Mengenlehre Spezielle Mengen

Mengenlehre
Die Mengenlehre ist wie die Logik eine sehr wichtige mathematische Grundlage der
Informatik und ist wie wir sehen werden auch eng verbunden mit dieser.
Eine Menge ist eine Zusammenfassung von Objekten, so genannten Elementen.
z.B. die Menge S = {Eier, Milch, Sahne} mit 3 Elementen.
Die Reihenfolge der Elemente in der geschweiften Klammer spielt keine Rolle
{1,2,3} = {1,3,2}
Mengen werden mit Grossbuchstaben bezeichnet, Elemente mit Kleinbuchstaben
a ∈S (gesprochen „a Element S“) bedeutet, dass das Element a zur Menge S
gehört
a ∉S (gesprochen „a nicht Element S“) bedeutet, dass a nicht zur Menge S gehört
Enthält eine Menge sehr viele oder sogar unendlich viel Elemente, so kann man
diese nicht mehr einzeln aufzählen und verwendet Prädikate
S = {x: P(x)}
S ist die Menge aller Elemente x für die P(x) wahr ist
z.B. S = {x: x ist eine ungerade natürliche Zahl}
Oder was dasselbe ist: S = {2n-1: n ist eine natürliche Zahl}
Lesen Sie Beispiel 3.1 p. 46
Lösen Sie die Aufgabe 3.1 p. 58
Ernest Peter
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Spezielle Mengen
∅ oder { }:
N = {1,2,3,…}
die leere Menge welche kein Element enthält.
die natürliche Zahlen (bei den Informatikern häufig ohne Null,
bei den Mathematikern mit Null)
Z = {0, ±1, ±2, …} die ganzen Zahlen
Q = {p/q: p,q ganze Zahlen, q≠0}
die rationalen Zahlen
R = {alle Dezimalzahlen}
die reellen Zahlen
Beim Programmieren entspricht die Zuordnung eines Datentyps, z.B. integer oder
float der Zuordnung zu einer Menge
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Operationen auf Mengen
Operationen auf Mengen werden bildlich in so genannten Venn-Diagrammen
dargestellt (vergl. Abb. 3.1 p. 47)
Die wichtigsten Operationen sind:
Eine Menge A heisst eine Teilmenge einer Menge S (A ⊆ S), wenn jedes Element
von A auch Element von S ist (vergl. Abb. 3.1)
Definition mit Prädikaten: A ⊆ S = {x: x∈A ⇒ x∈S}
Zwei Mengen A und B sind gleich (A = B) , wenn jede eine Teilmenge der andern
ist:
A = B falls A ⊆ B und B ⊆ A
Um zu beweisen, dass zwei Mengen gleich sind, müssen wir also von jeden
Element der ersten Menge zeigen, dass es auch Element der zweiten ist und
umgekehrt.
Lesen Sie das Beispiel 3.2 p. 48
Die Vereinigung zweier Mengen A und B (A ∪ B) ist die Menge aller Elemente,
welche entweder in A oder in B oder in beiden enthalten sind (vergl. Abb. 3.2 p.
48)
A ∪ B = {x: x∈A oder x∈B}
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Weitere Operationen auf Mengen
Die Schnittmenge (oder Durchschnitt) zweier Mengen A und B (A ∩ B) ist die Menge
aller Elemente, welche sowohl in A als auch in B enthalten sind (vergl. Abb. 3.3 p.
49)
A ∩ B = {x: x∈A und x∈B}
Das Komplement (Ergänzung) einer Menge B bezüglich einer Menge A (A – B) ist die
Menge aller Elemente, welche in A sind aber nicht in B (vergl. Abb. 3.4 p. 49)
A - B = {x: x∈A und x∉B}
Blasen wir A solange auf, bis es das ganze Rechteck im Venn-Diagramm abdeckt, so
spricht man vom Komplement bezüglich der Grundmenge (oder Universalmenge)
oder kurz vom Komplement einer Menge B (~B) (vergl. Abb. 3.5 p. 50)
~B = {x: nicht (x∈B)} oder was dasselbe ist: ~B = {x: x∉B}
Die symmetrische Differenz zweier Mengen A und B (A ∆ B) ist die Menge aller
Elemente, welche in A aber nicht in B sind oder umgekehrt (vergl. Abb. 3.6 p. 50)
A ∆ B = {x: (x∈A und x∉B) oder (x∈B und x∉A)}
Lesen Sie die Beispiele 3.3-3.4 p. 50-51
Lösen Sie die Aufgabe 3.2 -3.6 p. 59-60
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3.2 Mengenalgebra
Mengen bilden zusammen mit den Operatoren ⊆,∪,∩,- und ~ eine Algebra. D.h. es
gelten Rechenregeln ähnlich wie für die reellen Zahlen mit den Operatoren
Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division.
Der Beweis, dass zwei mengen-algebraische Ausdrücke gleich sind, erfolgt über
die Gleichheit der Prädikate.
Dabei gibt es laut den Definitionen zu jedem Mengenoperator einen
entsprechenden logischen Operator:
Mengenoperator
Logischer Operator
~ Komplement
nicht
∪ Vereinigung
oder
∩ Schnitt
und
⊆ Teilmenge
⇒
Lesen Sie das Beispiel 3.5 p. 52
Die Gleichheit der Prädikate wird mittels Wahrheitstafeln bewiesen, wie wir in
Kapitel 2 gelernt haben.
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Die Gesetze der Mengenalgebra
Die Gesetze der Mengenalgebra sind in der Tabelle auf Seite 53 aufgeführt.
Gleich wie bei den Zahlen und den vier Grundoperationen kennt man Assoziativ-,
und Kommutativitätsgesetze sowie ein Distributivgesetz.
Assoziativgesetz: es kommt nicht auf die Reihenfolge an, in der ein Ausdruck
abgearbeitet wird: a+(b+c) = (a+b)+c;
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
bzw. A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
Kommutativitätsgesetz: es kommt nicht darauf an, in welcher Reihenfolge die
Mengen angeordnet sind: a+b = b+a; A ∪ B = B ∪ A bzw. A ∩ B = B ∩ A
Distributivitätsgesetz: es kann ausmultipliziert werden: a(b+c) = ab + ac
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
bzw. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
Dazu kommen:
Identitätsgesetze, Idempotenzgesetze, Komplementärgesetze und die de
Morganschen Gesetze.
Mit diesen Gesetzen der Mengealgebra können weitere Gleichheiten von
algebraischen Mengenausrücken bewiesen werden.
Lesen Sie dazu das Beispiel 3.6 p. 53-54
Lösen Sie die Aufgaben 3.7 – 3.8 p. 60-61
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3.3 Mächtigkeit
Die Mächtigkeit |S| einer Menge S ist die Anzahl ihrer Elemente.
Bsp.: sei A = {2,4,6} dann gilt |A| = 3
Prinzip der Inklusion-Exklusion (Einschliessen/Ausschliessen):
|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|
Beweis: wie man in Abb. 3.7 p. 55 sieht, wurden die Elemente von A∩B sowohl in
A wie auch in B gezählt, also doppelt, also muss ihre Anzahl von der Summe
der Anzahl Elemente von A und B (|A| + |B|) weggezählt werden.
Lesen Sie das Beispiel 3.7 p. 55
Lösen Sie die Aufgaben 3.9 p. 61
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Kartesisches Produkt
Bei den Elementen einer Menge spielt die Reihenfolge keine Rolle. In der
Informatik verwendet man aber häufig Listen, wo die Reihenfolge der
Listenelemente eine Rolle spielt.
Um Listen mittels Mengen darzustellen, gehen wir den etwas komplizierten Weg
über das kartesische Produkt.
Das kartesische Produkt von zwei Mengen AxB ist die Menge aller geordneten
Paare (a,b) mit a∈A und b∈B
Lesen Sie das Beispiel 3.8 p. 56
Bei endlichen Mengen A und B gilt für die Kardinalität :
|AxB| = |A|•|B|
Ein kartesisches Produkt zweier endlichen Menge lässt sich als Tabelle darstellen
(vergl. Abb. 3.8 p. 57)
Das kartesische Produkt RxR der reellen Zahlen mit sich selber lässt sich in einem
zweidimensionalen Koordinatensystem darstellen (vergl. Abb. 3.9 p. 57), dem
kartesischen Koordinatensystem.
Lösen Sie die Aufgaben 3.10-3.12 p. 61-62
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Listen, charakteristischer Vektor
Das kartesische Produkt von n Mengen A1, A2, …, An ist die Menge aller
geordneten n-Tuppel oder eben Listen bestehend aus je einem Element der n
Mengen. Es kommt auf die Reihenfolge an, d.h. A1xA2x..xAn ist nicht dasselbe
wie Anx…A2xA1
Sind die n Mengen alle gleich, so schreibt man für das kartesische Produkt An.
Lesen Sie das Bsp. 3.9 p. 58
Eine Bitkette ist eine Liste von Nullen und Einsen
Sei S = {s1, s2, …,sn} eine Menge und A⊆S
Dann heisst die Bitkette (b1, b2, …, bn) mit bi=1 wenn si∈A und sonst 0
der charakteristische Vektor von A bezüglich S.
Lesen Sie das Beispiel 3.10 p. 58
Lösen Sie die Aufgaben 3.13 p. 62
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3.5 Anwendung Wissensbasierte Systeme
Wissensbasierte Systeme sind eine Anwendung aus der Logik
Ein Wissensbasiertes System besteht aus:
1. Einer Wissensbasis (Menge von Fakten)
2. Inferenzregeln (Folgerungsregeln) für das Ableiten neuer Fakten aus
bestehenden
Beispiel: ein Wissensbasiertes System welches über die königliche Familie von
Grossbritannien Auskunft geben kann mit den Fakten auf p. 64 und den 2
Inferenzregeln:
1. weiblich(x) aus Gattin(x,y), d.h. ist x eine Gattin von y so schliessen wir, dass x
weiblich ist
2. Gatte(y,x) aus Gattin(x,y), d.h. ist x Gattin von y so schliessen wir, dass y Gatte
ist von x
Elternteil(x,y) bedeutet: „x ist Elternteil von y“ (also Mutter oder Vater)
Gattin(x,y) bedeutet: „x ist Gattin von y
Prolog ist eine Programmiersprache für Wissensbasierte Systeme.
Lösen Sie Aufgabe 1 (nur Fakten) und 2 (Fakten und Inferenzregeln) p. 65-66
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Probleme bei unvollständigen Wissensbasen
Eine verneinende Antwort auf eine Frage, z.B. ?- männlich(Eduard 8) bedeutet
nicht, dass Eduard 8 nicht männlich ist ist, sondern dass wir es nicht wissen.
Bei der Verwendung von Negationen in Inferenzregeln ist deshalb Vorsicht
geboten.
Die Inferenzregeln p. 67:
• männlich(x) aus Gattin(y.x)
• weiblich(x) aus (nicht männlich(x))
Führt nämlich zur falschen Folgerung: weiblich(Eduard 8)
Negationsregeln dürfen deshalb nur in Wissensbasen mit vollständiger Faktenliste
verwendet werden
Lösen Sie Aufgabe 4 p. 68
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Aufgaben bis zur nächsten Präsenz
Lesen Sie das Skript nochmals durch.
Lösen Sie die darin angegebenen Übungen aus dem Buch und aus dem Übungsblatt fertig.
Lesen Sie Haggarty Kap. 3
Markieren Sie im Taschenbuch der Mathematik die behandelten Formeln mit Leuchtstift: Seiten
300-303.
Der charakteristische Vektor ist nicht aufgeführt
Bei Problemen Mail an [email protected] oder [email protected]
Ziele
•
•
•
•
•
Die Studierenden kennen die Begriffe Menge, Element, leere Menge und Teilmenge.
Sie kennen die folgenden Operatoren zwischen zwei Mengen: Vereinigung, Schnittmenge,
Komplement bezüglich einer Menge, Komplement (bezüglich der Grundmenge,
Symmetrische Differenz. Sie können diese Operationen als Venn-Diagramm darstellen
Sie kennen die Gesetzt der Mengenalgebra und können sie anwenden, um die Gleichheit
von algebraischen Mengenausdrücken zu beweisen
Sie kennen den Begriff der Mächtigkeit und das Gesetz der Inklusion-Exklusion
Sie können das karthesische Produkt von Mengen bilden und sie können den
charakteristischen Vektor einer Menge bezüglich einer Obermenge angeben.
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