Regelheftseite - Pythagoras

Mathematik – Planimetrie – Pythagoras – Sellmer
Der Satz des Pythagoras
Einer der wichtigsten Sätze, die du dir in der Mathematik merken musst ist der Satz des Pythagoras. Er
besagt, dass die Summe der Flächeninhalte der Kathetenquadrate (von a und b) gleich der Summe des
Flächeninhaltes des Hypotenusenquadrates (von c) ist.
a² + b² = c²
c²
a²
b²
Für diesen Satz gibt es ca. 230 verschiedene Beweise. Die wichtigste Aussage bleibt jedoch bei einigen
Schülerinnen und Schülern leider nicht hängen. Dabei besagt dieser Satz „nur“ Folgendes:
1: In einem rechtwinkligen Dreieck genügen mir 2 Seiten und ich kann die fehlende Seite ausrechnen.
2: Unsere Welt besteht aus sehr vielen rechten Winkeln. Ich kann alle überprüfen ohne Winkelmesser.
Natürlich wirst du jetzt denken „Ich sehe nicht viele rechtwinklige Dreiecke in meiner Umwelt. Wozu das
alles?“ In den Übungsaufgaben wirst du sehen, dass du auch Rechtecke und Quadrate, ja sogar Kreise mit
dem Satz des Pythagoras berechnen kannst, indem du ein rechtwinkliges Dreieck einzeichnest.
Begriffe
Die Dreiecksbezeichnungen (Winkel, Eckpunkte, Seiten, usw.) sind natürlich gleich. Neu dazu kommen die
Begriffe Kathete und Hypotenuse. Diese Begriffe gibt es nur in einem rechtwinkligen Dreieck. Die
Hypotenuse ist immer die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck und die Katheten sind die beiden anderen,
kürzeren Seiten, die am rechten Winkel liegen. Im Hinblick auf die Winkelbeziehungen solltest du dir auch
ruhig schon einmal die Begriffe „Ankathete“ und „Gegenkathete“ merken. Von diesen Katheten spricht man
um die Lage von Katheten von einem bestimmten Winkel aus zu kennzeichnen: Die Ankathete ist die
Kathete, die am Winkel anliegt und die Gegenkathete ist die Kathete, die dem Winkel gegenüberliegt.
Formelumstellung
a² = c² – b²
a = √ (c² – b²)
b² = c² – a²
b = √ (c² – a²)
c² = a² + b²
c = √ (a² + b²)
Ferner gilt in einem rechtwinkligen, gleichschenkligen Dreieck:
c=a
•
√2
bzw.
a=c/√2