4.4 Beispiele ökonomischer Funktionen 4.4.1 Kostenfunktion

4.4 Beispiele ökonomischer Funktionen
Zusammenhänge zwischen ökonomischen Grössen wie Preis, produzierte
Stückzahl, Gewinn, usw. werden häufig mittels Funktionen beschrieben.
Die Funktion ist damit ein mathematisches Modell für die (beobachtbare)
Wirklichkeit.
Bereits relativ einfache Modelle (Funktionen) können einen ökonomischen
Sachverhalt qualitativ richtig wiedergeben.
Die ökonomischen Grössen werden dabei als reelle Zahlen definiert, auch wenn
z.B. die produzierte Stückzahl nur natürliche Werte annehmen kann.
Der Grund liegt in der einfacheren mathematischen Behandlung, von Funktionen mit
stetigen x-Werten (vor allem später in der Differential- und Integralrechnung).
Quantitativ richtig = mengenmässig richtig
Qualitativ richtig: verhaltensmässig richtig, z.B. richtiges Steigungs- und
Krümmungsverhalten
Ernest Peter
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4.4.1 Kostenfunktion
Die Gesamtkostenfunktion K(x) liefert den Zusammenhang zwischen der produzierten Menge x
eines Guts in Mengeneinheiten ME (z.B. in Tausend Stück) und den anfallenden Kosten in
Geldeinheiten GE (z.B. in Tausend Fr).
Sie besteht aus den fixen Kosten Kf und einem von der produzierten Stückzahl x abhängigen
Teil Kv(x), den variablen Kosten.
K(x) = Kv(x) +Kf
(vergl. Abbildung 4.87 Seite 208)
Aus der „vernünftigen“ Annahme: Kf = K(0)
d.h. die Fixkosten sind die Gesamtkosten für eine Nullproduktion, folgt:
Mit Kv(x) = K(x)- Kf : Kv(0) =0
Lösen Sie die Übung 1 im Übungsblatt
Die Stückkostenfunktion k(x) oder durchschnittliche Kosten sind die Gesamtkosten pro Stück
(genauer pro ME):
k(x) = K(x)/x
Die variablen Stückkosten sind definiert als: kv(x) = Kv(x)/x
Die fixen Stückkosten als kf(x) = Kf/x
Frage: Kf ist konstant. Ist kf auch konstant oder ist es von x abhängig?
kf(x) verhält sich wie die Funktion f(x) = 1/x (vergl. Abb. 4.88 Seite 209)
Das heisst, je mehr ich produziere, desto kleiner werden die Fixkosten pro Stück.
Damit gilt: limx→∞ kf(x) = 0 und limx→0+ kf(x) = ∞
Lösen Sie die Aufgabe 27 Seite 231-32
Ernest Peter
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1
Konkrete Kostenmodelle/-funktionen
Lineare (oder proportionale) Gesamtkosten:
z.B. K(x) = 1,3x+96; x≥0
Für dieses Beispiel gilt: Kv(x) = 1,3x, Kf = 96, kv(x) = 1,3, kf=96/x
Für alle linearen Kostenfunktionen gilt: die variablen Gesamtkosten sind proportional und die
variablen Stückkosten konstant.
Da kf(x) = 96/x sich für x→∞ Null nähert, so nähert sich k(x) = kv + kf(x) für x→∞ der konstanten
Funktion f(x) = kv (vergl. Abb. 4.90 Seite 210)
d.h. die Stückkosten sind für grosse Stückzahlen praktisch konstant
Progressiv wachsende Gesamtkosten: (über-proportional wachsend)
d.h. K(x) ist monoton wachsend und konvex (vergl. Abb. 4.91 Seite 210)
z.B. K(x) = 0,2x2+50 ; x≥0 (vergl. Abb. 4.91 Seite 210)
Für dieses Beispiel gilt: Kv(x) = 0,2x2, Kf = 50 , kv(x) = 0,2x, kf=50/x
D.h. die variablen Stückkosten sind hier linear (vergl. Abb. 4.92 Seite 210)
Und weil kf(x) wieder gegen Null geht:
Die Stückkosten sind hier für grosse Stückzahlen praktisch linear
Allgemein: die Stückkosten steigen mit steigenden Stückzahlen an
D.h. progressiv wachsende Gesamtkosten sind für grosse Stückzahlen ungünstig.
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Konkrete Kostenmodelle/-funktionen 2
Regressiv wachsende Gesamtkosten: (unter-proportional wachsend)
d.h. K(x) ist monoton wachsend und konkav (vergl. Abb. 4.93 Seite 211)
z.B. K(x) = x0,8+72 ; x≥0 (vergl. Abb. 4.93 Seite 211)
Berechnen Sie für dieses Beispiel Kf, Kv, kf und kv.
Allgemein: die Stückkosten fallen mit steigenden Stückzahlen und werden für grosse x beliebig
klein
Ertragsgesetzliche Funktion:
K(x) ist monoton steigend: zuerst konkav, dann konvex (vergl. Abb. 4.95 Seite 211)
z.B. K(x) = 0,9x3 -11x2 +52x +100 ; x≥0
Eine genaue Analyse wird erst später mit den Mitteln der Differentialrechnung möglich sein.
Unstetige Kostenfunktionen:
Sie entstehen z.B. durch Hinzuschalten zusätzlicher Produktionslinien, falls die
Produktionskapazität nicht mehr ausreicht (vergl. Abb. 4.97 Seite 213).
Auch die Stückkostenfunktion weist dann in der Regel Sprünge auf (vergl. Abb. 4.98 p. 213)
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2
4.4.2 Angebotsfunktion
Annahme: wir haben bezüglich eines Guts eine vollkommene Konkurrenzsituation
d.h. es gibt eine grosse Zahl von Anbietern und Nachfragern
Und es gibt keine Preisabsprachen unter den Anbietern (keine Kartelle)
Die Angebotsfunktion p1(x): sieht den Markt aus Anbietersicht.
p ist der Preis des Guts in Abhängigkeit der angebotenen Menge x
Abb. 4.99 Seite 214 zeigt mit p1(x) eine typische Angebotsfunktion.
Um sie zu verstehen, müssen wir statt p1 in Abb. 4.99 die Umkehrfunktion x1(p)
betrachten, d.h. die produzierte Stückzahl x in Abhängigkeit des Marktpreises p.
Als Faustregel gilt: je höher der Marktpreis p, desto grösser die vom Anbieter
angebotene Stückzahl.
Dies unter der Annahme, dass die produzierte Stückzahl auch wirklich verkauft
werden kann.
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4.4.2 Nachfragefunktion oder Preis-Absatz-Funktion
Dem Verhalten des Anbieters steht ein ganz anderes Verhalten des Nachfragers
gegenüber.
Die Nachfragefunktion oder Preis-Absatz-Funktion p2(x): sieht den Markt bei
vollkommener Konkurrenzsituation aus Nachfragersicht
p ist der Preis des Guts in Abhängigkeit der gekauften Menge x
Um sie zu verstehen, betrachten wir in Abb. 4.99 wiederum die Umkehrfunktion
x2(p), d.h. die gekaufte Menge x in Abhängigkeit des Marktpreises p.
Je tiefer der Marktpreis, desto mehr wird gekauft.
Der Schnittpunkt der zwei sich widersprechenden Angebots- bzw.
Nachfragefunktion bestimmt den tatsächlichen Preis: den Konkurrenzpreis oder
Gleichgewichtspreis (vergl. Abb. 4.99).
In ihm stimmen Angebot und Nachfrage überein und dort wird sich bei
vollkommener Konkurrenz der Marktpreis einpendeln.
Lösen Sie die Übung 2 im Übungsblatt
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3
Erlös-/Umsatzfunktion und Gewinnfunktion
Die Umsatz- oder Erlösfunktion E(x) gibt den Umsatz (eines Anbieters an als Funktion der
umgesetzten Gütermenge x (E in Geldeinheiten GE, x in Mengeneinheiten ME)
E(x) = x⋅p(x)
wobei p(x) die Preis-Absatz-Funktion ist.
d.h. man nimmt die Preis-Absatz-Funktion, nicht die Angebotsfunktion.
Oder E(p) = x(p)⋅p
falls die Umkehrfunktion x(p) gegeben ist.
Lesen Sie die Beispiele 1-3 Seite 214-15
Die Gewinnfunktion G(x) ist definiert als Umsatz – Kosten, d.h.
G(x) = E(x)-K(x) = x⋅p(x) –K(x)
Die Gewinnzone ist derjenige Bereich, wo G(x)>0 (vergl. Abb. 4.102 Seite 216)
Die Nullstellen heissen Gewinnschwellen.
Lesen Sie die Beispiele 1 und 2 Seite 215-16
Die Stückgewinnfunktion g(x) ist definiert als:
g(x) = G(x)/x = p(x)-k(x) (Preis minus Stückkosten)
Der Deckungsbeitrag D(X) ist definiert als D(x) = E(x)-Kv(x) = G(x)+Kf
d.h. man subtrahiert vom Erlös nur die variablen Kosten.
Oder anders gesagt: der Deckungsbeitrag muss mindestens die Fixkosten decken
Lösen Sie die Übung 3 im Übungsblatt
Der Deckungsbeitrag pro Stück d(x) ist definiert als d(x)=D(x)/x = p(x)-kv(x)
Lesen Sie das Beispiel Seite 217 unten
Lösen Sie die Aufgabe 28 Seite 232
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4.4.3 Produktlebenszyklen, Investitionen, Logistische Funktionen
Der Produktelebenszyklus U(t) beschreibt den mengenmässigen Umsatz eines Produktes in
Abhängigkeit (im Verlauf) der Zeit.
Abb. 4.104 Seite 218 zeigt einen typischen Produktelebenszyklus
Lösen Sie die Übung 4 im Übungsblatt
Die Investitionsfunktion I(p) zeigt die Investitionsfreudigkeit einer Volkswirtschaft, einer Branche
oder eines Unternehmens in Abhängigkeit des Zinssatzes p
Abb. 4.105 Seite 218 zeigt einen typischen Verlauf.
Je höher der Zinssatz, desto tiefer die Investitionslust.
Eine Logistische Funktion B(t) gibt den Bestand (die Durchdringung) eines Konsumguts in
Abhängigkeit (im Verlauf) der Zeit t wieder.
Und zwar für Bestände, welche durch eine Sättigungs-Grenze definiert sind (vergl. Abb. 4.106
Seite 219), z.B. die Anzahl Computer pro Haushalt.
a
Solche Funktionen haben die Form: B(t ) =
1 + b ⋅ e −αt
Und der limt→∞B(t) = a ist die Sättigungs-Grenze.
D.h. der Funktionsgraph nähert sich im Verlauf der Zeit immer mehr der Sättigung.
Lösen Sie die Aufgabe 29 Seite 232
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Textaufgaben
Textaufgaben sind die Anwendung des gelernten Stoffs an wirklichkeitsnahe
Situationen.
Um sie zu lösen zu können müssen Sie:
• Die Theorie verstehen
• Die Rechenregeln üben
Verwenden Sie einen Lösungsplan (vergl. Block2):
1. Um welches Thema handelt es sich bei der Aufgabe
2. Welche Funktion oder welcher Wert ist gesucht?
3. Welche Variablen und Funktionen sind gegeben
4. Welche Zusammenhänge bestehen zwischen den gegebenen
Variablen/Funktionen und den gesuchten?
-> Aufstellen von Gleichung(en) und Formeln
5. Auflösen der Gleichung nach der gesuchten Variablen/Funktion mit Hilfe der in
der Theorie gelernten und in den Übungen angewendeten algebraischen
Rechenregeln.
Üben wir das am Beispiel der Kurztest-Aufgaben
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Aufgaben
Lesen Sie das Skript bis zur nächsten Präsenz nochmals durch.
Lösen Sie die darin angegebenen Übungen aus dem Buch und aus dem
Übungsblatt fertig.
Lesen Sie Purkert Kap. 4.4
Machen Sie den Kurztest
Lösen Sie die prüfungsnahem Aufgaben
Bei Problemen Mail an [email protected] oder [email protected]
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5
Ziele
•
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•
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Die Studierenden kennen die wichtigsten ökonomischen Funktionen:
Kostenfunktion, Angebot- und Nachfragefunktion, Ertragsfunktion,
Gewinnfunktion sowie Stückgewinnfunktion und Deckungsbeitrag.
Sie können die Gewinnzone bestimmen.
Sie kennen die Umsatzkurve eines typischen Produktelebenszyklusses.
Sie kennen Investitionsfunktion und Logistikfunktion.
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