derjenigen Fläche A, welche von den Kuven y = f (x) und y = g(x) umschlossen
wird, durch
Z b
|A| =
|f (x) − g(x)| dx
a
denn sei o.B.d.A. f (x) > g(x) ≥ 0, x ∈ (a, b) ist |A| = |A1 |−|A2 | =
wenn
Rb
a
f (x) dx−
Rb
a
g(x) dx,
A1 = {(x, y) | a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x)} , A2 = {(x, y) | a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ g(x)} ist.
114
KAPITEL 6. INTEGRIERBARKEIT
6.3.1.0.1
Beispiel:
4
Eingeschlossene Fläche zwischen
y = −x2 + x + 3 und y = x2 + 3x − 1
Z b
|A| =
|f (x) − g(x)| dx
a
Z b
−2x2 − 2x + 4 dx
=
3
2
1
-3
-1
-2
1
2
-1
-2
a
-3
-4
Bestimmung von a, b, d.h. der Schnittpunkte der beiden Parabeln
r
1
1
−x2 + x + 3 = x2 + 3x − 1 ⇔ x2 + x − 2 = 0, x1/2 = − ±
+ 2, x1 = 1, x2 = −2
2
4
Z
1
(−2) x2 + x − 2 dx = 2
|A| =
−2
1 !
x3 x2
=9
+ 2x
= 2 − −
6.2.5
3
2
−2
Z
1
−2
−x2 − x + 2 dx
6.3.2
Gewöhnliche Differentialgleichungen
6.3.2.1
Beispiel: Wachstumsdifferentialgleichung
Differentielles Wachstumsgesetz:
y ′(t) = φ(y(t))
(6.3.2.2)
wobei y(t) z.B. die Höhe einer Pflanze zum Zeitpunkt t > 0 sein soll.
(Herleitung: Zuwachs im Zeitintervall [t, t + ∆t]: y(t + ∆t) − y(t) = ∆tφ(y(t)), dann durch
∆t dividieren und ∆t → 0 .)
6.3.2.1.1 Bemerkung: Ähnliche Gesetze gelten für Wachstum anderer Größen (Populationen, Kapital) oder auch Zerfall (radioaktiver Materialien)
6.3.2.1.2
Einfachste Fälle:
i) φ(y) = const = d : Differentialgleichung (6.3.2.2) lautet dann y ′ (t) = d,
⇒ y(t) = dt + c .
ii) φ(y) = ay : Differentialgleichung (6.3.2.2) lautet dann y ′(t) = ay(t),
y ′ (t)
⇒ (ln y(t))′ =
= a, wobei a eine gegebene reelle Zahl ist. Lösung ist ln y(t) =
y(t)
at + c, y(t) = Ceax mit C = ec bei einem beliebig wählbaren c ∈ R.
6.3. ANWENDUNGEN DER INTEGRALRECHNUNG
115
Bedeutung von a: a > 0 – Pflanze wächst, a > 0 – Pflanze “geht ein”.
Kennt man zu einem gegebenen Zeitpunkt t0 den Wert y0 , d.h. stellt man die zusätzliche Forderung y(t0 ) = y0 (Anfangswert), dann hat man die Konstante C gemäß
y0 = Ceat0 , also C = y0 e−at0 zu wählen. Wir haben damit das sogenannte Anfangswertproblem zu (6.3.2.2) gelöst. (6.3.2.2) ist eine gewöhnliche Differentialgleichung 1.
Ordnung (es treten Ableitungen nur bis zur 1. Ordnung auf).
6.3.2.2
Verallgemeinerung: Differentialgleichungen mit getrennten Variablen
Das sind Differentialgleichungen der Form
y′ =
f (x)
.
g(y)
(6.3.2.3)
6.3.2.2.1 Satz: Die Funktionen f und g seien stetig in (a, b) bzw. (c, d), und g(y) 6= 0
für y ∈ (c, d). Ist dann (x0 , y0 ) ein Punkt aus dem Rechteck (a, b) × (c, d) ⊆ R2 , so gibt es
ein Intervall (α, β) ⊆ (a, b) mit x0 ∈ (α, β) und genau eine in (α, β) stetig differenzierbare
Funktion y = y(x) mit den Eigenschaften:
1) y(x) ∈ (c, d) für alle x ∈ (α, β) und y ′(x) =
gleichung (6.3.2.3).
f (x)
, d.h. y ist Lösung der Differentialg(y(x))
2) y(x0 ) = y0 .
6.3.2.2.2 Bemerkung: Der Satz behauptet also die eindeutige Lösbarkeit des Anfangswertproblems für Differentialgleichungen von Typ (6.3.2.3), und zwar im Intervall
(α, β), das möglicherweise etwas kleiner als das ursprünglich gegebene Intervall (a, b) ist.
Beweis:
a) Sei y eine Funktion mit den Eigenschaften 1) und 2). Wir führen in (6.3.2.3) Variablentrennung durch:
Z
Z
′
′
g(y(x))y (x) = f (x) und integrieren
g(y(x))y (x) dx = f (x) dx
⇒ G(y(x)) = F (x)
mit den Stammfunktionen G(y) zu g(y) bzw. F (x) zu f (x) (Substitutionsregel), welche
in y0 bzw. x0 verschwinden: F (x0 ) = 0, G(y0 ) = 0. Wegen G′ (y) = g(y) 6= 0 existiert
die Umkehrfunktion G−1 . Die Gleichung G(y(x)) = F (x) ist deshalb (solange F (x) zum
Wertevorrat von G gehört) äquivalent zu
y(x) = G−1 (F (x)).
(6.3.2.4)
116
KAPITEL 6. INTEGRIERBARKEIT
Damit ist gezeigt: Ist y eine Lösung des betrachteten Anfangswertproblems, dann hat
sie notwendigerweise die Form (6.3.2.4). Insbesondere ist die Lösung des Anfangswertproblems eindeutig bestimmt.
b) Dass die Funktion (6.3.2.4) tatsächlich Lösung des Anfangswertproblems ist, bestätigt
man durch Nachrechnen.
6.3.2.2.3
Form
Formaler Lösungsweg: Schreibe die Differentialgleichung (6.3.2.3) in der
g(y)dy = f (x)dx und integriere auf beiden Seiten
Z
g(y) dy =
Z
f (x) dx
Die entstehende Gleichung muss nach y aufgelöst werden und die Integrationskonstante
dem Anfangswert angepasst werden.
6.3.2.2.4
Beispiel: y ′ =
x
dy
= − , y(1) = 1
dx
y
1. Schritt: Variablentrennung: y dy = −x dx
2. Schritt: Integration:
Z
y dy = −
Z
x dx ⇒
x2
y2
= − + c , y 2 + x2 = 2c
2
2
3. Schritt: Einarbeiten des Anfangswerts: 2c = y(1)2 + 12 = 1 + 1 ⇒ c = 1
4. Schritt: Auflösen
√ nur in impliziter Form):
√ nach y (falls möglich, sonst Lösung
y(1)
>
0
ist
nur
y
=
+
2 − x2 Lösung des Anfangswertproy = ± 2 − x2 , da
√
blems für |x| < 2.
6.3.3
Numerische Integration
Um ein Riemann-Integral numerisch zu berechnen, benutzt man sogenannte Quadraturformeln. Wir wollen hier eine einfache Regel kennenlernen.
6.3.3.1
Trapezregel
Sei f eine auf [a, b] stetige Funktion. Dann kann man die Fläche unter der Kurve y = f (x)
bei f (x) ≥ 0 annähern durch ein Trapez (anstelle durch ein Rechteck)
Z
b
a
f dx ≈ T [f ] :=
b−a
(f (a) + f (b))
= T [f ; a, b]
2
6.3. ANWENDUNGEN DER INTEGRALRECHNUNG
6.3.3.1.1
117
Bemerkung:
Z b
Z b
f (b) − f (a)
(x − a) dx ,
T [f ] =
P1 (x) dx =
f (a) +
b−a
a
a
wobei P1 (x) das lineare Interpolationspolynom zu f (x) in [a, b] ist.
6.3.3.1.2 Fehlerabschätzung: Sei f 2-mal stetig differenzierbar in [a, b] und M2 :=
max[a,b] |f ′′ |. Dann gilt
Z b
(b − a)3
≤
f
dx
−
T
[f
]
M2
(6.3.3.5)
8
a
Beweis:
a) Nach der Taylorschen Formel 5.3.1 gilt
1
f (y) − f (x) = f ′ (x)(y − x) + f ′′ (ξ)(y − x)2 , ξ = x + ϑ(y − x), ϑ ∈ (0, 1)
2
x−a
b−x x−a
b−x
+ f (b)
− f (x)
+
⇒ P1 (x) − f (x) = f (a)
b−a
b−a
b−a b−a
b−x
1 ′′
′
2
=
f (x)(a − x) + f (ξa )(a − x)
b−a
2
1 ′′
x−a
′
2
f (x)(b − x) + f (ξb )(b − x)
+
b−a
2
(b − x)(x − a) ′′
=
(f (ξa )(x − a) + f ′′ (ξb )(b − x)) .
2(b − a)
b) Für x ∈ [a, b] schätzen wir ab
|P1 (x) − f (x)| ≤


(b − x)(x − a)  ′′
|f (ξa )| (x − a) + |f ′′ (ξb)| (b − x)
{z } | {z } | {z } | {z }
|
2(b − a)
≤M2
≥0
≤M2
M2
≤ max(b − x)(x − a)
[a,b]
2
a+b
a+b
(b − a)2
M2
= b−
−a
=
M2
2
2
2
8
≥0
c) Dreiecksungleichung für Integrale und Integration liefern
Z b
Z b
Z b
Z b
(b − a)2
M2
dx
f dx − T [f ] = (f (x) − P1 (x)) dx ≤
|f (x) − P1 (x)|dx ≤
8
a
a
a
a
und somit die Behauptung (6.3.3.5).
118
KAPITEL 6. INTEGRIERBARKEIT
6.3.3.2
Summierte Trapezregel
, k = 0, . . . , n und wende
Unterteile [a, b] äquidistant durch die Teilpunkte xk = a + k · b−a
n
in jedem Teilintervall [xk−1 , xk ] die Trapezregel T [f ] an. Durch Aufsummierung ergibt sich
die summierte Trapezregel
Tn [f ] =
n
X
T [f ; xk−1 , xk ] =
6.3.3.1
k=1
h
=
2
=h
als Näherung von
Rb
n
X
f (xk−1) +
k=1
f (a) + f (b)
+
2
n
X
k=1
n−1
X
k=1
n
X
h
k=1
(f (xk−1 ) + f (xk )),
2
!
h=
b−a
n
f (xk )
f (a + kh)
!
f (x) dx mit der Fehlerabschätzung
!
Z b
n Z xk
X
f dx − T [f ; xk−1, xk ] f dx − Tn [f ] = xk−1
a
k=1
Z
n
n x
X
X
h3
(b − a)3
k
f dx − T [f ; xk−1, xk ] ≤
M2 =
M2
≤
(6.3.3.5)
xk−1
8
8n2
k=1
k=1
a

Zugehörige Unterlagen

Blatt 5 - Mathematik, TU Dortmund

Analysis - Mathematisches Institut

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