Lösungsblatt 9 zur Experimentalphysik I

Lösungsblatt 9
zur Experimentalphysik I
Sommersemester 2014 - Übungsblatt 9
Aufgabe 9.1 Steinzeitkarussell
(Präsenzaufgabe)
Die Steinzeitmenschen Urk und Ark wollen aus einer kreisrunden Steinplatte der Masse M zwei Karussells bauen und
streiten sich um die Platte. Schließlich bricht diese in der Mitte entzwei und jeder baut mit seiner Hälfte ein Karussell.
Urk wählt als Drehpunkt den ursprünglichen Mittelpunkt der Platte während Ark den Schwerpunkt seiner Hälfte als
Drehpunkt wählt. Berechnen Sie das Trägheitsmoment der beiden Karussells. Warum sind diese unterschiedlich?
Urks halbe Scheibe hat die halbe Masse und das halbe Massenträgheitsmoment einer ganzen Scheibe, also ist
IUrk = 12 mR2 , wenn m die Masse der halben Scheibe ist. Aks Trägheitsmoment lässt sich mit dem Steinerschen Satz
berechnen. Hierfür benötigen wir zunächst die Position des Schwerpunktes:
R
ρ y dV
V
sy = R
ρ dV
R0
RR
Rz
r · sin(φ)r dz dφ dr
r =0 φ =π z =0
=
4
=
π 2
R z
2
3π
R = 0,4244R
⇒
V
IArk = IUrk − ml 2 =
1
2
mR2 − m
2
16
1
mR2 = 0,3199mR2
R
=
−
3π
2 9π2
4
Ark hat eine niedrigeres Trägheitsmoment, weil sich bei der Wahl seiner Achse die Masse im Schnitt deutlich näher am
Schwerpunkt befindet.
Aufgabe 9.2 Rasensprenger
(Präsenzaufgabe)
Onkel Gustav möchte seinen Rasen sprengen. Er kauft sich das Modell “Rundum” in einer bekannten Baumarktkette.
Dieser besteht aus einem um eine Vertikale Achse drehbaren Rad mit einen Durchmesser von d = 20 cm und einen Massenträgheitsmoment von I = 0,06 kg m2 . Entlang des Rades sind mehrere Düsen angeordnet. Bei Gustavs Wasserdruck
verteilt der Rasensprenger 0,2 Liter Wasser pro Sekunde mit einer vertikalen Geschwindigkeit von v = 15 ms .
a) Welche Drehzahl (Umdrehungen pro Sekunde) erreicht der Rasensprenger 5 Sekunden nach dem Anstellen, wenn
Reibung vernachlässigt werden kann?
ωRundum =
Z
α dt = αt = τ
t
I
=
dM
2 t
v·
t
=
I
0,2 m
2
0,2
kg
s
15
m
s
·
5s
0,06 km m2
= 25
1
⇒
s
f = 3, 979 Hz
b) Welche Drehzahl erreicht das Modell “Gartenschleuder” unter gleichen Voraussetzungen? Im Unterschied zum
Modell “Rundum” besteht dieses Modell aus einem Stab, an dem die Düsen gleichmäßig von der Mitte bis zum
Rand entgegen der Laufrichtung angeordnet sind.
d
Hier verteilt sich das Drehmoment auf die komplette Achse: τ =
R2
r·
r = − d2
ωGartenschleuder =
dM
4 t
v·
t
I
=
1
2
ωRundum = 12,5
1
s
∆M
d·∆t
⇒
dr =
”1
r2
2
—d
M
2
r = − d2 d t
=
M ·d
4t
⇒
f = 1,989 Hz
1
Übungsblatt 9 zur Experimentalphysik I
Name, Vorname:
Matrikelnummer:
Aufgabe 9.3 Wichtige Trägheitsmomente e) bis j)
(6 Punkte)
e) Eines Quaders mit den Seitenlängen 2A, 2B und 2C und Drehachse durch den Mittelpunkt und der Richtung, in
welcher der Quader die Dicke 2C hat.
I =
Z
€
ρ x +y
2
2
Š
ZA
dV = ρ ·
ZB
ZC
x 2 + y 2 dz d y dx =
€
Š
Š
1 €
ρABC A2 + B 2 = M A2 + B 2
3
3
8
x = −A y = −B z = −C
R3
f) Eines Würfels mit Kantenlänge 2A und Drehachse durch den Mittelpunkt
Mit A = B = C folgt aus der letzten Aufgabe I =
2
M A2 .
3
g) Eines dünnen Bretts mit Breite 2b und Drehachse durch den Mittelpunkt
Mit A = 0 folgt aus Aufgabe e) I =
1
M b2
3
h) Eines dünnen Bretts mit Breite 2b und Drehachse durch den Rand
Mit dem Steinerschen Satz gilt I =
1
M b2
3
+ M b2 =
4
M b2
3
i) Eines Hohlzylinders mit Radien R1 und R2 und Drehachse senkrecht zur Zylinderachse durch den Mittelpunkt
I =
ZR2 Z2π
h
Z2
€
Š
ρ · z 2 + (R sin(ϕ))2 · r dz dϕ dr = ρ
r = R1 ϕ = 0 z = − h
2
ρ
ZR2 Z2π
ZR2 Z2π
h
Z2
z 2 · r dz dϕ dr +
r = R1 ϕ = 0 z = − h
2
h
Z2
r 3 sin(ϕ)2 dz dϕ dr =
Š
Š
π € 2
ρ€ 4
R2 − R1 2 h3 + π
R2 − R1 4 h = M
12
4
r = R1 ϕ = 0 z = − h
2
‚
M
h2
12
+
R2 2 + R1 2
‚
h2
12
+
1 R2 4 − R1 4
·
4 R2 2 − R1 2
Œ
4
j) Eines Vollzylinders mit Radius R und Drehachse senkrecht zur Zylinderachse durch den Mittelpunkt
2
2
h
Aus der letzten Aufgabe ergibt sich mit R1 = 0: I = M 12
+ R4
2
Œ
=
Übungsblatt 9 zur Experimentalphysik I
Name, Vorname:
Matrikelnummer:
Aufgabe 9.4 Max und Moritz geben ein Feuerwerk.
(4 Punkte)
Max und Moritz haben von ihrer Erforschung der Atmosphäre noch einige “klassische” Antriebe mit Schwarzpulver übrig.
Zur Erinnerung: Dieses hat eine Austrittsgeschwindigkeit von 500 ms . Die Rakete wiegt 900 g. Die Treibladung beträgt
ebenfalls 900 g und brennt in 1 Sekunde gleichmäßig ab. Max und Moritz befestigen vier dieser Antriebe an einem alten
Fahrradreifen mit einem Durchmesser von 66 cm und einem Gewicht von 4 kg.
a) Stellen Sie mithilfe ihrer Kenntnisse über Raketen und Drehungen eine Differentialgleichung für die Rotationsgeschwindigkeit des Fahrradreifens auf. Reibung ist vernachlässigbar. Sie dürfen annehmen, dass sich die komplette
Masse des Fahrradreifens außen befindet.
Da sich die komplette Masse auf Radius R befindet, gilt für das Trägheitsmoment I(t) = M (t)R2 = M0 −
MPulver · t t ), wobei M0 = 11,2 kg die Masse des Fahrradreifens und der Raketen mit Pulver ist. Es gilt weiterhin:
Brenn
∂ω
∂t
= α =
τ
= I(t)
Rv
MBrenn
TBrenn
M0 − MBrenn T
t
Brenn
R2
v MBrenn
M0 TBrenn − MBrenn t R
=
b) Lösen Sie diese Differentialgleichung. Welche Enddrehzahl und kinetische Energie erreicht das Rad, wenn es bei
der Zündung der Raketen still steht?
Trennung der Variablen liefert:
ω =
Z
v MBrenn
v
dt = − ln(M0 t Brenn − MBrenn t) + C ·
= 0 für
R
M0 t Brenn − MBrenn t R
t = 0
⇒
f r om
C = ln M0 t Brenn
−
E =
1
2
Iω2 =
500
m
s
⇒
ω =
v
R
ln
M0 t Brenn
M0 t Brenn − MBrenn t
4 · 0,9 kg · t Brenn
1
ln 1 −
= 587,5
0,33 m
11,2 kg · t Brenn
s
= −
⇔
v
R
ln 1 −
MBrenn t
M0 t Brenn
=
FEnde = 93,51 Hz
1
1 2
MReifen + 4MRakete R2 ω2 = (4 kg + 4 · 0,9 kg) · (0,33 m)2 · 587,5
= 142,8 kJ
2
2
s
1
3
Übungsblatt 9 zur Experimentalphysik I
Name, Vorname:
Matrikelnummer:
Aufgabe 9.5 Rotationsenergie der Sonne
(8 Punkte)
Letzte Woche haben Sie die Rotationsenergie der Erde berechnet. Berechnen Sie nun die Rotationsenergie der Sonne. Im
Gegensatz zur Erde besteht die Sonne nicht aus einem festen Material konstanter Dichte, sondern aus Gas. Dessen Dichte
ist abhängig vom Radius und beträgt
ρ(r) = ρ0 · e
−20·( Rr )2
0
a) Berechnen Sie die Zentrale Dichte ρ0 der Sonne mithilfe des Radius R0
M = 1,989 · 1030 kg.
M =
Z
Z∞ Zπ Z2π
ρdV =
 ‹2
−20 rr
0
e
r 2 sin(ϑ) dϕ dϑ dr
ρ0
= 4πρ0
r =0 ϑ=0 ϕ=0
2πρ0 ·
r0
p
20
3
·
1
2
·Γ
1
2
Z∞
2
r ·e
=
−
1 392 684 km und der Masse
p
20
r0
r =0
=
 π ‹3
2
· ρ0 r0
20
3
ρ0 =
⇔
20
r2
€ Š
Γ 32
dr = 4πρ0 · p 3 =
2 r20
0
3
π
‹2
2
·
M
r0 3
= 16,06 ·
1,989 · 1030 kg
3 =
6,963 · 108 m
kg
94 622
m3
b) Berechnen Sie nun das Trägheitsmoment I in Abhängigkeit der Masse und des Radius der Sonne.
I =
Z
€
ρ x +y
2
2
Š
Z∞ Zπ Z2π
dV =
ρ0 e
 ‹2
−20 rr
0
€
Š
x 2 + y 2 r 2 sin(ϑ) dϕ dϑ dr =
r =0 ϑ=0 ϕ=0
Z∞ Zπ Z2π
ρ0 e
 ‹2
−20 rr
0
€
Š
r 2 sin(ϑ)2 cos(ϕ)2 + r 2 sin(ϑ)2 sin(ϕ)2 r 2 sin(ϑ) dϕ dϑ dr =
r =0 ϑ=0 ϕ=0
ρ0
Z∞
e
 ‹2
−20 rr
4
0
Zπ
r dr
r =0
Z2π
3
sin(ϑ) dϑ
ϕ=0
ϑ=0
2π
20
3
2
·
π
M
r0
3
€ Š
Γ 52
r0 5 3
p
dϕ = 4πρ0 p 5 = 2πρ0 p
· · 12 · π =
2
20
20
2
r0
r0
p
20
5
·
3
2
· 12 ·
1
p
π =
M r0 2
20
c) Berechnen Sie nun aus den Angaben in der Aufgabe eine konkrete Zahl für das Trägheitsmoment der Sonne.
M =
1
20
M r0 2 =
1
20
€
Š2
1,989 · 1030 kg · 6,963 · 108 m
= 4,822 · 1046 kg m2
d) Berechnen Sie die Rotationsenergie der Sonne mit T =
Rotationsenergie der Erde.
E =
T i pp:
R∞
x n e−a
1
2
2 x2
Iω2 = 2π2
dx =
I
T2
= 2π2
4,822 · 1046 kg m
(25,38 · 86400 s)2
= 7,923 · 1035 J
4
2,458 · 1029 J = ERotation Erde
Γ n+1
2
mit der Gamma Funktion:
p
p
Γ(x) = (x − 1)! für x ∈ N, Γ(1,5) = 12 π,
Γ(0,5) = π
x =0
25,38 Tage und vergleichen Sie Ihren Wert mit der
2a n+1
und
Γ(x + 1) = x · Γ(x) ∀ x ∈ C\Z.