Primzahlen - Mathematisches Institut der Universität Bonn

Primzahlen
Dr. Michael
Welter
Was wissen
wir über
Primzahlen?
Das Sieb des
Eratosthenes
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
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Primzahlen
Dr. Michael Welter
Primzahlen
Dr. Michael Welter
Mathematisches Institut
Universität Bonn
http://www.math.uni-bonn.de/people/welter
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31. Mai 2007
Primzahlen
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Das Sieb des
Eratosthenes
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Das Sieb des Eratosthenes
Wieviele Primzahlen gibt es?
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Besondere
Primzahlen
Was wissen wir über Primzahlen?
Weitere Fragestellungen, die Primzahlen beinhalten
Besondere Primzahlen
Dr. Michael Welter
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Was ist eine Primzahl?
Primzahlen
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Was wissen
wir über
Primzahlen?
Definition
Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, die genau zwei Teiler (in
den natürlichen Zahlen) hat, nämlich 1 und sich selber.
Das Sieb des
Eratosthenes
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
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Was ist eine Primzahl?
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Primzahlen?
Das Sieb des
Eratosthenes
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
Definition
Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, die genau zwei Teiler (in
den natürlichen Zahlen) hat, nämlich 1 und sich selber.
Natürliche Zahlen ungleich 1, die keine Primzahlen sind, heißen
zusammengesetzt.
Weitere Fragestellungen,
die
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beinhalten
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Was ist eine Primzahl?
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Das Sieb des
Eratosthenes
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
Definition
Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, die genau zwei Teiler (in
den natürlichen Zahlen) hat, nämlich 1 und sich selber.
Natürliche Zahlen ungleich 1, die keine Primzahlen sind, heißen
zusammengesetzt.
Beispiele
I
2, 3, 5, 7, 11, 13, . . . , 232582657 − 1, . . . sind Primzahlen.
Besondere
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Was ist eine Primzahl?
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Das Sieb des
Eratosthenes
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
Besondere
Primzahlen
Definition
Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, die genau zwei Teiler (in
den natürlichen Zahlen) hat, nämlich 1 und sich selber.
Natürliche Zahlen ungleich 1, die keine Primzahlen sind, heißen
zusammengesetzt.
Beispiele
I
2, 3, 5, 7, 11, 13, . . . , 232582657 − 1, . . . sind Primzahlen.
I
4 = 2 · 2, 6 = 2 · 3, 8 = 23 , 134 = 2 · 67 sind
zusammengesetzt.
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Worin liegt die Bedeutung der Primzahlen?
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Das Sieb des
Eratosthenes
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie
Jede von Eins verschiedene natürliche Zahl läßt sich als
Produkt endlich vieler Primzahlen darstellen. Diese Darstellung
ist eindeutig, wenn man die Primzahlen der Größe nach ordnet.
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
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Worin liegt die Bedeutung der Primzahlen?
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Eratosthenes
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie
Jede von Eins verschiedene natürliche Zahl läßt sich als
Produkt endlich vieler Primzahlen darstellen. Diese Darstellung
ist eindeutig, wenn man die Primzahlen der Größe nach ordnet.
Die Primzahlen sind also die Bausteine der natürlichen Zahlen.
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Das Sieb des Eratosthenes
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Hierbei handelt es sich umfolgenden Algorithmus:
I
Schreibe alle natürlichen Zahlen von 2 bis N auf.
Das Sieb des
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Wieviele
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gibt es?
Weitere Fragestellungen,
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Primzahlen
beinhalten
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Das Sieb des Eratosthenes
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Primzahlen?
Das Sieb des
Eratosthenes
Hierbei handelt es sich umfolgenden Algorithmus:
I
Schreibe alle natürlichen Zahlen von 2 bis N auf.
I
Setze die Siebzahl p auf 2.
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
Weitere Fragestellungen,
die
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Das Sieb des Eratosthenes
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Primzahlen?
Das Sieb des
Eratosthenes
Hierbei handelt es sich umfolgenden Algorithmus:
I
Schreibe alle natürlichen Zahlen von 2 bis N auf.
I
Setze die Siebzahl p auf 2.
Solange p 2 ≤ N gilt:
I
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
I
Streiche jede p-te Zahl. (p selber aber nicht.)
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
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Das Sieb des Eratosthenes
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Was wissen
wir über
Primzahlen?
Das Sieb des
Eratosthenes
Hierbei handelt es sich umfolgenden Algorithmus:
I
Schreibe alle natürlichen Zahlen von 2 bis N auf.
I
Setze die Siebzahl p auf 2.
Solange p 2 ≤ N gilt:
I
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
I
I
Streiche jede p-te Zahl. (p selber aber nicht.)
Setze p auf die nächste nicht gestrichene Zahl.
Weitere Fragestellungen,
die
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beinhalten
Besondere
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Das Sieb des Eratosthenes
Primzahlen
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Was wissen
wir über
Primzahlen?
Das Sieb des
Eratosthenes
Hierbei handelt es sich umfolgenden Algorithmus:
I
Schreibe alle natürlichen Zahlen von 2 bis N auf.
I
Setze die Siebzahl p auf 2.
Solange p 2 ≤ N gilt:
I
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
I
I
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
Besondere
Primzahlen
Streiche jede p-te Zahl. (p selber aber nicht.)
Setze p auf die nächste nicht gestrichene Zahl.
Hier stellt sich ein Mathematiker die Frage:
Warum ist dieser Algorithmus korrekt?
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Der Satz von Euklid
Primzahlen
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Was wissen
wir über
Primzahlen?
Satz (Euklid)
Das Sieb des
Eratosthenes
Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
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Der Satz von Euklid
Primzahlen
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wir über
Primzahlen?
Satz (Euklid)
Das Sieb des
Eratosthenes
Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
Hier stellt sich ein Mathematiker die Frage:
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
Wie beweist man diese Aussage?
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Beweis des Satzes von Euklid
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I
Was wissen
wir über
Primzahlen?
Das Sieb des
Eratosthenes
Wir nehmen an, dass es der Satz nicht wahr ist und wollen
aus dieser Annahme einen Widerspruch herleiten. Dieses
Vorgehen nennt man Beweis durch Widerspruch.
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
Besondere
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Beweis des Satzes von Euklid
Primzahlen
Dr. Michael
Welter
I
Wir nehmen an, dass es der Satz nicht wahr ist und wollen
aus dieser Annahme einen Widerspruch herleiten. Dieses
Vorgehen nennt man Beweis durch Widerspruch.
I
Mit P sei die größte Primzahl bezeichnet.
Was wissen
wir über
Primzahlen?
Das Sieb des
Eratosthenes
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
Besondere
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Beweis des Satzes von Euklid
Primzahlen
Dr. Michael
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I
Wir nehmen an, dass es der Satz nicht wahr ist und wollen
aus dieser Annahme einen Widerspruch herleiten. Dieses
Vorgehen nennt man Beweis durch Widerspruch.
I
Mit P sei die größte Primzahl bezeichnet.
I
Wir setzen Q := 2 · 3 · 5 · . . . · P + 1.
Was wissen
wir über
Primzahlen?
Das Sieb des
Eratosthenes
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
Weitere Fragestellungen,
die
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beinhalten
Besondere
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Beweis des Satzes von Euklid
Primzahlen
Dr. Michael
Welter
I
Wir nehmen an, dass es der Satz nicht wahr ist und wollen
aus dieser Annahme einen Widerspruch herleiten. Dieses
Vorgehen nennt man Beweis durch Widerspruch.
I
Mit P sei die größte Primzahl bezeichnet.
I
Wir setzen Q := 2 · 3 · 5 · . . . · P + 1.
I
Nach dem Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie lässt
sich Q als Produkt von Primzahlen schreiben.
Was wissen
wir über
Primzahlen?
Das Sieb des
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Wieviele
Primzahlen
gibt es?
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
Besondere
Primzahlen
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Beweis des Satzes von Euklid
Primzahlen
Dr. Michael
Welter
I
Wir nehmen an, dass es der Satz nicht wahr ist und wollen
aus dieser Annahme einen Widerspruch herleiten. Dieses
Vorgehen nennt man Beweis durch Widerspruch.
I
Mit P sei die größte Primzahl bezeichnet.
I
Wir setzen Q := 2 · 3 · 5 · . . . · P + 1.
I
Nach dem Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie lässt
sich Q als Produkt von Primzahlen schreiben.
I
Würde aber eine Primzahl p ∈ {2, 3, 5, . . . , P} die Zahl Q
teilen, so würde p auch 1 teilen, was nicht möglich ist.
Was wissen
wir über
Primzahlen?
Das Sieb des
Eratosthenes
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
Besondere
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Der Satz von Euklid
Primzahlen
Dr. Michael
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Was wissen
wir über
Primzahlen?
Satz (Euklid)
Das Sieb des
Eratosthenes
Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
Besondere
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Der Satz von Euklid
Primzahlen
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wir über
Primzahlen?
Satz (Euklid)
Das Sieb des
Eratosthenes
Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
Außerdem würde ein Mathematiker gerne wissen:
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
Kann man unendlich “genauer quantifizieren?
”
Besondere
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Die Primzahlanzahlfunktion π(x)
Primzahlen
Dr. Michael
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Was wissen
wir über
Primzahlen?
Wir bezeichnen mit π(x) die Anzahl der Primzahlen, die kleiner
oder gleich x sind.
Das Sieb des
Eratosthenes
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
Weitere Fragestellungen,
die
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beinhalten
Besondere
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Die Primzahlanzahlfunktion π(x)
Primzahlen
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Was wissen
wir über
Primzahlen?
Das Sieb des
Eratosthenes
Wir bezeichnen mit π(x) die Anzahl der Primzahlen, die kleiner
oder gleich x sind.
Mittels des Siebs des Eratosthenes bestätigt man schnell:
I
π(10) = 4
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
Besondere
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Die Primzahlanzahlfunktion π(x)
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Was wissen
wir über
Primzahlen?
Das Sieb des
Eratosthenes
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
Wir bezeichnen mit π(x) die Anzahl der Primzahlen, die kleiner
oder gleich x sind.
Mittels des Siebs des Eratosthenes bestätigt man schnell:
I
π(10) = 4
I
π(20) = 8
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
Besondere
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Die Primzahlanzahlfunktion π(x)
Primzahlen
Dr. Michael
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Was wissen
wir über
Primzahlen?
Das Sieb des
Eratosthenes
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
Wir bezeichnen mit π(x) die Anzahl der Primzahlen, die kleiner
oder gleich x sind.
Mittels des Siebs des Eratosthenes bestätigt man schnell:
I
π(10) = 4
I
π(20) = 8
I
π(50) = 15
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
Besondere
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Die Primzahlanzahlfunktion π(x)
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wir über
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Das Sieb des
Eratosthenes
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
Wir bezeichnen mit π(x) die Anzahl der Primzahlen, die kleiner
oder gleich x sind.
Mittels des Siebs des Eratosthenes bestätigt man schnell:
I
π(10) = 4
I
π(20) = 8
I
π(50) = 15
I
π(100) = 25
Besondere
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Die Primzahlanzahlfunktion π(x)
Primzahlen
Dr. Michael
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Was wissen
wir über
Primzahlen?
Das Sieb des
Eratosthenes
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
Wir bezeichnen mit π(x) die Anzahl der Primzahlen, die kleiner
oder gleich x sind.
Mittels des Siebs des Eratosthenes bestätigt man schnell:
I
π(10) = 4
I
π(20) = 8
I
π(50) = 15
I
π(100) = 25
I
π(250) = 53
Besondere
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Die Primzahlanzahlfunktion π(x)
Primzahlen
Dr. Michael
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Was wissen
wir über
Primzahlen?
Das Sieb des
Eratosthenes
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
Besondere
Primzahlen
Wir bezeichnen mit π(x) die Anzahl der Primzahlen, die kleiner
oder gleich x sind.
Mittels des Siebs des Eratosthenes bestätigt man schnell:
I
π(10) = 4
I
π(20) = 8
I
π(50) = 15
I
π(100) = 25
I
π(250) = 53
I
π(1000) = 168
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Graph von π(x)
Primzahlen
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Graph von π(x)
Primzahlen
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gibt es?
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die
Primzahlen
beinhalten
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Das Sieb des Eratosthenes - revisited
Primzahlen
Dr. Michael
Welter
Was wissen
wir über
Primzahlen?
Wir wollen nun überlegen, welche Größenordnung π(N) für
große N hat.
Das Sieb des
Eratosthenes
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
Besondere
Primzahlen
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Primzahlen
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Das Sieb des Eratosthenes - revisited
Primzahlen
Dr. Michael
Welter
Was wissen
wir über
Primzahlen?
Wir wollen nun überlegen, welche Größenordnung π(N) für
große N hat. Bezeichnen wir mit A die Menge aller Zahlen n
mit 2 ≤ n ≤ N, die wir streichen, so gilt:
Das Sieb des
Eratosthenes
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
Besondere
Primzahlen
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Primzahlen
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Das Sieb des Eratosthenes - revisited
Primzahlen
Dr. Michael
Welter
Was wissen
wir über
Primzahlen?
Wir wollen nun überlegen, welche Größenordnung π(N) für
große N hat. Bezeichnen wir mit A die Menge aller Zahlen n
mit 2 ≤ n ≤ N, die wir streichen, so gilt:
Das Sieb des
Eratosthenes
π(N) = N − 1 − |A|.
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
Besondere
Primzahlen
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Primzahlen
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Das Sieb des Eratosthenes - revisited
Primzahlen
Dr. Michael
Welter
Was wissen
wir über
Primzahlen?
Wir wollen nun überlegen, welche Größenordnung π(N) für
große N hat. Bezeichnen wir mit A die Menge aller Zahlen n
mit 2 ≤ n ≤ N, die wir streichen, so gilt:
Das Sieb des
Eratosthenes
π(N) = N − 1 − |A|.
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
Frage:
Wieviele Zahlen 2 ≤ n ≤ N haben wir durchgestrichen?
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Seien p1 = 2, p2 = 3, . . . , pr −1 , pr die Primzahlen ≤
√
N.
Was wissen
wir über
Primzahlen?
Das Sieb des
Eratosthenes
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
Besondere
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Primzahlen
Dr. Michael
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Was wissen
wir über
Primzahlen?
Seien p1 = 2, p2 = 3, . . . , pr −1 , pr die Primzahlen ≤
N
N
N
+
+ ... +
|A| =
2
3
pr
√
N. Es ist
Das Sieb des
Eratosthenes
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
Besondere
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Das Sieb des Eratosthenes - revisited
Primzahlen
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Was wissen
wir über
Primzahlen?
Seien p1 = 2, p2 = 3, . . . , pr −1 , pr die Primzahlen ≤
√
N
N
N
+
+ ... +
− π( N)
|A| =
2
3
pr
√
N. Es ist
Das Sieb des
Eratosthenes
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
Besondere
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Das Sieb des Eratosthenes - revisited
Primzahlen
Dr. Michael
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Was wissen
wir über
Primzahlen?
Das Sieb des
Eratosthenes
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
Seien p1 = 2, p2 = 3, . . . , pr −1 , pr die Primzahlen ≤
√
N
N
N
+
+ ... +
− π( N)
|A| =
2
3
pr
N
N
N
−
−
− ... −
2·3
2·5
pr −1 pr
√
N. Es ist
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
Besondere
Primzahlen
Dr. Michael Welter
Primzahlen
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Das Sieb des Eratosthenes - revisited
Primzahlen
Dr. Michael
Welter
Was wissen
wir über
Primzahlen?
Das Sieb des
Eratosthenes
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
√
Seien p1 = 2, p2 = 3, . . . , pr −1 , pr die Primzahlen ≤ N. Es ist
√
N
N
N
+
+ ... +
− π( N)
|A| =
2
3
pr
N
N
N
−
−
− ... −
2·3
2·5
pr −1 pr
N
N
N
+
+
+ ... +
2·3·5
2·3·7
pr −2 pr −1 pr
Besondere
Primzahlen
Dr. Michael Welter
Primzahlen
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Primzahlen
Dr. Michael
Welter
Was wissen
wir über
Primzahlen?
Das Sieb des
Eratosthenes
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
√
Seien p1 = 2, p2 = 3, . . . , pr −1 , pr die Primzahlen ≤ N. Es ist
√
N
N
N
+
+ ... +
− π( N)
|A| =
2
3
pr
N
N
N
−
−
− ... −
2·3
2·5
pr −1 pr
N
N
N
+
+
+ ... +
2·3·5
2·3·7
pr −2 pr −1 pr
−... + ... − ...
Besondere
Primzahlen
Dr. Michael Welter
Primzahlen
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Primzahlen
Dr. Michael
Welter
Was wissen
wir über
Primzahlen?
Das Sieb des
Eratosthenes
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
Besondere
Primzahlen
√
Seien p1 = 2, p2 = 3, . . . , pr −1 , pr die Primzahlen ≤ N. Es ist
√
N
N
N
+
+ ... +
− π( N)
|A| =
2
3
pr
N
N
N
−
−
− ... −
2·3
2·5
pr −1 pr
N
N
N
+
+
+ ... +
2·3·5
2·3·7
pr −2 pr −1 pr
− . . . + . . .− . . .
N
r −1
+(−1)
p1 · . . . · pr −1 pr
Dr. Michael Welter
Primzahlen
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Das Sieb des Eratosthenes - revisited
Primzahlen
Ist also P := 2 · . . . · pr so erhalten wir
Dr. Michael
Welter
X
√
N
|A| = −π( N) +
(−1)ω(d)−1
,
d
Was wissen
wir über
Primzahlen?
Das Sieb des
Eratosthenes
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
d teilt P
d>1
wobei ω(d) die Anzahl der verschiedenen Primteiler von d
bezeichnet und die Summe sich über alle Teiler von P
erstreckt, die größer als 1 sind.
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
Besondere
Primzahlen
Dr. Michael Welter
Primzahlen
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Primzahlen
Ist also P := 2 · . . . · pr so erhalten wir
Dr. Michael
Welter
X
√
N
|A| = −π( N) +
(−1)ω(d)−1
,
d
Was wissen
wir über
Primzahlen?
Das Sieb des
Eratosthenes
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
d teilt P
d>1
wobei ω(d) die Anzahl der verschiedenen Primteiler von d
bezeichnet und die Summe sich über alle Teiler von P
erstreckt, die größer als 1 sind.
Für π(N) ergibt sich also
Besondere
Primzahlen
π(N) = N − 1 − |A|
X
√
ω(d) N
= π( N) − 1 +
(−1)
.
d
d teilt P
Dr. Michael Welter
Primzahlen
Infotag 2007
14 / 38
Das Sieb des Eratosthenes - ein Beispiel
Primzahlen
Dr. Michael
Welter
Was wissen
wir über
Primzahlen?
π(100) = π(10) − 1
Das Sieb des
Eratosthenes
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
Besondere
Primzahlen
Dr. Michael Welter
Primzahlen
Infotag 2007
15 / 38
Das Sieb des Eratosthenes - ein Beispiel
Primzahlen
Dr. Michael
Welter
Was wissen
wir über
Primzahlen?
100
π(100) = π(10) − 1 +
1
Das Sieb des
Eratosthenes
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
Besondere
Primzahlen
Dr. Michael Welter
Primzahlen
Infotag 2007
15 / 38
Das Sieb des Eratosthenes - ein Beispiel
Primzahlen
Dr. Michael
Welter
Was wissen
wir über
Primzahlen?
Das Sieb des
Eratosthenes
100
π(100) = π(10) − 1 +
1
100
100
−
−
5
7
100
100
−
−
2
3
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
Besondere
Primzahlen
Dr. Michael Welter
Primzahlen
Infotag 2007
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Das Sieb des Eratosthenes - ein Beispiel
Primzahlen
Dr. Michael
Welter
Was wissen
wir über
Primzahlen?
Das Sieb des
Eratosthenes
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
100
100
100
−
−
π(100) = π(10) − 1 +
1
2
3
100
100
100
100
−
−
+
+
5
7
6
10
100
100
100
100
+
+
+
+
14
15
21
35
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
Besondere
Primzahlen
Dr. Michael Welter
Primzahlen
Infotag 2007
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Das Sieb des Eratosthenes - ein Beispiel
Primzahlen
Dr. Michael
Welter
Was wissen
wir über
Primzahlen?
Das Sieb des
Eratosthenes
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
100
100
100
−
−
π(100) = π(10) − 1 +
1
2
3
100
100
100
100
−
−
+
+
5
7
6
10
100
100
100
100
100
−
+
+
+
+
30
14
15
21
35
100
100
100
−
−
−
42
70
105
Besondere
Primzahlen
Dr. Michael Welter
Primzahlen
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Das Sieb des Eratosthenes - ein Beispiel
Primzahlen
Dr. Michael
Welter
Was wissen
wir über
Primzahlen?
Das Sieb des
Eratosthenes
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
100
100
100
−
−
π(100) = π(10) − 1 +
1
2
3
100
100
100
100
−
−
+
+
5
7
6
10
100
100
100
100
100
−
+
+
+
+
30
14
15
21
35
100
100
100
100
+
−
−
−
210
42
70
105
Besondere
Primzahlen
Dr. Michael Welter
Primzahlen
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Das Sieb des Eratosthenes - ein Beispiel
Primzahlen
Dr. Michael
Welter
Was wissen
wir über
Primzahlen?
Das Sieb des
Eratosthenes
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
Besondere
Primzahlen
100
100
100
−
−
π(100) = π(10) − 1 +
1
2
3
100
100
100
100
−
−
+
+
5
7
6
10
100
100
100
100
100
−
+
+
+
+
30
14
15
21
35
100
100
100
100
+
−
−
−
210
42
70
105
= 4 − 1 − 100 − 50 − 33 − 20 − 14
+16 + 10 + 7 + 6 + 4 + 2
−3 − 2 − 1 − 0 + 0
Dr. Michael Welter
Primzahlen
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Das Sieb des Eratosthenes - ein Beispiel
Primzahlen
Dr. Michael
Welter
Was wissen
wir über
Primzahlen?
Das Sieb des
Eratosthenes
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
Besondere
Primzahlen
100
100
100
−
−
π(100) = π(10) − 1 +
1
2
3
100
100
100
100
−
−
+
+
5
7
6
10
100
100
100
100
100
−
+
+
+
+
30
14
15
21
35
100
100
100
100
+
−
−
−
210
42
70
105
= 4 − 1 − 100 − 50 − 33 − 20 − 14
+16 + 10 + 7 + 6 + 4 + 2
−3 − 2 − 1 − 0 + 0 = 25
Dr. Michael Welter
Primzahlen
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Das Sieb des Eratosthenes - revisited
Primzahlen
Dr. Michael
Welter
Wir haben also
Was wissen
wir über
Primzahlen?
X
√
ω(d) N
π(N) = π( N) − 1 +
.
(−1)
d
d teilt P
Das Sieb des
Eratosthenes
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
Besondere
Primzahlen
Dr. Michael Welter
Primzahlen
Infotag 2007
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Das Sieb des Eratosthenes - revisited
Primzahlen
Dr. Michael
Welter
Wir haben also
X
√
ω(d) N
π(N) = π( N) − 1 +
.
(−1)
d
Was wissen
wir über
Primzahlen?
d teilt P
Das Sieb des
Eratosthenes
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
Besondere
Primzahlen
√
Für große N kann man π( N) − 1 gegenüber π(N)
vernachlässigen. Also
X
ω(d) N
π(N) ≈
(−1)
.
d
d teilt P
Dr. Michael Welter
Primzahlen
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16 / 38
Das Sieb des Eratosthenes - revisited
Primzahlen
Dr. Michael
Welter
Wenn wir dies durch N teilen, so erhalten wir
Was wissen
wir über
Primzahlen?
Das Sieb des
Eratosthenes
π(N)
N
≈
X
(−1)ω(d)
d teilt P
= 1−
X 1
+
pi
1≤i≤r
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
1
d
X
1≤i<j≤r
− . . . + . . . + (−1)r
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
1
pi pj
1
p1 · . . . · pr
Besondere
Primzahlen
Dr. Michael Welter
Primzahlen
Infotag 2007
17 / 38
Das Sieb des Eratosthenes - revisited
Primzahlen
Dr. Michael
Welter
Wenn wir dies durch N teilen, so erhalten wir
Was wissen
wir über
Primzahlen?
Das Sieb des
Eratosthenes
π(N)
N
≈
X
(−1)ω(d)
d teilt P
= 1−
X 1
+
pi
1≤i≤r
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
1
d
X
1≤i<j≤r
1
pi pj
1
− . . . + . . . + (−1)r
p · . . . · pr
1
1
1
1
=
1−
1−
· ... · 1 −
p1
p2
pr
Besondere
Primzahlen
Dr. Michael Welter
Primzahlen
Infotag 2007
17 / 38
Das Sieb des Eratosthenes - revisited
Primzahlen
Dr. Michael
Welter
Wenn wir dies durch N teilen, so erhalten wir
Was wissen
wir über
Primzahlen?
Das Sieb des
Eratosthenes
π(N)
N
≈
X
(−1)ω(d)
d teilt P
= 1−
X 1
+
pi
1≤i≤r
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
Besondere
Primzahlen
Dr. Michael Welter
1
d
X
1≤i<j≤r
1
pi pj
1
− . . . + . . . + (−1)r
p · . . . · pr
1
1
1
1
=
1−
1−
· ... · 1 −
p1
p2
pr
C
≈
.
log N
Primzahlen
Infotag 2007
17 / 38
Das Sieb des Eratosthenes - revisited
Primzahlen
Dr. Michael
Welter
Bei der letzten Approximation wird einerseits ausgenutzt, dass
für 0 < q < 1
Was wissen
wir über
Primzahlen?
∞
X
Das Sieb des
Eratosthenes
k=0
qk =
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
Besondere
Primzahlen
Dr. Michael Welter
Primzahlen
Infotag 2007
18 / 38
Das Sieb des Eratosthenes - revisited
Primzahlen
Dr. Michael
Welter
Bei der letzten Approximation wird einerseits ausgenutzt, dass
für 0 < q < 1
Was wissen
wir über
Primzahlen?
∞
X
Das Sieb des
Eratosthenes
k=0
k
q = lim
N→∞
N
X
qk
k=0
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
Besondere
Primzahlen
Dr. Michael Welter
Primzahlen
Infotag 2007
18 / 38
Das Sieb des Eratosthenes - revisited
Primzahlen
Dr. Michael
Welter
Bei der letzten Approximation wird einerseits ausgenutzt, dass
für 0 < q < 1
Was wissen
wir über
Primzahlen?
∞
X
Das Sieb des
Eratosthenes
k=0
k
q = lim
N→∞
N
X
1 − q N+1
N→∞
1−q
q k = lim
k=0
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
Besondere
Primzahlen
Dr. Michael Welter
Primzahlen
Infotag 2007
18 / 38
Das Sieb des Eratosthenes - revisited
Primzahlen
Dr. Michael
Welter
Bei der letzten Approximation wird einerseits ausgenutzt, dass
für 0 < q < 1
Was wissen
wir über
Primzahlen?
∞
X
Das Sieb des
Eratosthenes
k=0
k
q = lim
N→∞
N
X
1 − q N+1
1
=
N→∞
1−q
1−q
q k = lim
k=0
ist;
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
Besondere
Primzahlen
Dr. Michael Welter
Primzahlen
Infotag 2007
18 / 38
Das Sieb des Eratosthenes - revisited
Primzahlen
Dr. Michael
Welter
Bei der letzten Approximation wird einerseits ausgenutzt, dass
für 0 < q < 1
Was wissen
wir über
Primzahlen?
∞
X
Das Sieb des
Eratosthenes
k=0
k
q = lim
N→∞
N
X
1 − q N+1
1
=
N→∞
1−q
1−q
q k = lim
k=0
ist; also
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
1
1− =
p
∞
X
1
pk
!−1
k=0
ist.
Besondere
Primzahlen
Dr. Michael Welter
Primzahlen
Infotag 2007
18 / 38
Das Sieb des Eratosthenes - revisited
Primzahlen
Dr. Michael
Welter
Bei der letzten Approximation wird einerseits ausgenutzt, dass
für 0 < q < 1
Was wissen
wir über
Primzahlen?
∞
X
Das Sieb des
Eratosthenes
k=0
k
q = lim
N→∞
N
X
1 − q N+1
1
=
N→∞
1−q
1−q
q k = lim
k=0
ist; also
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
1
1− =
p
∞
X
1
pk
!−1
k=0
ist. Andererseits benutzt man die Näherung
Besondere
Primzahlen
X 1
≈ log N.
n
1≤n≤N
Dr. Michael Welter
Primzahlen
Infotag 2007
18 / 38
Graph von 1/x
Primzahlen
Dr. Michael
Welter
Was wissen
wir über
Primzahlen?
Das Sieb des
Eratosthenes
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
Besondere
Primzahlen
Dr. Michael Welter
Primzahlen
Infotag 2007
19 / 38
Der Primzahlsatz
Primzahlen
Dr. Michael
Welter
Was wissen
wir über
Primzahlen?
Unsere Überlegungen legen nahe zu vermuten, dass es positive
Konstanten C1 , C2 gibt, so dass für alle natürlichen Zahlen N
C1
Das Sieb des
Eratosthenes
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
N
N
≤ π(N) ≤ C2
log N
log N
gilt.
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
Besondere
Primzahlen
Dr. Michael Welter
Primzahlen
Infotag 2007
20 / 38
Der Primzahlsatz
Primzahlen
Dr. Michael
Welter
Was wissen
wir über
Primzahlen?
Unsere Überlegungen legen nahe zu vermuten, dass es positive
Konstanten C1 , C2 gibt, so dass für alle natürlichen Zahlen N
C1
Das Sieb des
Eratosthenes
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
Besondere
Primzahlen
N
N
≤ π(N) ≤ C2
log N
log N
gilt. In der Tat konnte der russische Mathematiker
Tschebyscheff dies um 1850 zeigen. Er zeigte weiter, dass
sollte der Grenzwert
π(x)
lim x
x→∞
log x
existieren, so ist dieser gleich 1.
Dr. Michael Welter
Primzahlen
Infotag 2007
20 / 38
Graph von π(x) und von
x
log x
Primzahlen
Dr. Michael
Welter
Was wissen
wir über
Primzahlen?
Das Sieb des
Eratosthenes
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
Besondere
Primzahlen
Dr. Michael Welter
Primzahlen
Infotag 2007
21 / 38
Der Primzahlsatz
Primzahlen
Dr. Michael
Welter
Was wissen
wir über
Primzahlen?
Das Sieb des
Eratosthenes
Bereits Ende des 18. Jahrhunderts vermuteten Legendre und
Gauss nach intensivem Studium von Primzahltafeln, dass
folgendes Resultat gilt:
Der Primzahlsatz
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
lim
x→∞
π(x)
x
log x
= 1.
Besondere
Primzahlen
Dr. Michael Welter
Primzahlen
Infotag 2007
22 / 38
Der Primzahlsatz
Primzahlen
Dr. Michael
Welter
Was wissen
wir über
Primzahlen?
Das Sieb des
Eratosthenes
Bereits Ende des 18. Jahrhunderts vermuteten Legendre und
Gauss nach intensivem Studium von Primzahltafeln, dass
folgendes Resultat gilt:
Der Primzahlsatz
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
Besondere
Primzahlen
lim
x→∞
π(x)
x
log x
= 1.
Dies zeigten 1896 unabhängig voneinander die französischen
Mathematiker de la Vallée Poussin und Hadamard.
Dr. Michael Welter
Primzahlen
Infotag 2007
22 / 38
Was ist der größte mögliche Abstand zwischen zwei
aufeinanderfolgenden Primzahlen?
Primzahlen
Dr. Michael
Welter
Was wissen
wir über
Primzahlen?
Es sei n eine natürliche Zahl. Wir betrachten die n − 1
aufeinanderfolgenden Zahlen
Das Sieb des
Eratosthenes
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
n! + 2, n! + 3, n! + 4, . . . , n! + n,
wobei n! = 2 · 3 · 4 · . . . · n.
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
Besondere
Primzahlen
Dr. Michael Welter
Primzahlen
Infotag 2007
23 / 38
Was ist der größte mögliche Abstand zwischen zwei
aufeinanderfolgenden Primzahlen?
Primzahlen
Dr. Michael
Welter
Was wissen
wir über
Primzahlen?
Es sei n eine natürliche Zahl. Wir betrachten die n − 1
aufeinanderfolgenden Zahlen
Das Sieb des
Eratosthenes
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
n! + 2, n! + 3, n! + 4, . . . , n! + n,
wobei n! = 2 · 3 · 4 · . . . · n.
Welche dieser Zahlen ist zusammengesetzt?
Besondere
Primzahlen
Dr. Michael Welter
Primzahlen
Infotag 2007
23 / 38
Was ist der größte mögliche Abstand zwischen zwei
aufeinanderfolgenden Primzahlen?
Primzahlen
Dr. Michael
Welter
Was wissen
wir über
Primzahlen?
Es sei n eine natürliche Zahl. Wir betrachten die n − 1
aufeinanderfolgenden Zahlen
Das Sieb des
Eratosthenes
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
n! + 2, n! + 3, n! + 4, . . . , n! + n,
wobei n! = 2 · 3 · 4 · . . . · n.
Welche dieser Zahlen ist zusammengesetzt?
Also kann der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgende
Primzahlen beliebig groß werden.
Besondere
Primzahlen
Dr. Michael Welter
Primzahlen
Infotag 2007
23 / 38
Primzahlzwillinge
Primzahlen
Dr. Michael
Welter
Die Frage nach dem kleinstmöglichen Abstand zwischen zwei
aufeinanderfolgenden Primzahlen ist schnell beantwortet.
Was wissen
wir über
Primzahlen?
Das Sieb des
Eratosthenes
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
Besondere
Primzahlen
Dr. Michael Welter
Primzahlen
Infotag 2007
24 / 38
Primzahlzwillinge
Primzahlen
Dr. Michael
Welter
Was wissen
wir über
Primzahlen?
Die Frage nach dem kleinstmöglichen Abstand zwischen zwei
aufeinanderfolgenden Primzahlen ist schnell beantwortet.
Der Abstand zwischen 2 und 3 ist gleich 1 und ansonsten liegt
zwischen zwei Primzahlen immer zumindest eine gerade Zahl.
Das Sieb des
Eratosthenes
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
Besondere
Primzahlen
Dr. Michael Welter
Primzahlen
Infotag 2007
24 / 38
Primzahlzwillinge
Primzahlen
Dr. Michael
Welter
Was wissen
wir über
Primzahlen?
Das Sieb des
Eratosthenes
Die Frage nach dem kleinstmöglichen Abstand zwischen zwei
aufeinanderfolgenden Primzahlen ist schnell beantwortet.
Der Abstand zwischen 2 und 3 ist gleich 1 und ansonsten liegt
zwischen zwei Primzahlen immer zumindest eine gerade Zahl.
Beispiele hierfür sind die Paare 3 und 5, 5 und 7, 17 und 19,
2003663613 · 2195000 − 1 und 2003663613 · 2195000 + 1.
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
Besondere
Primzahlen
Dr. Michael Welter
Primzahlen
Infotag 2007
24 / 38
Primzahlzwillinge
Primzahlen
Dr. Michael
Welter
Was wissen
wir über
Primzahlen?
Das Sieb des
Eratosthenes
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
Die Frage nach dem kleinstmöglichen Abstand zwischen zwei
aufeinanderfolgenden Primzahlen ist schnell beantwortet.
Der Abstand zwischen 2 und 3 ist gleich 1 und ansonsten liegt
zwischen zwei Primzahlen immer zumindest eine gerade Zahl.
Beispiele hierfür sind die Paare 3 und 5, 5 und 7, 17 und 19,
2003663613 · 2195000 − 1 und 2003663613 · 2195000 + 1.
Definition
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
Zwei Primzahlen p und q mit p − q = 2 bzw. q − p = 2 heißen
Primzahlzwillinge.
Besondere
Primzahlen
Dr. Michael Welter
Primzahlen
Infotag 2007
24 / 38
Primzahlzwillinge
Primzahlen
Dr. Michael
Welter
Was wissen
wir über
Primzahlen?
Das Sieb des
Eratosthenes
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
Definition
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
Besondere
Primzahlen
Die Frage nach dem kleinstmöglichen Abstand zwischen zwei
aufeinanderfolgenden Primzahlen ist schnell beantwortet.
Der Abstand zwischen 2 und 3 ist gleich 1 und ansonsten liegt
zwischen zwei Primzahlen immer zumindest eine gerade Zahl.
Beispiele hierfür sind die Paare 3 und 5, 5 und 7, 17 und 19,
2003663613 · 2195000 − 1 und 2003663613 · 2195000 + 1.
Zwei Primzahlen p und q mit p − q = 2 bzw. q − p = 2 heißen
Primzahlzwillinge.
Primzahlzwillingsvermutung
Es gibt unendlich viele Primzahlen p derart, dass auch p + 2
eine Primzahl ist.
Dr. Michael Welter
Primzahlen
Infotag 2007
24 / 38
Ein Sieb für Primzahlzwillinge
Primzahlen
Dr. Michael
Welter
I
Führe das Sieb des Eratosthenes durch.
Was wissen
wir über
Primzahlen?
Das Sieb des
Eratosthenes
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
Besondere
Primzahlen
Dr. Michael Welter
Primzahlen
Infotag 2007
25 / 38
Ein Sieb für Primzahlzwillinge
Primzahlen
Dr. Michael
Welter
Was wissen
wir über
Primzahlen?
I
Führe das Sieb des Eratosthenes durch.
I
Setze die Siebzahl p auf 3.
Das Sieb des
Eratosthenes
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
Besondere
Primzahlen
Dr. Michael Welter
Primzahlen
Infotag 2007
25 / 38
Ein Sieb für Primzahlzwillinge
Primzahlen
Dr. Michael
Welter
Was wissen
wir über
Primzahlen?
I
Führe das Sieb des Eratosthenes durch.
I
Setze die Siebzahl p auf 3.
Solange p 2 ≤ N gilt:
I
Das Sieb des
Eratosthenes
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
I
Gehe zu jeder p-ten Zahl und streiche die jeweils
übernächste Zahl.
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
Besondere
Primzahlen
Dr. Michael Welter
Primzahlen
Infotag 2007
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Ein Sieb für Primzahlzwillinge
Primzahlen
Dr. Michael
Welter
Was wissen
wir über
Primzahlen?
I
Führe das Sieb des Eratosthenes durch.
I
Setze die Siebzahl p auf 3.
Solange p 2 ≤ N gilt:
I
Das Sieb des
Eratosthenes
I
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
I
Gehe zu jeder p-ten Zahl und streiche die jeweils
übernächste Zahl.
Setze p auf die nächste nicht gestrichene Zahl.
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
Besondere
Primzahlen
Dr. Michael Welter
Primzahlen
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Ein Sieb für Primzahlzwillinge
Primzahlen
Dr. Michael
Welter
Was wissen
wir über
Primzahlen?
I
Führe das Sieb des Eratosthenes durch.
I
Setze die Siebzahl p auf 3.
Solange p 2 ≤ N gilt:
I
Das Sieb des
Eratosthenes
I
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
I
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
I
Gehe zu jeder p-ten Zahl und streiche die jeweils
übernächste Zahl.
Setze p auf die nächste nicht gestrichene Zahl.
Streiche 2 und 3.
Besondere
Primzahlen
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Primzahlen
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Ein Sieb für Primzahlzwillinge
Primzahlen
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Was wissen
wir über
Primzahlen?
I
Führe das Sieb des Eratosthenes durch.
I
Setze die Siebzahl p auf 3.
Solange p 2 ≤ N gilt:
I
Das Sieb des
Eratosthenes
I
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
I
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
Besondere
Primzahlen
I
Gehe zu jeder p-ten Zahl und streiche die jeweils
übernächste Zahl.
Setze p auf die nächste nicht gestrichene Zahl.
Streiche 2 und 3.
Ergebnis des Siebprozesses:
Ist eine Zahl n nicht gestrichen, so sind n − 2 und n
Primzahlzwillinge.
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Primzahlen in arithmetischen Progressionen
Primzahlen
Dr. Michael
Welter
Was wissen
wir über
Primzahlen?
Das Sieb des
Eratosthenes
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
Im letzte Jahr hat Tao u.a. für das folgende Ergebnis eine
Fields-Medaille erhalten:
Satz von Tao-Green (2004)
In der Menge der Primzahlen gibt es beliebig lange
arithmetische Progressionen,
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
Besondere
Primzahlen
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Primzahlen
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Primzahlen in arithmetischen Progressionen
Primzahlen
Dr. Michael
Welter
Was wissen
wir über
Primzahlen?
Das Sieb des
Eratosthenes
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
Besondere
Primzahlen
Im letzte Jahr hat Tao u.a. für das folgende Ergebnis eine
Fields-Medaille erhalten:
Satz von Tao-Green (2004)
In der Menge der Primzahlen gibt es beliebig lange
arithmetische Progressionen, d.h. zu jeder natürlichen Zahl N
gibt es natürliche Zahlen a und b, so dass die N Zahlen
a, a + b, 2a + b, 3a + b, 4a + b, . . . , (N − 1)a + b
Primzahlen sind.
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Primzahlen
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Goldbachsche Vermutung
Primzahlen
Dr. Michael
Welter
Primzahlen sind die Bausteine, aus denen die natürlichen
Zahlen multiplikativ zusammengesetzt sind.
Wie sieht es mit der Addition aus?
Was wissen
wir über
Primzahlen?
Das Sieb des
Eratosthenes
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
Besondere
Primzahlen
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Primzahlen
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Goldbachsche Vermutung
Primzahlen
Dr. Michael
Welter
Was wissen
wir über
Primzahlen?
Das Sieb des
Eratosthenes
Primzahlen sind die Bausteine, aus denen die natürlichen
Zahlen multiplikativ zusammengesetzt sind.
Wie sieht es mit der Addition aus?
Auf Goldbach (1690-1764) geht die folgende Vermutung
zurück, die bis heute weder bewiesen noch widerlegt werden
konnte:
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
Besondere
Primzahlen
Dr. Michael Welter
Primzahlen
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Goldbachsche Vermutung
Primzahlen
Dr. Michael
Welter
Was wissen
wir über
Primzahlen?
Das Sieb des
Eratosthenes
Primzahlen sind die Bausteine, aus denen die natürlichen
Zahlen multiplikativ zusammengesetzt sind.
Wie sieht es mit der Addition aus?
Auf Goldbach (1690-1764) geht die folgende Vermutung
zurück, die bis heute weder bewiesen noch widerlegt werden
konnte:
Goldbachsche Vermutung
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
Jede gerade Zahl > 2 kann als Summe von zwei Primzahlen
dargestellt werden.
Besondere
Primzahlen
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Primzahlen
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Goldbachsche Vermutung
Primzahlen
Dr. Michael
Welter
Was wissen
wir über
Primzahlen?
Das Sieb des
Eratosthenes
Goldbachsche Vermutung
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
Besondere
Primzahlen
Primzahlen sind die Bausteine, aus denen die natürlichen
Zahlen multiplikativ zusammengesetzt sind.
Wie sieht es mit der Addition aus?
Auf Goldbach (1690-1764) geht die folgende Vermutung
zurück, die bis heute weder bewiesen noch widerlegt werden
konnte:
Jede gerade Zahl > 2 kann als Summe von zwei Primzahlen
dargestellt werden.
Dies impliziert die (im Prinzip bewiesene)
Schwache Goldbachsche Vermutung
Jede ungerade Zahl > 5 kann als Summe von drei Primzahlen
dargestellt werden.
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Primzahlen
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Mersenne Primzahlen
Primzahlen
Dr. Michael
Welter
Immer wieder liest man, dass eine neue größte Primzahl
gefunden worden ist.
Was wissen
wir über
Primzahlen?
Das Sieb des
Eratosthenes
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
Besondere
Primzahlen
Dr. Michael Welter
Primzahlen
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Mersenne Primzahlen
Primzahlen
Dr. Michael
Welter
Was wissen
wir über
Primzahlen?
Immer wieder liest man, dass eine neue größte Primzahl
gefunden worden ist. In den letzten Jahren war bei der Jagd
stets das GIMPS-Projekt erfolgreich.
www.mersenne.org
Das Sieb des
Eratosthenes
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
Besondere
Primzahlen
Dr. Michael Welter
Primzahlen
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Mersenne Primzahlen
Primzahlen
Dr. Michael
Welter
Was wissen
wir über
Primzahlen?
Das Sieb des
Eratosthenes
Immer wieder liest man, dass eine neue größte Primzahl
gefunden worden ist. In den letzten Jahren war bei der Jagd
stets das GIMPS-Projekt erfolgreich.
www.mersenne.org
Hier wird nach Primzahlen der Form
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
2p − 1
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
Besondere
Primzahlen
gesucht, sog. Mersenne-Primzahlen. Für Zahlen dieser Art
existieren besonders effiziente Primalitätstests. Zur Zeit kennt
man genau 44 Mersenne-Primzahlen; die größte ist
232582657 − 1.
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Primzahlen
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Mersenne Primzahlen
Primzahlen
Dr. Michael
Welter
Was wissen
wir über
Primzahlen?
Ein einfaches Resultat über Mersenne-Zahlen
Ist Mn := 2n − 1 eine Primzahl, so ist auch n eine Primzahl.
Das Sieb des
Eratosthenes
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
Besondere
Primzahlen
Dr. Michael Welter
Primzahlen
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Mersenne Primzahlen
Primzahlen
Dr. Michael
Welter
Ein einfaches Resultat über Mersenne-Zahlen
Was wissen
wir über
Primzahlen?
Ist Mn := 2n − 1 eine Primzahl, so ist auch n eine Primzahl.
Das Sieb des
Eratosthenes
Ein Kriterium von Euler (1750)
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
Ist p eine Primzahl der Form 4n + 3, so teilt 2p + 1 die
Mersenne-Zahl Mp genau dann, wenn 2p + 1 eine Primzahl ist.
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
Besondere
Primzahlen
Dr. Michael Welter
Primzahlen
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Mersenne Primzahlen
Primzahlen
Dr. Michael
Welter
Ein einfaches Resultat über Mersenne-Zahlen
Was wissen
wir über
Primzahlen?
Ist Mn := 2n − 1 eine Primzahl, so ist auch n eine Primzahl.
Das Sieb des
Eratosthenes
Ein Kriterium von Euler (1750)
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
Ist p eine Primzahl der Form 4n + 3, so teilt 2p + 1 die
Mersenne-Zahl Mp genau dann, wenn 2p + 1 eine Primzahl ist.
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
Besondere
Primzahlen
Definition
Primzahlen p mit der Eigenschaft, dass auch 2p + 1 eine
Primzahl ist, heißen Sophie Germain Primzahlen.
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Primzahlen
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Sophie Germain
Primzahlen
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Primzahlen?
Das Sieb des
Eratosthenes
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
Weitere Fragestellungen,
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Besondere
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Primzahlen
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Sophie Germain
Primzahlen
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Das Sieb des
Eratosthenes
Wieviele
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gibt es?
Weitere Fragestellungen,
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Besondere
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Primzahlen
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Sophie Germain Primzahlen
Primzahlen
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Was wissen
wir über
Primzahlen?
Beispiele für Primzahlen p derart, dass auch 2p + 1 eine
Primzahl ist, sind p = 2, 3, 11, 83, 131.
Das Sieb des
Eratosthenes
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
Besondere
Primzahlen
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Primzahlen
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Sophie Germain Primzahlen
Primzahlen
Dr. Michael
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Was wissen
wir über
Primzahlen?
Das Sieb des
Eratosthenes
Beispiele für Primzahlen p derart, dass auch 2p + 1 eine
Primzahl ist, sind p = 2, 3, 11, 83, 131.
Es ist bis heute nicht bekannt, ob es unendlich viele solcher
Primzahlen gibt.
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
Besondere
Primzahlen
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Primzahlen
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Sophie Germain Primzahlen
Primzahlen
Dr. Michael
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Primzahlen?
Das Sieb des
Eratosthenes
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
Weitere Fragestellungen,
die
Primzahlen
beinhalten
Beispiele für Primzahlen p derart, dass auch 2p + 1 eine
Primzahl ist, sind p = 2, 3, 11, 83, 131.
Es ist bis heute nicht bekannt, ob es unendlich viele solcher
Primzahlen gibt.
Solche Primzahlen heißen Sophie Germain Primzahlen, denn
Sophie Germain zeigte:
Ist p > 2 eine Sophie Germain Primzahl, so gibt es keine
ganzen Zahlen x, y , z mit xyz 6= 0 derart, dass x p + y p = z p ist.
Besondere
Primzahlen
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Primzahlen
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Primzahlen
Dr. Michael
Welter
Was wissen
wir über
Primzahlen?
Das Sieb des
Eratosthenes
Aber das ist wieder eine andere Geschichte...
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
Weitere Fragestellungen,
die
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Primzahlen
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Das Sieb des
Eratosthenes
Aber das ist wieder eine andere Geschichte...
Wieviele
Primzahlen
gibt es?
Ende
Weitere Fragestellungen,
die
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beinhalten
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Primzahlen
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Primzahlen
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Das Sieb des
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Primzahlen
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Primzahlen
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