1 1.4.7 Das Newton`sche Gravitationsgesetz Eine Punktmasse m1

3Wo_1+2-11-16
1.4.7 Das Newton’sche Gravitationsgesetz
Eine Punktmasse m1 am Ort r1 übt auf eine Punktmasse m2 am Ort r2 die Kraft (Axiom)
FG   
m1m 2
( r1  r 2 )
| r1  r 2 |3
aus. Hier bezeichnet  = 6,67259 10-11 N m2 kg-2 wieder die universelle Gravitationskonstante.
Die Gravitationskraft wirkt anziehend in Richtung der Verbindungslinie beider Massen. Ihr
Betrag hängt nur vom Abstand der Punktmassen | r 1  r 2 | ab, er fällt proportional
zu | r1  r 2 | 2 . Die Gravitationswechselwirkung ist universell, langreichweitig, nicht
abschirmbar und, im Vergleich zur elektrostatischen Wechselwirkung, „schwach“. Für zwei
ruhende Elektronen ergibt sich beispielsweise unabhängig vom Abstand
gravitative Anziehung
1

10 4 .
elektrostatische Abstoßung 4,17
(nachprüfen). Dennoch dominiert im astronomischen Maßstab die Gravitation, da die
kosmischen Objekte in der Regel elektrisch neutral sind.

Das Gravitationsfeld
(Falls erforderlich, Kapitel Felder, speziell Vektorfelder, aus MMP16 wiederholen.)
Wir betrachten zwei MP mit den Massen m und M und legen den Ursprung des KS in M.
Gravitationskraft:
FG ( r )   
mM r
,
r2 r
 Zentralfeld
Betrag:
FG ( r )   
mM
r2
 kugelsymmetrisch.
Das Kraftfeld FG ist wirbelfrei, da rot FG ( r )  0 (zur Übung noch einmal überprüfen).
Damit ist das Gravitationsfeld konservativ. Die im Feld von M an der Masse m verrichtete
Arbeit (sie erhöht die potenzielle Energie U(r) der Masse m) kann als Wegintegral entlang
1
eines beliebigen Weges zwischen einem Bezugspunkt r0 zum Beobachtungspunkt r berechnet
werden
U ( r )  U ( r0 )    dr  FG ( r )
C
r




parametrisiere C durch Radial 
strahl r (  )   e r , dr  d e r
mM

r0
d
1
er  er  
2


r
r0
1 1 
   m M    .
 r r0 
(vgl. MMP, Kapitel Kurvenintegrale). Wird der Bezugspunkt r0 ins Unendliche gelegt, folgt
U(r )   
mM
.
r
Die Größe U(r), also die potenzielle Energie der Masse m im Gravitationsfeld FG (r ) , wird
auch als Kepler-Potenzial bezeichnet.
Wir vereinbaren die folgende Terminologie:
FG ( r )   
M r
mM r
 m g( r ) ist die Gravitationskraft zwischen m und M, g (r )   2
die
2
r r
r r
Feldstärke des Gravitationsfeldes von M. Da unabhängig von der Masse des Probekörpers m,
ist g( r ) besser als die Gravitationskraft FG (r ) oder die potenzielle Energie U(r) zur
Beschreibung des von der Masse M am Ort r erzeugten Gravitationsfeldes geeignet. Für die
potenzielle Energie des Probeteilchens im konservativen Kraftfeld FG (r ) können wir
U(r )   
( r )  
mM
 m (r ) schreiben, wobei wir das skalaren Potenzial
r
M
r
 Gravitationspotenzial
einführen. Dann gilt (wie oben) g( r )   grad ( r )   ( r )  
d
 mM r
er   2
.
dr
r r
Man beachte die formale Analogie zum elektrostatischen Feld einer ruhenden Punktladung Q,
1 qQ r
das über die Coulomb-Kraft FC ( r ) 
zwischen Q und einer Probeladung q
4  0 r 2 r
1 Qr
mit FC ( r )  q E( r )
ausgemessen werden kann. Die elektrische Feldstärke E( r ) 
4 0 r 2 r
entspricht der Feldstärke des Gravitationsfeldes g( r ) , und das Coulomb-Potenzial ist
( r ) 
1 Q
, wobei wieder E( r )   grad ( r ) gilt.
4 0 r
2
N an den Orten ri befindliche ruhende Punktmassen mi erzeugen am Ort r ein
Gravitationsfeld, dessen Gravitationspotenzial sich nach dem Superpositionsprinzip in der
Form
N
( r )    
i 1
mi
r  ri
darstellen lässt.
Entsprechend erhalten wir im Fall einer lokalisierten kontinuierlichen Masseverteilung mit
der Massendichte (r') für das Gravitationspotenzial im Beobachtungspunkt r
mi




( r i ) Vi
im
Grenzfall
 
( r )    
Vi  0
r  ri
i 1
N
( r )     d 3 r '
( r ' )
.
r  r'
Bemerkung: Wir hätten auch die Feldstärken g(r) überlagern können und das Integral
g(r )     d 3r '
( r ' )
r  r'
2
r  r'
für eine gegebene Masseverteilung ausrechnen. Das
r  r'
entspräche dann genau dem Newton´schen Superpositionsprinzip im Anschluss an das III.
Axiom. Meist ist es jedoch erheblich bequemer, g(r) über g(r )   (r ) zu bestimmen, da
sich skalare Volumenintegrale leichter als vektorielle ausrechnen lassen.
■
Beispiel: Gravitationsfeld der Erde
Wir betrachten die Erde näherungsweise als Kugel vom Radius R mit homogener
Massedichte ( r ' ) 
M
und wählen sphärische Koordinaten (r ', , ) mit Ursprung im
4 3
R
3
Erdmittelpunkt und z-Achse in Richtung des Beobachtungspunktes r. Dann gilt
( r )     d 3r '
( r ' )

r  r'
3
M
d r'
 
4 3  r  r '
R
3
d 3r '  r ' 2 dr ' sin  d d





R

2

M
1
2




dr
'
r
'
d
sin
d
0
0
4 3 0
r 2  r '2 2 r r ' cos 
R

3
2
Für die Integration über den Winkel  zwischen r und r' finden wir mit Hilfe der Relation
3
d
d


r 2  r '2 2 r r ' cos  
1 ( 2) r r ' (  sin )

2 r 2  r '2 2 r r ' cos 
R
r 2  r ' 2 2 r r ' cos 
3 M
2


2
dr
'
r
'
0
r r'
4 R 3



3 M 1
2 R3 r
R
 dr ' r'  ( r  r' ) 

0
3 M
2 R3
r r ' sin 
r  r '2 2 r r ' cos 
2
 dr' r 
R
r'

r 2  r '2 2 r r '  r 2  r '2 2 r r ' 
0
r  r '   ( r ) .
0
Befindet sich der Beobachtungspunkt außerhalb der Erde/Kugel, ergibt sich wegen r > r'
R
3 M 1
3 M 1
dr ' r ' 
(r
' )
r
r
' )  
( r )  
 r
 (
3


2R r 0
2 R3 r
2 r'
R
2
 dr' 2r '  
0
3  M 1 2R 3
M

3
2R r 3
r
 Außerhalb der Kugel ist das Gravitationsfeld gleich dem einer Punktmasse M im
Mittelpunkt der Erde. Aus diesem Grund ist es möglich, für r > R die Erde als Punktmasse zu
behandeln (Abweichungen infolge Erdabplattung, inhomogener Dichteverteilung, etc.
vernachlässigt).
Fazit: Das Gravitationsfeld der Erde wirkt auf eine Punktmasse außerhalb der Erde so, als
wäre die Erdmasse im Erdmittelpunkt vereinigt.
Für Beobachtungspunkte im Inneren der Erde/Kugel zerlegen wir das Integral in einen
Beitrag für 0 < r' < r und einen Beitrag für r < r' < R. Dann folgt
r
R

3  M 1 
2


( r )  




dr
'
2
r
'
dr
'
r
'
(
r
r
'
)
(
r
r
'
)
r   
2 R 3 r  0
2r

3  M 1  2r 3
r '2


2
r
2 R3 r  3
2

R
r
3

   3  M 1  rR 2  r  

2 R 3 r 
3 

 3
r2 
  ( r )
  M 

3
 2R 2R 
 zentralsymmetrisch
Aufgabe: Skizziere das Gravitationspotenzial einer
Kugel mit der homogenen Massedichte  = 3M/4R3
4
Für die Feldstärke des Gravitationsfeldes erhalten wir
 M r
  r 2 r , für r  R
d( r )

g ( r )    (r )  
er  
dr
 M r
  R 3 r r , für r  R

 Zentralfeld.
Aufgabe: das Gleiche wie oben für die Feldstärke g(r)
In der Übung wird die gleiche Aufgabe mit Hilfe des Gauß´schen Satzes
 df  g(r)   d r div g(r) gelöst. Man findet durch Berechnung des Flusses von g(r ) durch
3
V
V
die Kugeloberfläche leicht
 d r div g( r )   4  M   4   d r ( r ) .
3
Kugel 
volumen
3
V
Daraus folgt im vorliegenden Fall
Massen 
lokale Quellstärke
des G  Feldes
dichte



div g( r )   4  ( r )
 die Massen sind die Quellen des Gravitationsfeldes.
Es stellt sich heraus, dass diese Gleichung nicht nur im betrachteten Beispiel, sondern
allgemein gilt. Die zweite Feldgleichung lautet
rot g(r )  0
 Das Gravitationsfeld ist konservativ.
Es besitzt eine skalares Potenzial ( r ) , wobei g( r )   grad ( r ) .
Durch lokale Quellstärke und lokale Wirbelstärke ist das Gravitationsfeld vollständig
bestimmt (Helmholtz´scher Satz). Für das Gravitationspotenzial ergibt sich aus
 4  ( r )  div g( r )  div   grad ( r )       ( r )    ( r )
also
 (r )  4  (r )
 Poisson-Gleichung .
Letztere folgt übrigens aus den Gleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie im Grenzfall
schwacher Felder.
5
1.4.8
Äquivalenz von träger und schwerer Masse
Streng genommen sind die in der Newton´schen Bewegungsgleichung auftretenden trägen
Massen mT von den schweren Massen mS und MS im Gravitationsgesetz (dort wurde der
Index S weggelassen) zu unterscheiden. Neben der Messung der Beschleunigung eines
Körpers durch eine auf ihn wirkende Kraft kann auch die Messung seines Gewichts G nahe
der Erdoberfläche (z.B. mit einer Federwaage) als Messvorschrift für die Masse von Körpern
dienen.
Idee: Könnte man nicht neben der Newton´schen Bewegungsgleichung auch das Newton´sche
Gravitationsgesetz als Messvorschrift zur Bestimmung der Masse eines Körpers verwenden?
Der Betrag der Schwerkraft auf den an der Feder aufgehängten Probekörper kann aus der
Verlängerung z der Feder abgelesen werden; die Schwerkraft ist (näherungsweise, s. oben)
zum Erdmittelpunkt gerichtet. Folglich ist die Schwerkraft nicht Eigenschaft des Probekörpers
allein, sondern eine gemeinsame Eigenschaft des Systems Probekörper/Erde. Um die Schwere
als intrinsische Eigenschaft des Probekörpers zu charakterisieren, führen wir die schwere
Masse mS ein
G  mS g also mS ~ |G| ). Dabei ist
g
M
r2
e r  9,81 m s- 2 die Erdbeschleunigung.
rR
Sie ergibt sich wenn wir die Werte für Masse und Radius der Erde M  5,98 1024 kg bzw. R 
6380 km einsetzen (Ursprung des KS im Erdmittelpunkt, Korrekturen infolge Erdabplattung /
geographischer Breite, Bewegung der Erde um die Sonne usw. vernachlässigt).
Zunächst sind die Versuchsbedingungen zur Bestimmung der trägen Masse mT auf der Basis
der NBG und der schweren Masse mS ausgehend vom Gravitationsgesetz offensichtlich sehr
unterschiedlich. Um mT und mS miteinander vergleichen zu können, betrachten wir nun die
Beschleunigung a eines Körpers infolge seines eigenen Gewichts G. Gemäß der NBG ist dann
mT a = mS g .
6
Bereits Galilei hatte bei seinen Fallversuchen am schiefen Turm von Pisa beobachtet, dass
alle Körper im Gravitationsfeld der Erde gleich schnell fallen. Newton folgerte daraus, dass
die Körper beim freien Fall die gleiche Beschleunigung erfahren, also gilt
a
mS
g  const  für alle Körper ist das Verhältnis aus schwerer und träger Masse gleich!
mT
Werden mT und mS in kg gemessen folgt
mS = mT =: m
Äquivalenz von träger und schwerer Masse
Die Gleichheit von träger und schwerer Masse zählt zu den experimentell am besten
gesicherten physikalischen Tatsachen.
Experimentelle zur Verifikation von mS = mT :
(i) Pendelversuche von Newton bestätigten die Äquivalenz von träger und schwerer Masse
mit einer relativen Genauigkeit von 10-3
(ii) Drehwaage, Cavendish 1798
(iii) Relative Genauigkeit des Eötvös-Experiments (Budapest 1889) ist 10-11.
Die Äquivalenz zwischen schwerer und träger Masse deutet auf einen engen Zusammenhang
zwischen Gravitation und Trägheit hin und ist in gewissem Sinne von "fundamentalerer"
Bedeutung als die Newton´sche Bewegungsgleichung und das Newton´sche Gravitationsgesetz: Ersteres fällt nämlich zumindest in der Form F  m r der Speziellen
Relativitätstheorie zum Opfer, während das zweite nur für schwache Gravitationsfelder erfüllt
ist (hinreichend kleine Massen oder hinreichend große Entfernungen). Auf der Äquivalenz
von träger und schwerer Masse und der Invarianz aller physikalischen Gesetze gegenüber der
Lorentz-Transformation basiert dagegen Einstein´s Allgemeinen Relativitätstheorie.
7
1.4.9 Massepunktsysteme (MPS)
Ziel: Verallgemeinere die Newton´sche Mechanik auf Systeme aus N Massepunkten mit den
Massen mi und den Ortsvektoren ri(t)). Bestimme insbesondere die zeitliche Änderung von
Impuls, Drehimpuls und Energie des MPS.
Ausgangspunkt ist die Newton´sche Bewegungsgleichung (NBG) für die einzelnen
Massepunkte (MP)
N
m i ri ( t )  F i 

  F ik
( ww )
( r i , r k ) , i  1,..., N (A)
k 1
äußere Kräfte
( äußere Felder ,
Schwerkraft ,...)
(a )
Wir haben die Kräfte in äußere und innere Kräfte unterteilt. Die äußeren Kräfte F i ( r i )
entsprechen äußeren Feldern, in denen sich das MPS befindet, z.B. das Gravitationsfeld oder
( ww )
äußere elektrische und magnetische Felder. Fik ( r i , r k ) bezeichnet die Inneren oder
Wechselwirkungskräfte. Wir nehmen an, dass die Kraft zwischen zwei Massepunkten nur von
deren Positionen abhängt und die Wirkungslinie der inneren Kräfte die Verbindungslinie
zwischen den beiden MP ist (keine Kräftepaare). Unter Umständen können die Kräfte auch
von den Geschwindigkeiten r i , r k der Massepunkte oder explizit von der Zeit abhängen.

Impuls eines Massepunktsystems
Wir definieren den Impuls und den Ortsvektor des Schwerpunkts des MPS durch
N
N
1 N
m i r i ( t ) , M :  m i ist die Gesamtmasse des MPS.

M i 1
i 1
P( t ) :  m i r i ( t ) bzw. R ( t ) :
i 1
N
Für die Bewegungsgleichung des Schwerpunkts finden wir aus
 (A)
i 1
N
N
N
i 1
i 1
i , k 1
ik
(a )
( ww )
 m i ri  M R   Fi (r i )   Fik (r i , r k ) .
Da der letzte Term auf der rechten Seite auf Grund des III. Newton´schen Axioms
N

i , k 1
ik
( ww )
Fik
ik

N

i , k 1
ik
( ww )
F ki
III. NA

N
  Fik
( ww )
i , k 1
ik
8
verschwindet, ergibt sich
N
 ( t )   F
MR
i
(a )
r i ( t ) 
 Schwerpunktsatz:
k 1
Der Schwerpunkt eines Systems aus N MP bewegt sich so, als sei die Gesamtmasse M des
MPS in ihm vereinigt und als wirke auf ihn die vektorielle Summe aller äußeren Kräfte.
Mit anderen Worten: Die Wechselwirkung der MP untereinander hat keinen Einfluss auf die
Bewegung des Schwerpunkts des MPS.
Ist die Summe der äußeren Kräfte auf ein MPS gleich Null, so folgt
N
M R ( t )   m i r i ( t ) : P  const .
i 1
 der Schwerpunktsimpuls/Gesamtimpuls des MPS P ist in diesem Fall eine Erhaltungsgröße
/ ein Integral der Bewegung.
Schlussfolgerung: Ist die Summe der äußeren Kräfte gleich Null, bewegt der Schwerpunkt
sich geradlinig gleichförmig, d.h., ein mit dem Schwerpunkt verbundenes KS ist als
Inertialsystem besonders geeignet zur Beschreibung der Bewegung des MPS.

Drehimpuls eines Massepunktsystems
N
N
L   i   m ( r i  r i )
i
i 1
i 1
 Drehimpuls des MPS
N
N
N
II. NA N
dL d N
(a )
( ww )
  m i ( r i  r i )   m i ( r i  r i )   m i ( r i  ri )   r i  Fi   r i  Fik



dt dt i 1
i 1
i 1
i , k 1
i 1
0
i k
Der letzte Term verschwindet wieder wir wegen des III. Newton´schen Axioms
N
 r i  Fik
i , k 1
i k
( ww )
ik N

 r k  Fki
i , k 1
i k
( ww )
III. NA
N
   r k  Fik
( ww )
,
i , k 1
i k
9
d.h.
N
 r i  Fik
( ww )

i , k 1
i k
1 N
( ww )
( r i  r k )  Fik  0

2 i ,k 1
i k
denn Kräfte, die zwei MP aufeinander ausüben, wirken in Richtung der Verbindungslinie
zwischen beiden. Damit ist r i  F(i a ) : M i
dL N
(a )
  r i  Fi : M
dt i 1
 Die zeitliche Änderung des Gesamtdrehimpulses eines MPS ist gleich dem Gesamtdrehmoment der äußeren Kräfte.
Ist das Gesamtdrehmoment der äußeren Kräfte Null, weil (z.B.) keine äußeren Kräfte wirken,
so ist L  r1 ( t ), r N ( t ) ,..., r1 ( t ) ,...r N ( t )  eine Erhaltungsgröße / ein Integral der Bewegung
M  0  L  const .

Energie eines Massepunktsystems
Aus der NBG (A) erhalten wir
N
 r i  (A) 
i 1
N
N
N
i 1
i 1
i 1

 r i  mi ri   r i  Fi   r i  F(i K )  F(i D)

,
wobei wir nun auf der rechten Seite zwischen konservativen und dissipativen Kräften
(K)
( D)
Fi bzw. Fi unterscheiden wollen.
Die konservativen Kräfte sind als Gradient des Potenzials U(r1,…, rN) darstellbar
(K)
Fi

 U ( r1 , r 2 ,..., r N )
  i U( r1 , r 2 ,..., r N ) .
 ri
10
Mit
N
 r i  mi ri 
i 1
N
mi 2
d  N m i 2  dT

i  
r
,
T
:

r i die kinetische Energie des MPS ist
wobei



dt  i  1 2  dt
i 1 2
und
N

i 1
N
(K)
r i  Fi   
i 1
dU
U
 r i  
(vorausgesetzt, U nicht explizit zeitabhängig) folgt
dt
 ri
N
d
(D)
( T  U )   r i  Fi .
dt
i 1
Verschwindet die Leistung der dissipativen Kräfte auf der rechten Seite, folgt
T + U = E = const  Energieerhaltung
d.h., die mechanische Energie ist ein Integral der Bewegung

Potenzial der konservativen Kräfte
N
1 N
U(r1 , r 2 ,..., r N )   U i (r i )   U ik (r i , r k )
i 1


 2 ii ,k k1

äußere Felder
Wechselwirkungsanteil
ist die gesamte potenzielle Energie des MPS. Für die äußeren Felder haben wir
(a )
Fi  
 U i (r i )
.
 ri
Für den Wechselwirkungsanteil kann Uik (ri, rk) nur von den drei Skalaren ri2 , rk2 und (r i  r k ) 2
abhängen. Alle anderen Skalare wie r i  r k und (r i  r k ) 2 sind Linearkombinationen dieser
drei. Nun ist aber das III. Newton´sche Axiom nur dann erfüllt, wenn
( ww )
Fik
( r i , r k ) : 
 U ik (| r i  r k|)
 U ik (| r i  r k|)
( ww )

  F ki ( r k , r i ) i, k  1,..., N .
 ri
 rk
Der Faktor ½ oben berücksichtigt, dass jedes Indexpaar nur einmal auftreten darf, der Beitrag
( ww )
Uik bestimmt sowohl Fik
( ww )
als auch Fki
.
11
■
Beispiel: Für ein MPS aus N elektrisch geladenen Teilchen ( ri , mi, qi ) im
Schwerefeld der Erde (nahe der Erdoberfläche, g = - g ez ) erhalten wir
N
U(r1 , r 2 ,..., r N )   m i g z i 
i 1
1 1 N qi q k

2 4  0 ik 1 r i  r k
Bemerkungen
(i) Ist U explizit zeitabhängig, so gilt
F  r  
U
U
dU
U
dU
U
denn dann ist
x 
y 
z  U  r  

 U  r
x
y
z
dt
dt
t
Die allgemeine Form einer konservativen Kraft lautet
F   grad U(r )  r  A(r, t ) wobei U nicht explizit t abhängig und A beliebig.
■
Beispiel: F L  q r  B
 Lorentz-Kraft (verrichtet keine Arbeit)
12
1.4.10 Newton`sche Bewegungsgleichung für ein MPS in verallgemeinerten Koordinaten
Zwei Fragen stellen sich:
(i) Wie sieht die NBG eigentlich in verallgemeinerten also in nichtkartesischen, krummlinigen
Koordinaten aus?
(ii) Bisher haben wir immer angenommen, die resultierende wirkende Kraft sei vor der
Lösung der BWG bekannt. Liegen allerdings Bewegungsbeschränkungen vor, d.h., wenn
Zwangskräfte wirken, ist diese Voraussetzung u.U. nicht einfach zu erfüllen.
■
Einschub: Ebenes mathematisches Pendel
Ein MP der Masse m hängt an einem Faden/einer gewichtslosen Stange der Länge  . Die
Bewegung des MP ist durch die Fadenspannkraft (Zwangskraft) auf eine Kreisbahn
eingeschränkt. Anstelle der kartesischen Koordinaten x und y zur Festlegung der Lage des
MP verwenden wir den Auslenkwinkel :
x ( t )   sin  ( t ), y( t )   cos  ( t ) . (Koordinatenursprung im Aufhängepunkt, g   g e y )
Durch die Wahl von  ist die Position des MP eindeutig bestimmt und gleichzeitig die zur
Zwangskraft gehörende Bewegungsbeschränkung x ( t ) 2  y( t ) 2   2 zu jedem Zeitpunkt t
identisch erfüllt.
  1
Die potenzielle Energie des MP ist U ()  mg h()  mg  (1  cos )  mg 
2
.
2
Obwohl die "Koordinate"  die Lage des Massepunkts eindeutig bestimmt, lautet die NBG
für die "Bahnkurve" (t) offensichtlich nicht
  
m
U
  g  sin   0 !
  mg  sin  also m 

Drei Möglichkeiten zur korrekten Ableitung der Pendelgleichung:
(i) Aus dem Energieerhaltungssatz
m 2 2
(   )  mg  (1  cos )  E  mg  (1  cos 0 )
2
( 0 - maximale Auslenkung des Pendels) folgt
 2 
2g
(cos   cos 0 ) also
l
  
2  
2g
sin  
l
und
g
  sin   0

l
13
(ii) Polarkoordinaten verwenden:
r  r e r   e r , r  e r    e 
r   
 e     2 e r
 e  )  e 
NBG: m r   U  m (   2 e r   
  er
1 

 e
r
r 
1 U
 
Kraftkomponenten in tangentialer Richtung ( - Richtung) ergeben:
1
   mg  sin  ,
m 

g
  sin   0 .


also wieder
Bemerkung: Das ist die Zerlegung der Gewichtskraft  m g in eine Komponente in Richtung
des gespannten Fadens ( F N  FN e r ) und eine dazu senkrechte "rücktreibende" Kraft
( F R  FR e  ). F N steht senkrecht auf der Bahnkurve (Kreis) und wird durch die
Fadenspannkraft kompensiert. F R ist tangential zur Bahnkurve gerichtet und "treibt die
Bewegung des Pendels an" (Skizze).
(iii) Aus der Grundgleichung der Drehbewegung
Drehmoment der Schwerkraft und Drehimpuls bzgl. des Aufhängepunkts lauten
ex
ey
ez
M  rF 
 sin 
  cos 
0 
2
 mg sin  cos   mg sin  0
 e z  sin  (  mg sin 2)  (   cos ) (  mg sin  cos )  
  mg (  sin 3   sin 2  cos )   mg sin  e z
bzw.
ex
ey
L  m  r  r    sin 
  cos 
  cos     (  sin )
Aus der NBG der Drehbewegung
ez
0  m e z (  2  sin 2   2  cos2)  m  2  e z
0
dL
d
 M folgt dann m  2    mg  sin 
dt
dt
g
  sin   0 .
also wieder 

14
Zurück zu 1.4.10
Behauptung: Das System der Newton´schen Bewegungsgleichungen für ein
Massepunktsystem aus N Massepunkten mit der Einfachheit halber gleichen Massen
m r  F , r   r1 , r2 ,..., r3 N 
ist äquivalent zu den Gleichungen
d  L

dt  q k
wobei
 L
 
 0 , k  1,..., f
 q k
L(q, q , t )  T(q, q )  U(q, t )

Lagrange-Funktion des MPS.
q   q1 , q 2 ,..., q f  sind verallgemeinerte Koordinaten und f ist die Anzahl der
Freiheitsgrade des mechanischen Systems, d.h., die minimale Anzahl unabhängiger Größen
zur eindeutigen Bestimmung der Position aller MP/Teilchen.
■
Beispiel: Ebenes mathematisches Pendel (s.o.): Zwei kartesische Koordinaten
x   sin , y   cos  ; eine Zwangbedingung x 2  y 2   2 ; also eine unabhängige
verallgemeinerte Koordinate, .
■
Beispiel: Unterliegen N Massepunkte R Zwangbedingungen, ergibt sich die Zahl der
Freiheitsgrade zu f = 3N – R.
Zum Beweis führen wir die Koordinatentransformation r  r (q ) explizit aus.
Für die Geschwindigkeit erhalten wir
f
r
r
q i   e i  q i , e i :
 e i (q )
 qi
i 1  q i
i 1
f
r  
(H1)
Die Größen q   q 1 , q 2 ,..., q f  nennen wir verallgemeinerte Geschwindigkeiten.
15
Nochmalige Ableitung von (H1) nach der Zeit ergibt die Beschleunigung, eingesetzt in die
NBG folgt
f  f

 ei
m r  m   
q j q i  e i q i   F


i 1  j  1  q j

 ek
bzw.
f
 ei
 e k q i q j  m  e i  e k qi
i , j1  q j
i 1
f
F  ek  m 
(H2)
Wir wollen versuchen, die ei zu eliminieren und vollständig zu skalaren Größen überzugehen.
Für die kinetische Energie erhalten wir
T
m 2 ( H 1) m
r 
2
2
f
e
i , j 1
i
~
 e j q i q j : T ( q , q )
und nacheinander abgeleitet nach q k und der Zeit
~
f
T m f
m f
  e i  e k q i   e k  e j q j  m e i  e k q i
 q k 2 i 1
2 j 1
i 1
bzw.
~
f  f
f

e
e
d  T 

  m    i q j  e k q i   e i  k q j q i  e i  e k qi  


qj
dt   q k 
i 1  j 1  q j
j 1

(H3)
f
f
f
e
e
 m  i  e k q j q i  m  e i  e k qi  m  e i  k q j q i
q
i, j 1  q j
i 1
i, j 1


 

j


~
vergleiche rechte Seite von ( H 2 )
ersetze durch
T
 qk
Die Ersetzung im letzten Term rechts ist möglich, weil
~
f
i j
 ei
m f
 T m f  ei
 e j q i q j 
 e j q i q j    i  j  m 
 
2 i, j 1
 q k 2 i, j 1  q k
i, j 1  q k
(H4)
f
ej
i , j1
 qk
m
denn
f
 e i q i q j  m  e i 
i , j1
 ek
q i q j
qj
ej
 ek
 r
 r



solange die Koordinatentransformation r  r (q )
 q j  q j  qk  qk  q j  qk
stetig differenzierbar ist.
16
(H3) und (H4) ergibt eingesetzt in (H2)
~
d  T

F ek  
dt   q k
~
  T

  q
  k
Wir nehmen nun an, F sei konservativ, F   grad U(r, t )  




(H5)
 U(r, t )
.
r
~
Nach der Transformation r  r (q ) erhalten wir die neue Funktion U(q, t ) und die linke Seite
von H(5) lautet
~
d  T

dt   q k
F  ek  
f
U r
 U  ri
U

 

. Damit hat (H5) die Form
 r  qk
 qk
i  1  ri  q k
~ ~
  ( T  U)

 0.

 qk

Wenn wir nun noch annehmen, dass U nicht von den verallgemeinerten Geschwindigkeiten q
abhängt, folgt
d  L  L


 0 (H)
dt  q k  q k
mit
L(q, q , t )  T(q, q )  U (q, t ) ( k = 1, … , f ).
und die Behauptung ist bewiesen.
L ist die nichtrelativistische Lagrange-Funktion des betrachteten physikalischen Systems
(hier eines MPS aus N wechselwirkenden MP/Teilchen). Se ergibt sich als Differenz aus
kinetischer und potenzieller Energie, ausgedrückt als Funktion der verallgemeinerten
Koordinaten und Geschwindigkeiten q  q1 , q 2 ,..., q f  bzw. q  q 1 , q 2 ,..., q f .
(H) sind die Lagrange´schen BWG II. Art. Es handelt sich um ein System aus f gekoppelten
ODE 2. Ordnung für die Bahnkurven q(t) in verallgemeinerten Koordinaten.
Man überzeugt sich leicht, dass sich für das mathematische Pendel mit
L(,  ) 
m 2 2
(   )  mg  (1  cos )
2
  m g  sin   0 ergibt.
aus (H) die korrekte Bewegungsgleichung m  2 
17