Donnerstag 7.5.2015

Mathematische Probleme, SS 2015
Donnerstag 7.5
$Id: trig.tex,v 1.11 2015/05/19 17:12:13 hk Exp $
$Id: convex.tex,v 1.17 2015/05/18 11:15:36 hk Exp $
§2
Trigonometrische Formeln
2.3
Spezielle Werte der trigonometrischen Funktionen
In der letzten Sitzung hatten wir begonnen spezielle Werte
√ der trigonometrischen
Funktionen √
zu berechnen, konkret hatten wir sin(π/3) = 3/2, cos(π/3) = 1/2 und
tan(π/3) = 3 eingesehen. Nun kommen wir zu einem Winkel von 45◦ . Genauso wie
sich die Werte des Winkels π/3 durch Betrachtung eines gleichseitigen Dreiecks ergaben, müssen wir diesmal ein gleichseitiges Viereck untersuchen.
Gegeben sei ein Quadrat ABCD der Seitenlänge a >
C
0. Dann ziehen wir die Diagonale AC und betrachten D
das rechtwinklige Dreieck ABC. Da dieses Dreieck bei B
gleichschenklig ist, sind die beiden Winkel bei A und C
nach Aufgabe (9.a) gleich, etwa α. Es folgt 2α = π/2,
b
also ist α = π/4. Mit dem Satz Pythagoras §1.Satz 1
a
folgt für die Länge der Diagonale
AC
im
Quadrat
auch
√
|AC|2 = 2a2 , also |AC| = 2·a. Damit können wir unsere
gesuchten trigonometrischen Werte in ABC ablesen und
α
es ergeben sich
a
A
π
a
= √ =
4
2a
π
a
cos
= √ =
4
2a
a
π
=
= 1.
tan
4
a
sin
B
1
1√
√ =
2,
2
2
1√
2,
2
Winkel von 36◦ , also π/5, sind etwas komplizierter, daher stellen wir diese erst einmal
zurück und schauen uns 30◦ an. Genauso wie π/3 mit einem gleichseitigen Dreieck zu
tun hatte und π/4 entsprechend mit einem Quadrat, werden wir für π/6 ein gleichseitiges Sechseck betrachten und beginnen daher mit einer Vorbemerkung über gleichseitige
n-Ecke. In §1.6 hatten wir ein konvexes n-Eck für eine natürliche Zahl n ≥ 3 als ein
Tupel C = A1 . . . An betrachtet bei dem die Punkte A1 , . . . , An den Rand des n-Ecks
aufeinanderfolgend im Gegenuhrzeigersinn umlaufen. Dieser Rand setzt sich dann aus
den n Kanten A1 A2 , A2 A3 , . . ., An A1 zusammen, und man nennt C gleichseitig wenn
diese alle dieselbe Länge haben, wenn also a := |A1 A2 | = · · · = |An A1 | gilt. Die Zahl
a heißt dann die Kantenlänge des gleichseitigen n-Ecks C. Ein gleichseitiges n-Eck
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muss nicht symmetrisch“ sein, zum Beispiel muss ein gleichseitiges Viereck noch kein
”
Quadrat sein, es kann sich auch um ein Parallelogram handeln.
C
a
α
D
β
β
a
b
a
β γ
B
α
a
A
Wir wollen uns kurz überlegen das ein gleichseitiges Viereck ABCD ein Parallelogram
ist. Bezeichne hierzu a die Kantenlänge des Vierecks und sei α der Winkel des Vierecks
bei A und b := |BD|. Der Cosinussatz §1.Satz 4 liefert dann b2 = 2a2 (1 − cos α) =
4a2 sin2 (α/2), also ist b = 2a sin(α/2). Die Dreiecke ABD und CDB sind kongruent, also hat unser Viereck auch bei C den Winkel α. Damit schneidet die Gerade
BC die beiden Seiten AB und CD beide im Winkel α, also sind AB und CD parallel. Analog sind auch AD und BC parallel, wir haben also ein Parallelogram. Durch
die Kantenlänge a und den Winkel α ist das gleichseitige Viereck bis auf Kongruenz
festgelegt. Ein gleichseitiges Viereck, und erst recht ein gleichseitiges n-Ecke, muss also nicht symmetrisch“, dies ist nur im Dreiecksfall n = 3 so. Die symmetrischen“
”
”
gleichseitigen n-Ecke nennen wir regulär.
Definition 2.1 (Reguläre n-Ecke)
Sei n ∈ N mit n ≥ 3. Ein konvexes n-Eck heißt dann regulär wenn es gleichseitig ist
und alle seine Innenwinkel gleich sind.
Haben wir ein reguläres n-Eck mit Innenwinkel α, so ist nα die Summe aller Innenwinkel also liefert §1.Lemma 22 auch nα = (n − 2)π, d.h.
n−2
α=
· π.
n
Als eine Übungsaufgabe werden sie zeigen das ein gleichseitiges n-Eck genau dann regulär ist wenn es einen Umkreis besitzt, wenn es also einen Kreis gibt der alle Eckpunkte
des n-Ecks enthält.
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Nach dieser Vorbemerkung kommen wir nun zu den Werten der trigonometrischen
Funktionen für den Winkel α = π/6. Natürlich könnten wir auch einfach die Halbierungsformeln des vorigen Abschnitts auf den schon erledigten Winkel π/3 anwenden,
wir wollen uns hier aber eine direkte geometrische Herleitung anschauen.
Wir starten mit einem regulären Seckseck der
Kantenlänge a > 0. Zeichne den Umkreis des SechsB
ecks mit Mittelpunkt M und Radius R > 0. Die
γ
a
360◦ bei M werden in sechs gleiche Teile zerlegt
R
h
und somit hat unser eingezeichnetes Dreieck M AB
bei M den Winkel α = 2π/6 = π/3. Der Innenwinα
A
kel des Sechsecks ist nach unserer obigen Formel
M
P
gleich β = 4π/6 = 2π/3. Weiter ist das Dreieck
M AB kongruent zu M AC, und insbesondere sind
a
die Winkel dieser Dreiecke bei A gleich, d.h. M A
ist die Winkelhalbierende des Innenwinkels unseβ
C
res Sechsecks bei A. Insbesondere hat das Dreieck
M AB bei A den Winkel β/2 = α = π/3, d.h. alle
Winkel in diesem Dreieck sind gleich. Damit ist M AB ein gleichseitiges Dreieck und
insbesondere ist R = a, d.h. Umkreisradius und Kantenlänge sind gleich. In diesem
gleichseitigen Dreieck√bilden wir nun die Höhe durch B und wie schon früher gesehen
ist diese gleich h = ( 3/2)a. Da weiter die Höhe auch gleich der Winkelhalbierenden
von M AB bei B ist, erhalten wir ein bei P rechtwinkliges Dreieck M P B mit Winkel
γ = α/2 = π/6 bei B. Lesen wir die Werte der trigonometrischen Funktionen in diesem
Dreieck ab, so ergeben sich
a/2
1
π
=
= ,
6
a
2
π
h
1√
cos
=
=
3,
6
a
2
π
a/2
1
tan
=
=√ .
6
h
3
sin
Wie schon erwähnt kann man diese Werte auch rechnerisch auf die schon behandelten
Werte zurückführen, entweder über die Halbierungsformel
r
r
1 − cos π3
π
1
1
=
=
sin =
6
2
4
2
und analog für Cosinus und Tangens, oder etwas raffinierter
π π π
π
π
π
π
π
1
−
sin = sin
= sin cos − cos sin = cos = .
6
2
3
2
3
2
3
3
2
Den Winkel π/5 = 36◦ werden wir im nächsten Abschnitt behandeln, rwartungsgemäß
hängt dieser eng mit dem regulären Fünfeck zusammen. Zuvor wollen wir uns aber
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noch eine interessante Methode zur Berechnung von Tangens- beziehungsweise Arcustangenswerten anschauen.
C
tan φ =
m
⇐⇒
n
m
φ
A
B
n
Sind m, n ∈ N und 0 < φ < π/2 ein Winkel, so ist genau dann tan φ = m/n wenn es ein
rechtwinkliges Dreieck gibt in dem φ als Winkel mit Ankathete n und Gegenkathete m
auftaucht. Die Implikation von rechts nach links ist dabei klar. Ist umgekehrt tan φ =
m/n, so gibt es nach §1.Satz 9 ein Dreieck ABC mit |AB| = n, Winkel φ bei A
und rechten Winkel bei B. Die Ankathete dieses Dreiecks bei φ ist dann n und die
Gegenkathete ergibt sich als
|BC| = n · tan φ = m.
Statt tan φ = m/n können wir gleichwertig auch arctan(m/n) = φ sagen. Betrachte
nun die folgende Figur
C
A
α
β
D
F
E
B
Die einzelnen Kästchen“ sind dabei Quadrate der Kantenlänge 1. Das rechtwinklige
”
Dreieck ADC gibt α = arctan(1/2) und das rechtwinklige Dreieck ABE liefert β =
arctan(1/3). Nun betrachten wir das Dreieck ABC. Der Winkel φ bei A in diesem
Dreieck setzt sich aus α und β zusammen, also
φ = α + β = arctan
1
1
+ arctan .
2
3
Die Seitenlängen in diesem Dreieck lesen wir mit dem Satz des Pythagoras §1.Satz 1
in den rechtwinkligen Dreiecken ADC, F BC und ABE ab, und erhalten
√
√
|AC| = |BC| = 5 und |AB| = 10.
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An diesen Gleichungen können wir zwei Dinge ablesen, zum einen ist |AC|2 + |BC|2 =
10 = |AB|2 , also hat ABC nach §1.Korollar 3 in C einen rechten Winkel. Alternativ
kann man dies auch sehen
√ √da die beiden Dreiecke ADC und CF B kongruent sind.
Weiter folgt tan φ = 5/ 5 = 1, also ist φ = π/4. Auch dies kann man auch auf
andere Weise einsehen, da ABC bei C gleichschenklig ist, sind die Winkel bei A und
B nach Aufgabe (4.a) gleich, müssen also π/4 sein. Damit haben wir
1
1
π
+ arctan =
2
3
4
eingesehen. Diese Methode ist hauptsächlich dazu gedacht derartige Identitäten zu
finden, hat man erst einmal eine solche Vermutung aufgestellt, so ist es leicht diese
einfach mit dem Additionstheorem zu verifizieren, in diesem Beispiel etwa durch
1
+1
1
π
1
tan arctan + arctan
= 2 1 3 1 = 1 = tan .
2
3
4
1− 2 · 3
arctan
2.4
Das Fünfeck und der goldene Schnitt
Wir werden im folgenden den Wert cos(π/5) mit einer direkten geometrischen Methode
bestimmen. Wir hatten bereits bemerkt das dieser Wert mit dem regulären Fünfeck
zusammenhängt und will man diesen Zusammenhang direkt formulieren, so taucht der
sogenannte goldene Schnitt“ auf.
”
Wir sagen das eine Strecke im goldenen Schnitt gea+b
teilt wird wenn das Verhältnis der gesamten Strecke
zum größeren Teilstück gleich dem Verhältnis des
b
a
großen Teilstücks zum Kleineren ist. Sind die Längen
der beiden Teilstrecken also a > b > 0, so soll
a+b
a
=
a
b
gelten. Dieses Verhältnis wird dann mit dem Symbol φ := a/b > 0 bezeichnet, und
kann leicht ausgerechnet werden. Die definierende Gleichung ist
φ=
a
a+b
b
1
=
=1+ =1+ ,
b
a
a
φ
2
also haben wir φp
= φ + 1. Dies ist√eine quadratische Gleichung für φ mit den beiden
Lösungen 1/2 ± 1/4 + 1 = (1 ± 5)/2, also ist wegen φ > 0
√
1+ 5
φ=
≈ 1, 61803399.
2
Soll also eine Strecke der Länge l > 0 im goldenen Schnitt als l = a + b mit a > b > 0
zerlegt werden, so ist a = φb und somit l = a + b = (1 + φ)b, also sind
√
l
2l
3− 5
√ =
b=
=
· l ≈ 0, 38196601 · l
1+φ
2
3+ 5
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und
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√
5−1
· l ≈ 0, 61803399 · l.
2
Damit können wir jetzt zur Betrachtung des regulären Fünfecks kommen.
Gegeben sei ein reguläres Fünfeck der Kantenlänge a > 0 und Ecken A0 , . . . , A4 . Wir hatB
ten und bereits im vorigen Abschnitt überlegt
das der Innenwinkel unseres Fünfecks gleich α =
3π/5 ist. Der Mittelpunkt M des Fünfecks hat
d
von allen Ecken denselben Abstand R > 0 und
der Kreis mit Mittelpunkt M und Radius R ist
der Umkreis des Fünfecks. Als Diagonalen im
γ
A1
Fünfeck bezeichnet man die fünf Verbindungsγ
α
strecken nicht benachtbarter Ecken, diese haben
A2
β
alle dieselbe Länge d > 0. Um d und R in Termen
γ
d
von a zu berechnen, bestimmen wir zunächst einβ
mal einige weitere Winkel in unserem Fünfeck.
A0
Das Dreieck A2 A0 A1 ist bei A1 gleichschenklig,
M
also sind seine Winkel bei A0 und A2 gleich, etwa
γ
β. Dann ist
a = φb =
A3
a
α
π = α + 2β =
A4
3π
+ 2β,
5
also haben wir β = π/5. Weiter hat das Dreick
A3 A0 A2 dann bei A2 den Winkel γ gegeben als
γ = α − β = 2π/5 und dies ist ebenso der Winkel dieses Dreiecks bei A3 . Nun verlängern wir
die Seiten A0 A1 und A3 A2 nach oben zu einem
Schnittpunkt B. Das enstehende Dreieck A2 A1 B
hat bei A1 den Winkel π − α = 2π/5 = γ und
bei A2 ist ebenfalls der Winkel π − (β + γ) = 2π/5 = γ. Damit stimmen die Dreiecke
A3 A0 A2 und A1 BA2 in zwei Winkeln und einer Seite überein sind also nach §1.Satz 9
kongruent, und insbesondere ist |BA1 | = |A3 A0 | = d.
Nun betrachten wir das Dreieck A2 A0 B, und in diesem ist der Winkel bei A2 gleich
β +γ = 3π/5 = α und der bei A0 war β. Im Dreieck A1 A0 A2 hatten wir bei A1 ebenfalls
den Winkel α und bei A0 den Winkel β, also sind die Dreiecke A2 A0 B und A1 A0 A2
ähnlich. Nach §1.Satz 10 sind auch die Verhältnisse entsprechender Seiten dieser beiden
Dreiecke gleich, also insbesondere
a+d
|A0 A1 | + |A1 B|
|A0 B|
|A0 A2 |
d
=
=
=
= ,
d
|A0 A2 |
|A0 A2 |
|A0 A1 |
a
und dies bedeutet das d und a im Verhältnis des goldenen Schnitts stehen. Damit sind
die Diagonalen im Fünfeck als d = φa gegeben. Damit sind im Dreieck A0 A1 A2 alle
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Seitenlängen bekannt und der Cosinussatz §1.Satz 4 liefert
π 2
π 2
2
2
2
a
a = a + d − 2ad · cos = 1 + φ − 2φ cos
5
5
und dies bedeutet
√
π
1
1+ 5
cos = φ =
.
5
2
4
Die Werte von Sinus und Cosinus bestimmen wir dann rechnerisch, wegen
√
3+ 5
2 π
cos
=
5
8
ist zunächst
√
π
5
−
π
5
sin2 = 1 − cos2 =
5
5
8
s
√
π
1 5− 5
sin =
.
5
2
2
und somit
Schließlich ist
1
π
1 + tan
=
5
cos2
2
d.h.
§3
π
5
√
√
8
8 · (3 − 5)
√ =
√
√ = 6 − 2 5,
=
3+ 5
(3 + 5) · (3 − 5)
π
tan =
5
√
5 − 2 5.
q
Konvexgeometrie
In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit konvexen Körpern im Raum. Eine Menge
C ⊆ Rn heißt konvex wenn mit je zwei Punkten x, y ∈ C auch die Verbindungsstrecke
[x, y] ⊆ C wieder in C liegt, oder als Formel geschrieben
∀(x, y ∈ C)∀(0 ≤ t ≤ 1) : (1 − t)x + ty ∈ C.
Der Durchschnitt
einer Familie (Ci )i∈I konvexer Mengen ist wieder konvex, denn sind
T
x, y ∈ i∈I Ci und 0 ≤ t ≤ 1, so gilt für jedes i ∈ I aufgrund
der Konvexität von Ci
T
auch (1 − t)x + ty ∈ Ci , d.h. es ist (1 − t)x + ty ∈ i∈I Ci . Damit gibt es für jede
Teilmenge A ⊆ Rn eine kleinste konvexe Menge die A enthält, nämlich die sogenannte
konvexe Hülle von A definiert als
\
co(A) := {C ⊆ Rn |C ⊆ Rn ist konvex mit A ⊆ C}.
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