Mengen, Relationen, Abbildungen Aufgabe 1 - Ruhr

Aufgabensammlung zum Vorkurs in Mathematik 2010
Thomas Püttmann
Mengen, Relationen, Abbildungen
Aufgabe 1: Verdeutlichen Sie das Distributivgesetz
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
und das Gesetz von De Morgan
A∩B =A∪B
durch Mengendiagramme.
Aufgabe 2: Gegeben sind die Mengen A = {a, b, c, d} und B = {1, 2, 3, 4}.
Schreiben Sie die unten dargestellte Relation als Teilmenge von A × B.
a
b
x
x
x
1
x
cx
d
2
x
x
x
3
4
Aufgabe 3: Entscheiden Sie, welche der folgenden Relationen der Menge {1, 2, 3}
eine Äquivalenzrelation ist und welche nicht. Begründen Sie Ihre Antwort.
-1
3
3
3
2
2
2
1
1
1
0
1
2
3
4
-1
0
1
2
3
4
-1
0
1
2
3
4
Geben Sie im Fall einer Äquivalenzrelation die Äquivalenzklassen an.
Aufgabe 4: Welche der folgenden Funktionen [0, 3] → [0, 3] ist injektiv, welche
surjektiv, welche bijektiv?
-1
3
3
3
2
2
2
1
1
1
0
1
2
3
4
-1
0
1
2
3
4
-1
0
1
2
3
4
Geben Sie für jede Funktion näherungsweise das Bild von [1, 2] und das Urbild
von y = 2.2 an.
Aufgabe 5: Gegeben sind die Mengen A = {1, 2, 3}, B = {a, b, c} und C =
{3, 4}. Die Abbildungen f : A → B und g : B → C sind definiert durch
Graph f = {(1, b), (2, b), (3, c)}
und
Graph g = {(a, 3), (b, 4), (c, 3)}.
Geben Sie den Graphen der Verknüpfung g ◦ f : A → C an und stellen Sie die
Situation graphisch dar.
Logik
Aufgabe 6: Welche der folgenden Verknüpfungen ist immer wahr?
a) A ∨ ¬A
b) A ∧ ¬A
c) ¬(¬A) ⇔ A
d) (A ⇒ B) ⇔ (¬A ⇒ ¬B)
Aufgabe 7: Erstellen Sie die Wahrheitswertetabelle für A ∧ (¬B ∨ C).
Aufgabe 8: Geben Sie eine möglichst einfache Verknüpfung der Aussagenvariablen A, B und C mit ¬, ∨ und ∧ an, die folgende Wahrheitswerte annimmt:
A
B
C
?
F
F
F
F
F
F
W
F
F
W
F
F
F
W
W
W
W
F
F
F
W
F
W
W
W
W
F
W
W
W
W
F
Aufgabe 9: Beweisen Sie den Kontrapositionssatz (A ⇒ B) ⇔ (¬B ⇒ ¬A),
das Distributivgesetz A ∧ (B ∨ C) ⇔ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) und das de Morgansche
Gesetz ¬A ∨ ¬B ⇔ ¬(A ∧ B) mit Wahrheitswertetabellen.
Aufgabe 10: Zwei elektrische Leitungen A und B führen logische Signale (0 V =
F, 5 V = W). Verdrahten Sie das 4× NAND IC 7400 so, daß auf einer abgehenden
Signalleitung A ⇒ B entsteht.
Aufgabe 11:
a) Schreiben Sie die Aussage Ist x eine reelle Zahl, so ist das Quadrat von x
”
größer gleich Null“ mit möglichst vielen Symbolen.
b) Ergänzen Sie die kurzgefaßte Aussage x > 0 ⇒ −x < 0 durch Quantifizieren
zu einer vollen Aussage und formulieren Sie einen entsprechenden deutschen Satz.
Aufgabe 12: Negieren Sie die folgenden Aussagen:
a) Die Quadrate aller reellen Zahlen sind nicht negativ.
b) Es gibt eine reelle Zahl größer als 10.
c) Am Dienstag oder am Mittwoch scheint die Sonne.
Aufgabe 13: Bestimmen Sie die Lösungsmengen der folgenden Aussageformen:
a) x2 > 9, wobei x ∈ R.
b) x − y = 3 und x + 2y = 4, wobei x, y ∈ R.
c) p ist Primzahl und p < 40.
Binärzahlen
Aufgabe 14:
a) Wandeln Sie die Zahlen 11012 und 101012 ins Dezimalsystem.
b) Wandeln Sie die Zahlen 9710 und 4310 ins Binärsystem.
c) Wandeln Sie die −9710 in eine 8-stellige Binärzahl (Zweierkomplement).
Aufgabe 15: Berechnen Sie schriftlich im Binärsystem:
a) 11101 + 10101
b) 11101 − 1101
c) 11101 · 1010
11101 : 101
Überprüfen Sie die Ergebnisse, indem Sie ins Dezimalsystem wandeln.
Rechengesetze und Ungleichungen
Aufgabe 16: Vereinfachen Sie oder fassen Sie die Ausdrücke zusammen:
1 m
1
1
a) 2n · 72n
b) 2−4
− n+1
.
· 4−2m
c) (a + b)2 − 4ab
d) n−1
Aufgabe 17: Schreiben Sie die Lösungsmenge der folgenden Ungleichungen als
Vereinigung von Intervallen:
a) |x + 3| ≥ 4,
b) |x − 2| < |x + 3|,
c) |x − 3|3 > x2 − 9.
Aufgabe 18: Beweisen Sie, daß |x − y| ≥ |x| − |y| für alle x, y ∈ R gilt.
Aufgabe 19: Geben Sie für jede der folgenden Mengen das Supremum und das
Infimum an und ob es sich dabei um ein Maximum oder Minimum handelt:
a) {−1}∪]0, 2[,
b) {2n | n ∈ N},
c) {(−2)n | n ∈ N}, d) {− n12 | n ∈ N}.
Aufgabe 20: Beweisen Sie die Schwarzsche Ungleichung
(a21 + . . . + a2n )(b21 + . . . + b2n ) ≥ (a1 b1 + . . . + an bn )2 ,
indem Sie die Differenz beider Seiten bilden und die beim Auflösen der Klammern entstehenden Terme geeignet zusammenfassen. Welche Bedingung erfüllen
die Zahlen im Gleichheitsfall?
Arithmetische und geometrische Summen und Mittelwerte
Aufgabe 21: Berechnen Sie
P50
P17
b) k=0 3k
a) k=4 k,
c)
P10
k=−10 (−2)
k
d)
P10
k=1
2k−1
Aufgabe 22: Gegeben ist ein Rechteck mit den Seitenlängen und a und b, die
verschieden sein sollen. Wenn ein Quadrat mit gleichem Flächeninhalt vorliegt,
ist dann dessen Seitenlänge c größer oder kleiner als a+b
2 ?
Geraden, Steigung, Monotonie, Umkehrfunktion
Aufgabe 23:
a) Bestimmen
Sie die
Steigung und den y-Achsenschnitt der Geraden durch die
Punkte −3
und 21 .
2
b) Bestimmen Sie zwei verschiedene Punkte auf der Geraden, die durch die
Gleichung 2x + 3y = 0 gegeben ist. Wie groß ist die Steigung dieser Geraden?
c) Gegeben sind zwei Geraden f (x) = ax + b und g(x) = cx + d. Wie groß ist
die Steigung der Geraden g ◦ f ?
Aufgabe 24: Gegeben ist eine Funktion f : [−5, 5] → R, deren Graph so
aussieht:
3
2
1
0
-1
-2
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-3
a) Markieren Sie die Intervalle, auf denen die Funktion f streng monoton fällt,
und die zugehörgen Bildmengen.
b) Skizzieren Sie zu jedem Intervall I aus a) die Umkehrfunktion (f|I )−1 der
Funktion f|I : I → R in einem separaten Koordinatensystem.
c) Bestimmen Sie die näherungsweise die Steigung in x = −4, x = −1, x = 1
und x = 4.
d) Markieren Sie die Punkte auf dem Graphen, an denen die Steigung 0 ist.
e) Markieren Sie die Punkte auf dem Graphen, an denen die Steigung −1 ist.
Aufgabe 25: Zeichnen Sie die Umkehrfunktion der bijektiven Funktion aus
Aufgabe 4.
Trigonometrie
Aufgabe 26: Berechnen Sie die fehlenden Dreiecksgrößen:
a) a = 3 cm,
b) b = 3 cm,
c) a = 2 cm,
b = 4 cm,
c = 2 cm,
β = 30◦ ,
c = 5 cm,
α = 30◦ ,
γ = 80◦ .
Aufgabe 27: Leiten Sie die Additionstheoreme für Sinus und Cosinus
cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β,
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
für 0 ≤ α, β < 90◦ her, indem Sie den Cosinussatz auf das Dreieck
anwenden. Folgern Sie mit Hilfe der Identitäten
cos β = cos(−β) = − cos(β + 180◦ ),
sin(−β) = − sin(β) = sin(β + 180◦ )
die Gültigkeit der Additionstheoreme für alle Winkel.
Aufgabe 28: Berechnen Sie mit den Additionstheoremen und den Näherungsformeln sin x ≈ x, cos x ≈ 1 für kleine Winkel x im Bogenmaß die Werte sin 26◦
und cos 62◦ näherungsweise.
Aufgabe 29: An einem geraden Flußufer liegen zwei Orte A und B. Ein
Punkt C liegt auf der anderen Seite. Der Abstand zwischen A und B ist 100 m.
Die Winkel ∠A (C, B) und ∠B (A, C) sind 75◦ bzw. 80◦ . Bestimmen Sie die Breite
des Flusses durch eine maßstabsgetreue Zeichnung und durch Anwenden trigonometrischer Formeln. Vergleichen Sie die Ergebnisse.
Aufgabe 30: Eine Kugel mit Radius r wird auf einen horizontalen Ständer aus
Streben gelegt, die ein gleichseitiges Dreieck der Seitenlänge a bilden. Wie hoch
befindet sich der Kugelmittelpunkt über dem Ständer?
Sinus, Cosinus und Tangens als Funktionen
Aufgabe 31: Zeichnen Sie die Graphen der Funktionen
a) f (x) = sin(2x + π4 ) + 1,
b) g(x) = 2 cos(x − π3 ),
c) h(x) = 1 − tan(3(x − π4 ))
Aufgabe 32: Schreiben Sie die Funktion, die der Graph darstellt, in der Form
f (x) = A sin(ax + b) + C.
2
1,5
1
0,5
0
-0,5
-1
-1,5
5
4,5
4
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
-0,5
-1
-1,5
-2
-2,5
-3
-3,5
-4
-4,5
-5
-2
Stetigkeit, Zwischenwertsatz, Satz vom Maximum
Aufgabe 33: Beweisen Sie mit der ε, δ-Definition, daß die Funktionen f (x) =
3x − 6 und g(x) = 2x2 + 3 stetig in x0 = 2 sind. Sind auch f + g, f − g, f · g
und g/f stetig in x0 = 2 ? Begründen Sie Ihre Antwort!
Aufgabe 34: Gegeben ist die Funktion
f (x) =
x+2
.
x2 − x − 6
An welchen Stellen der reellen Achse ist die Funktion f nicht definiert? Kann
man f in eine dieser Stellen hinein stetig fortsetzen? Falls ja, geben Sie die
stetige Fortsetzung von f an.
Aufgabe 35: Begründen Sie ausführlich, warum die Gleichung
x3 − 2x + 1 = 1
eine Lösung x0 mit 1 < x < 2 besitzt.
Aufgabe 36: Berechnen Sie eine Lösung der Gleichung
x sin x = 0.5
mit dem Intervallhalbierungsverfahren bis auf eine Stelle hinter dem Komma.
Aufgabe 37: Welche der folgenden Funktionen besitzen ein globales Maximum?
Begründen Sie Ihre Antwort ausführlich!
√
a) f (x) = x auf [1, 2],
b) f (x) = 1/x auf ]0, π/2],
c) f (x) = cos x auf ]1, 2[,
d) f (x) = tan 2x auf [π/4, π/2].
Differenzierbarkeit
Aufgabe 38: In welchen x0 ∈ R ist die Funktion f (x) =
Begründen Sie Ihre Antwort ausführlich!
sin x
x
differenzierbar?
Ableitungsregeln
Aufgabe 39: Die folgenden beiden Abbildungen zeigen die Graphen einer Funktion f (oben) und einer Funktion g (unten).
a) Berechnen Sie näherungsweise (f + g)0 (1), (f · g)0 (2), (f /g)0 (3), (g ◦ f )0 (1, 8)
und (g ◦ f )0 (0), indem Sie die erforderlichen Steigungen mit einem Spiegellineal
ermitteln.
b) Auf dem Intervall [0, 2] besitzt f eine Umkehrfunktion f −1 , da f streng monoton fällt. Bestimmen Sie näherungsweise die Ableitung der Umkehrfunktion
f −1 in y0 = −1.
3
2
1
0
-1
-2
-1
0
1
2
3
-1
0
1
2
3
5
-2
-2
4
-3
-3
-4
-5
-3
3
2
1
0
-1
-2
5
4
-4
-5
-3
Aufgabe 40: Gegeben ist die Funktion f (x) = x sin x.
a) Zeigen Sie, daß die Funktion f (x) = x sin x auf dem Intervall [0, π2 ] streng
monoton steigt.
b) Berechnen Sie die Ableitung der Umkehrfunktion f −1 in y0 = sin 1. Finden
Sie dazu zunächst x0 , so daß f (x0 ) = y0 .
c) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von f in x0 = 1.
d) Bestimmen Sie näherungsweise Stellen, an denen die Tangente horizontal ist.
Wieviele solche Stellen gibt es?
Flächeninhalt und Integration
Aufgabe 41: Bestimmen Sie näherungsweise den Flächeninhalt der folgenden
Menge:
3
2
1
0
-1
-2
Aufgabe 42: Bestimmen Sie näherungsweise
folgenden Graphen beschrieben ist:
R5
−5
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-3
f (x)dx, wenn f durch den
3
2
1
0
-1
-2
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-3
Aufgabe 43: Bestimmen Sie die folgenden Integrale, indem Sie den Graphen
des Integranden zeichnen und geometrische Überlegungen anstellen:
R 2π
Rr √
Ra
a) −a sin x dx, b) 0 cos2 x dx, c) −r r2 − x2 dx.
Aufgabe 44: Bestimmen Sie eine Stammfunktion von f (x) = (sin x)e2 cos x .
Logarithmus und Exponentialfunktion
Aufgabe 45: Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f (x) = ln(2x − 6).
Hinweis: Es handelt sich um eine verschobene Kopie des Graphen von ln.
Aufgabe 46: Schätzen Sie log10 3161 und log10 256 möglichst gut ohne technische Hilfsmittel ab und vergleichen Sie die Ergebnisse anschließend mit dem,
was Taschenrechner und Rechenschieber angeben.
Aufgabe 47: Vereinfachen Sie log8 2x und 100log10 x .
Aufgabe 48: Chinas Bevölkerung wächst jährlich um 0.6%. Wie lange dauert
es bei dieser Wachstumsrate, bis sich die Bevölkerung verdoppelt hat?
Aufgabe 49: Bestimmen Sie die Ableitungen der Funktionen
a) f (x) = ax ,
b) f (x) = x · 2x ,
c) f (x) = loga x,
d) f (x) = − ln cos x,
e) f (x) = xx .
Aufgabe 50: Beweisen Sie das Gesetz ln xa = a ln x und das Gesetz (xa )b = xab .
Komplexe Zahlen
√
Aufgabe 51: Schreiben Sie die komplexe Zahl 4 3 − 4i in der Form r eiϕ . und
◦
bestimmen Sie Real- und Imaginärteil der komplexen Zahl ei 120 .
Aufgabe 52: Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke:
a) i17 ,
b) eiπ/3 + e−iπ/3 ,
c) (cos 30◦ + i sin 30◦ )6 .
Aufgabe 53: Faktorisieren Sie das Polynom p(z) = z 3 − 4z 2 + 6z − 4.
Pn−1
Aufgabe 54: Berechnen Sie die Summe k=0 e2kπi/n .
Aufgabe 55: Skizzieren Sie die Menge {z ∈ C | |z − 5| = |z + 3|}.
Aufgabe 56: Gegeben sind die Abbildung f (z) = z 2 und die unten dargestellte
Menge G in der komplexen Zahlenebene. Zeichnen Sie das Bild f (G).
4
3
2
G
1
0
-1
-2
-3
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-4