1 Ableitungen 2 Anwendungen

Stephan Peter
Wirtschaftsingenieurwesen SS 2016
Mathematik II
Serie 4
Ableiten von Funktionen
1 Ableitungen
Aufgabe 1
Berechnen Sie die erste Ableitung der folgenden Funktionen:
√
√
a∗ ) f (x) = (2x2 + 4x)(3x3 − 2x2 + 3) b∗ ) f (x) = ( a − x )2
√
√
2 sin x + cos x
d∗ ) f (x) = 3 x · e x
e∗ ) f (x) =
x2
q
g∗ ) f (x) = ln sin(4x + 3)
j∗ ) f (x) = ln
(2x − 1)(x + 3)(x − 4)
(x + 1)(4 − 3x)
m∗ ) f (x) = |x|
x ln x
p∗ ) f (x) =
1+x
√
√
∗
s ) f (x) = e x · 4 2x + 1
x ln x
v∗ ) f (x) = 2
1+x
h∗ ) f (x) =
(x2 + 4x)3
k∗ ) f (x) = x2x
n∗ ) f (x) = |x2 − 3x − 4|
ex − 2 ln x
q∗ ) f (x) =
cos x
∗
t ) f (x) = |x| + 2x
ex − 2 ln x
w∗ ) f (x) =
cos x
c∗ ) f (x) = ln(ln x)
f∗ ) f (x) = sin ln x
i∗ ) f (x) = arctan x2
l∗ ) f (x) = (2x)sin x
√
4
o∗ ) f (x) = x3 · x3
r∗ ) f (x) = arctan(−2x2 )
√
4
u∗ ) f (x) = x3 · x3
√
√
x∗ ) f (x) = e x · 4 2x + 1
Aufgabe 2
Berechnen Sie folgende Ableitungen:
dS
ln T 2 + U 2
b )
, wobei S =
dU
TU
p
dG
a )
, wobei G = l 7s2 − l2
dl
∗
∗
2 Anwendungen
Aufgabe 3
Geben Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion f (x) = 2x2 − 6x + 7
im Punkt (1, 3) an! Wie groß sind Funktionswert und Steigung von f an der Stelle
x0 = 1?
Aufgabe 4
An welcher Stelle haben die Graphen von f (x) = x2 + x und g(x) = ln(x2 + 1) parallele
Tangenten? Geben Sie die Gleichungen der Tangenten an!
Aufgabe 5
Welche quadratische Funktion f (x) = ax2 + bx + c enthält den Punkt P = (−1, 1), hat
in P den Anstieg 0 und besitzt an der Stelle x1 = 2 den Anstieg 36?
Aufgabe 6
Wo hat der Graph der Funktion f (x) = x3 − 3x2 − 5x + 5 im Intervall [0, 3] den steilsten
Anstieg?
Aufgabe 7
Man bestimme den Winkel ϕ, unter dem sich die Graphen der Funktionen y = x2 und
√
y = x schneiden!
1
Lösungen
3
2
2
2
1 a) f 0 (x) = (4x
q+ 4)(3x − 2x + 3) + (2x + 4x)(9x√ − 4x)
1
1
0 (x) = e x ·
√
c) f 0 (x) = x·ln
b) f 0 (x) = 1 − xa
d)
f
3
x
f 0 (x)
e)
=
h) f 0 (x) =
k) f 0 (x) =
+
1
√
6
2 x
3 x2
(2 cos x−sin x)x−4 sin x−2 cos x
cos(ln x)
0
0
f) f (x) =
g) f (x) = 4 cot(4x + 3)
x
x3
√
2x
2
1
1
3
1
0 (x) =
3 x2 + 4x (x+2) i) f 0 (x) = 1+x
j)
f
4
2x−1 + x+3 + x−4 − x+1 + 4−3x
sin x (cos x · ln(2x) + sin x )
x(2x · 2(ln x + 1) l) f 0 (x) = (2x)(
x
: x < −1, x > 4
:
−1 < x < 4
11
4x
ln x + 1 + x
4
o) f 0 (x) = 15
q) f 0 (x) = −
p) f 0 (x) =
4 x
2
(1 + x)
1 + 4x4
!
√
2
x
x
(e − x ) cos x + (e − 2 ln x) sin x
1 √x 4 2x + 1
1
0
0
√
r) f (x) =
s) f (x) = e
+p
4
cos2 x
2
x
(2x + 1)3
(
3 : x>0
t) f 0 (x) =
1 : x<0
11
ln x + 1 + x
4
u) f 0 (x) = 15
v) f 0 (x) = 2
4 x
(1 + x)2
√
2
x
x
√
4
(e − x ) cos x + (e − 2 ln x) sin x
2x+1
1
1
0
x
0
√
w) f (x) =
+ √
x) f (x) = 2 e
4
x
(2x+1)3
cos2 x
m) f 0 (x) =
: x>0
: x<0
1
−1
7s2 − 2l2
2 a) √
7s2 − l2
b)
2x − 3
−2x + 3
n) f 0 (x) =
2U 2 − ln(T 2 + U 2 )(T 2 + U 2 )
(T 2 + U 2 )T U 2
3 fT (x) = −2x + 5
4 parallele Tangenten bei x = −1: fT (x) = −x − 1 und gT (x) = −x + ln 2 − 1
5 f (x) = 6x2 + 12x + 7
6 x0 = 1
7 ϕ = 36, 9◦ und ϕ = 90◦
11. Mai 2016, 16:46 Uhr
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