Grundwissenskatalog Klasse 9 - Klenze

Klenze-Gymnasium
Grundwissen Mathematik
Klasse 9 (G8)
Stand: Okt 2008
Grundwissenskatalog Mathematik 9. Klasse
1. Reelle Zahlen
Die rationalen und die irrationalen Zahlen bilden zusammen die Menge der reellen Zahlen IR .
Irrationale Zahlen sind unendliche nichtperiodische Dezimalbrüche, z.B. 2 , π , 1,010010001...
1.1 Die Quadratwurzel
Die Quadratwurzel a ist die nicht negative Lösung der Gleichung x 2 = a .
a heißt Radikand, er darf nicht negativ sein.
( a)
2
Also:
Beispiele: 1,96 = 1,4 , weil 1,4 2 = 1,96
= a; a ≥ 0
− 9 gibt es nicht!
1.2 Rechnen mit Quadratwurzeln
a, falls a ≥ 0
− a, falls a < 0
a2 = a =
Für a, b > 0 gilt:
( −3) 2 = −( −3) = 3
Beispiel:
a ⋅ b = a ⋅b
a : b = a:b
und
5 ⋅ 45 = 5 ⋅ 45 = 5 ⋅ 5 ⋅ 9 = 5 ⋅ 3 = 15
Beispiel:
Achtung: a ± b ≠ a ± b
a 2 ± b2 ≠ a ± b
insbesondere:
aber:
(a ± b )2
= a±b
1.3 n-te Wurzeln und rationale Exponenten
Für a ≥ 0 ist n a diejenige nicht negative Zahl, deren n-te Potenz a ergibt. ( n∈IN ; n ≥ 2 ).
1
n
p
q
a ( a ≥ 0 ; n∈IN ; n ≥ 2 )
q
a p bzw. a
an =
a =
− pq
= q 1p
( a ≥ 0 bzw. a > 0 ; p∈ Z ; q∈IN ; q ≥ 2 )
a
Beispiele: 3 8 = 2 denn 2 3 = 8 ;
3
n
0 =0
− 8 gibt es nicht, aber die Gleichung x 3 = −8 hat die eine Lösung x = −2 = − 3 8
8− 3 = 3 8 −2 = 3
2
1
64
=
2
bzw. 8− 3 = 3 1 2 = 3 1 = 1
4
64
8
1
4
1.4 Potenzgesetze
Sind die Exponenten r, s ∈ Q und die Basen a, b positive reelle Zahlen, so gilt:
für Potenzen mit gleicher Basis: a r ⋅ a s = a r +s
und a r : a s = a r −s
für Potenzen mit gleichen Exp.:
a r ⋅ b r = (a ⋅ b) r und a r : b r = (a : b) r
für Potenzen von Potenzen: (a r )s = a r⋅s
Beispiele: 23 ⋅ 2 4 = 23+ 4 = 2 7 ; 2 7 : 2 4 = 2 7 − 4 = 2 3 ;
25 ⋅ 55 = ( 2 ⋅ 5) 5 = 105 ;
4
5 ⋅ 51,75 = 50, 25 ⋅ 51,75 = 50,25+1,75 = 52 = 25
3
; 480,75 : 30,75 = 160,75 = ( 2 4 ) 4 = 23 = 8
67 : 27 = (6 : 2) 7 = 37
1.5 Teilweises Radizieren; Rationalmachen des Nenners
Geeignete Faktoren lassen sich vor die Wurzel ziehen;
Bruchterme lassen sich so erweitern, dass im Nenner keine Wurzeln mehr auftreten.
Beispiele:
49 ⋅ 3 = 7 3
147 = 49 ⋅ 3 =
15 = 15⋅ 5 = 15⋅ 5 = 3 ⋅ 5
5
5
5⋅ 5
1.6 Binomische Formeln
(1) (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
2
2
(2) (a − b) = a − 2ab + b
2
(3) (a + b) ⋅ (a − b) = a 2 − b 2
;
;
3
54 = 3 27 ⋅ 2 = 3 27 ⋅ 3 2 = 3 ⋅ 3 2
8
4
5
=
8 ⋅ 4 53
4
5 ⋅ 4 53
=
8 ⋅ 4 53
5
= 85 ⋅ 4 53
Die praktische Bedeutung besteht im Faktorisieren!
Beispiele: 9x 2 − 30xy + 25y 2 = (3x − 5y) 2
9x 2 − 25 y 2 = (3x − 5 y) ⋅ (3x + 5y)
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2. Quadratische Gleichungen und quadratische Funktionen
2.1 Die qudratische Gleichung
Gleichungen der Art a x 2 + b x + c = 0 mit a ≠ 0 heißen quadratische Gleichungen.
D = b 2 − 4ac heißt Diskriminante.
D<0
es gibt keine Lösung der Gleichung
D=0
es gibt genau eineLösung
− b ± b 2 − 4ac
D>0
es gibt zwei Lösungen x1 / 2 =
2a
Beispiel: 2x 2 − 0,3x − 0,9 = 0
x1 / 2 =
+ 0,3 ± 0,32 − 4 ⋅ 2 ⋅ ( −0,9) + 0,3 ± 7,29 + 0,3 ± 2,7
=
=
2⋅2
4
4
x1 = −0,6 ; x 2 = +0,75
In folgenden Sonderfällen ist es nicht sinnvoll, die Lösungsformel zu verwenden:
(1) b = 0
d.h. a x 2 + c = 0
In diesem Fall lässt sich die quad. Gleichung in die reinquadratische Form x 2 = d bringen.
Beispiel: 3x2 – 9 = 0 ⇔ x2 = 3 ⇔ x1/2 = ± 3
(2) c = 0
d.h. a x 2 + b x = 0
Wir klammern ax aus und erhalten a x ⋅ ( x + ba ) = 0 .
Beispiel:. 4x2 + 12x = 0
⇔
4x(x + 3) = 0
x1 = 0 ; x 2 = −3
(3) x 2 + px + q = 0 mit p, q ∈ Z
Wenn es rationale Lösungen gibt, dann sind diese ganzzahlig und wir finden sie durch
Probieren, weil ( x − m ) ⋅ ( x − n) = x 2 − ( m + n) ⋅ x + m ⋅ n
Beispiele: x 2 − 7x + 12 = 0 ⇔ ( x − 4) ⋅ ( x − 3) = 0
x1 = 3 ; x 2 = 4
x 2 − 4 x − 12 = 0 ⇔ ( x − 6) ⋅ ( x + 2) = 0
x 1 = −2 ; x 2 = 6
x 2 − 5x + 12 = 0 es gibt keine ganzzahligen (also auch keine rationalen) Lösungen
2.2 Die quadratische Funktion
Funktionen der Form f : x ax 2 + bx + c (a ≠ 0) heißen quadratische Funktionen; ihre Graphen
nennt man Parabeln.
Der Graph von g : x
x 2 heißt Normalparabel.
a > 0: Die Parabel ist nach oben geöffnet
a < 0: Die Parabel ist nach unten geöffnet
|a| < 1: Die Parabel ist weiter als die Normalparabel
|a| > 1: Die Parabel ist enger als die Normalparabel
Jede quadr. Funktion f : x ax 2 + bx + c (a ≠ 0)
lässt sich durch quadratische Ergänzung auf die
Scheitelpunktform f : x a ( x + d ) 2 + e bringen.
Scheitelpunkt: S(-d|e)
Beispiele (siehe Diagramm):
f1 ( x ) = x 2 Normalparabel
f 2 ( x ) = x 2 − 6x + 9 = ( x − 3) 2 verschobene Normalparabel
f 3 ( x ) = 2x 2 + 20x + 51 = 2( x + 5) 2 + 1
f 4 ( x ) = −0,5x 2 − 2 x − 1
Berechnung zu f4: y = −0,5x 2 − 2x − 1 = − 0,5 ⋅ ( x 2 + 4 x
) − 1 = − 0,5 ⋅ ( x 2 + 4x + 22 − 22 ) − 1 =
2
2
2
2
= − 0,5 ⋅ ( x + 4x + 2 ) − 0,5 ⋅ (−2 ) − 1 = − 0,5 ⋅ ( x + 2) + 1
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3. Mehrstufige Zufallsexperimente
Ein Zufallsexperiment, das aus mehreren
Teilexperimenten besteht, nennt man
mehrstufiges Zufallsexperiment.
Stellt man das Zufallsexperiment im Baumdiagramm dar, so gelten die beiden Pfadregeln.
1. Pfadregel
Man erhält die Wahrscheinlichkeit eines
Ergebnisses, indem man die Wahrscheinlichkeiten längs des zugehörigen Pfades
multipliziert.
2. Pfadregel
Bei mehrstufigen Zufallsexperimenten
erhält man die Wahrscheinlichkeit eines
Ereignisses, indem man die Summe der
Wahrscheinlichkeiten der Pfade bildet,
die zu dem Ereignis gehören.
4. Die Satzgruppe des Pythagoras
Satz des Pythagoras:
In jedem rechtwinkligen Dreieck ist das
Hypotenusenquadrat flächengleich der
Summe der Flächeninhalte der
Kathetenquadrate.
Beispiel:
Aus einer Urne mit vier roten, drei
blauen und einer grünen Kugel werden
nacheinander zwei Kugeln gezogen.
Für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses
E: „genau eine blaue Kugel wird gezogen“ gilt:
P( E) = 12
+ 12 + 3 + 3 = 30
= 15
56 56 56 56
56
28
a2 + b2 = c2
Höhensatz:
In jedem rechtwinkligen Dreieck ist das
Quadrat über der Höhe flächengleich
2
dem Rechteck aus den beiden Hypotenusen- h = p ⋅ q
abschnitten.
Kathetensätze:
In jedem rechtwinkligen Dreieck ist jedes
a 2 = c ⋅ p bzw. b 2 = c ⋅ q
Kathetenquadrat flächengleich dem
Rechteck aus der Hypotenuse und
dem der Kathete anliegenden Hypotenusenabschnitt.
5. Trigonometrie
5.1 Sinus, Kosinus, Tangens im rechtwinkligen Dreieck
Im rechtwinkligen Dreieck wird festgelegt:
sin α =
Gegenkathete von α
Hypotenuse
(Sinus von α )
cos α =
Ankathete von α
Hypotenuse
(Kosinus von α )
tan α =
Gegenkathete von α
Ankathete von α
(Tangens von α )
hier gilt: sin α = ac
cos α = bc
tan α = ab
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5.2 Beziehungen zwischen Sinus, Kosinus und Tangens
Für alle Winkel α mit 0° ≤ α ≤ 90° gilt:
(1) sin α = cos(90° − α) und cos α = sin(90° − α)
(2) sin 2 α + cos2 α = 1
(3) tan α =
sin α
cos α
6. Raumgeometrie
6.1 Geraden und Ebenen im Raum
Eine Gerade g und eine Ebene E können zueinander
parallel sein (Sonderfall: g liegt in E) oder sich in einem
Punkt schneiden.
Schneiden sich g und E in einem Punkt P, so
wird der Schnittwinkel α entsprechend der
Skizze ermittelt.
( Das Lot QF ist zu jeder Geraden aus E, die durch F geht, senkrecht!)
Schnittwinkel β zwischen zwei Ebenen:
β ist der Winkel zwischen den Geraden s1 und s2,
die senkrecht zur Schnittgeraden g sind.
6.2 Volumen und Oberfläche von Prisma und Zylinder
Für Prisma und Zylinder mit der Grundfläche G und der Höhe h gilt:
Volumen: V = G ⋅ h
Oberflächeninhalt: O = M + 2 ⋅ G
Die Mantelfäche M ist ein Rechteck
bzw. aus Rechtecken zusammengesetzt.
6.3 Volumen und Oberfläche von Pyramide und Kegel
Für eine Pyramide und einen Kegel mit der
Grundfläche G und der Höhe h gilt:
Volumen:
V = 13 G ⋅ h
Oberflächeninhalt: O = M + G
Die Mantelfläche des Kegels ist ein
Kreissektor mit dem Radius s und
der Bogenlänge b = U Kreis = 2πr
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