Aufgabe 1: Bernoulli Gleichung Aufgabe 2

Institut für Hydromechanik
Prof. M. Uhlmann
Dipl.-Ing. F. Folke
Hydromechanik
WS 2010/2011
Übungsblatt 5
Aufgabe 1: Bernoulli Gleichung
Abb. 1 zeigt das Strömungsprofil für die Umströmung eines vertikalen Zylinders.
1. Handelt es sich um eine ein-, zwei- oder dreidimensionale Strömung?
2. Schätzen Sie mit Hilfe der Stromlinien ab, wie groß die Geschwindigkeit im Punkt C ist, wenn die
Anströmungsgeschwindigkeit V0 = 3,00 m/s ist.
3. Schätzen Sie mit Hilfe der Bernoulli Gleichung ab wie sich der Druck in Punkt C zu dem Druck in
Punkt S verhält. Der Druck p0 entspricht dem Atmosphärendruck.
Vergleichen Sie das Resultat mit den Darstellungen in Kapitel 4.1.6 des Lehrbuchs.
C
s
Vo ,
po
S
S
Symmetrie
B
Abbildung 1
(Lösung: pC = −3,00pS )
Aufgabe 2: Impulsungleichförmigkeitsfaktor
Gegeben ist die laminare Strömung zwischen zwei Platten mit der Geschwindigkeitsverteilung:
Ã
¶
µ
µ
¶2 !
z
H
H
u(z)
U =
; mit u(z) = umax · 1 −
; für −
≤z≤
0
H/2
2
2
1. Bestimmen Sie den Impulsungleichförmigkeitsfaktor β, mit
Z
1
β=
(u(z)/u)2 dA .
A
A
(Lösung: β = 1,20)
2. Was beschreibt dieser Impulsungleichfömigkeitsfaktor und wofür wird er verwendet?
Aufgabe 3 : Impulsgleichung: Anwendungen
1. Durch die in Abb. 2 dargestellte „Doppeldüse“ wird Wasser mit einem Durchfluss von Q = 0,50 m3 /s
in die Atmosphäre eingeleitet. Wie groß muss die x-Komponente der Kraft sein, die auf die Schraubflansche wirkt, um die Düse in ihrer Position zu halten, wenn die Düse in einer Horizontalebene
liegt?
Hinweis: Die Strömung kann als rotationsfrei angenommen werden.
(Lösung: Fx = −18,14 kN)
1
12 cm
10 cm
y
x
30°
30
cm
Abbildung 2
2. Ein Mann versucht mit Hilfe eines Brettes auf einer Fontaine zu reiten (Abb. 3). Seine Masse (gemeinsam mit dem Brett) beträgt m. Der Durchmesser des Austrittrohres sei d. Der Strahl tritt mit
der Geschwindigkeit V1 aus. Die Reibung soll vernachlässigt werden.
a) In welcher Höhe h wird die Person gehalten?
b) Was passiert, wenn bei gleicher Geschwindigkeit V1 der Durchmesser d nur 0,10 m beträgt?
c) Wie groß ist in beiden Fällen die Reynoldszahl?
d) Wie hoch ist der Strahl wenn der Mann auf seinem Brett ausrutscht?
Gegeben:
d = 0,30 m,
v1 = 10,00 m/s, m = 80,0 kg, ρ = 1000 kg/m3
Abbildung 3
(Lösungen: (a) h = 9,06 m ; (b) h = 7,76 mm ; (c) Rea = 3 · 106 , Reb = 1 · 106 ; (d) h = 10,18 m)
3. In die Druckrohrleitung eines Wasserkraftwerkes ist eine Rohrverzweigung mit Abzweigwinkel
α = 30◦ einzubauen (siehe Abb. 4). Im Querschnitt 1 (d1 = 1,30 m) herrscht ein Druck von
p1 = 55,0 kN/m2 und eine Geschwindigkeit von V1 = 3,80 m/s. Im Querschnitt 3 (d3 = 0,50 m),
herrscht ein Druck von p3 = 32,0 kN/m2 . Dem Verzweigungsstück entspricht eine Gewichtskraft von
G = 22,0 kN und ein Innenvolumen von V = 9,00 m3 . Berechnen Sie für z = 2,00 m
a) den Druck p2 und den Durchfluss Q2 im Querschnitt 2 für d2 = 1,30 m,
b) den Durchfluss Q3 im Querschnitt 3,
c) die Kraft auf das Auflager.
Hinweis:
Nehmen Sie konstante Geschwindigkeiten in den jeweiligen Querschnitten an, wie auch eine verlustfreie und stationäre Strömung eines inkompressiblen Fluids. Die Gravitation wirkt entgegen der zKoordinate.
2
z
1
x
Rohrverzweigung
z
α α
Auflager
3
2
Abbildung 4
(Lösungen: (a) p2 = 79,2 kPa , Q2 = 3,08 m3 /s ; (b) Q3 = 1,963 m3 /s ; (c) F = 93,5 kN)
4. Von einer Talsperre führt eine Druckrohrleitung über einen Steilhang zum Maschinenhaus, wo sie
zur Versorgung einer Freistrahlturbine mit einer Düse (D2 = 0,20 m) endet. Das Zuleitungsrohr
(D1 = 0,80 m) zur Düse ist wenige Meter vor dem Strahlaustritt verankert. Am Querschnitt 1 ist
ein Dehnungsstück eingebaut, sodass weder Kräfte noch Momente aufgenommen werden können
(siehe Abb. 5). Der Durchfluss durch die Rohrleitung sei Q = 2,00 m3 /s und das Innenvolumen
des betrachteten Kniestückes (von Querschnitt 1 bis zum Austritt) sei V = 15,3 m3 . Der Abstand
zwischen der Querschnittstelle 1 und der Knickstelle beträgt L = 20,00 m, der Winkel α beträgt 30°
(siehe Abb. 5).
a) Wie groß ist die Druckhöhe an der Stelle 1?
b) Wie groß ist die resultierende Kraft F auf die Verankerung nach Größe und Richtung (Φ)?
Hinweise:
Alle Verluste können hier vernachlässigt werden.
1
D1
L
α
φ
D2
F
Verankerung
Abbildung 5
(Lösungen: (a) p1 /γw = 196,0 m ; (b) Fres = 953 kN ;
3
Φ = 41,4°)
5. In Abb. 6 ist eine horizontal liegende Düse dargestellt die mit Wassser der Dichte ρ = 998 kg/m3
durchströmt wird. Am Querschnitt 1 (D1 = 60,0 mm) wird der Überdruck von p1 = 4,00 bar
gemessen. Am Querschnitt 2 (D2 = 20,0 mm) verlässt das Wasser die Düse in Form eines horizontalen
Freistrahls mit Kreisquerschnitt, der später von einer mit ϕ = 35◦ geneigten Platte umgelenkt wird.
a) Bestimmen Sie den Durchfluss durch die Düse.
b) Zeichnen Sie in Abb. 6 ein Kontrollvolumen zur Bestimmung der horizontalen Haltekraft an der
Schraubverbindung (Querschnitt 1) ein.
c) Bestimmen Sie die Größe und Wirkungsrichtung der horizontalen Haltekraft an der Schraubverbindung (Querschnitt 1).
d) Zeichnen Sie in die Abb. 6 ein Kontrollvolumen zur Bestimmung der Kräfte auf die Umlenkplatte
ein.
e) Bestimmen Sie die Abflüsse in den Querschnitten 3 und 4 nach der Umlenkung des Freistrahles.
f) Bestimmen Sie den Kraftangriffspunkt, die Größe und Wirkungsrichtung der Kraft, mit der die
Umlenkeinrichtung gehalten werden muss.
Hinweis: Die Strömungsgeschwindigkeit kann als gleichförmig über den Strahlquerschnitt angenommen werden. Die Reibung zwischen Strahl und Platte sowie in der Düse kann vernachlässigt werden.
Q4
Querschnitt 1
Querschnitt 2
Spritzdüse
V2
V1
D1 =60mm
p1=4bar
j
D2 =20mm
Q3
Abbildung 6
(Lösungen:
für D1 = 60,0 mm, D2 = 20,0 mm, p1 = 4,00 bar:
(a) Q = 8,94 l/s ; (c) F = 0,905 kN ; (e) Q3 = 0,808 l/s , Q4 = 8,13 l/s ;(f ) Fy = 145,7 N)
alternativ für D1 = 80,0 mm, D2 = 20,0 mm, p1 = 3,00 bar:
(a) Q = 31,8 l/s ; (c) F = 0,905 kN ; (e) Q3 = 2,87 l/s , Q4 = 28,9 l/s ;(f ) Fy = 0,460 kN)
4