Dezimalbruch

1.1.1 Die natürlichen, ganzen und rationalen Zahlen
Die Zahlen: 1, 2, 3, ... verwendet der Mensch seit jeher, z.B. für das Zählen seiner Tiere.
Die Inder führten im 7. Jahrhundert n. Christus die Null ein, weil sie sie bei der Einführung des
Dezimalsystems benötigten:
Römische Zahlen, z.B. 1904 = MCMIV, benötigten für jede 10er-Potenz einen neuen
Buchstaben, weil sie die Null nicht kennen. Das Dezimalsystem mit der Null ist viel
einfacher
Man nennt die Menge {0,1,2,3,…} die natürlichen Zahlen N
Die Inder kannten auch bereits die negativen Zahlen
Die Schreibweise mit dem Minuszeichen wurde im Mittelalter von italienischen Kaufleuten
eingeführt, um Ansprüche und Schulden bezüglich eines Handelspartners in einer einzigen
Spalte schreiben zu können.
Man nennt die Menge aller natürlichen und negativen Zahlen {…,-2, -1, 0,1,2,3,…}
die ganzen Zahlen Z
Die alten Ägypter rechneten bereits vor 3‘000 Jahren mit Brüchen, allerdings nur mit dem
Zähler 1, also: 1/2, 1/3, usw. (so genannte Stammbrüche)
Wir hingegen rechnen mit beliebigen ganze Zahlen im Zähler und im Nenner, im Nenner jedoch
nicht Null – z.B. 2/3, 3/7, 11/10, -3/4
Man nennt die Menge der ganzen Zahlen und der Brüche die Menge der rationalen Zahlen Q
Ernest Peter
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Dezimalbruch
Ein Bruch a/b kann auch als Dezimalbruch dargestellt werden: z.B. 17,56
17,56 = 1 Zehner, 7 Einer, 5 Zehntel und 6 Hundertstel
Frage: Warum verwenden wir für die Darstellung von Zahlen das Dezimalsystem (Basis 10)
und nicht z.B. die Darstellung 2 (Binärsystem) wie die Computer?
Jeder Bruch kann durch Ausdividieren von Zähler durch Nenner in einen Dezimalbruch
umgewandelt werden (so genannte Dezimalbruchentwicklung).
Bsp: 7/20
Ausdividieren
7:20 = 0,35
70
-60
100
-100
0
Die Division geht entweder ohne Rest auf (abbrechender Dezimalbruch) oder es entsteht ein
so genannter nicht abbrechender periodischer Dezimalbruch, z.B. 1/11 = 0,090909…
Lösen Sie die Übung 1 im Übungsblatt
Falls Sie im schriftlichen Dividieren unsicher sind, so lesen Sie
http://www.logischmathe.ch/page/mathe5/pdf/buch_schriftliche_division.pdf
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1
Reelle Zahlen, Darstellung auf der Zahlengeraden
Es gibt Zahlen, welche sich nicht als Bruch (abbrechender oder periodischer
Dezimalbruch darstellen lassen, z.B:
• √2 = 1,41421356… als die Länge der Diagonalen eines Quadrates mit
Seitenlänge 1
• π = 3,1415926… die Kreiszahl, mit Kreisumfang = π⋅Kreisdurchmesser
• e = 2,718281828459... Die Eulersche Zahl als Faktor mit dem ein
Anfangskapitel nach einem Jahr bei einem kontinuierlichen Zins von 100% p.a.
multipliziert wird
Man nennt sie irrationale Zahlen.
Zusammen mit den rationalen Zahlen bilden sie die Menge der reellen Zahlen R.
Eine anschauliche Darstellung der Zahlen erfolgt auf der Zahlengeraden
5,4
-4
-10-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
Lösen Sie die Übungen 2 und 3 im Übungsblatt
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1.1.2 Rechenregeln
Die vier Grundoperationen: Addition, Subtraktion, Multiplikation und
Division sind bei den reellen Zahlen uneingeschränkt anwendbar mit
einer Ausnahme:
Die Division durch Null ist nicht erlaubt!
Es gibt 5 wichtige Rechenregeln:
1. Vertauschungsgesetz oder Kommutativgesetz der Addition:
Es spielt keine Rolle, in welcher Reihenfolge man zwei reelle Zahlen
addiert: a+b = b+a für zwei beliebige reelle Zahlen a und b
Bsp: 3,4 + 1,2 = 1,2 + 3,4 = 4,6
a und b sind Platzhalter für zwei beliebige reelle Zahlen;
sie werden auch Variablen genannt
2. Vertauschungsgesetz oder Kommutativgesetz der Multiplikation:
Es spielt keine Rolle, in welcher Reihenfolge man zwei reelle Zahlen
multipliziert: a⋅b = b⋅a für zwei beliebige reelle Zahlen a und b
Bsp: 3⋅4 = 4⋅3 = 12
Frage: gilt das Vertauschungsgesetz auch für die Subtraktion und
Division: a-b = b-a? und a/b = b/a?
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2
Rechenregeln (Fortsetzung)
3. Assoziativgesetz: der Addition
Es spielt bei 3 Zahlen keine Rolle, ob man zuerst die beiden ersten und dann die
dritte addiert oder zuerst die erste und dann die Summe der zwei andern:
(a+b)+c = a+(b+c) für beliebige reelle Zahlen a,b,c
Die Ausdrücke in den Klammern werden immer zuerst ausgerechnet!
Prüfen Sie das Assoziativgesetz nach, indem Sie (2+3)+4 und 2+(3+4) berechnen
4. Assoziativgesetz: der Multiplikation
Es spielt bei 3 Zahlen keine Rolle, ob man zuerst die beiden ersten und dann mit
der dritten multipliziert oder zuerst die erste und dann mit der Multiplikation der
zwei andern:
(a⋅b)⋅c = a⋅(b⋅c) für beliebige reelle Zahlen a,b,c
Prüfen Sie das Assoziativgesetz nach, indem Sie (2⋅3)⋅4 und 2⋅(3⋅4) berechnen
5. Distributivgesetz der Addition und Multiplikation:
a⋅(b+c) = ab+ac für beliebige reelle Zahlen a,b,c
Prüfen Sie das Distributivgesetz nach, indem Sie 2⋅(3+4) und 2⋅3 + 2⋅4 berechnen
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Ausmultiplizieren und Ausklammern
Das Distributivgesetz ist die Basis für jegliches Ausmultiplizieren
z.B. (a+b)⋅(c+d) = ac +ad +bc +bd
Allgemein: Beim Ausmultiplizieren zweier in Klammern stehender Summen muss
man jeden Summanden der einen Klammer mit jedem Summanden der andern
Klammer multiplizieren und alle entstehenden Produkte addieren.
Lösen Sie die Übung 4 im Übungsblatt
(Lesen Sie die Beispiele 3-5 auf Seite 16 oben und 1 und 2 auf Seite 16 unten)
Das Distributivgesetz lässt sich auch umgekehrt anwenden:
ab+ac = a(b+c)
Das ist die Basis jeglichen Ausklammerns
Einfaches Beispiel: x + 3ax -2bx = x(1 + 3a – 2b)
D.h. wenn ein Faktor in jedem Summanden auftritt, so darf er ausgeklammert
werden.
Lösen Sie die Übung 5 im Übungsblatt
(Lesen Sie die Beispiele 1-4 auf Seite 17)
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3
Vorzeichenregeln
Zu jeder reellen Zahl a gibt es eine Zahl –a spiegelbildlich zum Nullpunkt.
b
a
-a
-10-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
0
1
2
3
4
-b
5
6
7
8
9 10
Sie heisst entgegengesetzte Zahl und man liest sie als minus a.
Ist a positiv, so ist –a negativ
Ist b negativ so ist –b positiv
Es gelten die folgenden Vorzeichenregeln für zwei beliebige Zahlen a und b:
1. (-a)(-b) = ab
Minus mal Minus = Plus
2. a(-b) = (-a)b = -ab Plus mal Minus = Minus mal Plus = Minus
Lesen Sie die Beispiele 1-4 Seite 18,19
Lösen Sie die Übung 6 im Übungsblatt
Aus der Anwendung der Vorzeichenregel: (-1)⋅a folgt die Klammerregel:
Eine Minuszeichen vor einer Klammer mit einer Summe kann weggelassen werden, falls bei
jeden Summand das Vorzeichen geändert wird.
Bsp.: -(a-b) = -a + b
(Lesen Sie die Beispiele 1-3 Seite 20,21)
Lösen Sie als Hausaufgabe die Übungsaufgaben 1-3 ohne 3c) auf Seite 59
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Binomische Formeln
Ein Binom ist ein Ausdruck (a+b) oder (a-b), d.h. die Summe oder Differenz zweier
Ausdrücke.
Äusserst wichtig sind die so genannten Binomischen Formeln:
(a+b)2 = a2+2ab +b2
1. Binomische Formel
(a-b)2 = a2-2ab +b2
2. Binomische Formel
(a+b) (a-b)= a2-b2
3. Binomische Formel
Diese sollten Sie auswendig lernen
Überprüfen Sie die Richtigkeit der 3 binomischen Formeln durch Ausmultiplizieren
Beschreiben Sie das Resultat der ersten binomischen Formeln mit Worten:
Der erste Summand im Quadrat plus…
Wenden Sie sie an auf: (2a + 3b)2
Lösen Sie als Hausaufgabe die Übungsaufgabe 4 auf Seite 59
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4
Anwendung der Binomischen Formeln beim Faktorisieren
Die binomischen Formeln lassen sich auch umgekehrt von rechts nach links lesen
z.B. bei der 1. binomischen Formel: a2+2ab +b2 = (a+b)2
Damit lässt sich eine Summe unter Umständen faktorisieren (und damit bei einem
Bruch ev. kürzen)
Bsp: 4x2 -9y2 = (2x + 3y)(2x – 3y)
3. binomische Formel
Lösen Sie als Hausaufgabe die Aufgabe 5 auf Seite 59
Vorsicht: d) ist ein „Trinom“
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Klammern und häufige Fehler
Klammern werden verwendet um die Reihenfolge der Rechenoperationen
festzulegen.
So ist z.B. a+(b⋅c)+d nicht dasselbe wie (a+b)⋅(c+d)
Falls keine Klammern gesetzt sind, sind zuerst die Multiplikationen/Divisionen
auszuführen und erst dann erst die Additionen/Subtraktionen.
d.h. a+b⋅c+d ist dasselbe wie a+(b⋅c)+d
Fehler beim Ausmultiplizieren und Ausklammern hangen häufig mit einer Verletzung
dieser Regel zusammen.
Finden Sie in den folgenden Aufgaben die Fehler und korrigieren Sie sie:
1. 5+7⋅x = 12x
2. 2⋅(ab) = 2a + 2b
Ein weiterer häufiger Fehler ist die falsche Verwendung der Vorzeichenregel
1. 2x–(y+x) = 2x–y+x = 3x-y
2. 48–8+6 = 48 – 14 = 34
3. -(2x) = (-2)⋅(-x) = 2x
48:8⋅6 ist hingegen nicht eindeutig und kann (48:8)⋅6 oder 48:(8⋅6) bedeuten.
Das heisst hier müssen Klammern verwendet werden.
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5
Multiplizieren und Dividieren von Brüchen
Das Multiplizieren und Dividieren von Brüchen ist ziemlich einfach:
Zwei Brüche werden multipliziert, indem man Zähler und Nenner separat
multipliziert
a c ac
⋅ =
b d bd
Lesen Sie die Beispiele 1-3 Seite 21 unten
Dividieren von Brüchen: 3/5:1/5 = ? oder wie oft hat 1/5 in 3/5 platz?
Man dividiert einen Bruch durch einen zweiten, indem man den ersten mit dem
Kehrwert des zweite multipliziert:
a c a d ad
: = ⋅ =
b d b c bc
a
a c
: = b
c
b d
d
Bruchstrich und Divisionszeichen bedeuten dasselbe:
Berechnen Sie 3/5:1/5
Lesen Sie die Beispiele 1-3 Seite 22 oben
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Multiplizieren und Dividieren eines Bruchs mit einer Zahl
Ein Spezialfall der Multiplikation zweier Brüche ist die Multiplikation einer
Zahl mit einem Bruch:
a⋅
c a c ac
= ⋅ =
d 1 d
d
−
a
= −1 ⋅
a
=
−1 a − a
⋅ =
und für die Multiplikation mit -1: b
b
1 b
b
Lesen Sie die Beispiele 1-3 Seite 22 unten
Auch diese Formel kann umgekehrt gelesen werden und bedeutet dann das
Ausklammern eines Faktors aus dem Zähler:
Bsp: a + ab/c = a + a⋅(b/c) = a(1 + b/c)
Lesen Sie Beispiel 1 Seite 23 oben
Ein Spezialfall der Division zweier Brüche ist die Division eines Bruchs durch
eine Zahl:
a
a
a
:c = b =
c
b
bc
1
Lesen Sie die Beispiele 1-3 Seite 23 unten
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6
Kürzen und Erweitern von Brüchen
Die Kürzungsregel bei Brüchen folgt aus einem Spezialfall der Multiplikationsregel
von rechts nach links gelesen:
ac a c a
a ⋅1 a
= ⋅ = ⋅1 =
=
bc b c b
b
b
D.h. hat ein Bruch im Zähler und im Nenner einen gemeinsamen Faktor, so kann
dieser weggelassen (gekürzt) werden.
Lesen Sie die Beispiele 1-4 Seite 24
Wird die Kürzungsregel von rechts nach links gelesen, so entsteht die
Erweiterungsregel:
a a
a c ac
= ⋅1 = ⋅ =
b b
b c bc
D.h. in einem Bruch können Zähler und Nenner mit demselben Faktor multipliziert
(erweitert) werden, ohne dass der Wert sich ändert.
Lesen Sie die Beispiele 2-3 Seite 25
Lösen Sie die Aufgaben 6 und 7 Seite 59
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Addieren und Subtrahieren von Brüchen
Gleichnamige Brüche werden addiert bzw. subtrahiert, indem die Zähler addiert
bzw. subtrahiert werden und der Nenner beibehalten wird.
Eventuell kann der resultierende Bruch gekürzt werden.
a b a+b
+ =
c c
c
Lesen Sie die Beispiele 1-3 Seite 26
Falls die Bruchterme ungleichnamig sind, d.h. verschiedene Nenner haben
macht man sie wie folgt gleichnamig:
1. Den gemeinsamen Hauptnenner bestimmen (= das kleinste gemeinsame
Vielfache KGV der Nenner)
2. Für jeden Bruchterm den Erweiterungsfaktor bestimmen und erweitern
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7
Hauptnenner bestimmen
1.
2.
3.
Alle Nenner faktorisieren (Koeffizienten in Primfaktoren, Terme in Produktterme
zerlegen
Von jedem der Zerlegungsfaktoren die maximale Potenz über alle Nenner
nehmen
Das Produkt dieser maximalen Potenzen ergibt den Hauptnenner.
Bsp:
1.
2.
3.
5a 3a 7 a
+ −
=?
2 x 8 x 12b
alle Nenner faktorisieren
2x = 2⋅x
8x = 2⋅2⋅2⋅x = 23⋅x
12b = 2⋅2⋅3⋅b = 22⋅3⋅b
Maximale Potenzen:
von 2: 23
von 3: 3
von b: b
von x: x
Hauptnenner = 23⋅3⋅b⋅x
= 24bx
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Erweiterungsfaktor bestimmen und erweitern
Zu jedem Bruchterm den Erweiterungsfaktor bestimmen und damit erweitern. Alle Bruchterme
erhalten damit den Hauptnenner.
Der Erweiterungsfaktor ist somit definiert als Hauptnenner : Nenner
Im vorherigem Beispiel:
Für 2x 24bx : 2x = 12b
Für 8x 24bx : 8x = 3b
Für 12b 24bx : 12b = 2x
5a 3a 7 a
+ −
=?
2 x 8 x 12b
Erweitern:
5a 12b 3a 3b 7 a 2 x 60ab 9ab 14ax 69ab − 14ax
⋅
+ ⋅ −
⋅
=
+
−
=
2 x 12b 8 x 3b 12b 2 x 24bx 24bx 24bx
24bx
Kann nicht mehr gekürzt werden.
Lesen Sie Beispiel 1-3 Seite 28 und bestimmen Sie die Hauptnenner und die
Erweiterungsfaktoren selber
Lösen Sie die Aufgaben 8 und 9 Seite 59,60
Das Gleichnamigmachen von Brüchen müssen Sie sicher beherrschen!
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Häufige Fehler beim Bruchrechnen
Finden Sie in den folgenden Aufgaben die Fehler und korrigieren Sie sie:
−R⋅
q −1
R
R
=− q−
2
2
2
5x − 7y x − y
=
5a − 7b a − b
x2 + y 2
=x+y
x+y
9 x 2 − 16 y 2
= 3x − 4 y
3x − 4 y
Falls Sie im Bruchrechnen noch unsicher sind, so besuchen Sie
http://schuelerseite.otto-triebes.de/Mathe/bruchrechnung/brueche.htm
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1.1.3 Terme
Terme sind Ausdrücke in welchen eine oder mehrere Variablen vorkommen
Daneben können Zahlen vorkommen, die Grundoperationen +,-, ⋅ und :, die
Vorzeichen +,- und Klammern (), [] und {} nicht jedoch Gleichheits- und
Ungleichheitszeichen
x
Beispiele: a, 4+a, x⋅y, e
1− t
Nicht jedoch z.B. 3y+4 = 12.
Der Grundbereich eines Terms ist diejenige Zahlenmenge, welche für die
Termvariable(n) grundsätzlich in Frage kommt. Normalerweise sind das die
reellen Zahlen, manchmal auch nur die natürlichen Zahlen.
Es kann aber sein, dass ein Term nicht für alle Werte des Grundbereichs definiert
ist.
So ist z.B. der Term 1/x für x=0 nicht definiert.
Der Definitionsbereich D eines Terms ist deshalb derjenige Teil des Grundbereichs,
bei dem, falls dessen Werte für die Variable eingesetzt werden, der Wert des
Terms definiert ist.
Beispiel: der Term 1/x hat den Grundbereich R (reelle Zahlen) und den
Definitionsbereich R \ {0} (alle reellen Zahlen ausser die Null)
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9
Gleichungen
Eine Gleichsetzung von zwei Termen T1 = T2 nennt man Gleichung.
Die Lösungsmenge einer Gleichung ist die Menge aller Variablenwerte aus dem
Definitionsbereich, welche in die Gleichung eingesetzt, diese erfüllen.
Bsp: x+2 = 5 hat die einzige Lösung x=3
Überprüfen Sie anhand der Gleichung x+2 = 5, ob die folgenden Umformungen
erlaubt sind, d.h. x immer noch die Lösung 3 hat:
• Addieren von 4 auf beiden Seiten:
x+6 = 9; 9=9 ok
• Subtrahieren von 5 auf beiden Seiten
x -3 = 0; 0=0 ok
• Multiplizieren mit 2 auf beiden Seiten
…
• Multiplizieren mit -2 auf beiden Seiten
• Multiplizieren mit 0 auf beiden Seiten
• Dividieren durch 2 auf beiden Seiten
• Dividieren durch 0 auf beiden Seiten
• Vertauschen der beiden Seiten
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Erlaubte Umformungen
Die folgenden Umformungen verändern die Lösungsmenge einer Gleichung nicht.
Sie helfen uns, eine Gleichung nach ihrer Variablen aufzulösen.
- Auf beiden Seiten einer Gleichung darf derselbe Term addiert oder subtrahiert
werden
Bsp. 2x+7 = x+3 ergibt nach Subtrahieren von x+7 auf beiden Seiten: x = -4
- Beide Seiten einer Gleichung dürfen mit demselben Term multipliziert werden,
aber der Term darf nicht Null sein
Bsp: (x+1)/(2x+3) = 4 ergibt nach Multiplikation mit 2x+3: x+1 = 8x + 12
Warum verändert das Multiplizieren mit Null die Lösungsmenge?
Beide Seiten einer Gleichung dürfen durch denselben Term dividiert werden, aber
der Term darf nicht Null sein
Bsp: x(ex+1) = 4(ex+1) ergibt nach Division durch ex+1:
x=4
Weshalb dürfen die beiden Seiten einer Gleichung nicht durch Null dividiert werden?
Die beiden Seiten einer Gleichung dürfen vertauscht werden
Bsp: aus 4=x folgt nach Vertauschen die Lösung x=4
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10
Lineare Gleichungen
Lineare Gleichungen sind Gleichungen mit einer Variablen (z.B. x), welche durch
erlaubte Umformungen in die Form
ax = b mit a≠0 gebracht werden können.
Daraus ergibt sich nach Division durch a sofort die Lösung: x = b/a
Zu diesem Zweck müssen alle Terme mit x auf die linke Seite gebracht und dann x
ausgeklammert werden.
Bsp 1, Seite 32:
7x + 3 = 5x -2
2x + 3 = -2
2x = -5
x = -5/2
|Umformung: -5x
| -3
| :2
Lesen Sie die Beispiele 2 und 3 Seite 32 und 1 und 2 Seite 33,34
Lösen Sie die Aufgabe 10 und 11 Seite 60
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Aufgaben bis zur nächsten Präsenz
Es gibt viel zu tun, warten Sie nicht bis einen Tag vor der nächsten
Präsenz!
Lesen Sie das Skript nochmals durch.
Lösen Sie die darin angegebenen Übungen aus dem Buch und aus dem
Übungsblatt fertig.
Lesen Sie Purkert Kap. 1.1
Falls Sie sich zuwenig sicher fühlen, so lösen Sie die folgenden
Aufgabenblätter aus Kusch, Arithmetik und Algebra:
• Ausmultiplizieren und Ausklammern von Summentermen: p. 80-82, a. 3562 und 1-33
• Bruchterme: addieren (gleichnamig machen), multiplizieren, dividieren: p.
120, a 16-41, p. 121 a. 1-31, p. 122, a. 1-22
• Binomische Formeln: potenzieren, faktorisieren: p. 146 unten, a. 1-22, p.
147, a. 1-42
Machen Sie den Kurztest
Lesen Sie Purkert Kap. 1.2-1.4 für die nächste Präsenz.
Bei Problemen Mail an [email protected] oder [email protected]
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Ziele (vergl. Modulplan)
•
Die Studierenden erreichen eine Sicherheit im Rechnen mit reellen Zahlen und
Termen, insbesondere:
– im Ausmultiplizieren von Klammern und umgekehrt im Ausklammern von
Faktoren
– in der Multiplikation, Division und dem Kürzen von Brüchen sowie beim
Gleichnamig machen
• Sie kennen und erkennen die drei binomischen Formeln
• Sie können lineare Gleichungen lösen.
Umfang: Purkert Kap. 1.1
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Propädeutikum Mathematik für die Betriebsökonomie, Block 1
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