Projektstudium Antriebstechnik
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Lehrstuhl für Elektrische Antriebssysteme und Leistungselektronik Technische Universität München Arcisstraße 21 D–80333 München Prof. Dr.-Ing. R. Kennel email: [email protected] http: www.eal.ei.tum.de Tel.: +49 (0)89 289–28358 Fax: +49 (0)89 289–28336 Kurzskriptum mit Projektbeschreibungen Projektstudium Antriebstechnik Projektbezogen Studieren – Aktives Lernen im Team Christoph Hackl 29. 01. 2015 Betreuer: Christoph Hackl, Gebäude 5507 (Maschinenwesen/Garching), Raum 2733 Tel. 289 − 16688, email: [email protected] Ort: Lehrlabor des Lehrstuhls, Neubau Innenhof, Gebäude 9, Raum 0901 (Erdgeschoss, ganz links, siehe Lageplan) Inhaltsverzeichnis I Einführung und Motivation v 1 Projektbezogen Studieren – Aktives Lernen im Team 1.1 Motivation und Erkenntnisse aus der Hochschuldidaktik und Lernpsychologie 1.2 Idee des Lehrkonzeptes “Projektbezogen Studieren – Aktives Lernen im Team” 1.3 Konkrete Umsetzung: Pilotphase im WS 2014/2015 . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Ablauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Inhalt und Lernziele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Vision und Potenzial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Danksagung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II Projekte vii vii viii ix x xi xi xii 1 2 Gleichstrommaschine 2.1 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Laboraufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Modellbildung und Verhalten . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Regelung im Ankerstellbereich (d.h. ψE = ψEN ) . . . . 2.3.3 Regelung im Feldschwächbereich (d.h. ψE ≤ ψEN ) . . 2.4 Implementierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Laboraufbau: Komponenten, Schnittstelle und Signale 2.4.2 Laboraufbau: Bedienung und Implementierung . . . . 2.4.3 Vorgehensweise und Arbeitsschritte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 4 4 8 12 14 20 20 20 24 3 Permanentmagnet-Synchronmaschine 3.1 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . 3.2 Laboroaufbau . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Modellbildung und Verhalten . 3.3.2 Regelung . . . . . . . . . . . . 3.4 Implementierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 31 32 35 35 43 44 4 Asynchronmaschine 4.1 Problemstellung . . . . . . . . . . . . 4.2 Laboraufbau . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Simulation . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Modellbildung und Verhalten 4.3.2 Regelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 45 45 47 47 49 . . . . . – iii – 4.4 Implementierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Zwei-Massen-System 5.1 Problemstellung . . . . . . . . . . . . 5.2 Simulation . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Modellbildung und Verhalten 5.2.2 Regelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 53 53 53 53 55 Literaturverzeichnis 59 III 61 Anhänge A Allgemeine Grundlagen A.1 Trigonometrische Formeln (siehe [16]) . . . A.2 Energieeinheiten und Umrechnungsfaktoren A.3 Stromsysteme (siehe [8]) . . . . . . . . . . . A.3.1 Wechselstrom . . . . . . . . . . . . . A.3.2 Drehstrom (symmetrisch) . . . . . . B Grundlagen der Gleichstrommaschine B.1 Danksagung . . . . . . . . . . . . . . . . . B.2 Modellbildung . . . . . . . . . . . . . . . . B.2.1 Vierquadrantensteller . . . . . . . B.2.2 Fremderregte Gleichstrommaschine B.2.3 Sensorik . . . . . . . . . . . . . . . B.3 Regelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.3.1 Übersicht . . . . . . . . . . . . . . B.3.2 Modelle und Signalflusspläne . . . B.3.3 Regelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 63 64 65 65 66 69 69 69 69 72 76 79 79 80 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C Grundlagen der Drehfeldmaschinen (siehe [17] und [18]) C.1 Übersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C.2 Allgemeines Grundwellenmodell von Drehfeldmaschinen . . . C.2.1 Danksagung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C.2.2 Annahmen zur Modellbildung . . . . . . . . . . . . . . C.2.3 Elektrische Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . C.2.4 Magnetische Zusammenhänge . . . . . . . . . . . . . . C.2.5 Flussverkettungen der einzelnen Stränge . . . . . . . . C.2.6 Raumzeigerdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . C.2.7 Umrechnung rotorbezogener Größen auf die Statorseite C.2.8 Momentenerzeugung und Mechanik . . . . . . . . . . . C.3 Wichtige Zusammenhänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 . 83 . 83 . 83 . 83 . 85 . 86 . 86 . 91 . 99 . 100 . 101 D Grundlagen der Regelungstechnik (siehe [7, 16–18]) D.1 Wichtige Zusammenhänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D.2 Wiederholungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D.2.1 Standardstrecken anhand der Gleichstrommaschine (GM) D.2.2 Regelkreise und Reglerauslegung . . . . . . . . . . . . . . D.3 Optimierungstabelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . – iv – . . . . . . . . . . . . . . 105 105 109 109 111 114 Teil I Einführung und Motivation v . Kapitel 1 Projektbezogen Studieren – Aktives Lernen im Team Das Lehrkonzept “Projektbezogen Studieren – Aktives Lernen im Team” wurde in 2013 mit dem Ernst-Otto Fischer Lehrpreises der Fakultät EI ausgezeichnet. Das folgende Skriptum soll in die Thematik einführen und die wichtigsten Anhaltspunkte vermitteln. 1.1 Motivation und Erkenntnisse aus der Hochschuldidaktik und Lernpsychologie Im Zuge des Bologna-Prozesses stehen verstärkt die Ziele “Vermittlung von Kompetenzen” und “Lösungsorientiertes Lernen” im Vordergrund der Hochschullehre. Die Lehrevaluationen innerhalb der Fakultät Elektrotechnik und Informationstechnik (EI) zeigen, dass diese Ziele immer besser erreicht werden. Die Studierenden beurteilen den Besuch der angebotenen Lehrveranstaltungen als “insgesamt lohnend” (siehe z.B. S.4 in [4] mit 87,8% und [5] mit 92,7%). Doch im Bereich “Kompetenzerwerb” sind sich die Studierenden oft noch im Unklaren, ob sie die Inhalte der Veranstaltung(en) wiedergeben oder selbstständig bearbeiten könnten (vgl. S.5 in [4] und [5]) und sie sehen Defizite bei der Erprobung ihrer Kooperationsfähigkeit (vgl. S.7 in [9]). Des Weiteren äußern die Studierenden vermehrt den Wunsch nach klarem Praxisbezug. So ist laut der Studiengangsbefragung der Fakultät EI aus 2012 (vgl. S.11 in [9]) “unzureichender Praxisbezug” einer der am häufigsten genannten1 Gründe für “Studiengangwechsel” (47,2%), “Hochschulwechsel” (52,9%) oder sogar “Studienabbruch” (46,3%). Es bleiben wohl – trotz anschaulichem Hochschulunterricht und praxisbezogener Motivation – noch zu oft folgende Fragen unbeantwortet: “Wofür lerne ich den aktuellen Stoff?” und “Kann ich das Erlernte wirklich eigenständig umsetzen?”. Viele Studierende (Lernende) empfinden sich als “passive Informationsempfänger” (S.173 in [21]) von Lehrinhalten, die sie ihrem späteren Berufsbild nicht direkt zuordnen können. Im universitären Umfeld liegt dieses Empfinden vermutlich daran, dass in der Regel zuerst Theorie (in Vorlesung und Übung) und dann Praxis (in z.B. Praktika oder Abschlussarbeiten) vermittelt werden. Das Erlernte kann zu selten direkt (im Sinne von zeitnah) praktisch wiederholt und umgesetzt werden. Insbesondere durch “learning by doing” gelingt aktives und somit tiefgehendes Lernen (Tiefenverständnis), was dauerhafte Kompetenzen – wie z.B. Anwendbarkeit und Übertragbarkeit des Gelernten im Beruf – zur Folge hat (vgl. [20]). Aktuelle Erkenntnisse aus der Hochschuldidaktik und Lernpsychologie untermauern diese Unsicherheit der Studierenden [1]. 1 Mehrfachnennung möglich. – vii – 1. Projektbezogen Studieren – Aktives Lernen im Team Abbildung 1.1: Werbeposter. Die wichtigste Grundlage für aktives, intrinsisch motiviertes Lernen ist eine komplexe Problemstellung mit konkretem Anwendungsbezug bzw. mit nachvollziehbarer Relevanz für die studentische Ausbildung und den späteren Beruf (vgl. S.102 in [21] oder [14]). Die Problemstellung selbst nährt die intrinsische Motivation der Lernenden und verstärkt somit Eigeninteresse und Tiefenverständnis beim Lernen. Um die intrinsische Motivation dauerhaft aufrechtzuerhalten, sollte den Lernenden eine möglichst große Autonomie in der Gestaltung ihres Lernverhaltens (im Sinne freier Zeiteinteilung und Portionierung des Stoffes) zugestanden werden [11]. Starre Lehrsysteme (wie in vielen der heutigen Bachelor- und Masterstudiengänge) führen zu einer (gefühlten) Fremdbestimmung [13]. Lerninhalte, aufbereitet in fachdidaktischer und nicht in kompetenz-erwerbender Logik, werden meist als Zwang oder Druck von außen wahrgenommen. Diese extrinsische Motivation fördert häufig nur das Aneignen von Faktenwissen, reduziert intrinsische Motivation und erschwert Tiefenverständnis. Zusätzlich ist universitäres Lernen in der Regel “rückmeldungsarm”, d.h. es erfolgt kein zeitnahes, informierendes bzw. lernförderndes Feedback (ohne direkte Benotung) [11]. Am Ende des Semesters wird die “individuelle Leistung” lediglich durch Noten bewertet, aber eine individuelle Rückmeldung über den Lernfortschritt erfolgt kaum. Ausbleibendes Feedback erhöht die Unsicherheit des Lernenden, senkt die intrinsische Motivation und erschwert zielgerichtetes Lernen [11], [6]. 1.2 Idee des Lehrkonzeptes “Projektbezogen Studieren – Aktives Lernen im Team” Beim Lehrkonzept “Projektbezogen Studieren – Aktives Lernen im Team” soll die klassische Logik universitärer Lehr- und Lernprozesse “umgekehrt” werden: Ausgehend von einer praxisrelevanten Problemstellung soll im Team während eines “Projektstudiums” eine umfassende Lösung – vom Erlernen der nötigen Theorie bis hin zur praktischen Umsetzung am studentischen Laboraufbau – eigenständig (im Sinne von selbstverantwortlich) und möglichst selbstständig (also möglichst ohne fremde Hilfe) erarbeitet werden. Während der Bearbeitung des Projektes werden die Kernkompetenzen des Ingenieursberufs (wie z.B. Modellbildung, Simulation, Aufbau, Implementierung/Programmierung, Test, Präsentation & Dokumentation) praxisnah erworben. Die Lerninhalte sollen aktiv und kooperativ – viii – 1.3. Konkrete Umsetzung: Pilotphase im WS 2014/2015 im Team erarbeitet werden. Eine Teilnahme an Vorlesungen und Übungen wird nicht verlangt. Die Studierenden werden bei ihrer Lösungsfindung durch den Lehrenden im Sinne eines Mentors begleitet, beraten und unterstützt. Es soll folgende Lernsituation entstehen, um aktives und tiefgehendes Lernen zu ermöglichen: • Konfrontation mit einer komplexen Problemstellung mit klarem Anwendungs-/Berufsbezug2 • Eigen– und selbstständiges Erarbeiten einer Lösung im Team • Erkennen und Lösen von Teilproblemen durch Lernende selbst • Lernen durch Artikulation und Reflexion in der Gruppe • Aktive Begleitung durch den Lehrenden im Sinne eines “guide on side” (vgl. S.173 in [21]), d.h.: – problemlösungsorientierter Lehrinput (Vermittlung nur von essentiellen Lehrinhalten) – aktive Beratung und Unterstützung bei der Lösungsfindung und – regelmäßiges Feedback zum Lernfortschritt (der Gruppe & des Einzelnen). Durch die komplexe Problemstellung treffen die Studierenden während ihrer Lösungsfindung auf unterschiedliche Teilprobleme, die wiederum zu lösen sind. Hierzu müssen auch theoretischen Grundlagen angeeignet und/oder erweitert werden. Es ist zu erwarten, dass die intrinsische Motivation erhalten bleibt, da theoretisches Wissen in einen Problemkontext eingebunden ist: Zu jedem Zeitpunkt ist klar, warum das Erlernte angewendet bzw. erweitert werden muss. Um den Lernprozess zeit-effektiv zu begleiten und unnötige (oder zeitlich zu lange) Irrwege zu vermeiden, sollen bestimmte, essentielle Lehrinhalte (z.B. mathematische Theorien) durch Impulsvorträge des Lehrenden vorgestellt, diskutiert und geübt werden. Im Anschluss sollen im Team diese Lehrinhalte direkt ausprobiert und umgesetzt werden (“learning by doing”). Das Feedback zum Lernfortschritt der einzelnen Gruppe als auch der einzelnen Studierenden erfolgt wöchentlich im Rahmen eines Mentoring-Seminars. Hierbei wird der Lern/Projektfortschritt durch Präsentationen vorgestellt und (Teil-)Probleme und mögliche Lösungsansätze diskutiert. Portionierung der Lerninhalte und Zeiteinteilung der Bearbeitung erfolgt eigenständig. Nur die Teilnahme an den Mentoring-Seminaren ist verpflichtend. 1.3 Konkrete Umsetzung: Pilotphase im WS 2014/2015 Die Idee des “Projetbezogenen Studierens – Aktives Lernen im Team” soll konkret als “Projektstudium Antriebstechnik” umgesetzt werden und ab WS3 14/15 in einer Pilotphase starten. Hierzu sollen 8–16 Studierende ausgewählt und in vier Gruppen (à 2–4 Studenten) aufgeteilt werden. Die vier Gruppen (Teams) bearbeiten über ein Semester (WS) hinweg den Themenkomplex “Regelung von elektrischen Maschinen”. Es sollen die gängigsten Regelungsverfahren (z.B. Feldorientierte Regelung) für typische elektrische Maschinen (Gleichstrom-, Asynchron- und Synchronmaschine) erlernt und pro Gruppe an einem studentischen Laboraufbau (bestehend aus entsprechender Hardware) implementiert werden. 2 Hierbei sollte idealerweise die Lernumgebung/-situation der Anwendungsumgebung/-situation entsprechen [20]. 3 Sommersemester (SS) oder Wintersemester (WS) – ix – 1. Projektbezogen Studieren – Aktives Lernen im Team Das “Projektstudium Antriebstechnik” wird im WS14/15 in einer Pilotphase umgesetzt. Hierzu wird es in den Studiengang M.Sc. EI über die Anerkennung folgender drei Module des Lehrstuhls für Elektrische Antriebssysteme und Leistungselektronik eingebettet: • Vorlesung/Übung/Praktikum “Bewegungsteuerung durch geregelte elektrische Antriebe” (WS, 4 SWS, 5 ECTS4 ) • Projektpraktikum “Antriebstechnik” (WS/SS, 4 SWS, 6 ECTS) • Hauptseminar “Intelligente Verfahren in der Mechatronik” (SS/WS, 5 ECTS) Nach erfolgreichem Abschluss des Projektstudiums Antriebstechnik werden den Teilnehmern – zusätzlich zur Anerkennung von 16 ECTS in Form der oben genannten Module – Zertifikate mit Beschreibung des Lehrformates und der Aufgabenstellung ausgehändigt, die die besondere Lernleistung, Eigenständigkeit und Praxisorientierung der Teilnehmer bestätigen. Im Unterschied zum “klassischen” Studium dieser Module wird für die Studierenden des Projektstudiums die Teilnahme an den oben genannten Veranstaltungen nicht gefordert. Sie bearbeiten die Inhalte eigen- und (möglichst) selbstständig im Rahmen des Projektstudiums und bekommen nach erfolgreichem Abschluss genau diese Module anerkannt5 , d.h. analog zum herkömmlichen Studium sammeln die Teilnehmer des Projektstudiums innerhalb des Semesters insgesamt 16 ECTS (= 480 Stunden Arbeitsaufwand = 12 Wochen Vollzeit bei 40 Stunden/Woche). Individuelle Leistungsnachweise werden durch eine Abschlussprüfung, Präsentation(en) und einen Abschlussbericht erbracht. Im verpflichtenden, wöchentlichen Mentoring-Seminar (3 SWS) wird der aktuelle Projektstatus pro Gruppe regelmäßig präsentiert. Hier erhalten die Studierenden auch lernförderndes Feedback und aktive Beratung durch den Lehrenden (Mentor). Durch Impulsvorträge und -übungen werden essentielle Lehrinhalte (notwendig zur Lösung schwieriger Teilprobleme) erworben und im Anschluss im Team am Hardwareaufbau umgesetzt. 1.3.1 Ablauf • Semesterbegleitend im Wintersemester 14/15 • Konkrete Problemstellung “Regelung von elektrischen Maschinen” • Aktives, eigenständiges und praxisorientiertes Lernen im Team am eigenen Lehraufbau • Freie Zeiteinteilung (Besuch von Vorlesungen, Übungen und Praktika ist nicht erforderlich) • Wöchentliches Mentoring-Seminar (3 SWS): Präsentation des Projektstatus, direktes Feedback zum Lernfortschritt und problemlösungsorientierte Vermittlung von Lehrinhalten • Semesterbegleitende Beurteilung + Abschlussklausur 4 Die angegebenen Semesterwochenstunden (SWS) und European Credit Transfer System (ECTS) Punkte gelten ab WS1314. 5 Diese Umsetzungsidee ist mit Ordinarius Prof. Dr.-Ing. Ralph Kennel abgesprochen. –x– 1.4. Vision und Potenzial 1.3.2 Inhalt und Lernziele • Modellierung und Simulation (in Matlab/Simulink) von Gleichstrom-, Asynchron- & Permanentmagnetsynchronmaschine, leistungselektronischer Stellglieder (z.B. 4-Quadrantensteller, Spannungszwischenkreisumrichter) und elastischen Antriebssystemen (Zwei-Massen-System) • Simulation und Implementierung von Modulationsverfahren (z.B. Pulsweitenmodulation) • Regler-Entwurf, -Simulation und -Implementierung (Strom-, Drehzahl-, Positionsregler) in Rapid-Prototyping Umgebungen (z.B. xPC-Target, dSPACE) 1.4 Vision und Potenzial Eine Vision über zukünftige Hochschullehre schlägt ein verändertes Rollenverständnis für Lernende bzw. Lehrende vor: vom passiv zum aktiv lernenden Studierenden und vom “sage [=Weise/Dozent] on the stage” zum “guide [Mentor] on the side” (vgl. S.173 in [21]). Diese Vision teilt der Autor. Langfristig könnte sich das Gesicht der Hochschullehre dahingehend wandeln, dass die Studierenden problemlösungsorientiert (also projektbezogen) studieren und sich somit Tiefenverständnis und dauerhafte Kompetenzen aktiv und eigenständig aneignen. Impulsvorträge und -übungen (für essentielle Lehrinhalte) kombiniert mit Mentoring-Seminaren könnten langfristig klassische Vorlesungen und Übungen ersetzen. Somit würde ohne zeitlichen Mehraufwand ein Lernumfeld für aktives und sinnstiftendes Lernen geschaffen. “Klassische Lehrzeit” würde eingespart und stünde für die neuen Mentoring-Aufgaben der Lehrenden zur Verfügung. Durch die Bearbeitung im Team erproben die Studierenden die äußerst praxisrelevante Kooperationsfähigkeit und erleben Heterogenität (auch im Sinne der TUM Diversitygerechtigkeit). Im Team kommt es zu “Kooperativem Lernen” (z.B. wechselseitiges Unterrichten: “teaching is learning twice”). Unterschiede im Vorwissen können ausgeglichen und der Lernfortschritt in der Gruppe insgesamt maximiert werden. “Kooperatives Lernen” führt in der Regel • zu erhöhter Studentenzufriedenheit und gesteigerter Lernleistung sowohl in der Gruppe als auch beim einzelnen Studierenden (im Vergleich zum herkömmlichen IndividualStudium, vgl. S.141 in [21]), • zu insgesamt geringeren “Abbruchsquoten” und • zu erhöhter intrinsischer Motivation und somit Tiefenverständnis (vgl. S.141 in [21]). In den Augen des Autors hat das Lehrkonzept “Projektbezogen Studieren – Aktives Lernen im Team” langfristig Potential die Lehre qualitativ weiterzuentwickeln. Die Studierenden bleiben intrinsisch motiviert und lernen aktiv, problemlösungsorientiert und kooperativ. Aufgrund des klaren Praxisbezugs sind die Motivation für das Erlernen der nötigen Theorie(n) und der Feinheiten bei der Implementierung stets gegeben. Aktives Lernen, Tiefenverständnis und Kompetenzerwerb treten an die Stelle von “trägem [nicht aktiv nutzbarem] Wissen” (vgl. S.124 in [21]). In nahezu allen Ingenieurwissenschaften ist die Formulierung einer klaren Problemstellung möglich und die Bearbeitung im Team praxisrelevant, somit lässt sich die Idee “Projektbezogen Studieren – Aktives Lernen im Team” auf die meisten Fachbereiche direkt übertragen. – xi – 1. Projektbezogen Studieren – Aktives Lernen im Team Zu klären ist jeweils der finanzielle Aufwand für die Erweiterung der hierzu notwendigen studentischen Laboreinheiten (für das “Projektstudium Antriebstechnik” mussten 10.000 EUR einmalig investiert werden). Auch für größere Studentenzahlen kann das Projektstudium nahezu ohne weitere (dauerhafte) Kosten umgesetzt werden. Lediglich die Einmalausgaben für die Anschaffung der entsprechenden Laborausstattung sind zu tragen. Langfristige Kosten entstehen (wie im herkömmlichen Studium auch) durch Wartung und Beschaffung von Verbrauchsmaterial. Durch die Umsetzung des beschriebenen Lehrkonzeptes soll wichtiges Erfahrungswissen generiert und für die (Weiter-)Entwicklung innovativer Hochschullehre an der TUM genutzt werden. 1.5 Danksagung Der Autor möchte sich ganz besonders bei Prof. Dr. Florian Müller (Institut für Unterrichtsund Schulentwicklung, Uni Klagenfurt und Coach des “TUM ProLehre Intensivkurses”) und Prof. Dr.-Ing. Wolfgang Utschick (Studiendekan der Fakultät Elektrotechnik und Informationstechnik) für die so fruchtenden Diskussionen und Anregungen bei der Ideenentwicklung und der Konzepterstellung des Projektstudiums Antriebstechnik bedanken. – xii – Teil II Projekte 1 . Kapitel 2 Projekt 1: Gleichstrommaschine Im ersten Teil des Projektstudiums Antriebstechnik wird die Gleichstrommaschine (GM) behandelt. Obwohl Gleichstrommaschinen in modernen Anlagen zunehmend von Drehfeldmaschinen verdrängt werden, kommen sie aufgrund ihrer einfachen Regelbarkeit nach wie vor in verschiedenen Anwendungen zum Einsatz, z.B. als Scheibenwischermotoren oder in elektrischen Zahnbürsten. Da sich die für die Gleichstrommaschine verwendeten Regelungskonzepte nach geeigneten Transformationen auf Drehfeldmaschinen übertragen lassen, ist ein gutes Verständnis der GM für die Behandlung von Drehfeldmaschinen vorteilhaft. 2.1 Problemstellung Für eine fremderregte Gleichstrommaschine sollen • Stromregelung (Anker- & Erregerstrom) • Drehzahlregelung und • Positionsregelung entworfen, simuliert und implementiert werden. Als Regelkreisstruktur wird die (in der Industrie übliche) Kaskadenregelung verwendet: in den inneren Regelschleifen werden Anker- und Erregerstrom geregelt, während die äußereren Regelkreise Drehzahl- bzw. Positionsregelung übernehmen. Die kaskadierten Regelkreisstrukturen werden mithilfe von Matlab/Simulink entworfen, auf einem Realzeitsystem (Standard PC mit Realtime-Windows-Target von Mathworks) implementiert und an einer fremderregten Gleichstrommaschine getestet und ausgewertet. Lernziele und -inhalte: • Verstehen der Funktionsweise einer Gleichstrommaschine und eines 4-fach IGBT-Stromrichters (Mehrquadrantenpulssteller) • Verdrahten des Laboraufbaus (u.a. Sechspuls-Diodengleichrichters (B6U), Antrieb, Realzeitsystem) • Bestimmen der Streckenparameter von Gleichstrommaschine und 4-fach IGBT-Stromrichter • Entwerfen, Implementieren und Bewerten der Strom-, Drehzahl- und Positionsregelung im Ankerstell- und Feldschwächbereich und – 3/116 – 2. Gleichstrommaschine Abbildung 2.1: Laborarbeitsplatz. • Rapid-Prototyping mithilfe von Matlab/Simulink von kaskadierten Regelkreisstrukturen auf einem Realtime-Windows-Target Desktoprechner. 2.2 Laboraufbau Der praktische Teil des Projektes wird an einem Laborarbeitsplatz durchgeführt. Eine Übersicht des Arbeitsplatzes zeigt Abbildung 2.1. Ein Übersichtsplan der Komponenten, Verschaltung und der Mess- und Sollsignale ist in Abb. 2.2 dargestellt. Die verwendete fremderregte Gleichstrommaschine ist mit einem Tachogenerator ausgestattet, der starr an die Maschine gekoppelt ist (siehe Abbildung 2.3). Der Tachogenerator dient zur Erfassung der Motorwinkelgeschwindigkeit ωM . An die GM können zwei unabhängige (Gleich-)Spannungen angelegt werden: Ankerspannung uA und Erregerspannung uE . Im hier betrachteten Ankerstellbereich wird uE konstant gehalten, während uA variiert wird und als einzige Stellgröße fungiert. Zur Erzeugung von uA wird ein 4-fach IGBT-Stromrichter verwendet. Das IGBT-Modul ist in Abbildung 2.4 rechts dargestellt. Links in Abbildung 2.4 befindet sich ein RLC-Lastmodul, mit dem der Stromrichter zusätzlich belastet werden kann. Mittig ist das Netzteil zur Versorgung der Steuerelektronik mit 15 V Gleichspannung abgebildet. Die Erregerspannung uE liefert ein Diodengleichrichter, der über einen Trenntansformator gespeist wird (siehe Abbildung 2.5). m Als Messgrößen werden die Ankerspannung um A , der Ankerstrom iA sowie die Motorwinm kelgeschwindigkeit ωM erfasst. Sie werden nicht direkt gemessen, sondern jweils über eine zur Messgröße proportionale Spannung. Zur Verstärkung der gemessenen Spannungen ist ein Verstärkermodul vorhanden. Es ist in Abbildung 2.6 zusammen mit der Ansteuerelektronik für den IGBT-Stromrichter dargestellt. Als Schnittstelle zur I/O-Karte des Echtzeitrechners (xPC Windows Realtime Target von Mathworks) dient die in Abbildung 2.7 zusammen mit dem Messgerät zur Strom- oder Spannungsmessung gezeigte Buchsenplatte. 2.3 Simulation Für die spätere Implementierung soll nun vorerst ein valides Modell der GM und des VierQuadrantenstellers erarbeitet, implementiert und mithilfe von Matlab/Simulink simuliert – 4/116 – 2.3. Simulation Netz uverk = 0 a b c √ 3 · 230 V ≈ 400 V (verkettet) Trenntrafo Hilfsnetz u0′,verk = a′′ b c′ √ 3 · 94 V ≈ 163 V (verk.) B6-Brücke uDC 2-Level Umrichter iE CDC uA,ref s1 √ 3 2 ′,verk u π 0 ≈ 220 V uE = s1 Realzeitsystem I/O: NI PCI-6221 CPU: Intel i3 Prozessor s2 s2 uA iA ωM uA iA Kupplung GM Tacho Abbildung 2.2: Übersichtsbild des Laboraufbaus für GM (Projekt 1). – 5/116 – 2. Gleichstrommaschine (a) GM mit Tachogenerator (links). (b) Typenschild. Abbildung 2.3: Gleichstrommaschine (GM) des Laboraufbaus. Abbildung 2.4: RLC-Lastmodul, Netzteil, 4-fach IGBT-Modul (von links nach rechts). – 6/116 – 2.3. Simulation Abbildung 2.5: Diodenmodul und Trenntansformator. Abbildung 2.6: Netzteil, Messverstärker Stromrichter. und (Universal-)Ansteuerelektronik – 7/116 – für den IGBT- 2. Gleichstrommaschine Abbildung 2.7: Messgerät und Buchsenplatte zur Anbindung der I/O-Karte des Rechners. werden. Basierend auf den Modellen und deren Implementierung soll die kaskadierte Regelung des Antriebes erfolgen und simulativ getestet und validiert werden. 2.3.1 Modellbildung und Verhalten Hinweis: Um Ihnen die Implementierung (in Matlab/Simulink) zu erleichtern, nutzen Sie die unter http://www.cres.mse.tum.de/index.php?id=eof zur Verfügung gestellten Dateien GM_Simulation.mdl und GM_Simulation_Init.m (siehe GM.zip)! 2.3.1.1 Fremderregte Gleichstrommaschine (GM) Eine fremderregte GM ist im Zeitbereich gegeben durch Ankerkreis: Gegenspannung: Magnetisierung: Erregerkreis: Mechanik: Motormoment: uA (t) eA (t) ψE (t) uE (t) d ω dt M (t) mM (t) = = = = = = d eA (t) + RA iA (t) + LA dt iA (t) CM · ψE (t) · ωM (t) f (iE (t)) d RE iE (t) + dt ψE (t) 1 m (t) − mL (t) M ΘM CM · ψE (t) · iA (t). , iA (0) = 0 [A] (nichtlinear) , ψE (0) = 0 [Vs] , ωM (0) = 0 rad s (2.1) Hierbei sind uA [V] die Ankerspannung (Stelleingang des Ankerkreises), uE [V] die Erregerspannung (Stelleingang des Erregerkreises), iA , iE [A] der Anker- bzw. Erregerstrom, RA , RE [Ω] der Anker- bzw. Erregerwiderstand, LA Vs A die Ankerinduktivität, eA [V] die (induzierte) Gegenspannung, CM [1] die Motorkonstante, ψE [Vs] die radErregerflussverkettung mit nichtlinearer Magnetisierungskennlinie f : R → R [Vs], ω die MotorwinkelgeM s 2 schwindigkeit, ΘM kg m die (Rotor-)Trägheit, mM [Nm] das Motormoment und mL [Nm] das Lastmoment (Störung bzw. Reibung). Als direkte Messgrößen sollen Ihnen im Folgenden, der Ankerstrom iA (t), der Erregerstrom iE (t) und die Winkelgeschwindigkeit ωM (t) zur Verfügung stehen. Des Weiteren kennen Sie die nichtlineare Magnetisierungskennlinie f (iE ) in Abhängigkeit des Erregerstromes. Aufgabe 2.3.1 (Nichtlinearer Signalflussplan der fremderregten GM). Im Folgenden gelte: f (·)−1 existiere auf R, d.h. der Erregerstrom iE = f −1 (ψE ) kann eindeu– 8/116 – 2.3. Simulation Kenndaten des Versuchsaufbaus Beschreibung Symbol & Wert Einheit Nennleistung (mechanisch) Nenndrehzahl Nennankerspannung Nennankerstrom Nennerregerspannung Nennerregerstrom PN = 0.2 nM N = 2000 uAN = 230 iAN = 1 uEN = 230 iEN = 0.1 [kW] 1 max. Drehzahl nM, max = 6000 min 10−3 Ankerinduktivität Ankerwiderstand Erregerwiderstand LA = 380 · RA = 16.7 RE = 2.3 Rotorträgheitsmoment Maschinenkonstante ΘM = 0.0014 5 CM = 4π Periodendauer des Gleichrichters Zwischenkreisspannung 1 T = 1800 uDC = 540 [V] [A] [V] [A] 1 min Vs A [Ω] [kΩ] kg m2 [1] [s] [V] Tabelle 2.1: Parameter und Kenndaten einer Gleichstrommaschine. tig als Funktion der Flussverkettung ψE dargestellt werden (Vernachlässigung von z.B. Hysterese). Es soll der gesamte Signalflussplan (im Zeitbereich) aufgestellt werden, verwenden Sie hierzu folgende Symbole für Summationsstelle, Signalpfad, Konstante, Integrator, PT1 -Strecke, nichtlineare Funktion bzw. Multiplikation. (a) Zeichnen Sie den Signalflussplan des Ankerkreises (Eingänge: uA & eA ; Ausgang: iA )! (b) Zeichnen Sie den Signalflussplan der Mechanik (Eingänge: iA , ψE & mL ; Ausgang: ωM )! (c) Zeichnen Sie den Signalflussplan der Gegenspannung (Eingänge: ψE & ωM ; Ausgang: eA )! (d) Zeichnen Sie den Signalflussplan des Erregerkreises (Eingang: uE ; Ausgang: ψE )! (e) Zeichnen Sie mit den obigen Ergebnissen den gesamten nichtlinearen Signalflussplan der fremderregten GM (Eingänge: uA , uE & mL ; Ausgang: ωM )! Aufgabe 2.3.2 (Funktionsweise im Nennbetrieb). Es wird die vereinfachte nichtlineare Magnetisierungskennlinie ψE (iE ) = ψE0 arctan (iE /iE0 ) , ψE0 > 0 [Vs] , iE0 = 0.01 > 0 [A] (2.2) ohne Hysterese-Effekte angenommen. Dabei gilt ψE0 = ψEN / arctan(iEN /iE0 ) [Vs], so dass sich für den Nennstrom iEN [A] der Nennfluss ψEN [Vs] einstellt. Die zu untersuchende Gleichstrommaschine habe die Kenndaten in Tabelle 2.1: (a) Berechnen Sie Nennwinkelgeschwindigkeit ωM N [rad/s] und Nennmoment mM N [Nm]! – 9/116 – 2. Gleichstrommaschine (b) Berechnen Sie Nennflussverkettung ψEN [Vs] im Nennpunkt! (c) Berechnen Sie Leerlaufwinkelgeschwindigkeit ω0M N [Nm]! Was bedeutet Leerlauf ? (d) Welche Sollerregerspannung uE,ref [V] muss am Erregerkreis anliegen, so dass sich Nennflussverkettung ψE = ψEN einstellt? (e) Welche Sollankerspannung uA,ref [V] muss am Ankerkreis anliegen, so dass sich die Leerlaufwinkelgeschwindigkeit ω0M N einstellt? (f ) Öffnen Sie GM_Simulation.mdlund initialisieren Sie das Modell mithilfe der Datei GM_Simulation_Init.m! Ergänzen Sie diese um die Parametern aus Tabelle 2.1! (g) Geben Sie Erregerkreis und Ankerkreis die oben berechneten Sollspannungssprünge uE (t) = uE,ref · σ(t − tE ) und uA (t) = uA,ref · σ(t − tA ) zu den Zeitpunkten tE = 0.0 [s] und tA = 0.5 [s] vor und belasten Sie die Gleichstrommaschine zum Zeitpunkt tL = 1.5 s mit dem Nennmoment, d.h. mL (t) = mM N · σ(t − tL )! Überprüfen Sie die Funktionsweise im Nennbetrieb! 2.3.1.2 Vierquadrantensteller Der Ankerkreis der GM werden mithilfe eines Vierquadrantenstellers (Stromrichter) gespeist (siehe Abb. 2.8(a)). Die Ventile V1 bis V4 (hier: IGBTs mit Freilaufdioden) können vereinfacht als Schalter betrachtet werden, die durch Vorgabe der Gate-Signale s1 , s1 , s2 und s2 geöffnet bzw. geschlossen werden können (auch wenn stromführend). Im Folgenden werden die Schaltsignale als binäre Signale aufgefasst, d.h. s1 , s1 , s2 und s2 können 0 oder 1 als Wert annehmen. Um einen Kurzschluss der Zwischenkreisspannung uDC zu vermeiden, dürfen oberes und unteres Ventil nicht gleichzeitig leiten. Dies wird durch Anlegen entsprechend negierter Schaltsignale für oberes bzw. unteres Ventil sichergestellt, d.h. es gilt immer s1 = ¬s1 und s2 = ¬s2 . Für s1 = 1 und s1 = ¬s1 = 0 sind beispielsweise V4 kurzgeschlossen und V3 geöffnet, etc. Durch entsprechendes ‘Durchschalten’ von Ventilpaaren (z.B. V2 ∧ V3) kann die Spannung uA folgende Werte annehmen: s1 = s2 = 1 ∧ s2 = s1 = 0 V4 & V1 geschlossen s1 = s2 = 0 ∧ s2 = s1 = 1 V3 & V2 geschlossen =⇒ s1 = s2 = 1 ∧ s1 = s2 = 0 V4 & V2 geschlossen =⇒ s1 = s2 = 0 ∧ s1 = s2 = 1 =⇒ =⇒ V3 & V1 geschlossen uA = uDC uA = −uDC uA = 0 [V] uA = 0 [V] Durch einen netzgeführten Gleichrichter (B6-Brücke) wird bei Belastung (Stromfluss ungleich Null) die Zwischenkreisspannung uDC am Zwischenkreiskondensator CDC [As/V] (annähernd) konstant gehalten. Der 4-fach IGBT-Stromrichter arbeitet mit einer Schaltfrequenz von f = 1/T > 0 [Hz], d.h. innerhalb der Periodendauer T [s] kann einmal der Schaltzustand geändert werden. Aufgabe 2.3.3 (Funktionsprinzip und approximiertes Modell des Vierquadrantenstellers). (a) Abhängig von der Pulsbreite TP (t0 ) [s] (mit −T ≤ TP (t0 ) ≤ T ) und der zur Verfügung stehenden Zwischenkreisspannung uDC ergibt sich für das Ventilpaar V2 ∧ V3 (bzw. V1 ∧ V4) eine mittlere Spannung ūA (pro Periode, siehe Abb. 2.8(b)). Berechnen Sie ūA (t0 +T ) zum Zeitpunkt t0 + T ≥ 0 [s]! – 10/116 – 2.3. Simulation V2 [V] , [A] V4 s2 s1 uA (·) uDC i A uA uDC CDC s1 V1 V3 ūA s2 t0 t 0 + TP t 0 + T t [s] (a) Vierquadrantensteller (Stromrichter) (b) Pulsweitenmodulation (PWM) mit konstanter Pemit Ventilen V1-V4 (inkl. Dioden), riodendauer T [s], variabler Pulsbreite TP [s] und Zwischenkreisspannung uDC [V], Zwikonstanter Zwischenkreisspannung uDC [V]: Spanschenkreiskondensator CDC [As/V] nungsverlauf uA (·) mit Mittelwert ūA . und Ausgangsspannung uA [V] (später: Ankerspannung). Abbildung 2.8: 4-fach IGBT-Stromrichter und Pulsweitenmodulation (positive Ankerspannung) (b) Tp (t) wird zum Zeitpunkt t0 < t ≤ t0 + T verstellt. Wann erfolgt das nächste Schalten des Vierquadrantenstellers? Wann “liegt” die neue mittlere Spannung ūA am Ausgang an? (c) Skizzieren Sie in Abb. 2.8(b) den Stromverlauf iA (·) auf dem Intervall [t0 , t0 + T ] für eine d iA (t) = 1/LA uA (t)! (Annahme: iA (t) > 0) rein induktive Last, d.h. dt (d) Wie ändert sich der Stromverlauf iA (·) für eine ohmsch-induktive Last, d.h. uA (t) = d RA iA (t) + LA dt iA (t)? Skizzieren Sie den Verlauf qualitativ in Abb. 2.8(b)! (e) Welche “Totzeit” besitzt der Stromrichter? Ergibt sich für alle Pulsbreiten 0 ≤ TP ≤ T diese Totzeit? (f ) Es soll eine (mittlere) Referenzspannung −uDC < uA,ref < uDC gestellt werden. Berechnen Sie nötige Referenz-Pulsbreite Tp,ref ! (g) Zeichnen Sie den Signalfluss des Vierquadrantenstellers mit Eingang uA,ref und Ausgang ūA (Hinweis: Für eine Totzeitstrecke nutzen Sie folgenden Block: )! (h) Was passiert für eine schwankende Zwischenkreisspannung, d.h. uDC (t) 6= const.? (i) Für konstantes uDC approximieren Sie das dynamische Modell als PT1 -Strecke! Unter welcher Voraussetzung ist diese Vereinfachung zulässig? (j) Bestimmen Sie Verstärkung Vstr und Zeitkonstante Tstr des Stromrichters! (k) Implementieren Sie das lineare Streckenmodell (Totzeitglied) des Vierquadrantenstellers aus Aufgabe 2.3 (g) in GM_Simulation.mdlfür Anker- und Erregerkreis! Wiederholen Sie Aufgabe 2.2 (f )! Ergeben Sich Unterschiede? – 11/116 – 2. Gleichstrommaschine 2.3.2 Regelung im Ankerstellbereich (d.h. ψE = ψEN ) uA (s) Vstr Im Folgenden wird der Stromrichter vereinfachend als PT1 -Strecke uA,ref (s) = 1+s Tstr modelliert (d.h. ūA (t) = uA (t) für alle t ≥ 0). Der Erregerkreis ist so bestromt, dass sich für die Flussverkettung der Nennfluss einstellt, d.h. ψE (t) = ψEN für alle t ≥ 0. Aufgabe 2.3.4 (Ankerstromregelung). (a) Bestimmen Sie die Streckenübertragungsfunktion FS,ωM (s) = ωM (s) uA (s) ! (b) Für welche Trägheitswerte ΘM besitzt die Streckenübertragungsfunktion FS,ωM (s) = konjugiert komplexe Pole. Können Sie nach BO oder SO optimieren? ωM (s) uA (s) (c) In welchem Fall können Sie die Rückkopplung der Gegenspannung eA vernachlässigen? Ist dann eine EMK-Aufschaltung erforderlich? (d) Entwerfen Sie eine EMK-Aufschaltung (Hinweis: Störgrößenaufschaltung) unter Berücksichtigung der approximierten Dynamik des Vierquadrantenstellers! Was müssen Sie bei der Auslegung der EMK-Aufschaltung beachten? (e) Können Sie die Gegenspannung eA (t) c se (s) messen bzw. “nachbilden”? Wie? A (f ) Unter der Annahme einer idealen EMK-Kompensation wählen Sie einen Stromregler u (s) iA (s) FR,iA (s) = iA,refA,ref (s)−iA (s) für die Strecke FS,iA (s) = uA,ref (s) mithilfe der Optimierungstabelle aus! Welches Optimierungskriterium wenden Sie an? Warum? (g) Bestimmen Sie Streckenverstärkung VS,iA , die kleine Tσ,iA und die große T1,iA Zeitkonstante von FS,iA (s)! Legen hiermit Sie die Reglerparameter von FR,iA (s) fest! (h) Implementieren Sie die EMK-Aufschaltung und die Stromregelung der fremderregten GM in GM_Simulation.mdl! Ergänzen Sie die Reglerparametrierung und Störgrößenaufschaltung in GM_Simulation_Init.m! (i) Simulieren Sie das Verhalten des Regelkreises bei einer rechteckigen Verlauf des Stromsollwertes iAN iA,ref (t) = (σ(t − tA ) − σ(t − 2tA )), 2 d.h. ab tA = 0.5 s soll der halbe Nennstrom eingeprägt werden. (j) Bestimmen Sie Anregelzeit, Ausregelzeit (bei einem Toleranzband von ±2%) und maximales Überschwingen! Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse mit den Vorgaben der Optimierungstabelle. Gibt es Abweichungen (Begründung)? (k) Berechnen Sie die Übertragungsfunktion FRK,iA (s) = FR,iA (s)FS,iA (s) iA (s) = iA,ref (s) 1 + FR,iA (s)FS,iA (s) des geschlossenen Stromregelkreises! (l) Unter welcher Annahme können Sie den Regelkreis FRK,iA (s) als PT1 -Strecke ers FRK,i (s) = A 1 iA (s) ≈ FRK,iA (s) = 1 + sTers,iA iA,ref (s) approximieren? Bestimmen Sie für diesen Fall die Ersatzzeitkonstante Ters,iA ! – 12/116 – (2.3) 2.3. Simulation Aufgabe 2.3.5 (Ankerstromregelung mit Stromistwertglättung). Die Strommessung sei stark verrauscht. Daher implementieren Sie im Rückführzweig zusätzlich ein Stromistwertglättung mit Tiefpassfilter Fg,iA (s) = îA (s) 1 = . iA (s) 1 + s Tg,iA (2.4) mit Zeitkonstante Tg,iA > 0 [s] (wobei gelte Tg,iA , Tstr TA ). Die EMK-Aufschaltung kompensiere den Einfluss der Gegenspannung vollständig. (a) Ergänzen Sie den Signalflussplan (Ankerkreis) aus Aufgabe 2.1 um die Stromistwertglättung! (b) Stellen Sie die relevante Streckenübertragungsfunktion 0 FS,i (s) = A VS,iA îA (s) = uA,ref (s) (1 + s Tσ,iA )(1 + s T1,iA ) (2.5) auf ! Bestimmen Sie die kleine Summationszeitkonstante Tσ, iA [s] und die große Zeitkonstante T1, iA [s] der Strecke FîA (s) und deren Verstärkung VS, iA [A/V]! (Hinweis: Addition der beiden kleinen Zeitkonstanten!) (c) Entwerfen Sie mithilfe der Optimierungstabelle einen Stromregler 0 FR,i (s) = A uA,ref (s) (2.6) iA,ref (s) − îA (s) für gutes Führungsverhalten! Welches Optimierungskriterium wenden Sie an? (d) Wiederholen Sie die Teilaufgaben (h)-(j)! Es gelte Tg,iA = 0.005 [s]. (e) Berechnen Sie die Übertragungsfunktion 0 FRK, (s) îA 0 0 FR,i (s) FS, (s) îA (s) A îA = = 0 0 iA,ref (s) 1 + FR,i (s) FS, (s) A î (2.7) A des geschlossenen Stromregelkreises mit Istwertglättung und entsprechender Reglerauslegung! (f ) Wiederholen Sie Teilaufgabe 2.4 (l)! Verwenden Sie hierbei die Übertragungsfunktion (2.5) und beachten Sie den Zusammenhang zwischen iA (s) und îA (s) aufgrund der Stromist0 wertglättung (2.4)! Wie groß ist Ters,i mit Istwertglättung? (Hinweis: Polynomdivision A notwendig!) Aufgabe 2.3.6 (Drehzahlregelung). (a) Stellen Sie mithilfe der Ersatzübertragungsfunktion (2.3) die (genäherte) Streckenübertragungsfunktion FS,ωM (s) = VS, ωM ωM (s) = iA,ref (s) s T1,ωM (1 + s Tσ,ωM ) für den Drehzahlreglerentwurf auf ! – 13/116 – (2.8) 2. Gleichstrommaschine (b) Bestimmen Sie die kleine Summationszeitkonstante Tσ, ωM und die Verstärkung VS, ωM der Strecke FS,ωM (s) für Nennflussverkettung ψE = ψEN = konst. und große Zeitkonstante T1, ωM = 1 [s]. Warum ist diese Wahl für T1, ωM zulässig? (c) Welcher Streckentyp liegt vor? (d) Mithilfe der Optimierungstabelle wählen und parametrieren Sie den Drehzahlregler FR,ωM (s) = iA,ref (s) ! ωM,ref (s) − ωM (s) Benötigen Sie einen integralen Anteil im Regler? Wenn ja, warum? (e) Erweitern Sie GM_Simulation.mdl und GM_Simulation_Init.m um den entworfenen Drehzahlregler! Simulieren Sie für tω = 0.5 s das Verhalten des Regelkreises bei sprungförmiger Änderung des Drehzahlsollwertes ωM,ref (t) = ωM N · σ(t − tω )! 2 (f ) Bestimmen Sie wieder Anregelzeit, Ausregelzeit und maximales Überschwingen (für den ersten Sprung). Gibt es Abweichungen zu den Vorgaben in der Optimierungstabelle (Begründung)? (g) Berechnen Sie die Übertragungsfunktion des geschlossenen Drehzahlregelkreises FRK,ωM (s) = FR,ωM (s)FS,ωM (s) ωM (s) = ωM,ref (s) 1 + FR,ωM (s)FS,ωM (s) (2.9) (h) Bestimmen Sie mithilfe der Optimierungstabelle die Überschwingweite! Weshalb kommt es zu einem Überschwingen? (i) Wie können Sie das Überschwingen des geschlossenen Regelkreises reduzieren? (j) Implementieren Sie die Maßnahme in GM_Simulation.mdl und ergänzen Sie GM_Simulation_Init.m entsprechend! (k) Erweitern Sie ihre Solltrajektorie um einen zweiten Sollwertsprung, so dass sich folgender Verlauf ωM N 3 ωM,ref (t) = · σ(t − tω ) + σ(t − 5tω ) 2 2 einstellen wird. Wird der Sollwert von 2ωM N nach dem zweiten Sprung erreicht? Wie hoch ist hierbei die (dauerhaft) anliegende Ankerspannung? Sehen Sie Schwierigkeiten? (l) Berechnen Sie aus nM,max die maximal zulässige Winkelgeschwindigkeit ωM,max ! Kann diese erreicht werden, ohne die Maschine zu schädigen? 2.3.3 Regelung im Feldschwächbereich (d.h. ψE ≤ ψEN ) Um den vollen Drehzahlbereich |ωM | ≤ ωM,max der Maschine ausnutzen zu können, braucht man noch zusätzlich eine Eingriffsmöglichkeit, um den Erregerfluss ψE zu beeinflussen. Hierzu wird eine Erregerstromregelung entworfen und entsprechend Abb. 2.10 implementiert. Das Prinzip entspricht der Ankerstromregelung (vgl. Abb. 2.10). Zu beachten ist jedoch die nichtlineare Magnetisierungskennlinie (2.2) zur Erzeugung des Flusses ψE . Hierzu soll eine – 14/116 – 2.3. Simulation Nennpunkt [W] , [V] , [Vs] PN P eAN eA ψEN ψE ∝ mM ∝ 1 ωM ωM N Ankerstellbereich ψE = ψEN ωM [rad/s] Feldschwächbereich ψE ≤ ψEN Abbildung 2.9: Betriebsbereiche eines Gleichstromantriebes. geeignete Approximation gefunden werden, die näherungsweise eine lineare Reglerauslegung zulässt. Wie aus Abb. 2.9 abzulesen ist, wird im Ankerstellbereich bei konstantem Fluss ψE = ψEN (Nennerregerfluss) die Drehzahl über die Ankerspannung gesteuert bzw. geregelt, bis die Nenngegenspannung eAN erreicht ist. Möchte man die Drehzahl weiter steigern, ohne die Maschine zu überlasten (d.h. Ankerstrom iA und Ankerspannung uA nicht dauerhaft über ihre Nenngrößen erhöhen), muss das Erregerfeld – also der Fluss ψE – geschwächt werden, damit die Gegenspannung eA nicht weiter ansteigt. Dabei muss der Fluss ψE ∝ 1/|ωM | umgekehrt proportional zur Winkelgeschwindigkeit ωM gesenkt werden. Dadurch ergibt sich jedoch bei Nennankerspannung uA = uAN und Nennankerstrom iA = iAN eine Reduzierung des nutzbaren Drehmoments mM ∝ ψE iAN . Nur so ermöglicht die Feldschwächung, ohne Überdimensionierung des Antriebes (Nennleistung), einen erweiterten Drehzahlbereich. Aufgabe 2.3.7 (Erregerstromregelung). (a) Bestimmen Sie die maximal zulässige Winkelgeschwindigkeit ωM,max ! Nutzen Sie die Daten aus Tabelle 2.1! (b) Welcher Erregerfluss ψE,min muss eingestellt werden, um ωM,max zu erreichen und dabei nicht dauerhaft Ankernennspannung uAN und Ankernennstrom iAN zu überschreiten? (c) Zeichnen Sie ψE, min in Abb. 2.11 ein und markieren sie den zugehörigen Strom iE,min ! (d) Betrachten Sie Abb. 2.11! Warum macht eine Linearisierung der Magnetisierungskennlinie (2.2) um iE = 0 [A] als auch iE = iEN keinen Sinn? Welche Näherung schlagen Sie vor? (Hinweis: Sekanteninduktivität!) – 15/116 – – 16/116 – ω̂M ψ̂E − B3 B2 B1 êA VST R 1 Tg,iE,ref CM VST R 1 ψEN Implementierung ψE,ref ωM,ref VR,ωMTn,ωM 1 Tg,iA îE 1 Tg,ωM 1 Tg,iE VR, iE Tn, iE − iE,ref îA − iA,ref VR, iA Tn, iA + m ωM im E uE,ref im A uA,ref uA uE n Sensor n Sensor Stromrichter (approx.) Vstr Tstr n Sensor Stromrichter (approx.) Vstr Tstr − eA − RE 1 RA iA iE d dt CM CM ψE f (·)−1 ψE mM − 1 ΘM ωM Gleichrichter, Sensorik & Gleichstrommotor TA mL 2. Gleichstrommaschine Abbildung 2.10: Signalflussplan einer geregelten fremderregten GM mit Feldschwächung. 2.3. Simulation 3 Erregerfluss ψE [V s] 2.5 2 1.5 1 0.5 0 ψE (ψEN , iEN ) 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 Erregerstrom iE [A] Abbildung 2.11: Nichtlineare Magnetisierungskennlinie wie in (2.2) (ohne Hysterese). (e) Wie sieht die genäherte lineare Streckenübertragungsfunktion FS,îE (s) = îE (s) uE,ref (s) des Erregerstromkreises unter Vernachlässigung der Spannungsbegrenzung aus? Beachten Sie die Messwertglättung in der Strecke mit Tg,iE = 0.002 [s]! Bestimmen Sie die kleine Zeitkonstante Tσ,iE , die große Zeitkonstante T1,iE und die Verstärkung VS,iE der Strecke! (f ) Entwerfen Sie mithilfe der Optimierungstabelle einen Erregerstromregler FR,iE (s) = uE,ref (s) iE,ref (s) − îE (s) ! Benötigen Sie einen Regler mit integralem Anteil? (g) Wie kann aus einem gegebenen Sollerregerfluss ψE,ref der entsprechende Sollerregerstrom iE,ref bestimmt werden? Sehen Sie Schwierigkeiten bei der Implementierung von B2 und der so realisierten Stromsollwertgenerierung? (h) Erweitern Sie Ihre Implementierung in GM_Simulation.mdl und GM_Simulation_Init.m, um den entworfenen Erregerstromregler und die invertierte Magnetisierungskennlinie (siehe B2 in Abb. 2.10). Deaktivieren Sie die Sensorik durch Eingabe von “ENABLE_SENSORS = 0”! Simulieren Sie dann das Verhalten des Regelkreises bei einer sprunghaften Änderung des Erregerfluss ψE,ref (t) = ψEN σ(t − tE )! Entspricht die geglättete Erregerstrom-Sprungantwort îE (t) (auf den Erregerstrom-Sollwertsprung iE,ref (t) = f (ψEN )σ(t − tE )) dem erwarteten Verlauf gemäß der Optimierungstabelle (Begründung)? (i) Senken Sie zum Zeitpunkt 5tω = 2.5 s (gleichzeitig mit der Änderung von ωM,ref (t), siehe oben) den Flusssollwert von ψEN auf ψE,min durch die Sollwertvorgabe ψE,ref (t) = ψEN σ(t − tE ) + (ψE,min − ψEN )σ(t − 5tω ) für den Erregerfluss. Kann nun die maximale Winkelgeschwindigkeit angefahren werden – 17/116 – 2. Gleichstrommaschine ohne dabei die Ankernennspannung uAN dauerhaft zu überschreiten? Aufgabe 2.3.8 (Feldschwächung und Sollwertgenerierung). (a) Mit welchem (minimalen) Lastmoment mL,min kann die GM noch belastet werden, wenn der Fluss auf ψE,min gesenkt wurde und der Ankerstrom dauerhaft nicht iAN übersteigen soll? (b) Überlegen Sie sich für Ankerstell- und Feldschwächbereich eine Online-Anpassung des Erregerfluss-Sollwertverlaufes ψE,ref in Abhängigkeit der Sollwinkelgeschwindigkeit ωM,ref ! Beachten Sie hierbei dass für |ωM,ref | > ωM N Feldschwächung einsetzen muss! (c) Warum müssen Sie im Drehzahlregelkreis Block B1 (siehe Abb. 2.10) mit der Division ψ durch ψE,ref einfügen? Erinnern Sie sich hierzu nochmals an die Auslegung des GeschwinEN digkeitsregels FR,ωM (s)! Sehen Sie Schwierigkeiten bei der Implementierung? (d) Ergänzen Sie Ihr Modell in GM_Simulation.mdl um noch fehlende Blöcke aus Abb. 2.10! Implementieren Sie auch die Online-Anpassung des Erregerfluss-Sollwertverlaufes aus (c)! (e) Abschließend implementieren Sie eine Sättigung der Sollwinkelgeschwindigkeit ωM,ref , so dass ωM,max ≥ |ωM,ref | nicht überschritten werden kann! (Beachten Sie beide Drehrichtungen!) (f ) Implementieren Sie eine Sollwert-Rampe ωM,ref (t) = 3ωM N · t · σ(t − tω ) 4 ab dem Zeitpunkt tω = 0.5 s. Des Weiteren belasten Sie die Maschine zum Zeitpunkt tL = 5 s mit dem Lastmoment mL (t) = mL,min σ(t − tL )! Simulieren Sie Ihren Aufbau bis zum Simulationsende von tend = 6 s und betrachten die Signale ωM , iA und iE ! Bewerten Sie die Ergebnisse! (g) Aktivieren Sie die Sensorik durch Eingabe von “ENABLE_SENSORS = 1” und wiederholen Sie den vorigen Versuch. Wie beurteilen Sie nun die Ergebnisse, v.a. achten Sie auf den Ankerstrom iA und den Ausgang der EMK-Aufschaltung êA /Vstr ? Überlegen Sie sich eine Möglichkeit, die zu einem besseren Ergebnis führt (Hinweis: Nutzen Sie keine geglätteten Messwerte)! (h) Ändern Sie die Parameter in den Blöcken B2 und B3 in einem Bereich von ±50%! Haben Parameterunsicherheiten Einfluss auf die Reglerperformanz (Begründung)? Aufgabe 2.3.9 (Positionsregelung). Im Folgenden sei angenommen, dass zusätzlich noch der Motorwinkel φM [rad] als Istposition gemessen wird und als Messgröße vorliegt. Zur Vereinfachung seien Istposition und Istgeschwindigkeit nicht verrauscht. Somit sei keine Istwertglättung nötig. (a) Wie muss die Mechanik im Modell (2.1) des Gleichstrommotors erweitert werden, um auch den Motorwinkel zu berücksichtigen? – 18/116 – 2.3. Simulation (b) Zeichnen Sie den (vereinfachten) Signalflussplan des Positionsregelkreises (Eingänge: φM,ref & mL ; Ausgang: φM )! Berücksichtigen Sie hierbei die Mechanik, die Ersatzübertragungsers funktion FRK,i (s), den Drehzahlregler FR,ωM (s) und den Positionsregler FR,φM (s)! A (c) Bestimmen Sie die Führungs- FφM,ref (s) = φM (s) φM,ref (s) und Störübertragungsfunktion des φM (s) mL (s) ! Positionsregelkreises FmL (s) = (Hinweis: Berechnen Sie φM (s) = f (φM,ref (s), mL (s)) und lösen dann entsprechend auf !) (d) Welcher Regler FR,φM (s) erzielt bereits gutes Störverhalten? Nehmen Sie hierzu an, dass für eine Positionsregelung mit Regler FR,φM (s) das Störverhalten durch FmL (s) = φM (s) = mL (s) = 1 + s 4Ters,iA + 1 FR,φM (s) s8Ters,iA (1 + sTers,iA ) + 4T A s2 FR,φers,i(s) M + s3 2 8Ters,i A FR,φM (s) + s4 3 8Ters,i A FR,φM (s) ΘM FR,φM (s) (2.10) gegeben ist. (e) Erreicht dieser Regler auch gutes Führungsverhalten? Nehmen Sie hierzu an, dass für eine Positionsregelung mit Regler FR,φM (s) das Führungsverhalten durch FφM,ref (s) = = φM (s) = φM,ref (s) 1 + s 4Ters,iA + gegeben ist. 1 FR,φM (s) 1 + s4Ters,iA + 4T A s2 FR,φers,i(s) M + s3 2 8Ters,i A FR,φM (s) + s4 3 8Ters,i (2.11) A FR,φM (s) (f ) Es gelte FR,φM (s) = VR,φM . Für welche Werte von VR,φM ist der geschlossene Regelkreis φM (s) FφM,ref (s) = φM,ref (s) wie in (2.11) stabil? (Hinweis: Hurwitz-Kriterium in Formelsammlung!) (g) Verifizieren Sie Ihre Untersuchung aus (f ) indem Sie die Wurzelortskurve der Regelstrecke FS,φM (s) = 1 + s 4Ters,iA φM (s) = 2 3 ωM,ref (s) s(1 + s 4Ters,iA + s2 8Ters,i + s3 8Ters,i ) A A für die Positionsregelung aufzeichnen! (Hinweis: rlocus in Matlab/Simulink!) (h) Erweitern Sie Ihre Implementierung in GM_Simulation.mdl und GM_Simulation_Init.m, um den entworfenen Positionsregler FR,φM (s) = VR,φM ! Deaktivieren Sie die Sensorik durch Eingabe von “ENABLE_SENSORS = 0”! Für tφ = 1 [s] und VR,φM = 10 [1/s] simulieren Sie das Verhalten des Regelkreises bei einer sprunghaften Änderung des Sollwinkels φM,ref (t) = π π σ(t − tφ ) − σ(t − 4 tφ )! 4 2 Erhöhen Sie VR,φM in 10er Schritten! Wie ändert sich die Systemantwort des Positionsregelkreises (Anregelzeit, Ausregelzeit, Überschwingen und Stabilität)? – 19/116 – 2. Gleichstrommaschine 2.4 2.4.1 Implementierung Laboraufbau: Komponenten, Schnittstelle und Signale Der Laborauf besteht aus Gleichstrommotor mit starr gekoppeltem Tachogenerator (siehe Abb. 2.12) und (Universal-)Ansteuerelektronik (siehe Abb. 2.15 rechts) jeweils für IGBTModul (siehe Abb. 2.13(a)) und Thyristor-/Diodenmodul (siehe Abb. 2.13(b)). Die Leistungsmodule werden über Trenntrafo und/oder Gleichrichter (AC/DC) aus dem Dreiphasensystem mit Energie gespeist (siehe Abb. 2.14 links) und können über das RLC-Lastmodul (siehe Abb. 2.14 rechts) belastet werden. Ströme und Spannung lassen sich mithilfe des Messgerätes (siehe Abb. 2.16(b)) im gesamten Bereich messen. Die in Abb. 2.16(a) dargestellte Buchsenplatte dient als Schnittstelle zur I/O Karte NI PCI-6221 (37pin) im Host/Target Rechner und erlaubt Ein- und Ausgabe über drei differentielle Analogeingänge AI0, AI1 und AI2 (Summenabtastrate 250 [kHz], Auflösung 16 [bit], Messbereiche ±0.2, ±1, ±5, ±10 [V]), zwei analoge Ausgänge AO0 und AO1 (Auflösung 16 [bit], Ausgangsbereich ±10 [V]) und einen digitalen Ausgang DOP 0.0 (TTL-Pegel). In Tabelle 2.2 sind einige Kerndaten des GM zusammengefasst (Vervollständigung erfolgt bei der Versuchsdurchführung). Es werden drei Messgrößen als Spannung erfasst : • die Ankerspannung uA [V] zwischen OUT U & OUT V (siehe Abb. 2.13a) über Messverstärker A mit Verhältnis 250 : 2, 5 [1]: Abgriff der zu uA proportionalen Spannung uY 1 an Y1 mit BNC-Kabel (siehe Abb. 2.15) und Anschluss an AI0 der Buchsenplatte (siehe Abb. 2.16(a)); • der Ankerstrom iA [A] als Spannung uR3 [V] an Widerstand R3 (siehe Abb. 2.13(a)) über Messverstärker D mit Verhältnis 2, 5 : 2, 5 [1]: Abgriff der zu iA proportionalen Spannung uY 2 an Y2 mit BNC-Kabel (siehe Abb. 2.15) und Anschluss an AI1 der Buchsenplatte (siehe Abb. 2.16(a)); • die Motordrehzahl ωM [rad/s] als Spannung uT G [V] am Tachogenerator (zwischen roter & schwarzer Buchse, siehe Abb. 2.12) mit 1 [V] = 1000 [U/min]: Anschluss an AI2 der Buchsenplatte (siehe Abb. 2.16(a)). Die Sollankerspannung uA,ref wird über die Ausgabespannung an AO0 der Schnittstelle (zw. roter & schwarzer Buchse, siehe Abb. 2.16(a)) an die Steuerelektronik (Spannung zw. A & B, siehe Abb. 2.15) übergeben (Poti auf Anschlag rechts). Hierbei gilt folgender Zusammenhang zwischen Spannungsvorgabe und Pulsbreite: 10 [V] → TP = 100% T ∧ uA = uDC , d.h. Ventilpaar V2 ∧ V3 aktiv 5 [V] → TP = 0% T ∧ uA = 0 und 0 [V] → TP = 100% T ∧ uA = −uDC , d.h. Ventilpaar V1 ∧ V4 aktiv. (2.12) Die Schnittstellenausgänge AO1 und DOP 0.0 werden nicht benötigt. 2.4.2 Laboraufbau: Bedienung und Implementierung Legen Sie den Kippschalter RUN/STOP auf STOP (siehe Abb. 2.15) und den Motorabschalter auf 0 (siehe Abb. 2.14). Drehen Sie den Poti auf Anschlag rechts (siehe Abb. 2.15). Verdrahten Sie die Module mit Jumpern bzw. Steckerverbindungen (weiss) entsprechend den Abb. 2.13, 2.14 und 2.15. Verbinden Sie auch die obere (Universal-)Steuerelektronik mit dem Netzteil (siehe Abb. 2.15). Treffen Sie entsprechend Abb. 2.15 die vorgegebene Auswahl (gelb) mithilfe der Kippschalter und des Drehschalters der Universalsteuerelektronik. Verbinden Sie – 20/116 – 2.4. Implementierung Beschreibung Symbol & Wert Nennleistung Nenndrehzahl Nennankerspannung Nennankerstrom Nennerregerspannung Nennerregerstrom PN = 0.2 [kW] 1 nM N = 2000 min ⇒ ωM N = uAN = 230 [V] iAN = 1 [A] uEN = 230 [V] iEN = 0.1 [A] max. Ankerstrom max. Erregerstrom iA, max = 3 [A] iE, max = 0.3 [A] Vs LA = A RA = [Ω] RE = [Ω] ΘM = kg m2 VGM = CM 1ΨEN = Ankerinduktivität Ankerwiderstand Erregerwiderstand Rotorträgheitsmoment Verstärkung GM Periodendauer des Gleichrichters Zwischenkreisspannung Verstärkung des Gleichrichters Zeitkonstante des Gleichrichters 1 T = 1800 [s] uDC = 230 [V] Vstr = Tstr = Widerstände auf RLC-Lastmodul Widerstand auf IGBT-Modul Ri = 270 [Ω] , i ∈ {1, 2, 3} R3 = 1.5 [Ω] 1 Vs rad s [1] [s] Tabelle 2.2: Kenndaten des Versuchsaufbaus (unvollständig!) Abbildung 2.12: Tachogenerator (mit Ausgangsspannung uT G [V]) und Gleichstrommaschine (mit Anschlüssen A1 & A2 für Ankerkreis und E1 & E2 für Erregerkreis). – 21/116 – 2. Gleichstrommaschine (a) IGBT-Modul (b) Thyristor-/Diodenmodul Abbildung 2.13: Leistungselektronikmodule. Abbildung 2.14: Transformator (für Phasen L1, L2 und L3) und RLC-Lastmodul. – 22/116 – 2.4. Implementierung Abbildung 2.15: Messverstärker, Netzteil und Universalsteuerelektronik für Stromrichter-Module. (a) Schnittstelle für I/O-Karte NI PCI-6221 (37pin) zur Anbindung an Realtime-Windows-Target. (b) Spannungs- und Strommessgerät. Abbildung 2.16: Schnittstellen und Messgerät. – 23/116 – 2. Gleichstrommaschine die einzelnen Module mit der Schnittstelle (AI0, AI1, AI2 und AO0, siehe Abb. 2.16a) entsprechend der Beschreibung auf Seite 20. In Matlab/Simulink stehen Ihnen die vorgefertigte Dateien ‘GM_Implementierung_Init.m’ (Matlab-Skript) und ‘GM_Implementierung.mdl’ (Simulink-Modell) zur Verfügung. Während der Versuchsdurchführung ergänzen Sie beide Dateien entsprechend der Aufgabenstellungen. Zur Initialisierung Ihres Simulink-Modells ‘GM_Implementierung.mdl’ drücken Sie F5 im Matlab-Editor bei geöffnetem Skript ‘GM_Implementierung_Init.m’. Zur Erzeugung (buildprocess) eines realzeitfähigen Programms zur Regelung der GM auf dem Target/Host PC mithilfe von Realtime-Windows-Target drücken Sie STRG+B im geöffnetem Simulink-Modell ‘GM_Implementierung.mdl’. 2.4.3 Vorgehensweise und Arbeitsschritte Achtung: Gehen Sie bei Ihrer Versuchsdurchführung sorgfältig vor und überprüfen Sie Ihre Steckverbindungen. Bevor Sie Motor und Gleichrichter mit Energie speisen (d.h. Motorabschalter auf I, siehe Abb. 2.14 links) und die Pulsweitenmodulation (PWM) frei schalten (d.h. Kippschalter RUN/STOP auf RUN, siehe Abb. 2.15), prüfen Sie Ihre Verdrahtung sorgfältig (Mehraugenprinzip)! Bei Problemen während einer Messung bzw. nach jeder Messung schalten Sie den Kippschalter RUN/STOP auf STOP (“Notaus”) zurück! Bevor Sie Verdrahtungen bzw. Steckverbindungen ändern, stellen Sie sicher, dass der Kippschalter auf STOP und der Motorabschalter auf 0 geschaltet sind! Aufgabe 2.4.1 (Signalanpassung). Es sollen die Messspannungen in Signale mit in SIEinheiten (z.B. im A in [A]) gewandelt werden und die Sollankerspannung uA,ref [V] in eine Schnittstellenausgangsspannung proportional zur Pulsbreite umgesetzt werden. Hierzu ist eine entsprechende Signalanpassung (SA) notwendig. SA (·) von [V] nach [V], so dass um (a) Bestimmen Sie die Signalanpassung fuSA A = fuA (uY 1 ) [V]! A Berücksichtigen Sie das Verhältnis des Messverstärkers A. SA (b) Bestimmen Sie die Signalanpassung fiSA (·) von [V] nach [A], so dass im A = fiA (uY 2 ) [A]! A Berücksichtigen Sie das Verhältnis des Messverstärkers D und den Abgriff über Widerstand R3 = 1.5 [Ω]. (c) Bestimmen Sie die Signalanpassung fωSA (·) von [V] nach [rad/s], so dass M m SA ωM = fωM (uT G ) [rad/s]! Berücksichtigen Sie den Proportionalitätsfaktor des Tachogenerators und die Wandlung nach [rad/s]. (d) Implementieren Sie Ihre Signalanpassungen mithilfe Matlab/Simulink im Subsystem ‘Signalwandlung für Messgrößen’ des ‘GM_Implementierung.mdl’ (Simulinkmodell)! (e) Bestimmen Sie die Signalanpassung fTSA (·) für die Pulsbreite TP (siehe (2.12)), so dass P SA ? TP = fTP (UA ) [V]! Berücksichtigen Sie den Ausgangsspannungsbereich [0, 10 [V]] und die als konstant angenommen Zwischenkreisspannung uDC = 230 [V]. – 24/116 – 2.4. Implementierung (f ) Implementieren Sie Ihre Signalanpassung mithilfe Matlab/Simulink im Subsystem ‘Signalwandlung für Eingangsgrößen’ des ‘GM_Implementierung.mdl’ ! Begrenzen Sie den Eingang uA,ref auf den Bereich [−230, 230] [V]. – 25/116 – 2. Gleichstrommaschine 2.4.3.1 Ankerstromregelung Hinweis: Sie können durch Aufruf (F5 im Editor drücken) des Matlab-Skriptes ‘GM_Implementierung_Figureplotter.m’ eine Figure erzeugen, die – jeweils über der m , ω̂ , ω m m Zeit t [s] – die Größen ωM M M,ref [rad/s], iA , îA , iA,ref [A] und uA , ūA , uA,ref [V] darstellt. Speichern Sie die erzeugten Figuren jeweils in einem geeigneten Verzeichnis ab. Aufgabe 2.4.2 (Nenngrößen). (a) Berechnen Sie die Nennwinkelgeschwindigkeit ωM N [rad/s] und das Nennmoment mM N [Nm] des Gleichstrommotors! (b) Berechnen Sie (symbolisch) die stationäre Verstärkung VGM = CM 1ψEN rad Vs des Gleichstrommotors im Nennpunkt! (c) Berechnen Sie (symbolisch) die Leerlaufwinkelgeschwindigkeit ω0M N [Nm] des Gleichstrommotors? (d) Welche Erregerspannung uE [V] muss am Erregerkreis anliegen, so dass sich Nennfluss ψEN einstellt? (e) Welche Ankerspannung uA [V] muss am Ankerkreis anliegen, so dass sich die Leerlaufdrehzahl ω0M N einstellt? Aufgabe 2.4.3 (Bestimmen (Schätzen) der Ankerkreisparameter). (a) Messen Sie mithilfe des Multimeters den Ankerkreiswiderstand RA [Ω] und tragen Sie den Wert in ‘GM_Implementierung_Init.m’ ein! (b) Bestimmen Sie Verstärkung Vstr und Zeitkonstante Tstr des selbstgeführten IGBT-Stromrichters! Müssen Sie Ihre Signalwandlung aus Aufgabe 2.4.1e berücksichtigen? (c) Überlegen Sie sich eine Möglichkeit zur Schätzung der Ankerzeitkonstante TA = LA /RA [s]! 0 [s] (wobei R0 = R2 + R3 + R + (d) Bestimmen Sie die Ankerzeitkonstante TA0 = LA /RA A A P R , siehe Tab. 2.2). Begrenzen Sie bei Ihrer Messung durch entsprechende Serieni i schaltung von Widerständen (mithilfe des RLC-Lastmoduls in Abb. 2.14 rechts) den maximalen Ankerstrom auf 0.3 [A] und überwachen Sie den Stromverlauf iA mithilfe des Messgerätes (siehe Abb. 2.16b)! Regen Sie den Ankerkreis mit folgendem Sollankerspannungsverlauf an ∀ t ∈ [0, 10] [s] : uA,ref (t) = uDC σ(t − 1) − σ(t − 2) − uDC σ(t − 3) − σ(t − 4) − uDC σ(t − 5) − σ(t − 6) + uDC σ(t − 7) − σ(t − 8) [V] (2.13) wobei für t0 ≥ 0 ( 0 σ(t − t0 ) = 1 , t < t0 [s] , t ≥ t0 [s] die um t0 nach rechts verschobene Sprungfunktion darstellt. Verwenden Sie hierzu z.B. den Simulink-Block ‘Repeating Sequence Stair’ (siehe Simulink-Bibliothek:Sources) und verbinden Sie das Signal UA? mit dem Subsystem ‘Signalrouting für Scope’. – 26/116 – 2.4. Implementierung Abbildung 2.17: Bestimmung der Regelgüte eines Regelkreises anhand seiner Sprungantwort y(·) auf ? einen Sollsprung y ? (·) = y∞ σ(·): ? a) Anregelzeit tan , d.h. hier schneidet die Regelgröße y(t2 ) erstmals den Sollwert y∞ b) Ausregelzeit taus , d.h. y(t) verbleibt für alle t ≥ t3 innerhalb des Toleranzbandes (1 ± 0.02)n?∞ ? ? |. )/y∞ c) Überschwingweite (peak overshoot) ∆po = |(ymax − y∞ (e) Berechnen Sie die Ankerinduktivität LA [Vs/A] aus TA0 [s] und die reale AnkerzeitkonLA stante TA = R2+R3+R [s]. Tragen Sie deren Werte in ‘GM_Implementierung_Init.m’ A ein! Aufgabe 2.4.4 (Ankerstromregelung ohne Erregung, d.h. ψE = 0 [Vs]). Schließen Sie nun den Ankerkreis (A1 & A2) direkt an den IGBT-Stromrichter (OUT U & OUT V), wobei Sie mithilfe des Messgerätes (siehe Abb. 2.16b) aber weiterhin den Ankerstrom iA direkt messen (überwachen). (a) Implementieren Sie eine Stromistwertglättung in Matlab/Simulink mithilfe von Fg,iA (s) = 1 îA (s) = . m iA (s) 1 + s Tg,iA (2.14) Wählen Sie Tg,iA = 5 · 10−3 [s] in ‘GM_Implementierung_Init.m’. (b) Stellen Sie die relevante Streckenübertragungsfunktion FîA (s) = VS,iA îA (s) = uA,ref (s) (1 + s Tσ,iA )(1 + s T1,iA ) (2.15) des Ankerstromkreises unter Vernachlässigung der Spannungsbegrenzung auf. Bestimmen Sie die kleine Summationszeitkonstante Tσ, iA [s] und die große Zeitkonstante T1, iA [s] der Strecke FîA (s) und deren Verstärkung VS, iA [A/V]! Beachten Sie die Messwertglättung in der Strecke und addieren Sie die beiden kleinen Zeitkonstanten. – 27/116 – 2. Gleichstrommaschine (c) Entwerfen Sie mithilfe der Optimierungstabelle (siehe Abb. D.2) einen Stromregler FR,iA (s) = uA,ref (s) iA,ref (s) − îA (s) (2.16) für gutes Führungsverhalten! Welches Optimierungskriterium wenden Sie an? (d) Berechnen Sie die Übertragungsfunktion Fw,îA (s) = FR,iA (s) FîA (s) îA (s) = iA,ref (s) 1 + FR,iA (s) FîA (s) (2.17) des geschlossenen Stromregelkreises! Bei Ihrer Berechnung ersetzen Sie die Reglerparameter durch die Streckenparameter. (e) Erweitern Sie Modell ‘GM_Implementierung.mdl’ und Init-Skript ‘GM_Implementierung_Init.m’ um den entworfenen Stromregler bzw. dessen Reglerparameter und verbinden Sie die Signale iA,ref und îA mit dem Subsystem ‘Signalrouting für Scope’ ! (f ) Verifizieren Sie das Verhalten Ihres Stromregelkreises für einen rechteckigen Verlauf des Stromsollwertes ∀ t ∈ [0, 10] [s] : iA,ref (t) = 0.2 σ(t − 1) − σ(t − 2) − 0.2 σ(t − 3) − σ(t − 4) + 0.3 σ(t − 5) − σ(t − 6) − 0.3 σ(t − 7) − σ(t − 8) [A] . Implementieren Sie den Stromsollwertverlauf wieder mithilfe des ‘Repeating Sequence Stair’ Simulink-Blocks. (g) Entsprechend Abb. 2.17 bestimmen Sie Anregelzeit, Ausregelzeit (bei einem Toleranzband von ±2%) und maximales Überschwingen! Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse mit den Vorgaben der Optimierungstabelle. Gibt es Abweichungen zur Optimierungstabelle? Wenn ja, warum? Aufgabe 2.4.5 (Ankerstromregelung mit Erregung, d.h. ψE = ψEN [Vs]). (a) Wie können Sie die nötige (konstante) Erregernennspannung uEN = 230 [V] erzeugen, um die Gleichstrommaschine mit Nennfluss ψE = ψEN [Vs] zu erregen? Skizzieren Sie hierzu einen Sechspuls-Gleichrichter (B6U) aus Leistungsdioden. Überlegen Sie sich die nötige Verdrahtung anhand des Diodenmoduls in Abb. 2.13(b). (b) Verdrahten Sie das Diodenmodul, so dass ein Sechspuls-Gleichrichter realisiert wird! Verbinden Sie den Dioden-Gleichrichter mit den drei Versorgungsspannungen aus 2L1, 2L2 und 2L3 und messen Sie die Ausgangsspannung mithilfe des Messgerätes (siehe Abb. 2.16(b))! Verbinden Sie Erregerkreis (E1 & E2, siehe Abb. 2.12) mit dem Ausgang Ihres Diodengleichrichters! (c) Wiederholen Sie Teilaufgabe 2.4.4(f). Warum ergibt sich ein stationärer Regelfehler? (d) Berechnen Sie aus Gl. (2.1) die Übertragungsfunktion FGM (s) = ωM (s) uA (s) der Gleichstrommaschine (Annahme: ψE = ψEN )! – 28/116 – (2.18) 2.4. Implementierung (e) Wie lässt sich die stationäre Verstärkung VGM = CM 1ψEN rad Vs der Übertragungsfunktion FGM (s) der GM aus den Nenngrößen bestimmen? Überlegen Sie sich eine Möglichkeit zur Verifikation der Verstärkung VGM anhand von Messergebnissen! (f ) Implementieren Sie eine Drehzahlistwertglättung in Matlab/Simulink mithilfe von Fg,ωM (s) = ω̂M (s) 1 . = m ωM (s) 1 + s Tg,ωM (2.19) Wählen Sie Tg,ωM = 10 · 10−3 [s] in ‘GM_Implementierung_Init.m’ und verbinden Sie das Signal ω̂M mit dem Subsystem ‘Signalrouting für Scope’ ! (g) Führen Sie die entsprechende Messung zur Validierung von VGM durc Regen Sie die Gleichstrommaschine hierzu mit dem in Gl. (2.13) angegebenen Sollspannungsverlauf uA,ref an! (h) Überlegen Sie sich eine Möglichkeit zur Elimination des Einflusses der induzierten Gegenspannung eA (Hinweis: Störgrößenaufschaltung)! Nehmen Sie an, dass Ihnen die geglättete Drehzahl ω̂M (t) als Signal zur Verfügung steht. (i) Implementieren Sie Ihre Idee zur EMK-Kompensation in ‘GM_Implementierung.mdl’ ! Wiederholen Sie Teilaufgabe 2.4.4(f). Ergibt sich weiterhin ein stationärer Regelfehler? (j) Gibt es Wind-Up Probleme? Falls ja, implementieren Sie eine einfache Anti-Wind-Up Strategie! Aufgabe 2.4.6 (Drehzahlregelung). (a) Überlegen Sie sich eine Möglichkeit zur Schätzung des Trägheitmomentes ΘM kg m2 der Gleichstrommaschine! Verwenden Sie bisherige Erkenntnisse und den Stromregelkreis mit EMK-Kompensation. (b) Führen Sie entsprechende Messungen zur Schätzung des Trägheitmomentes ΘM kg m2 durch und tragen Sie dessen Wert in ‘GM_Implementierung_Init.m’ ein! (c) Ersetzen Sie zunächst den Stromregelkreis Fw, iA (s) = iA (s) 1 ≈ iA,ref (s) 1 + sTers, iA (2.20) durch eine Ersatz-Übertragungsfunktion mit P T1 -Verhalten und der Zeitkonstanten Ters, iA (Annahme: ideale EMK-Kompensation). Verwenden Sie die Übertragungsfunktion (2.15) aus Aufgabe 2.4.3.1 und beachten Sie hierbei den Zusammenhang zwischen iA (s) (bzw. im A (s)) und îA (s) aufgrund der Stromglättung (2.14)! Wie groß ist Ters, iA (Polynomdivision notwendig)? (d) Stellen Sie mithilfe der Ersatzübertragungsfunktion (2.20) die (genäherte) Streckenübertragungsfunktion Fω̂M (s) = VS, ωM ω̂M (s) = iA,ref (s) s T1,ωM (1 + s Tσ,ωM ) (2.21) für den Drehzahlreglerentwurf auf ! Bestimmen Sie die kleine Summationszeitkonstante Tσ, ωM und die Verstärkung VS, ωM der Strecke Fω̂M (s) für Nennfluss ψE = ψEN und große Zeitkonstante T1, ωM = 1 [s]. Warum ist diese Wahl für T1, ωM zulässig? – 29/116 – 2. Gleichstrommaschine (e) Welchen Reglertyp schlagen Sie vor und nach welchem Optimierungskriterium legen Sie den Drehzahlregler aus (siehe Optimierungstabelle in Abb. D.2)! (f ) Erweitern Sie Ihre Regelkreisstruktur in ‘GM_Implementierung.mdl’ und das Init-Skript ‘GM_Implementierung_Init.m’ um den entworfenen Drehzahlregler! Begrenzen Sie den Drehzahlreglerausgang iA,ref auf den Bereich [−iA,max,ref , iA,max,ref ] mit i?A,max = 5 [A]! (g) Bestimmen Sie wieder Anregelzeit, Ausregelzeit und maximales Überschwingen für alle Sprünge des folgenden Solldrehzahlverlaufes ∀ t ∈ [0, 10] [s] : ωM,ref (t) = 50 σ(t − 1) − σ(t − 2) − 50 σ(t − 3) − σ(t − 4) rad + 100 σ(t − 5) − σ(t − 6) − 100 σ(t − 7) − σ(t − 8) . s Verbinden Sie das Signal ωM,ref mit dem Subsystem ‘Signalrouting für Scope’ ! Gibt es Abweichungen zu den Vorgaben in der Optimierungstabelle? Wenn ja, warum? (h) Ihnen ist die erzielte Überschwingweite zu hoch. Implementieren Sie eine entsprechende Maßnahme, die das Überschwingen reduziert. Betrachten Sie die Signalverläufe! Was fällt Ihnen beim Ankerstrom iA auf ? (i) Nehmen Sie an, dass der Sollankerstrom den (neuen) Maximalwert iA, max,ref = 0.5 A nicht überschreiten soll und begrenzen Sie das Signal des Stromsollwerts iA,ref entsprechend! Wiederholen Sie die Messung aus Aufgabe 2.4.6(g) (ohne Sollwertglättung!) und vergleichen Sie die Signalverläufe mit der Messung von Aufgabe 2.4.6(g). Welche Unterschiede sind erkennbar (Begründung)? Müssen zum Erreichen einer befriedigenden Regelgüte evtl. noch weitere Maßnahmen getroffen werden (Hinweis: Wind-Up Problematik)? – 30/116 – . Kapitel 3 Projekt 2: PermanentmagnetSynchronmaschine 3.1 Problemstellung In diesem Projekt sollen die erlernten Modellierungs- und Regelungstechniken der Gleichstrommaschine auf Modellierung und Regelung einer Permanentmagnet-Synchronmaschine (PMSM) übertragen werden. Für eine Permanentmagnet-Synchronmaschine sollen • Puls-Weiten-Modulationsverfahren, • Verfahren zur Rotorflussorientierung, • Statorstromregelung und • Drehzahlregelung entworfen, simuliert und implementiert werden. Als Regelkreisstruktur wird wieder die (in der Industrie übliche) Kaskadenregelung verwendet. Die kaskadierten Regelkreisstrukturen werden mithilfe von Matlab/Simulink entworfen, auf einem dSPACE Realzeitsystem (DS1104) implementiert und an einer Permanentmagnet-Synchronmaschine getestet und ausgewertet. Lernziele und -inhalte: • Verstehen der Funktionsweise einer Permanentmagnet-Synchronmaschine und eines 2Level Umrichters (Spannungszwischenkreisumrichter), • Verdrahten des Laboraufbaus (u.a. Antrieb, Schnittstelle, Realzeitsystem), • Finden, Lesen und Verwenden von Hardware-Dokumentationen, • Programmieren von Puls-Weiten-Modulationsverfahren, • Bestimmen der Streckenparameter von Permanentmagnet-Synchronmaschine und Umrichter, • Entwerfen, Implementieren und Bewerten der Strom- und Drehzahlregelung und • Rapid-Prototyping mithilfe von Matlab/Simulink von kaskadierten Regelkreisstrukturen auf einem dSPACE-Realzeitsystem und Programmierung einer Bedienung-GUI mithilfe ControlDesk – 31/116 – 3. Permanentmagnet-Synchronmaschine Netz uverk = 0 √ a b c 3 · 230 V ≈ 400 V (verkettet) DRO B6-Brücke C1,DC 2-Level Umrichter u2,DC sa 1 sa 1 sb1 sc1 iabc 1 u1,DC C2,DC u2,DC u1,DC sa 2 sa 2 sb1 sb2 sb2 sc1 sc2 sc2 uabc 1,ref , SP dSPACE Realzeitsystem I/O & CPU: DS1104 iabc 2 Kupplung PMSM uabc 2,ref , SP iabc 1 ASM Tacho iabc 2 φ1 (ω1 ) ωM φ2 (ω2 ) Abbildung 3.1: Übersichtsbild des Laboraufbaus für PMSM & ASM (Projekte 2 & 3). 3.2 Laboroaufbau Ein Übersichtsbild des Laboraufbaus ist in Abb. 3.1 dargestellt. Der Laboraufbau besteht aus zwei Zwischenkreisumrichtern, die über eine Parallelschaltung der Zwischenkreise (mit Kapazitäten C1,DC und C2,DC ) verbunden sind. Der rechte Zwischenkreisumrichter ist über einen Dioden-Gleichrichter (B6-Brücke) mit dem Netz verbunden und besitzt einen ChopperWiderstand (um eine unzulässige Erhöhung der Zwischenkreisspannung zu verhindern). Eine Permanentmagnet-Synchronmaschine (PMSM) und eine Asynchronmaschine (ASM) können über Kupplungen direkt oder über ein Steckmodul mit Tachogenerator miteinander verbunden werden. Der Host-PC mit integriertem dSPACE Realzeitsystem (dSPACE DS1104 Karte) erlaubt Rapid-Prototyping. Es können folgende Messsignale dem Realzeitsystem zugeführt werden: abc • die Statorströme iabc 1 und i2 der beiden elektrischen Maschinen, • die Positionswinkel ω1 und ω2 beider Maschinen (via Inkrementalencoder), • die Winkelgeschwindigkeit ωM (via Tachogenerator) und • die Zwischenkreisspannungen u1,DC und u2,DC der beiden Umrichter. abc Das Realzeitsystem gibt die Referenzspannungen uabc 1,ref bzw. u2,ref und die Freigabesignale SP1 bzw. SP2 an die Umrichter. Die Referenzspannungen werden jeweils über die im Realzeitsystem implementierten Puls-Weiten-Modulationsverfahren basierend auf den Schaltvektoren – 32/116 – 3.2. Laboroaufbau Abbildung 3.2: Synchronmaschine. a b c > abc a b c > sabc 1 = (s1 , s1 , s1 ) und s2 = (s2 , s2 , s2 ) in den Umrichtern nachgebildet. Hierbei werden aus Sicherheitsgründen nur die Schaltsignale für die oberen IGBTs (jeweils links in Abb. 3.1) vorgegeben, die unteren IGBTs (jeweils rechts in Abb. 3.1) erhalten hardware-technisch die negierten Schaltzustände sabc = (sa1 , sb1 , sc1 )> und sabc = (sa2 , sb2 , sc2 )> . Realzeitsystem und 1 2 Host-PC (beides in einem Rechner) ermöglichen die Überwachung des Systemzustandes mithilfe der dSPACE ControlDesk Umgebung (siehe dSPACE Dokumentation). In Abb. 3.2 ist die zur Verfügung stehende Permanentmagnet-Synchronmaschine CMP50S/KY/RH1M/SM1 der Firma SEW-Eurodrive dargestellt. Das dazugehörige Typenschild zeigt Abb. 3.3. Zur Winkelmessung steht ein Inkrementalencoder der Firma Wachendorff (siehe Abb. 3.4) zur Verfügung. Die Permanentmagnet-Synchronmaschine oder die Asynchronmaschine können jeweils über einen der Umrichter MDX61B001 5-543-4-00 der Firma SEW-Eurodrive gesteuert werden. Über die Umrichterschnittstellen (siehe Konnektorplatten in Abb. 3.5 und 3.6) können jeweils folgende Signale vorgegeben bzw. ausgelesen werden: • der Schaltvektor sabc = (sai , sbi , sci )> , i ∈ {1, 2} über die Anschlüsse Ea = sai , Eb = sbi i c und Ec = si • das Freigabe-Signal SPi , i ∈ {1, 2} über den Anschluss SP a b c • die Stromistwerte iabc i , i ∈ {1, 2} über die Anschlüsse Ia = ii , Ib = ii und Ic = ii (Strommessung) • der Zwischenkreisspannungsistwert ui,DC , i ∈ {1, 2} über den Anschluss Ud = ui,DC Alle Anschlüsse sind BNC-Steckverbindungen. Die unbenannten Anschlüsse und die Anschlüsse ON/OFF und ENABLE werden für das Projektstudium nicht benötigt. Beide Umrichter können durch Drücken des grünen ON Knopfes und des roten OFF Knopfes ein- bzw. ausgeschalten werden. Die Umrichter sind betriebsbereit, wenn der grüne ON Knopf grün leuchtet. – 33/116 – 3. Permanentmagnet-Synchronmaschine Abbildung 3.3: Typenschild der Synchronmaschine. Abbildung 3.4: Encoder der Synchronmaschine. – 34/116 – 3.3. Simulation Abbildung 3.5: Umrichterschnittstelle (Konnektorplatte) für rechten Umrichter. Abb. 3.7 zeigt das dSPACE Connector Panel. Über das Panel können Mess- und Sollsignale (als Spannungen; Signalwandlung beachten!) zwischen Laboraufbau und Realzeitsystem ausgetauscht werden (siehe dSPACE Dokumentation). Über BNC-Steckverbindungen können analoge und digitale Signale der dSPACE DS1104 Karte zu- oder herausgeführt werden. Es gibt acht A/D Eingangskanäle (ADCH1...8) und acht D/A Ausgangskanäle (DA1...8). Die digitale I/O Schnittstelle erlaubt die Ein- bzw. Ausgabe von digitalen Signalen; u.a. können die Schaltsignale/-vektoren über die PWM-Kanäle (SPWM1...9) dem Zwischenkreisumrichter übergeben werden. Über die Anschlüsse INCREMENTAL ENCODER 1 & 2 können die Inkrementalgeber der PMSM und der ASM mit dem dSPACE System verbunden werden. Die Sub-D-Stecker DIGITAL I/O, SLAVE I/O PWM, UART RS232 und UART RS485/RS422 werden während des Projektstudiums nicht benötigt. 3.3 Simulation Für die spätere Implementierung soll nun vorerst ein valides Modell der PMSM und des 2-Level Umrichters erarbeitet, implementiert und mithilfe von Matlab/Simulink simuliert werden. Basierend auf den Modellen und deren Implementierung soll die kaskadierte Regelung des Antriebes erfolgen und simulativ getestet und validiert werden. 3.3.1 Modellbildung und Verhalten Das Grundmodell einer Synchronmaschine mit z.B. vergrabenen Permanentmagneten (IPMSM; engl. interior permanent magnet synchronous maschine) und Anisotropie ist im Zeitbereich gegeben durch d Elektrischer Statorkreis: uss (t) = Rs iss (t) + dt ψss (t) , ψss (0) =0 [Vs] d d L 0 ψ k k k k s PM Flussverkettung: ψs (t) = q is (t) + ψPM , ψPM = 0 Ls 0 | {z } k 2×2 =:Ls ∈R d Mechanik: dt ωM (t) = Θ1M mM (t) − mL (t) , ωM (0) = 0 rad s s s 3 > Motormoment: mM (t) = 2 p is (t) J ψs (t) El. Rotorgeschwindigkeit ωr (t) = p ωM (t) (3.1) – 35/116 – 3. Permanentmagnet-Synchronmaschine Abbildung 3.6: Umrichterschnittstelle (Konnektorplatte) für linken Umrichter. Hierbei sind — jeweils in Stator- bzw. Rotorflussorientierten Koordinaten [Superskript s , k ] s Rs [Ω] der Statorwiderstand, — uss [V] die Statorspannung [Index s ], is [A] der Statorstrom, k k Vs Ls A die (anisotrope) Statorinduktivität (d.h. Lsd 6= Lsq 6= 0), ψPM [Vs] der verkettete Fluss d des Permanentmagneten (mit ψPM > 0 [Vs]), p [1] die Anzahl der Polpaare, ωM rad die Mos 2 torwinkelgeschwindigkeit, ωr rad die elektrische Rotorwinkelgeschwindigkeit, Θ M kg m s die (Rotor-)Trägheit, mM [Nm] das Motormoment und mL [Nm] das Lastmoment. Als direkte Messgrößen sollen Ihnen im Folgenden, die Strangströme isabc (t) im Stator und die mechanische Winkelgeschwindigkeit ωM (t) zur Verfügung stehen. Die Maschinendaten sind in Tabelle 3.1 zusammengefasst. Remark 3.3.1. Das Modell (3.1) ist Matrix-/Vektornotation dargestellt. Für das Projekstudium wird der Gebrauch dieser Notation empfohlen (im Gegensatz zur Darstellung in komplexer Schreibweise). Eine ausführliche Beschreibung der Modellierung und der Regelung von Permanentmagnet-Synchronmaschinen in Matrix-/Vektornotation findet sich in [3]. – 36/116 – 3.3. Simulation Abbildung 3.7: dSPACE DS1104 Schnittstelle (Connector Panel). Größe Symbol und Wert (SI) Nennleistung Nenndrehzahl Nennspannung (verkettet) Nennstrom Polpaarzahl PN = nN = uverk = N istr = N p= Rotorträgheitsmoment ΘM = Statorwiderstand Statorinduktivität Rs = Lsd = Lsq = ψPM Permanentmagnetfluss [kW]−1 min [V] [A] [1] kg m2 [Ω] [mH] [mH] [V s] Tabelle 3.1: Parameter des untersuchten Synchronmotors – 37/116 – 3. Permanentmagnet-Synchronmaschine Strangspannungen [V] 300 ua ub uc 200 100 0 −100 −200 −300 Strangströme [A] 5 ia ib ic 2.5 0 −2.5 −5 0 π/3 2π/3 π 4π/3 5π/3 2π ωt [rad] Abbildung 3.8: Verlauf der Strangspannungen uabc und der Strangströme iabc des symmetrischen Drehstromsystems. 3.3.1.1 Allgemeine Raumzeigerdarstellung Gegeben sei ein symmetrisches Drehstromsystem mit den Strangspannungen uabc = (ua , ub , uc )> [V]3 a u (t) = û cos ωt + ϕu 2 b u (t) = û cos ωt + ϕu − 3 π (3.2) uc (t) = û cos ωt + ϕu − 43 π und den Strangströmen iabc = (ia , ib , ic )> [A]3 a i (t) = ı̂ cos ωt + ϕi 2 b i (t) = ı̂ cos ωt + ϕi − 3 π 4 c i (t) = ı̂ cos ωt + ϕi − 3 π (3.3) √ Der Scheitelwert der Spannung beträgt û = 2 · 230 V, der Scheitelwert des Stroms ı̂ = 5 A, die Frequenz besitzt den Wert f = 50 Hz (ω = 2πf ), der Nullphasenwinkel der Spannung ist ϕu = 0 rad, der Nullphasenwinkel des Stroms ϕi = −π/6 rad. Aufgabe 3.3.2 (Clarke- und Park-Transformation). In dieser Aufgabe wird das beliebige k-Koordinatensystem (d, q) so gewählt, dass der Raumzeiger des Stroms stets auf der d-Achse des k-Koordinatensystems liegt. Nutzen Sie in dieser Aufgabe die Kerninformationen aus Abschnitt A und C.3! (a) Bestimmen Sie zum Zeitpunkt t = 0 s die Strangspannungen uabc und die Strangströme – 38/116 – 3.3. Simulation iabc des symmetrischen Drehstromsystems! (b) Berechnen Sie zum Zeitpunkt t = 0 s die Momentanleistung p3∼ aus den Stranggrößen uabc und iabc ! (c) Bestimmen Sie zum Zeitpunkt t = 0 s den Spannungsraumzeiger us und den Stromraumzeiger is in statorfesten Koordinaten! Wie lautet jeweils deren Betrag? (d) Zeichen Sie die beiden Raumzeiger us und is (zum Zeitpunkt t = 0 s) in das statorfeste Koordinatensystem! (e) Berechnen Sie zum Zeitpunkt t = 0 s die Momentanleistung p3∼ aus den beiden Raumzeigern us und is ! (f ) Transformieren Sie die beiden Raumzeiger us und is (zum Zeitpunkt t = 0 s) in das k-Koordinatensystem! (g) Wiederholen Sie die Teilaufgaben (a)–(f ) für den Zeitpunkt t = 5π 6ω ! (h) Welche Bahnkurve durchlaufen die Spitzen der Raumzeiger innerhalb einer Periode (Periodendauer: T = f1 )? (i) Die Strangspannungen uabc seien gegeben als ua (t) = û cos (ωt + ϕu ) (3.4) b (3.5) c (3.6) u (t) = û u (t) = −û Überlegen Sie sich, welchen Verlauf die Bahnkurve der Spitze des zugehörigen Spannungsraumzeigers nun beschreibt! Plotten Sie den Verlauf in Matlab (t ∈ [0, T ])! (j) Die Strangspannungen uabc seien gegeben als 3 t a 2 − 1 û u (t) = û cos ωt + ϕu + 2 T 2 b u (t) = û cos ωt + ϕu − π 3 4 c u (t) = û cos ωt + ϕu − π 3 (3.7) (3.8) (3.9) Überlegen Sie sich, welchen Verlauf die Bahnkurve der Spitze des zugehörigen Spannungsraumzeigers nun beschreibt! Plotten Sie den Verlauf in Matlab (t ∈ [0, 5T ])! 3.3.1.2 Rotorflussorientierung der Permanentmagnet-Synchronmaschine Aufgabe 3.3.3 (Modellierung im k-Koordinatensystem). Im Folgenden gelte φ̇k (t) = ωk (t) bei Anfangswert φk (0) = 0 [rad]. Das (d, q)-Koordinatensystem d des Permanentmagneten ausgerichtet. ist entsprechend dem Rotorfluss ψPM (a) Transformieren Sie den elektrischen Statorkreis in (3.1) in das k-Koordinatensystem! (Hinweis: Nutzen Sie die Park-Transformationsmatrix) – 39/116 – 3. Permanentmagnet-Synchronmaschine (b) Transformieren Sie die Flussverkettung in (3.1) in das statorfeste-Koordinatensystem! Ist die Statorinduktivität Lss (in Stator-Koordinaten) konstant und/oder eine Diagonalmatrix? (c) Transformieren Sie die Momentenbildung in (3.1) in das k-Koordinatensystem! d , id und iq und den (d) Berechnen Sie das Motormoment in (3.1) in Abhängigkeit von ψPM s s Parametern p, Lsd und Lsq ! Welche Komponenten in der Momentenbildung können unterschieden werden? (e) Zeichnen Sie den Signalflussplan der Momentenbildung der IPMSM in Flussorientierung mit den Eingängen ids , iqs und mL und den Ausgängen ωM und ωr ! (f ) Bestimmen Sie aus den Strangströmen isabc (t) die Statorströme isk (t) im k-Koordinatensystem! (Hinweis: Clarke-Transformation und Park-Transformation) (g) Bestimmen Sie die Dynamik der Strom-Komponenten isd und isq in Abhängigkeit von Rs , d und ω ! Lsd , Lsq , ψPM k 3.3.1.3 Parameterbestimmung der Permanentmagnet-Synchronmaschine Ziel ist es die Parameter der PMSM zu bestimmen und diese in Tab. 3.1 einzutragen. Die Parameter sind essentiell für Simulation, Regelung und Implementierung. Aufgabe 3.3.4 (Bestimmung des Statorwiderstands, des Trägheitsmoments und der Polpaarzahl). (a) Bestimmen Sie Statorwiderstand Rs , Trägheitsmoment ΘM und Polpaarzahl p (nutzen Sie Typenschild und Benutzerhandbuch des Antriebes)! (b) Welche weiteren Möglichkeiten gibt es Statorwiderstand Rs , Trägheitsmoment ΘM und Polpaarzahl p zu bestimmen? Aufgabe 3.3.5 (Bestimmung der Statorinduktivität). (a) Stellen Sie ausgehend von der Stromdifferentialgleichung im k-KoSy der Maschine in d Rotorflussorientierung die Übertragungsfunktion Fusd →isd (s) = uisd(s) bei blockierter Welle s (s) (d.h. ωM (t) = 0 für alle t ≥ 0) auf ! (b) Bestimmen Sie anhand der Sprungantwort der Übertragungsfunktion Fusd →isd (s) die Zeitkonstante Tsd [s] und damit die Induktivität Lds [Vs/A]! (c) Wiederholen Sie die Teilaufgaben (a) und (b) und bestimmen Sie den Wert für Lqs [Vs/A]! Aufgabe 3.3.6 (Bestimmung des verketteten Flusses des Permanentmagneten). (a) Wie kann der verkettete Fluss des Permanentmagneten bestimmt werden, wenn die Welle der Maschine angetrieben werden kann? Leiten Sie die Gleichungen dafür her! (b) Welche weiteren Möglichkeiten gibt es ψPM [Vs] zu bestimmen? – 40/116 – 3.3. Simulation 2-Level-Umrichter (ideal) + iN U s iDC a s c b s uab a i uDC V i b ic s a s b s uca ubc c W − oDC sabc := (sa , sb , sc )> Abbildung 3.9: Idealer dreiphasiger Umrichter 3.3.1.4 Spannungszwischenkreisumrichter In dieser Aufgabe wird der Spannungszwischenkreisumrichters mit konstanter Zwischenkreisspannung uDC und idealisierten Leistungschaltelementen betrachtet. In Abbildung 3.9 ist der zu untersuchende Umrichter mit allen relevanten Benennungen genauer dargestellt. Ziel ist es das Spannungshexagon (siehe Abb. 3.10) nachzubilden. Hierzu sollen zwei einfache PWMVerfahren implementiert und verglichen werden. Hinweis: Um Ihnen die Implementierung in Matlab/Simulink zu erleichtern, nutzen Sie die unter http://www.cres.mse.tum.de/index.php?id=eof zur Verfügung gestellten Dateien VSI_Simulation.mdl, VSI_Simulation_Init.m und VSI_Filterung.m (siehe PMSM.zip)! Aufgabe 3.3.7 (Puls-Weiten-Modulation und Modellierung). (a) Laden Sie VSI_Simulation_Init.m und öffnen Sie VSI_Simulation.mdl. Implementieren Sie ein symmetrisches und asymmetrisches, regular-sampled PWM-Verfahren (siehe [19, Abschnitt 8.4.12])! (b) Geben Sie den Zusammenhang zwischen dem Vektor der verketteten Spannung uabc verk := (uab , ubc , uca )> [V]3 am Umrichterausgang, dem Vektor der Schalterstellungen sabc [1]3 und der Zwischenkreisspannung uDC [V] an! (c) Geben Sie für eine symmetrische Last in Sternschaltung mit freiem Nullpunkt den Zusammenhang zwischen dem Vektor der Strangspannungen uabc := (ua , ub , uc )> [V]3 , dem Vektor der Schalterstellungen sabc [1]3 und der Zwischenkreisspannung uDC [V] an! – 41/116 – 3. Permanentmagnet-Synchronmaschine β b uDC (sabc )> ∈ {100, . . . , 111} 2u 3 DC u010 u110 1u 3 DC 1 u √ 3 DC u011 −uDC u −2 3 DC u000 = u111 u −1 3 DC 0 1u 2 DC 1u 3 DC u100 2u 3 DC uDC a α u −1 3 DC u001 c u101 u −2 3 DC −uDC Abbildung 3.10: Spannungshexagon. (d) Ergänzen Sie in Matlab/Simulink das Modell des Umrichters mit den Eingängen uDC , abc um die zuvor beschriebenen Zusammenhänge! sabc und den Ausgängen uabc verk , u (e) Führen Sie nun das Matlab-Skript VSI_Filterung.m aus! Was erkennen Sie in dem Plot? Welche Unterschiede ergeben sich für symmetrical und asymmetrical regular-sampled PWM? (f ) Bestimmen Sie den zeitlichen Versatz zwischen dem Referenzsignal und dem gefilterten PWM-Signal! 3.3.1.5 Hochlauf und Betrieb der Permanentmagnet-Synchronmaschine Hinweis: Um Ihnen die Implementierung in Matlab/Simulink zu erleichtern, nutzen Sie die unter http://www.cres.mse.tum.de/index.php?id=eof zur Verfügung gestellten Dateien PMSM_Simulation.mdl und PMSM_Simulation_Init.m (siehe PMSM.zip)! Aufgabe 3.3.8 (Permanenterregte Synchronmaschine). s (a) Drücken Sie den Statorstromraumzeiger iss in Abhängigkeit von ψ ss und ψPM aus. Stellen Sie anschließend den Signalflussplan der Synchronmaschine mit oberflächenmontierten Magneten auf (Eingänge: uss , mL ; Ausgänge: ωm , mM , iss , ψ ss ). (b) Öffnen Sie PMSM_Simulation.mdl und implementieren Sie das Modell der PMSM. Fügen Sie zudem eine ideale Spannungsquelle hinzu und verbinden Sie diese mit dem Motormodell. Ergänzen Sie PMSM_Simulation_Init.m um die nötigen Parameterwerte aus Tab. 3.1! – 42/116 – 3.3. Simulation ids iqs Lsd−Lsq mL 3 2p d ψPM mM − 1 ΘM ωM Abbildung 3.11: Signalflussplan der IPMSM in Rotorflussorientierung (k-Koordinatensystem). Simulieren Sie das Verhalten der Synchronmaschine mit den Parametern aus Tabelle 3.1 und ohne Lastmoment, wenn diese an das starre dreiphasige Netz (400 [V], 50 [Hz]) angeschlossen wird. Begründen Sie den sich ergebenden Drehzahlverlauf. (c) Modifizieren Sie die Spannungsquelle, um einen Hochlauf der Maschine auf halbe Nenndrehzahl zu ermöglichen. Erhöhen Sie hierzu die Frequenz anfänglich linear mit der Zeit bis diese die halbe Nennfrequenz erreicht. Ist es ratsam, eine der Frequenz proportionale Versorgungsspannung einzuprägen? Achten Sie darauf, dass der Nennstrom iN Y nicht überschritten wird. (d) Verwenden Sie folgenden Lastmomentverlauf, um das Verhalten des Motors unter Last zu untersuchen: mL (t) = mN σ(t − tM ), tM = 3 [s] Welche Auswirkung hat das Lastmoment auf die Maschinendrehzahl? Wie erfolgt der elektromechanische Energiewandlungsprozess in diesem Fall? Begründen Sie Ihre Antworten mit Aufnahmen von zeitlichen Verläufen der relevanten Größen. Aufgabe 3.3.9 (Bestimmung des Anfangswinkels des Rotors). Für die Parktransformation in das rotorflussorientierte (d, q)-Koordinatensystem wird der Rotorwinkel φk benötigt. Dieser kann über folgenden Zusammenhang berechnet werden: Z t φk (t) = ωk (τ ) dτ + φk (0) (3.10) 0 Um den Winkel φk [rad] bestimmen zu können, ist – neben der Kenntnis der elektrischen Rotorwinkelgeschwindigkeit ωk [rad/s] – der Wert für den Anfangswinkel φk (0) nötig. Wie kann dieser für Maschinen ohne Reluktanz (Lsd = Lsq ) bestimmt werden? 3.3.2 Regelung Aufgabe 3.3.10 (Drehzahl- und Stromregelung der IPMSM). (a) Unter der Annahme einer idealen Rotorflussorientierung und bereits implementierter d, qStromregelkreise (approximiert durch PT1 Ersatzübertragungsfunktionen) soll nun ein Drehzahlregler ausgelegt werden. Ergänzen Sie in Abb. 3.11 die Darstellung der IPMSM in Rotorflussorientierung um die PT1 Ersatzstromregelkreise! Benennen Sie die Eingänge mit ids,ref und iqs,ref [A] und die Ersatzzeitkonstanten mit Ters,ids und Ters,iqs [s]! (b) Mithilfe der Optimierungstabelle legen Sie für ids,ref = isd = 0 [Vs] einen Drehzahlregler aus! – 43/116 – 3. Permanentmagnet-Synchronmaschine (c) Identifizieren Sie Kopplungs- und Störterme in den Stromdynamiken aus Aufgabe 3.7(g)! Unter welchen Voraussetzungen können Sie diese kompensieren? (d) Für eine ideale Kompensation der Kopplungs- und Störterme bestimmen Sie die Übertrad iq (s) q (s) = sq gungsfunktionen FS, ids (s) = uisd(s) und F (ideale Entkopplung)! S, i s (s) u (s) s s (e) Bestimmen Sie Zeitkonstanten Tsd und Tsq und Verstärkungen Vsd und Vsq ! (f ) Mithilfe der Optimierungstabelle legen Sie die Stromregler FR,isd (s) = uds (s) ids,ref (s) − isd (s) und FR,isq (s) = uqs (s) q is,ref (s) − isq (s) beider Stromkomponenten aus! (Annahme: keine Messwertglättung und Umrichter als PT1 modelliert mit Zeitkonstante Tstr und Verstärkung Vstr ) (g) In welchen Situationen wählen Sie ids,ref 6= 0? Was sollten Sie beachten? d = 0 [Vs]? Welche Art von Synchronmaschine liegt vor? (h) Was passiert für ψPM (i) Wann gilt Lsd = Lsq ? Ist in diesem Fall noch Feldschwächung möglich? 3.4 Implementierung Mit dem Vorwissen aufgrund des Simulationsteils soll nun die PMSM des Laboraufbaus geregelt werden. Das PWM-Verfahren wurde in der dSPACE DS1104 Karte und einem vorgefertigtem Block bereits implementiert. Hinweis: Um Ihnen die Implementierung in Matlab/Simulink zu erleichtern, nutzen Sie die unter http://www.cres.mse.tum.de/index.php?id=eof zur Verfügung gestellten Dateien PMSM_Implementierung.mdl und PMSM_Implementierung_Init.m (siehe PMSM.zip)! Aufgabe 3.4.1 (Grobe Arbeitsschritte). (a) Machen Sie sich mit dem Laboraufbau vertraut! Nutzen Sie hierzu die Handbücher von dSPACE und SEW. (b) Ergänzen Sie die nötigen Daten in PMSM_Implementierung_Init.mschrittweise! (c) Implementieren Sie sukzessive die kaskadierten Regelkreisstrukturen aus der Simulation in PMSM_Implementierung.mdl! Beachten Sie dass für die Rotorflussorientierung der Anfangswinkel bei jedem Neustart initialisiert werden muss! – 44/116 – . Kapitel 4 Projekt 3: Asynchronmaschine 4.1 Problemstellung In diesem Projekt sollen die erlernten Modellierungs- und Regelungstechniken der PMSM auf Modellierung und Regelung einer Asynchronmaschine (ASM) übertragen werden. Für eine ASM sollen • Verfahren zur Rotorflussorientierung, • Statorstromregelung und • Drehzahlregelung entworfen, simuliert und implementiert werden. Als Regelkreisstruktur wird wieder die (in der Industrie übliche) Kaskadenregelung verwendet. Die kaskadierten Regelkreisstrukturen werden mithilfe von Matlab/Simulink entworfen, auf einem dSPACE Realzeitsystem (DS1104) implementiert und an einer Asynchronmaschine getestet und ausgewertet. Lernziele und -inhalte: • Verstehen der Funktionsweise einer Asynchronmaschine und eines 2-Level Umrichters (Spannungszwischenkreisumrichter), • Verdrahten des Laboraufbaus (u.a. Antrieb, Schnittstelle, Realzeitsystem), • Finden, Lesen und Verwenden von Hardware-Dokumentationen, • Entwerfen und Implementieren eines Flussschätzers, • Entwerfen, Implementieren und Bewerten der Strom- und Drehzahlregelung und • Rapid-Prototyping mithilfe von Matlab/Simulink von kaskadierten Regelkreisstrukturen auf einem dSPACE-Realzeitsystem und Programmierung einer Bedienung-GUI mithilfe ControlDesk 4.2 Laboraufbau Der Laboraufbau zur Implementierung der ASM-Regelung ist identisch zum Laboraufbau der PMSM (siehe Abschnitt 3.2). Die verwendete Asynchronmaschine DRS71S8/2/FI/TF/ES7R der Firma SEW-Eurodrive ist in Abb. 4.1 abgebildet. Das zugehörige Typenschild zeigt Abb. 4.2. – 45/116 – 4. Asynchronmaschine Abbildung 4.1: Asynchronmaschine. Abbildung 4.2: Typenschild der Asynchronmaschine. – 46/116 – 4.3. Simulation Größe Symbol und Wert (SI) Nennleistung Nenndrehzahl Nennspannung (Sternschaltung, verkettet) Nennstrom (Sternschaltung) Nennfrequenz Wirkfaktor PN = 0,25 nN = 2870 uverk = 400 N istr = 0,97 N fN = 50 cos ϕ = 0,65 Rotorträgheitsmoment ΘM = 7,25 · 10−4 Statorwiderstand Rotorwiderstand (auf Statorseite umgerechnet) Statorinduktivität Rotorinduktivität (auf Statorseite umgerechnet) Koppelinduktivität Rs = 40 Rr = 12 Ls = 800 Lr = 800 M = 700 [kW]−1 min [V] [A] [Hz] [1] kg m2 [Ω] [Ω] [mH] [mH] [mH] Tabelle 4.1: Parameter des betrachteten Asynchronmotors 4.3 Simulation Für die spätere Implementierung soll nun vorerst ein valides Modell der ASM (und des 2-Level Umrichters) erarbeitet, implementiert und mithilfe von Matlab/Simulink simuliert werden. Basierend auf den Modellen und deren Implementierung soll die kaskadierte Regelung des Antriebes erfolgen und simulativ getestet und validiert werden. 4.3.1 Modellbildung und Verhalten Das Grundmodell einer Asynchronmaschine mit linearer Flussverkettung (d.h. ohne Hysterese und Sättigung) ist im Zeitbereich gegeben durch d Elektrischer Statorkreis: uss (t) = Rs iss (t) + dt ψss (t) , ψss (0) = 0 [Vs] r r r d r Elektrischer Rotorkreis: ur (t) = Rr ir (t) + dt ψr (t) , ψr (0) = 0 [Vs] s s s Flussverkettung: ψs (t) = Ls is (t) + M ir (t) r r r ψr (t) = Lr ir (t) + M is (t) d Mechanik: dt ωM (t) = Θ1M mM (t) − mL (t) , ωM (0) = 0 [rad/s] Motormoment: mM (t) = 32 p iss (t)> J ψss (t) El. Rotorgeschwindigkeit ωr (t) = p ωM (t) (4.1) s r s r Hierbei sind — jeweils in Stator- bzw. Rotorkoordinaten [Superskript , ] — us , ur [V] die Stator- bzw. Rotorspannung [Index s , r ],iss , irr [A] der Stator- bzw. Rotorstrom, Rs , Rr [Ω] Vs der Stator- bzw. Rotorwiderstand, Ls , Lr Vs A die Stator- bzw. Rotorinduktivität undM A die Koppelinduktivität (oder Hauptinduktivität), p [1] die Anzahl der Polpaare, ωM rad die rad s Motorwinkelgeschwindigkeit, ωr s die elektrische Rotorwinkelgeschwindigkeit, ΘM kg m2 die (Rotor-)Trägheit, mM [Nm] das Motormoment und mL [Nm] das Lastmoment (Störung bzw. Reibung). Als direkte Messgrößen sollen Ihnen im Folgenden, die Strangströme isabc (t) im Stator und die Winkelgeschwindigkeit ωM (t) zur Verfügung stehen. – 47/116 – 4. Asynchronmaschine Hinweis: Um Ihnen die Implementierung in Matlab/Simulink zu erleichtern, nutzen Sie die unter zur Verfügung gestellten Dateien ASM_Simulation.mdl und ASM_Simulation_Init.m (siehe ASM.zip)! Aufgabe 4.3.1 (Funktionsprinzip und Verhalten). Laden Sie das Initialisierungsskript ASM_Simulation_Init.m und öffnen Sie die SimulinkVorlage ASM_Simulation.mdl. (a) Implementieren Sie den Statorkreis und Rotorkreis aus (4.1) als Subsystem unter Berücksichtigung der Flussverkettung! Eingänge sind Statorspannung uss und Rotorspannung urr . (Hinweis: Beachten Sie bei der Verkopplung zwischen Stator und Rotor notwendige Koordinatentransformationen!) (b) Implementieren Sie die Mechanik aus (4.1) als Subsystem unter Berücksichtigung der Momentenerzeugung! Eingänge sind Statorstrom iss , Statorfluss ψss und Lastmoment mL . (c) Die ASM wird mit den Klemmspannungen usabc (Eingang) gespeist und besitzt einen Käfigläufer. Erweitern Sie Ihr Modell entsprechend! (Hinweis: Clarke-Transformation) (d) Als Ausgänge sollen die Stator-Strangströme isabc , die Rotor-Strangströme irabc (zur Beobachtung) und die Winkelgeschindigkeit ωM zur Verfügung stehen. Erweitern Sie Ihr Modell entsprechend! (Hinweis: Clarke-Transformation) (e) Als Spannungsquelle zur Vorgabe der Klemmspannungen implementieren Sie (i) das re> guläre Drehstromnetz mit usabc = û cos(2πfs t), cos(2πfs t + 2π ) cos(2πfs t + 4π ) (mit 3 3 √ û = 2 · 230 [V] und fs = 50 [Hz]) und (ii) einen U-Umrichter mit Puls-WeitenModulation (PWM) bei (variabler) Trägerfrequenz fT ∈ {1000, . . . , 8000} [Hz] und Trä√ geramplitude 2 · 230 [V]! (Hinweis: zur PWM siehe D. Schröder, “Elektrische Antriebe: Regelung von Antriebssystemen”, Springer-Verlag, 2009, Abschnitt 15.3) (f ) Ergänzen Sie nötige Daten in ASM_Simulation_Init.m! Nutzen und prüfen (z.B. Handbuch) Sie hierzu die Daten aus Tab. 4.1! (g) Simulieren Sie Ihre ASM mit (i) Drehstromnetz und (ii) U-Umrichter und PWM! Belasten Sie Ihre Maschine mit einem Lastsprung mL (t) = 30 σ(t − 0.25) [Nm]! Betrachten Sie Stator-Strangströme isabc , Rotor-Strangströme irabc , Winkelgeschwindigkeit ωM und angelegte Spannungen usabc ! Aufgabe 4.3.2 (Modellierung im k-Koordinatensystem). Im Folgenden gelte φ̇k (t) = ωk (t) bei Anfangswert φk (0) = 0 [rad]. Nutzen Sie die Zusammenhänge aus Abschnitt 2 der Formelsammlung! (a) Transformieren Sie den elektrischen Statorkreis aus (4.1) in das k-Koordinatensystem! (Hinweis: Nutzen Sie die Park-Transformationsmatrix) (b) Transformieren Sie den elektrischen Rotorkreis aus (4.1) in das k-Koordinatensystem! (c) Transformieren Sie die Flussverkettungen aus (4.1) in das k-Koordinatensystem! (d) Die Asynchronmaschine hat einen Käfigläufer. Wie vereinfacht sich der elektrische Rotorkreis in (4.1)? – 48/116 – 4.3. Simulation M Tr ids iqs mL ψrd 3 M 2 p Lr mM − 1 ΘM ωM Abbildung 4.3: Signalflussplan der ASM in Rotorflussorientierung (k-Koordinatensystem). (e) Bestimmen Sie aus den Strangströmen isabc (t) die Statorströme isk (t) im k-Koordinatensystem! (Hinweis: Clarke-Transformation und Park-Transformation) Aufgabe 4.3.3 (Rotorflussorientierung). Im Folgenden sei das (d, q)-Koordinatensystem entsprechend dem Rotorfluss ψ r ausgerichtet. (a) Was gilt für ψrk (t) in Rotorflussorientierung (d.h. das k-Koordinatensystem ist so ausgerichtet, dass die d-Achse in Richtung des Rotorflusses zeigt)? (b) Bestimmen Sie die Dynamik der Rotorfluss-Komponente ψrd in Abhängigkeit der StatorstromKomponente ids und den Parametern M , Rr und Lr ! (c) Berechnen Sie das Motormoment aus (4.1) in Abhängigkeit der Rotorfluss-Komponente ψrd , der Statorstrom-Komponente iqs und den Parametern p, M , Rr und Lr ! (d) Zeichnen Sie den Signalflussplan der ASM in Rotorflussorientierung mit den Eingängen ids , iqs und mL und den Ausgängen ωM und ωr ! (e) Erläutern Sie Analogien zur Gleichstrommaschine! (f ) Um die vereinfachte Darstellung der ASM in Rotorflussorientierung dynamisch garantieren zu können, müssen Sie die “Steuerbedingung” einhalten. Leiten Sie diese her! 4.3.2 Regelung Aufgabe 4.3.4 (Drehzahlregelung der ASM). Unter der Annahme einer idealen Rotorflussorientierung (Steuerbedingung wird exakt eingehalten) und bereits implementierter d, q-Stromregelkreise (approximiert durch PT1 Ersatzübertragungsfunktionen) soll nun ein Fluss- und Drehzahlregler ausgelegt werden. (a) Ergänzen Sie in Abb. 4.3 die Darstellung der ASM in Rotorflussorientierung um die PT1 Ersatzstromregelkreise! Benennen Sie die Eingänge mit ids,ref und iqs,ref [A] und die Ersatzzeitkonstanten mit Ters,ids und Ters,iqs [s]! (b) Mithilfe der Optimierungstabelle legen Sie für konstanten Rotorfluss ψrd > 0 [Vs] einen Drehzahlregler aus! (c) Wie können Sie aus den gemessen Strangströmen isabc den Rotorfluss ψrd nachbilden (Flussschätzer)? d (s) (d) Unter Verwendung des einfachen Strommodells ψidr(s) = M b legen Sie einen Rotorfluss1+s Tr s c und Tbr geschätzte Parameter der Koppelinduktivität M und regler aus! Hierbei sind M der Rotorzeitkonstante Tr = Lr /Rr . c – 49/116 – 4. Asynchronmaschine (e) Sehen Sie Schwierigkeiten bei der Implementierung der Rotorflussregelung bzw. der Reglerperformanz? Aufgabe 4.3.5 (Stromregelung der ASM). Ausgehend von der Modellierung der ASM im k-Koordinatensystem, gegeben durch d Rs isk (t) + dt ψsk (t) + ωk J ψsk , ψsk (0) = 0 [Vs] d Rr irk (t) + dt ψrk (t) + (ωk − ωr )J ψrk , ψrk (0) = 0 [Vs] Ls isk (t) + M irk (t) k k Lr ir (t) + M is (t) (4.2) sollen fluss- und momentenbildender Stromregler entworfen werden. Gehen Sie von exakter Rotorflussorientierung aus, d.h. ψrq = 0 = ψ̇rq ! Elekt. Statorkreis: usk (t) Elekt. Rotorkreis: 0 Flussverkettung: ψsk (t) ψrk (t) = = = = (a) Bestimmen Sie aus (4.2) die Dynamik der fluss- bzw. momentenbildenden Stromkomd q d d q is (t) = f d (. . . ) und dt is (t) ponente, d.h. dt = f (. . . )! Für eine verkürzte Darstellung führen Sie die Bezeichnung σ = 1 − M2 Ls Lr (Blondel’scher Streukoeffizient) ein! (b) Identifizieren Sie Kopplungs- und Störterme! Unter welchen Voraussetzungen können Sie diese kompensieren? (c) Was gilt für die Dynamik(en) bei konstantem Fluss ψrd > 0 (ψ̇rd = 0)? (d) Bestimmen Sie die Übertragungsfunktionen FS, ids (s) = Entkopplung)! ids (s) uds (s) und FS, iqs (s) = iqs (s) uqs (s) (ideale (e) Bestimmen Sie Systemverstärkungen und Zeitkonstanten der Übertragungsfunktionen! (f ) Mithilfe der Optimierungstabelle legen Sie die Stromregler der fluss- und momentenbildenden Stromkomponenten aus! (Annahme: keine Messwertglättung und Umrichter als PT1 modelliert mit Zeitkonstante Tstr und Verstärkung Vstr ) Hinweis: Um Ihnen die Implementierung in Matlab/Simulink zu erleichtern, nutzen Sie die unter http://www.cres.mse.tum.de/index.php?id=eofzur Verfügung gestellten Dateien ASM_Regelung.mdl und ASM_Regelung_Init.m (siehe ASM.zip)! Aufgabe 4.3.6 (Implementierung in Matlab/Simulink). Laden Sie das Initialisierungsskript ASM_Regelung_Init.m Simulink-Vorlage ASM_Regelung.mdl. und öffnen Sie die (a) Vervollständigen Sie den Signalflussplan der geregelten ASM in Abb. 4.4! (b) Implementieren Sie entsprechend Abb. 4.4 und den vorangegangenen Aufgaben die Feldorientierte Regelung (FOR) der ASM in Matlab/Simulink! Bei der Implementierung der Stromregelkreise vernachlässigen Sie Kompensation der Kopplungs- und Störterme! (c) Implementieren Sie die Steuerbedingung zur Generierung der Umlaufwinkels φk (t) = Rt ω (τ ) dτ des k-Koordinatensystems (Essenz der FOR)! k 0 – 50/116 – 4.4. Implementierung Umrichter mit PWM ωM,ref ua,ref − ub,ref d ψr,ref uc,ref − ASM uDC ia ib ψbrd ic Abbildung 4.4: Signalflussplan der Feldorientierten Regelung (FOR; engl. field-oriented control (FOC)) der ASM. 4.4 Implementierung Mit dem Vorwissen aufgrund des Simulationsteils soll nun die ASM des Laboraufbaus geregelt werden. Das PWM-Verfahren wurde in der dSPACE DS1104 Karte und einem vorgefertigtem Block bereits implementiert. Hinweis: Um Ihnen die Implementierung in Matlab/Simulink zu erleichtern, nutzen Sie die unter http://www.cres.mse.tum.de/index.php?id=eof zur Verfügung gestellten Dateien ASM_Implementierung.mdl und ASM_Implementierung_Init.m (siehe ASM.zip)! Aufgabe 4.4.1 (Grobe Arbeitsschritte). (a) Machen Sie sich mit dem Laboraufbau vertraut! Nutzen Sie hierzu die Handbücher von dSPACE und SEW. (b) Ergänzen Sie die nötigen Daten in ASM_Implementierung_Init.mschrittweise! (c) Implementieren Sie sukzessive die kaskadierten Regelkreisstrukturen aus der Simulation in ASM_Implementierung.mdl! – 51/116 – ωM . Kapitel 5 Projekt 4: Zwei-Massen-System 5.1 Problemstellung Projekt 4 zielt darauf ab die erlernten Modellierungs- und Regelungsverfahren auf den möglichen Anwendungsfall einer elastischen Verbindung zwischen elektrischer Maschine (Antriebsmaschine) und Prozess (Arbeitsmaschine) zu erweitern. Für eine Zwei-Massen-System (ZMS) sollen • Verfahren zur aktiven Dämpfung, • Lastdrehzahlregelung und • Zustandsregelung entworfen, simuliert und implementiert werden. () Lernziele und -inhalte: • Verstehen der Problematik einer elastischen Verbindung • Analyse der Stabilität für PI-Regelung und Zustandsregelung • Entwerfen, Implementieren und Bewerten der PI- und Zustandsdrehzahlregelung und • (eventuell: Rapid-Prototyping mithilfe von Matlab/Simulink der Regelungsmethoden auf einem xPC-Realtime-Target-System) 5.2 5.2.1 Simulation Modellbildung und Verhalten In Abb. 5.1 ist ein schwingungsfähiges Zwei-Massen-System (ZMS) mit Aktorstörung uD dargestellt. Eingang ist das Sollmoment mM,ref [Nm], das der Aktor mit Zeitkonstante Ters [s] 2 gestört durch uD [Nm] in das Motormoment mM [Nm] umsetzt. Θ1 und Θ2 kgm stel len Motor- und Arbeitsmaschinenträgheit dar. Ebenso entsprechen ω1 und ω2 rad der s Motor- und Arbeitsmaschinenwinkelgeschwindigkeit. gr [1] ist die Getriebeübersetzung. Die mechanische Kopplung (Welle; engl. shaft) besitzt Dämpfung dRS [Nms/rad] und Steifigkeit t cS [Nm/rad]. In der Welle entsteht der Verdrehwinkel φS (t) = 0 ω1 (τ )/gr − ω2 (τ ) dτ [rad] rad mit Verdrehwinkelgeschwindigkeit φ˙S = ωS = ω1 /gr − ω2 s und das Wellenmoment – 53/116 – 5. Zwei-Massen-System mL 1 gr (mC 1/gr + mD ) dS mD ωS 1 Ters mM,ref mM − 1/Θ1 ω1 cS 1/gr − Aktor uD − φS 1/Θ2 ω2 mC − Abbildung 5.1: Signalflussplan eines schwingungsfähigen Zwei-Massen-Systems (ZMS) mit Aktorstörung mC + mD = dS ωS + cS φS [Nm]. Auf die Arbeitsmaschine (z.B. Farbauftragswalze) wirkt das Lastmoment mL [Nm]. Als direkte Messgrößen sollen Ihnen im Folgenden, die Arbeitsmaschinen-Winkelgeschwindigkeit ω2 (t) zur Verfügung stehen. Aufgabe 5.2.1 (Modellierung des ZMS). (a) Warum ist das Motormoment mM durch uD gestört? (b) Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion FZM S (s) = ω2 (s) mM (s) ! (c) Interpretieren Sie die Anteile der Übertragungsfunktion FZM S (s)! Teilen Sie hierzu die Übertragungsfunktion FZM S (s) in das Produkt Fstarr (s)·Felast (s) auf ! (Hinweis: Fstarr (s) entspricht einem gewichteten Integrator!) (d) Was passiert für cS → ∞? Was für eine Kopplung liegt vor? (e) Vergleichen Sie den schwingungsfähigen Anteil Felast (s) mit einem Standard P T2 , d.h. mit FP T2 (s) = 1+s 2D1+s2 1 und bestimmen Sie Dämpfungskoeffizient D und Eigenfrequenz ω0 ω0 2 ω0 in Abhängigkeit der Parameter Θ1 , Θ2 , cS , dS und gr ! (f ) Bestimmen Sie die Gesamtübertragungsfunktion FS,ω2 (s) = ω2 (s) mM,ref (s) ! Hinweis: Um Ihnen die Implementierung in Matlab/Simulink zu erleichtern, nutzen Sie die unter http://www.cres.mse.tum.de/index.php?id=eof zur Verfügung gestellten Dateien ZMS_Simulation.mdl und ZMS_Simulation_Init.m (siehe ZMS.zip)! Aufgabe 5.2.2 (Implementierung des ZMS in Matlab/Simulink). Laden Sie das Initialisierungsskript ZMS_Simulation_Init.m Simulink-Vorlage ZMS_Simulation.mdl. und öffnen Sie die (a) Implementieren Sie das Zwei-Massen-System entsprechend Abb. 5.1 in das vorgegebene Subsystem mit den Eingängen mM,ref , uD und mL und dem Ausgang ω2 ! – 54/116 – 5.2. Simulation (b) Für mM,ref (t) = mL (t) = 0 [Nm] regen Sie das ZMS mit einem Sprung uD (t) = 20 [Nm] σ(t− 1 [s]) an! Beobachten Sie ω1 , ω2 und φS ! (c) Für mM,ref (t) = uD (t) = 0 [Nm] regen Sie das ZMS mit einem Lastsprung mL (t) = 20 [Nm] σ(t − 1 [s]) an! Beobachten Sie ω1 , ω2 und φS ! (d) Bestimmen Sie D und ω0 des implementierten ZMS! Stimmen Ihre Berechnungen mit den Simulationsergebnissen in (b) und (c) überein? 5.2.2 Regelung Aufgabe 5.2.3 (Regelung des ZMS). (a) Ergänzen Sie Abb. 5.1 um einen Drehzahlregelkreis mit Regler FR,ω2 (s) = und Drehzahlsollwert ω2,ref ! mM,ref (s) ω2,ref (s)−ω2 (s) (b) Welche Strecke müssten Sie für cS → ∞ regeln? Stellen Sie die (vereinfachte) Übertraω2 (s) 0 gungsfunktion FS,ω (s) = mM,ref (s) für diesen Fall auf ! (Hinweis: Nutzen Sie das Ergebnis 2 aus Aufgabe 4.1 (f )!) 0 (c) Legen Sie mithilfe der Optimierungstabelle den Regler FR,ω2 (s) für die Strecke FS,ω (s) 2 aus! Welches Optimierungskritierium wenden Sie an? Warum? (d) Erzeugen Sie mit Matlab/Simulink das Bode-Diagramm des offenen Regelkreises F0 (s) = 0 FR,ω2 (s)FS,ω (s)! 2 (e) Erzeugen Sie mit Matlab/Simulink das Bode-Diagramm des elastischen Anteils Felast (s) des ZMS! (f ) Addieren Sie nun graphisch die beiden Bode-Diagramme von F0 (s) und Felast (s) in Abb. 5.2 zum Bode-Diagramm der Serienschaltung F0 (s) · Felast (s)! (g) Ist der geschlossene Regelkreis des schwingungsfähigen ZMS stabil (d.h. cS ∞)? (Hinweis: Gibt es eine Phasenreserve φd bei der Amplitudendurchtrittsfrequenz ωd ?) (h) Erzeugen Sie mit Matlab/Simulink das Bode-Diagramm der Serienschaltung F0 (s)·Felast (s)! Überprüfen Sie die Aussage von Aufgabe 4.3 (g)! Aufgabe 5.2.4 (Zustandsregelung des ZMS). Ihre Anlage habe eine sehr schnelle Momentenerzeugung, d.h. Ters = 0. Des Weiteren steht Ihnen neben ω2 auch ω1 als Messgröße zur Verfügung. Sie möchten eine Zustandsregler auslegen. ! x1 (a) Wie viele und welche Zustände x = . besitzt das ZMS in Abb. 5.1 für Ters = 0? .. (b) Stellen Sie das Zustandsraummodell ẋ(t) = f x(t), uD (t), mL (t), mM,ref (t) des ZMS mithilfe des Signalflussplans in Abb. 5.1 für Ters = 0 auf ! (c) Wie können Sie den Verdrehwinkel φS aus den Messgrößen ω1 und ω2 nachbilden? (d) Wie sieht ein lineares Zustandsregelgesetz für das ZMS aus? (Hinweis: mM,ref = mM = . . .> x!) – 55/116 – 5. Zwei-Massen-System Bode-Diagramm 60 40 Betrag [dB] 20 0 −20 −40 −60 −80 0 10 1 2 10 3 10 10 F0 0 Felast −45 −90 Phase [◦ ] −135 −180 −225 −270 −315 −360 0 10 1 2 10 10 Frequenz ω 3 10 ] [ rad s 0 Abbildung 5.2: Bode-Diagramme des offenen Regelkreises F0 (s) = FR,ω2 (s)FS,ω (s) (für cS → ∞) 2 und des schwingungsfähigen (elastischen) Anteils Felast (s). – 56/116 – 5.2. Simulation (e) Berechnen Sie die Systemmatrix ARK des geschlossenen Regelkreises! (Hinweis: Setzen Sie Ihren Zustandsregler in das Zustandsraummodell ein) (f ) Bestimmen Sie die charakteristische Gleichung χARK (s) := det(sI 3 − ARK ), mit I3 = h1 1 i 1 ! (Hinweis: Nutzen Sie Matlab zur symbolischen Berechnung. Verwenden Sie hierzu den Befehl syms um symbolische Variablen zu definieren, z.B. syms c_S d_S Theta1 ....) (g) Legen Sie mithilfe des Wunschpolynoms 1 1 11 2 1 1 1 χW unsch (s) = + 2 s+ +s +s +s = s + s3 3 T 2T 3T 6T T 6T (Polplatzierung mit T > 0 [s]) Ihren Zustandsregler aus Aufgabe 4.4 (d) aus! Worauf müssen Sie bei der Wahl von T achten? (h) Welche Vorteile hat eine Zustandsregelung im Vergleich zur bisherigen Reglerauslegung mithilfe des Bodediagrams? (i) Warum müssen Sie die Arbeitsmaschinen-Solldrehzahl ω2,ref über einen Faktor KV anpassen? Berechnen Sie den Faktor KV in Abhängigkeit des Zustandsraummodells des −1 geschlossen Regelkreises! (Ergebnis: KV = c> A −1 ) b RK Aufgabe 5.2.5 (Implementierung der Regelung des ZMS in Matlab/Simulink). Laden Sie das Initialisierungsskript ZMS_Simulation_Init.m und öffnen Sie die Simulink-Vorlage ZMS_Simulation.mdl (mit dem Modell aus Aufgabe 4.2). Wählen Sie folgende Anregungssignale ω2,ref (t) = 10 σ(t − 1 [s]) [rad/s] , uD (t) = 3 σ(t − 10 [s]) [Nm] und mL (t) = 20 σ(t − 20 [s]) [Nm] . (a) Implementieren Sie die Drehzahlregelung entsprechend Aufgabe 4.3! (b) Implementieren Sie die Zustandsregelung entsprechend Aufgabe 4.4! (Hinweis: Nutzen Sie den Matlab-Befehl place! Es gilt T = 0.05 [s] und Ters = 0.005 [s].) – 57/116 – . Literaturverzeichnis [1] Biggs, John ; Tang, Catherine: Teaching for Quality Learning at University. New York : McGraw-Hill Education, 2009 [2] Binder, Andreas: Elektrische Maschinen und Antriebe – Grundlagen, Betriebsverhalten. Berlin : Springer-Verlag, 2012. – ISBN 978-3-540-71850-5 [3] Dirscherl, Christian ; Hackl, Christoph ; Schechner, Korbinian: Modellierung und Regelung von modernen Windkraftanlagen: Eine Einführung. In: Schröder, Dierk (Hrsg.): Elektrische Antriebe – Regelung von Antriebssystemen. Springer-Verlag, 2014 (to be published in the 4. edition), S. 1505–1578 [4] Elektrotechnik & Informationstechnik Fakultät für: Aggregierter Vorlesungsbericht Sommersemester 2012 / TUM. München, 2012. – Bericht. – URL http://www.ei.tum.de/fileadmin/tueifei/www/Evaluation/Aggregierter_ Vorlesungsbericht_SoSe_2012_der_Fakultaet_EI.pdf [5] Elektrotechnik & Informationstechnik Fakultät für: Aggregierter Vorlesungsbericht Wintersemester 2012/2013 / TUM. München, 2013. – Bericht. – URL http://www.ei.tum.de/fileadmin/tueifei/www/Evaluation/Aggregierter_ Vorlesungsbericht_WiSe_2012_13.pdf [6] Hattie, J.: Visible Learning: A Synthesis of over 800 Meta-Analyses Relating to Achievement. Routledge, 2009 [7] Hinrichsen, D. ; Pritchard, A.J.: Mathematical Systems Theory I — Modelling, State Space Analysis, Stability and Robustness. Berlin : Springer-Verlag, 2005 (Texts in Applied Mathematics 48) [8] Kories, Ralph ; Schmidt-Walter, Heinz: Taschenbuch der Elektrotechnik. Verlag Harri Deutsch, 1998 [9] Lehre Hochschulreferat Studium und: Online-Umfrage zu den Studienbedingungen des Bachelor-Studiengangs an der Faultät für Elektrotechnik & Informationstechnik / TUM. München, 2012. – Online-Umfrage. – URL http://www.ei.tum.de/fileadmin/ tueifei/www/Evaluation/Ergebnisbericht_Studiengangsbefragung.pdf [10] Mertens, Konrad: Photovoltaik. Hanser Verlag, 2013 [11] Müller, F. H.: Förderung der Lernmotivation in der Hochschule. S. 31–43. In: Förderung von Kompetenzen in der Hochschullehre. Kröning : Asanger, 2007 [12] Müller, Germar ; Ponick, Bernd: Grundlagen elektrischer Maschinen. New York : John Wiley & Sons, 2012. – ISBN 978-3-527-66097-1 – 59/116 – 5. Literaturverzeichnis [13] Palekcic, M. ; Müller, F.H. ; Radeka, I. ; Rogic, A.M.: Studieren vor und nach Bologna: Ein Vergleich der selbstbestimmten Lernmotivation im Studium. In: 76. Tagung der Arbeitsgruppe für Empirische Päagogische Forschung (AEPF): Baustelle Lehrerbildung. Klagenfurt, Austria, 2011 [14] Prenzel, Manfred: Bedingungen für selbstbestimmt motiviertes und interessiertes Lernen im Studium. S. 11–22. In: Lehr- und Lernprobleme im Studium - Bedingungen und Veränderungsmöglichkeiten. Bern : Huber, 1996 [15] Quaschning, Volker: Regenerative Energiesysteme. Hanser Verlag, 2011 [16] Råde, L. ; Westergren, B. ; Vachenauer, P.: Springers mathematische Formeln: Taschenbuch für Ingenieure, Naturwissenschaftler, Informatiker, Wirtschaftswissenschaftler. 3. Springer-Verlag, 2000 [17] Schröder, Dierk: Elektrische Antriebe — Grundlagen (3.,erw. Auflage). Berlin : Springer-Verlag, 2007 [18] Schröder, Dierk: Elektrische Antriebe - Regelung von Antriebssystemen (3., bearb. Auflage). Berlin : Springer-Verlag, 2009 [19] Schröder, Dierk: Leistungselektronische Schaltungen: Funktion, Auslegung und Anwendung. Berlin, Heidelberg : Springer DE, 2012 [20] Tippelt, Rudolf: Vom projektorientierten zum problembasierten und situierten Lernen - Neues von der Hochschuldidaktik. S. 137–155. In: Entwicklungslinien der Hochschuldidaktik. Berlin : Logos, 2007 [21] Winteler, A.: Professionell lehren und lernen. Darmstadt : Wissenschaftliche Buchgesellschaft, 2011 – 60/116 – Teil III Anhänge 61 . Anhang A Allgemeine Grundlagen A.1 Trigonometrische Formeln (siehe [16]) Im Folgenden gelte x, y ∈ R (bei entsprechender Einschränkung des Bereiches falls notwendig). sin(x ± y) = sin(x) cos(y) ± cos(x) sin(y) cos(x ± y) = cos(x) cos(y) ∓ sin(x) sin(y) tan(x) ± tan(y) sin(x ± y) tan(x ± y) = = 1 ∓ tan(x) tan(y) cos(x ± y) 1 sin(x) sin(y) = cos(x − y) − cos(x + y) 2 1 cos(x) cos(y) = cos(x − y) + cos(x + y) 2 1 sin(x) cos(y) = sin(x − y) + sin(x + y) 2 x+y x−y sin(x) + sin(y) = 2 sin cos 2 2 x+y x−y sin sin(x) − sin(y) = 2 cos 2 2 x+y x−y cos(x) + cos(y) = 2 cos cos 2 2 y−x y+x cos(x) − cos(y) = 2 sin sin 2 2 π − arctan(x) ,x > 0 1 2π arctan = − − arctan(x) , x < 0. x 2 arctan(−x) = − arctan(x) arctan xy y = bel. y arctan x + π y≥0 arctan xy − π y<0 atan2(y, x) = π + y>0 2 π y<0 −2 undefiniert y=0 (A.1) (A.2) (A.3) (A.4) (A.5) (A.6) (A.7) (A.8) (A.9) (A.10) (A.11) (A.12) , , , , , , x>0 x<0 x<0 x=0 x=0 x=0 Folgende Funktionswerte arctan(x) ergeben sich für ausgewählte Argumente x: – 63/116 – (A.13) A. Allgemeine Grundlagen ±∞ x arctan(x) ± √ ± 3 π 2 ± π 3 ±1 ± π 4 1 ±√ 3 π ± 6 0 0 Tabelle A.1: Ausgewählte Argumente für und Funktionswerte von arctan : R → R. x [◦ ] 0 [0◦ ] sin(x) 0 cos(x) 1 tan(x) 0 π [30◦ ] 6 1 √2 3 2 1 √ 3 π [45◦ ] 4√ 2 √2 2 2 π [60◦ ] 3√ 3 2 1 2 √ 3 1 π [90◦ ] 2 1 0 ±∞ 2π [120◦ ] 3 √ 3 2 1 − 2 √ − 3 3π [135◦ ] 4 √ 2 2 √ 2 − 2 π [180◦ ] 3π [270◦ ] 2 0 −1 −1 0 −1 0 ±∞ Tabelle A.2: Ausgewählte Argumente für und Funktionswerte von cos, sin, tan : R → R. A.2 Energieeinheiten und Umrechnungsfaktoren Energieträger 1 1 1 1 [kg] Steinkohle [kg] 3 Rohöl m Erdgas [kg] Holz Energiegehalt 8.14 11.63 8.82 4.3 [kWh] [kWh] [kWh] [kWh] Anmerkung – Benzin: 8.7 [kWh/Liter]; Diesel: 9.8 [kWh/Liter] – (bei 15% Feuchte) Tabelle A.3: Umrechnungsfaktoren verschiedener Energieträger (siehe [10, Tab. 1.2]). 1 [kJ] = 1000 [Ws] 1 [kcal] 1 [kWh] 1 [kg] SKE 1 [kg] RÖE 1 m3 Erdgas [kJ] [kcal] [kWh] [kg] SKE [kg] RÖE 1 4.1868 3600 29308 41868 31736 0.2388 1 860 7000 10000 7580 1 3600 3.4 · 10−5 1.43 · 10−4 0.123 1 1.428 1.083 2.4 · 10−5 1 · 10−4 0.086 0.7 1 0.758 1.163 · 10−3 1 8.14 11.63 8.816 3 m Erdgas 3.2 · 10−5 1.3 · 10−4 0.113 0.923 1.319 1 Tabelle A.4: Umrechnungsfaktoren zwischen verschiedenen Energieeinheiten (siehe [15, Tab. 1.1]) mit den Abkürzungen [kJ]: Kilojoule, [Ws]: Wattsekunde, [kcal]: Kilokalorie, [kWh]: Kilo wattstunde, [SKE]: Steinkohleeinheit, [RE]: Rohöleinheit und m3 : Kubikmeter (Volumen). – 64/116 – A.3. Stromsysteme (siehe [8]) Vorsatz Symbol Wert Milli Mikro Nano Piko Femto Atto m µ n p f a 10−3 10−6 10−9 10−12 10−15 10−18 (Tausendstel) (Millionstel) (Milliardstel) (Billionstel) (Billiardstel) (Trillionstel) Vorsatz Symbol Wert Kilo Mega Giga Tera Peta Exa k M G T P E 103 106 109 1012 1015 1018 (Tausend) (Million) (Milliarde) (Billion) (Billiarde) (Trillion) Tabelle A.5: Vorsätze, Symbole und Faktoren. A.3 Stromsysteme (siehe [8]) Im Folgenden sei t0 ≥ 0 [s] ein beliebiger Zeitpunkt und x : R≥0 → R ein periodisches Signal mit Periodendauer T > 0 [s] (d.h. x(t) = x(t + T ) für alle t ≥ 0) und Amplitude x̂ > 0. • Gleichwert oder arithmetischer Mittelwert (zeitlich gleitend X(t0 ) bzw. für T periodische Signale X): ∀t0 ≥ T : 1 X(t0 ) := T Zt0 x(τ ) dτ 1 X := T bzw. ZT x(τ ) dτ (A.14) 0 t0 −T • Gleichrichtwert (zeitlich gleitend X DC (t0 ) bzw. für T -periodische Signale X DC ): ∀t0 ≥ T : 1 X DC (t0 ) := T Zt0 |x(τ )| dτ t0 −T bzw. X DC 1 := T ZT 0 |x(τ )| dτ (A.15) (für sinus- oder cosinusförmige Signale gilt X DC = 2 π x̂ ≈ 0.637x̂) • Effektivwert (engl. root-mean-square/RMS value) oder quadratischer Mittelwert (zeitlich gleitend Xeff (t0 ) bzw. für T -periodische Signale Xeff ): v v u u Zt0 u ZT u u1 u1 ∀t0 ≥ T : Xeff (t0 ) := t x(τ )2 dτ bzw. Xeff = t x(τ )2 dτ T T 0 t0 −T A.3.1 (A.16) Wechselstrom Wechselstromsystem mit sinusförmiger Spannung u [V] und sinusförmigem Strom i [A]: ) und i(t) = ı̂ sin ωt + ϕi u(t) = û sin ωt + ϕu (A.17) wobei û > 0 [V] , ı̂ > 0 [A] , ϕu ∈ R [rad] , ϕi ∈ R [rad] und ω > 0 [rad/s] . Für sinus- oder cosinusförmige Signale wie in (A.17) gilt: • Periodizität mit Periode: T := 2π [s] ω – 65/116 – (A.18) A. Allgemeine Grundlagen • Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom: ϕ := ϕu − ϕi [rad] (A.19) • Effektivwert: x̂ Xeff = √ ≈ 0.707x̂ 2 X, x ∈ {u, i} mit (A.20) • Momentanleistung: ∀t ≥ 0 : p∼ (t) := u(t)i(t) [W] (A.21) • Mittlere Leistung über Periode T wie in (A.18): 1 P∼ (t) := T ∀t ≥ T : Z t t−T p∼ (τ ) dτ (A.22) • Wirkleistung für Phasenverschiebung ϕ wie in (A.19): P∼ := S∼ cos(ϕ) = Ueff Ieff cos(ϕ) [W] (A.23) • Blindleistung für Phasenverschiebung ϕ wie in (A.19): Q∼ := S∼ sin(ϕ) = Ueff Ieff sin(ϕ) [var] • Scheinleistung: A.3.2 S∼ := Ueff Ieff = Drehstrom (symmetrisch) p P∼2 + Q2∼ [VA] (A.24) (A.25) Drehstromsystem mit sinusförmigen Strangspannungen uabc [V]3 und -strömen iabc [A]3 : a u (t) sin ωt + ϕu uabc (t) := ub (t) = û sin ωt + ϕu − 32 π und 4 c sin ωt + ϕu − 3 π u (t) a i (t) sin ωt + ϕi (A.26) abc 2 b i (t) := i (t) = ı̂ sin ωt + ϕi − 3 π sin ωt + ϕi − 43 π ic (t) wobei û > 0 [V] , ı̂ > 0 [A] , ϕu ∈ R [rad] , ϕi ∈ R [rad] und ω > 0 [rad/s] . Für ein symmetrisches Drehstromsystem (A.26) gilt abhängig von der Verschaltung (siehe Abb. A.1): • Periodizität (jedes Stranges) mit Periode: T := 2π [s] ω (A.27) • Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom (gilt für jeden Strang): ϕ := ϕu − ϕi [rad] – 66/116 – (A.28) A.3. Stromsysteme (siehe [8]) V ub ibc b ib Zb b i ua ubc Za = i U ia U2 c uc U1=V2 U ia ic = W2 c iab Zc V2 Z V1 = uab Z ub W2 V Za uc W ua U2 ica = W1 uca W (a) Sternschaltung (Symbol ) mit verketteten Spannungen uverk ∈ {uab , ubc , uca }, Strangspannungen ustr ∈ {ua , ub , uc } (über Z a , Z b , Z c ) und Strangströmen istr ∈ {ia , ib , ic }. U V (b) Dreieckschaltung (Symbol M) mit Strangspannungen ustr ∈ {ua , ub , uc } (über Z a , Z b , Z c ), Strangströmen istr ∈ {ia , ib , ic } und verketteten Strömen istr ∈ {iab , ibc , ica }. U V W U1 U1 V1 Za ub Zb ia U2 (c) uc Za ub Zb ia Zc ic ib V2 V1 W1 W1 ua ua W U2 uc Zc ic ib V2 W2 W2 Verdrahtung zu Sternschaltung (rechtslauf ) der Wicklungen Z a , Z b , Z c mit Wicklungsanschlüssen U1, U2, V1, V2 und W1, W2. (d) Verdrahtung zu Dreieckschaltung (rechtslauf ) der Wicklungen Z a , Z b , Z c mit Wicklungsanschlüssen U1, U2, V1, V2 und W1, W2. Abbildung A.1: Stern- und Dreieckschaltung mit Anschlussklemmen U, V, W und Wicklungen Z a , Z b , Z c (Strangimpedanzen). – 67/116 – A. Allgemeine Grundlagen • Effektivwert in Stern- bzw. Dreieckschaltung: r verk Xeff 3 x̂ (A.16) str verk str Xeff = √ und Xeff = , x̂ ⇔ Xeff = √ 2 2 3 X, x ∈ {u, i} (A.29) • Momentanleistung: ∀t ≥ 0 : p3∼ (t) := uabc (t)> iabc (t) = ua (t)ia (t) + ub (t)ib (t) + uc (t)ic (t) [W] (A.30) • Mittlere Leistung über Periode T wie in (A.27) ∀t ≥ T : P3∼ (t) := 1 T Z t p3∼ (τ ) dτ (A.31) t−T • Wirkleistung für Phasenverschiebung ϕ wie in (A.28): str str P3∼ := S3∼ cos(ϕ) = 3 Ueff Ieff cos(ϕ) [W] (A.32) • Blindleistung für Phasenverschiebung ϕ wie in (A.28): str str Q3∼ := S3∼ sin(ϕ) = 3 Ueff Ieff sin(ϕ) [var] • Scheinleistung S3∼ := (A.32),(A.33) = (A.29) = (A.29) = p 2 + Q2 [VA] P3∼ 3∼ str I str 3 Ueff eff √ verk str 3 Ueff Ieff verk I verk Ueff eff – 68/116 – (A.29) = √ (A.33) str I verk 3 Ueff eff (A.34) . Anhang B Grundlagen der Gleichstrommaschine B.1 Danksagung Abschnitte B.2 und B.3 wurden zusammen mit Dipl.-Ing. Julien Cordier (Lehrstuhl für Elektrische Antriebssysteme und Leistungselektronik) er- und überarbeitet. Insbesondere die Abschnitte B.2.2.2, B.2.3.1 und B.2.3.2 wurden von Herrn Cordier erarbeitet und zur Verfügung gestellt. Hierfür möchte sich der Autor ganz herzlich bedanken. B.2 Modellbildung Um die Regelung zu entwerfen, muss ein mathematisches Modell der Regelstrecke vorliegen. Daher werden im folgenden Kapitel zunächst die einzelnen Komponenten des Regelkreises vorgestellt und geeignet modelliert. B.2.1 B.2.1.1 Vierquadrantensteller Funktionsweise Der Pulssteller gehört zu den Gleichspannungswandlern und liefert, ausgehend von einer festen Eingangspannung uDC , eine einstellbare, pulsierende Ausgangsspannung uA . Im Hinblick auf die möglichen Spannungs- und Strompolaritäten wird zwischen Ein-Quadranten- und Mehrquadranten-Pulsstellern unterschieden. Im weiteren Verlauf wird ein VierquadrantenPulssteller betrachtet, welcher sowohl positive, als auch negative Ausgangsspannungen bereitstellen und den Strom bidirektional führen kann (Abb. B.1). V2 V4 s2 s1 i A uA uDC CDC V1 V3 s1 s2 Abbildung B.1: Prinzipschaltplan eines Vierquadrantenstellers. – 69/116 – B. Grundlagen der Gleichstrommaschine u u Ts 1 Ts ud u 1 d uA,ref uDC t −1 s1 t t uA,ref uDC −1 s1 t s2 s2 t u uDC uA t u uDC uA uA t t uA −uDC i −uDC i iA iA t (a) d > 0, 5 bzw. uA > 0. iA t iA (b) d < 0, 5 bzw. uA < 0. Abbildung B.2: Funktionsprinzip der Pulsbreitenmodulation Die in Abb. B.1 dargestellten Schaltelemente V1 bis V4 (IGBT-Module mit integrierter Freilaufdiode) werden als ideelle Schalter angenommen, die über die binären Ansteuerungssignale s1 bis s2 beliebig geschlossen (kurz sx , x ∈ {1..2}) oder geöffnet (kurz ¬sx , x ∈ {1..2}) werden können. Ist in einem der beiden Halbbrücken ein Schalter geschlossen, muss der andere geöffnet sein, um einen Kurzschluss der Eingangsspannung (Zwischenkreisspannung) uDC auszuschließen. Somit ergeben sich folgende logische Zusammenhänge zwischen Steuersignalen und der Ausgangsspannung: s1 = s2 = 1 ∧ s2 = s1 = 0 V4 & V1 geschlossen s1 = s2 = 1 ∧ s1 = s2 = 0 V4 & V2 geschlossen =⇒ s1 = s2 = 0 ∧ s2 = s1 = 1 V3 & V2 geschlossen s1 = s2 = 0 ∧ s1 = s2 = 1 V3 & V1 geschlossen =⇒ =⇒ =⇒ uA = uDC uA = −uDC uA = 0 [V] uA = 0 [V] (B.1) Die Signale s1 bzw. s2 werden durch logische Negation der Signale s1 bzw. s2 generiert. B.2.1.2 Nachbildung von wertkontinuierlichen Spannungen Wie aus (B.1) hervorgeht, kann der Pulssteller lediglich 3 diskrete Spannungswerte an dessen Ausgangsklemmen bereitstellen. Durch Umschalten zwischen den drei möglichen Zuständen lassen sich jedoch mittlere Spannungswerte im gesamten Intervall [−uDC ; uDC ] erzeugen. Dieses Verhalten wird erzielt, wenn die Steuersignale s1 und s3 durch z. B. Pulsbreitenmodulation (PWM) generiert werden. – 70/116 – B.2. Modellbildung Das Prinzip der PWM ist in Abb. B.2 erläutert, wobei folgende Symbole benutzt wurden: uA,ref Spannungssollwert ud Trägersignal Ts Periode des Trägersignals Ton Einschaltdauer des Schalters S1 uA Augenblickswert der Ausgangsspannung Ferner entspricht uA dem gleitenden Mittelwert der Ausgangsspannung über eine Trägerperiode: 1 uA (t) = Ts Z t uA (t0 ) dt0 t−Ts Das binäre Signal s1 wird durch Vergleich des Spannungssollwerts uA,ref mit dem Referenzsignal ud (Trägersignal ) gemäß folgendem Gesetz bestimmt: s1 = 1 wenn 0 sonst uA,ref uDC ≥ ud (B.2) Das Tastverhältnis (engl. duty cycle) d des Signals s1 lautet somit: u 1 + uA,ref Ton Ton /2 DC d= = = Ts Ts /2 2 (B.3) Zur Vermeidung eines gleichzeitigen Einschaltens von S1 und S2 erfolgt die Ansteuerung von S2 über das Signal s2 = ¬s1 . Werden s3 = s2 = ¬s1 und s4 = ¬s3 = s1 gewählt, kann uA laut (B.1) die Werte uDC und −uDC annehmen. Dies hat den Vorteil, dass lediglich ein Signal zur Ansteuerung des Pulsstellers genügt. Durch Variieren des Tastverhältnisses im Intervall [0; 1] können Spannungsmittelwerte uA im gesamten Bereich [−uDC ; uDC ] generiert werden. Auf diese Weise kann zwar der dritte logische Zusammenhang in (B.1) nicht ausgenutzt werden, dies ist jedoch unerheblich, da ein Spannungsmittelwert von Null durch geeignete Wahl des Tastverhältnisses erzeugt werden kann. Als Trägersignal wurde in Abb. B.2 ein Dreiecksignal benutzt, andere Signaltypen wie z.B. Sägezahnsignale wären ebenfalls möglich. Abb. B.2(a) zeigt die sich ergebenden Steuersignale sowie die zugehörige Ausgangsspannung und den resultierenden Strom für den Fall einer ohmsch-induktiven Last und uA,ref > 0 bzw. d > 50%. Der Verlauf derselben Größen für uA,ref < 0, d.h. d < 50%, hingegen ist in Abb. B.2(b) wiedergegeben. B.2.1.3 Dynamisches Verhalten bei Sollwertänderungen Ändert sich der Spannungssollwert uA,ref , vergeht eine Zeit Tstr bis sich der gleitende Mittelwert der Ausgangsspannung entsprechend einstellt. Diese Tatsache ist in Abb. B.3 ersichtlich. Der Vierquadrantensteller kann folglich als Verstärker mit verzögerndem Verhalten angesehen werden. Zusammenfassend ist festzuhalten, dass die Kombination einer Spannungsquelle mit festem Ausgang uDC und eines Vierquadranten-Pulsstellers zu einer einstellbaren Spannungsquelle führt, deren Ausgangsbereich dem Intervall [−uDC ; uDC ] entspricht. Ferner kann der Energieaustausch bidirektional erfolgen. Somit eignet sich der Vierquadranten-Pulssteller besonders zum Einsatz als Stellglied im Anker- oder Erregerkreis von Gleichstromantrieben. – 71/116 – B. Grundlagen der Gleichstrommaschine Ts ud t uA,ref uDC s1 t uA uDC t uA −uDC Tstr Abbildung B.3: Wartezeit bei der Umsetzung von Sollwertänderungen. B.2.2 B.2.2.1 Fremderregte Gleichstrommaschine Modellierung Der grundsätzliche Aufbau der Gleichstrommaschine ist Abb. B.4 schematisch dargestellt. Da in ihrem Inneren sowohl elektromagnetische, als auch mechanische und thermische Vorgänge mit z. T. nichtlinearen Effekten auftreten, stellt sie ein komplexes System dar. Um dennoch geschlossene Beziehungen zwischen elektrischen und mechanischen Größen in einem einfach zu handhabenden Modell zu erhalten, werden zunächst folgende vereinfachende Annahmen gemacht: • Der Einfluss des Ankerstroms auf das Luftspaltfeld (Ankerrückwirkung) wird vernachlässigt. Ankerrückwirkungen verschlechtern das Maschinenverhalten und es wird generell versucht, diese durch geeignete Designmethoden zu unterdrücken (z.B. Kompensationswicklungen bei größeren Maschinen [2], [12]), weswegen die Annahme grundsätzlich berechtigt ist. • Der Auswirkung der Temperatur auf Erreger- sowie Ankerwiderstand wird keine Rechnung getragen. • Bezüglich der magnetischen Materialeigenschaften wird lediglich der Einfluss der Eisensättigung auf den Erregerkreis berücksichtigt. Hierbei wird ebenfalls durch entsprechende Konstruktionsmaßnahmen angestrebt, Hysterese- oder Wirbelstromeffekte zu minimieren. Aus diesem Grund wird der Zusammenhang zwischen Erregerstrom und Erregerflussverkettung durch eine nichtlineare Funktion ausgedrückt. – 72/116 – B.2. Modellbildung Abbildung B.4: Aufbau der Gleichstrommaschine [2, 849]: (a) Läufer; (b) Läufer-Nutquerschnitt; (c) Schematischer Querschnitt der Maschine; (d) Längsschnitt des Motors. – 73/116 – B. Grundlagen der Gleichstrommaschine iA RA LA RE dψE dt eA uA iE uE ωM Abbildung B.5: Elektrisches Ersatzschaltbild von Anker- und Erregerkreiswicklung. Unter Berücksichtigung obiger Vereinfachungen ergeben sich folgende Zusammenhänge zwischen elektrischen und mechanischen Größen: Ankerkreis: Gegenspannung: Motormoment: Erregerkreis: Magnetisierung: Mechanik: uA (t) = eA (t) + RA iA (t) + LA d iA (t) dt , iA (0) = 0 [A] eA (t) = CM · ψE (t) · ωM (t) (B.4a) (B.4b) mM (t) = CM · ψE (t) · iA (t) d uE (t) = RE iE (t) + ψE (t) dt ψE (t) = f (iE (t)) d 1 ωM (t) = mM (t) − mL (t) dt ΘM (B.4c) , ψE (0) = 0 [Vs] (B.4d) (nichtlinear) (B.4e) , ωM (0) = 0 [rad/s] (B.4f) Die in (B.4) verwendeten Symbole werden in Tabelle B.1 erläutert. Symbol uA [V] iA [A] RA [Ω] Vs LA A eA [V] Vs ψE A uE [V] Physikalische Größe Ankerspannung Ankerstrom Ankerwiderstand Ankerinduktivität Elektromotorische Kraft (EMK) Erreger-Flussverkettung Erregerspannung Symbol iE [A] RE [Ω] CM [1] mM [Nm] mL [Nm] 2 ΘM kgm rad ωM s Physikalische Größe Erregerstrom Erregerwiderstand Maschinenkonstante Luftspaltmoment Lastmoment Rotorträgheitsmoment Rotorwinkelgeschwindigkeit Tabelle B.1: Bedeutung der in (B.4) verwendeten Symbole. B.2.2.2 Stationäres Verhalten Motorkennlinie Im stationären Betrieb, d. h. wenn die in der Maschine gespeicherte Energie konstant bleibt und sich die Zustandsgrößen iA und ωM nicht mehr ändern (diA /dt = dωA /dt = 0), ist die gesamte aufgenommene Leistung gleich der abgegebenen. Daraus folgt, dass für eine bestimmte Ankerspannung uA ein fester Zusammenhang zwischen Drehmoment und Drehzahl in diesem Fall existiert. Wird beispielsweise ein Lastmoment angelegt, stellt sich eine zugehörige Drehzahl ein. Wird hingegen äußerlich ein bestimmter Drehzahlwert aufgezwungen, so gibt der Motor ein entsprechendes Drehmoment ab. Dies entspricht dem bekannten Betrieb einer Gleichstrommaschine an einer festen Gleichspannungsquelle. – 74/116 – B.2. Modellbildung ωM ωM 0 ωM 1 − C 2RAψ2 M E mM 1 mk mM Abbildung B.6: Stationäre Drehzahl-Drehmoment-Kennlinie der Gleichstommaschine. Die stationäre Beziehung zwischen Drehmoment und Drehzahl kann aus dem Gleichungssystem (B.4) abgeleitet werden, indem Ankerspannung uA und Ankerstrom iA durch deren Abhängigkeiten von Drehmoment und Drehzahl in (B.4a) ersetzt werden: Aus *0 di A uA = eA + iA · RA + LA· dt mM und eA = CM · ψE · ωM CM · ψE mM uA = RA · + CM · ψE · ωM CM ψE unter Berücksichtigung von iA = folgt Anhand ergibt sich schließlich mM *0 dω M · − mL = ΘM dt uA RA − 2 2 · mL ωM = CM ψE CM ψE (B.5) (B.6) Gleichung (B.6) drückt einen linearen Zusammenhang zwischen Drehmoment und Winkelgeschwindigkeit aus (siehe Abb. B.6). Der konstante Term entspricht der sog. Leerlaufwinkelgeschwindigkeit ωM 0 . Diese stellt sich ein, wenn der Maschine keine mechanische Energie entnommen wird, d.h. mL = 0. Wird der Motor mit einem positiven Lastmoment mL = mL1 beaufschlagt, verringert sich die Drehzahl und folglich die induzierte Spannung. Der Spannungsabfall am Widerstand der Ankerwicklung und daher der durch diese fließende Strom steigen. Somit erhöht sich das von der Maschine entwickelte Drehmoment, bis ein neues Gleichgewicht zustande kommt. Der resultierende Arbeitspunkt ist (mL1 , ω1 ). Wird der Rotor festgehalten, wird keine Bewegungsspannung in der Ankerwicklung induziert, sodass uA die am Ankerwiderstand abfallende Spannung darstellt. Der resultierende Strom iK wird als Kurzschlussstrom bezeichnet. In diesem Fall liefert die Maschine das Kurzschlussmoment: mK = CM · ψE · iK = CM · ψE · – 75/116 – uA RA (B.7) B. Grundlagen der Gleichstrommaschine ωM ωM 0N Menge der zulässigen Betriebspunkte Nennkennlinie uA = uAN , ψE = ψEN CM ψE imax uA mKN mL Abbildung B.7: Betrieb im Ankerstellbereich. Beeinflussung der stationären Kennlinie Neben den durch den Maschinenaufbau festgelegten Parametern CM und RA wirken sich uA und ψE auf die Kennlinie aus. Wenn die Ankerspannung uA durch die an den Ankerklemmen angeschlossene Spannungsquelle vorgegeben ist, kann der Erregerfluss gemäß (B.4d) über die Erregerspannung eingestellt werden. Folglich kann die Maschinenkennlinie auf zwei verschiedene Weise beeinflusst werden. Wird die Ankerspannung variiert, jedoch der Erregerfluss auf seinen Nennwert ψEN gehalten, verschieben sich die Schnittpunkte der Kennlinie mit den Koordinatenachsen, ohne dass sich deren Steigung ändert. Diese Ansteuerungsart nennt sich Ankerstellbetrieb (siehe Abb. B.7). Da sowohl der Isolierlack der Rotorwicklung, als auch der Bereich zwischen zwei benachbarten Kommutatorlamellen eine begrenzte Isolationsfestigkeit aufweist, darf die Ankerspannung nicht über deren Nennwert uAN erhöht werden. Aus diesem Grund können durch dieses Prinzip nur Betriebspunkte unterhalb der Nennkennlinie erreicht werden. In der Praxis wird bei der Dimensionierung eines Motors ein kleiner Wert für den Ankerwiderstand angestrebt, um den Wirkungsgrad zu maximieren. Diese Maßnahme führt jedoch dazu, dass der unter Nennspannung im Stillstand resultierende Strom Wärmeverluste u2AN /RA zur Folge hätte, die die Isolierung der Rotorwicklung beschädigen würden. Dementsprechend wird der Ankerstrom auf einen Wert imax < iK begrenzt und der Betrieb im Bereich des Schnittpunkts der Nennkennlinie mit der Abzissenachse somit ausgeschlossen. Stationäre Betriebspunkte über der Nennkennlinie lassen sich jedoch erreichen, wenn bei Ankernennspannung der Erregerfluss abgesenkt wird. Diese Vorgehensweise wird als Feldschwächung bezeichnet. Wie aus (B.4b) hervorgeht, führt dies zu einer Verringerung der Gegenspannung, die bei einer Winkelgeschwindigkeit ωM in der Ankerwicklung induziert wird, sodass höhere Drehzahlen als die Nennleerlaufdrehzahl erreicht werden können. Allerdings hat die Senkung der magnetischen Erregung gleichzeitig zur Folge, dass das bei einem gewissen Strom iA entwickelte Drehmoment geringer wird (siehe (B.4c)). Folglich entspricht die Minderung der magnetischen Erregung einer Drehung der Drehmoment-Drehzahl-Kennlinie im Uhrzeigersinn (Abb. B.8). B.2.3 Sensorik Betreibt man eine Gleichstrommaschine an einem Prüfstand, ist der Zugriff auf die physikalischen Größen, wie z. B. Drehzahl oder Ankerstrom, nur durch den Einbau bestimmter Sensoren möglich. Die Mitschrift einer physikalischen Größe selbst ist je nach Messprinzip demnach immer zeitverzögert, verrauscht, verzerrt, mit Messfehlern wie Versatz, Quantisie– 76/116 – B.2. Modellbildung ωM Feldschwächbetrieb uA = uAN , ψE < ψEN ωM 0N ψE Nennkennlinie uA = uAN , ψE = ψEN Ankerstellbetrieb uA < uAN , ψE = ψEN mKN mL Abbildung B.8: Erweiterung des Betriebsbereichs mittels Feldschwächung. uhall icomp iA Abbildung B.9: Aufbau eines Kompensationswandlers. rung und Nichtlinearität behaftet und/oder beeinflusst von anderen physikalischen Größen, wie Temperatur, statische oder zeitveränderliche Magnetfelder sowie Erschütterungen. Diese Messfehler stellen in der Praxis oft einen wesentlichen Begrenzungsfaktor für die Leistungsfähigkeit des gesamten Antriebssystems dar. Aus diesem Grund wird im Folgenden auf die wichtigsten Ursachen von Messfehlern näher eingegangen. B.2.3.1 Stromerfassung Die Strommessung erfolgt meistens über Shuntwiderstände oder Kompensationwandler. Ein sog. Shunt ist ein geeichter, niederohmiger Widerstand über dem eine stromproportionale Spannung abfällt. Aufgrund der im Shunt entstehenden Wärmeleistung muss die an dessen Klemmen abgegriffene Spannung klein gehalten werden, weswegen sie vor ihrer Digitalisierung durch einen Analog-Digital-Wandler (ADC) immer mittels analoger Schaltungen in den Bereich von etwa [−10V ; 10V ] verstärkt wird. Dies hat ein relativ starkes Messrauschen zur Folge. Abbildung B.9 zeigt die elementaren Komponenten im Aufbau eines Kompensationswandlers. Darin umschließt ein Eisenkern den Leiter, in dem der zu messende Strom iA fließt. Ein – 77/116 – B. Grundlagen der Gleichstrommaschine im A iA Abbildung B.10: Verwendetes Modell der Strommessung. Abbildung B.11: Skizzenhafte Darstellung eines optischen Inkremental-Gebers. Hall-Sensor erfasst das im Eisenkern vorhandene Magnetfeld und liefert eine Spannung uhall , mithilfe deren der Strom in der Sekundärwicklung (Kompensationsstrom icomp ) so geregelt wird, dass das Gesamtmagnetfeld im Eisenkern ausgelöscht wird. Damit ist der Kompensationsstrom zu jeder Zeit dem zu ermittelden Strom proportional. Den Proportionalitätsfaktor bildet dabei die Windungszahl der Sekundärwicklung. Im Allgemeinen wird der Kompensationsstrom zur Auswertung durch einen ADC über einen Shunt in eine Spannung umgewandelt. Im Hinblick auf die niedrigen Stromstärken im Sekundärkreis kann einen größeren Shuntwiderstand zur Erhöhung des Signal-Rausch-Verhältnisses gewählt werden. Bedingt durch das Prinzip des Hallsensors und die Remanenz im Eisenkern führt dieses Messverfahren jedoch zu größeren Versätzen (engl. offsets) in den ermittelten Werten. Zusammenfassend sind Messrauschen und Offset die bedeutendsten Fehlerquellen bei der Strommessung. Im Rahmen des Praktikums wird der Offset vernachlässigt und die Strommessung als Überlagerung des tatsächlichen Stromes mit einem Rauschsignal modelliert, wie in Abb. B.10 dargestellt. B.2.3.2 Drehzahlmessung In der Praxis wird zur Drehzahlmessung meist die Ableitung des Rotorwinkelsignals verwendet, welches über einen am Rotor befestigten Drehgeber erfasst wird. Die am häufigsten verwendeten Lagegeber sind Inkrementalgeber (oder Inkremental-Encoder ) sowie Resolver, wobei im weiteren Verlauf nur Inkrementalgeber in Betracht gezogen werden. Das der Positionsmessung zugrunde liegende physikalische Prinzip kann bei Inkrementalgebern entweder magnetischer oder optischer Natur sein. In seiner einfachsten Ausführung besteht der optische Inkrementalgeber im Wesentlichen aus einer Scheibe, eine Lichtquelle sowie zwei Photodetektoren (siehe Skizze in Abb. B.11). Entlang des Umfangs der Scheibe sind zwei Spuren mit äquidistanten Schlitzen (Strichen), z. B. 1024, angeordnet. Beide Spuren sind um ein Viertel des Abstands zwischen zwei Schlitzen zueinander verschoben, wodurch die Photodetektoren ein zueinander um 90 Grad phasenverschobenes Rechteckspannungssi– 78/116 – B.3. Regelung m ωM ωM Abbildung B.12: Modellierung der Drehzahlerfassung. gnal ausgeben. Dies ermöglicht, neben der Erkennung der Drehrichtung, auch eine Erhöhung der Positionsauflösung um ein Vierfaches, d.h. mit einem 1024-Strich-Geber können bis zu 4096 diskrete Winkelstellungen je Umdrehung voneinander unterschieden werden. Bei magnetischen Inkrementalgebern wird eine Scheibe aus hartmagnetischem Material benutzt, deren Rand Regionen abwechselnder magnetischer Polarität aufweist. In den Simulationen wird bei der Drehzahlermittlung dem Verhalten des Inkrementalgebers Rechnung getragen, indem die durch das Modell der Gleichstrommaschine gelieferte Winkelgeschwindigkeit zunächst zu einem Winkel integriert wird, welcher anschließend entsprechend der verwendeten Strichzahl quantisiert und das resultierende Signal nach der Zeit differenziert wird (siehe Abb. B.12). B.3 Regelung B.3.1 Übersicht Im vorangegangenen Teil wurden vereinfachte Modelle der Komponenten eines Gleichstromantriebs (Gleichstrommotor, Vierquadranten-Pulssteller, Sensorik) erarbeitet. Sie sollen nun zur Untersuchung des Gleichstromantriebs im geschlossenen Regelkreis herangezogen werden. Hierbei werden, wie in der Praxis üblich, die Zustandsgrößen Ankerstrom iA und Rotorwinkelgeschwindigkeit ωM in einer kaskadierten Struktur durch lineare Regler vom Typ PID (Proportional-Integral-Differential) geregelt (vgl. Abb. B.13). Dies bedeutet zum einen, dass Strom- und Drehzahlregelkreis ineinander verschachtelt sind und zum anderen, dass sowohl ein Regler für den Ankerstrom, als auch einer für die Winkelgeschwindigkeit zu entwerfen sind. In der industriellen Antriebstechnik werden die Reglerparameter häufig nach dem Betragsoptimum bzw. dem Symmetrischen Optimum bestimmt. Diese Vorgehensweise erfordert einen relativ geringen Aufwand bei der Modellierung des zu regelnden Systems und liefert dennoch zufriedenstellende Ergebnisse im Hinblick auf Stabilität und Dynamik des geschlossenen Regelkreises. iA ωM,ref − ωM iA,ref uA,ref − iA uA Abbildung B.13: Prinzipdiagramm einer Drehzahl-Strom-Regelung in Kaskadenstruktur. – 79/116 – B. Grundlagen der Gleichstrommaschine Im Folgenden werden die grundlegenden Eigenschaften der im vorherigen Kapitel entwickelten Modelle kurz zusammengefasst. B.3.2 Modelle und Signalflusspläne Die wichtigsten Eigenschaften der im ersten Teil erarbeiteten Modelle der Gleichstrommaschine, des Pulsstellers sowie der Sensorik werden in diesem Abschnitt zusammengefasst. B.3.2.1 Gleichstrommotor Aus den in (B.4) gegebenen Gleichungen lässt sich der Signalflussplan in Abb. B.14 ableiten. mL uA,ref 1 RA uA TA mM iA − ... für Anker CM − 1 ΘM ωM CM eA uE,ref 1 RE uE ... für Erreger iE ψE − dψE /dt Gleichstrommotor Pulssteller Abbildung B.14: Signalflussplan eines fremderregten Gleichstrommotors mit Pulssteller im Anker- und Erregerkreis. B.3.2.2 Leistungselektronische Stellglieder Sowohl Anker-, als auch Erregerspannung werden von einem Pulsrichter zur Verfügung gestellt. Wie im vorigen Versuch vorgestellt, werden die beiden Pulsrichter als verstärkende Verzögerungs- bzw. PT1-Glieder modelliert. Wie sich im weiteren Verlauf herausstellen wird, wird diese Approximation den Reglerentwurf vereinfachen. Die Übertragungsfunktion der leistungselektronischen Stellglieder lautet somit: FST R (s) = VST R u(s) = VST R e−sTST R ≈ uref (s) 1 + sTST R (B.8) Hierbei stellt VST R die Verstärkung des Pulsrichters und TST R = Tw,max die maximale Wartezeit bei der Übernahme von Sollwerten dar. In der Tat kann der Betrag der Spannung am Ausgang der Spannungswandler den Wert der – 80/116 – B.3. Regelung Zwischenkreisspannung uDC nicht übersteigen. Dies wird in den Simulationen durch Einführen einer Spannungsbegrenzung berücksichtigt. B.3.2.3 Sensorik m Wie im ersten Teil sind die Strommesssignale im A und iE mit Rauschen behaftet. Der Rotorwinkel wird anhand eines Inkrementalgebers ermittelt und die Winkelgeschwindigkeit ωM durch eine zeitliche Ableitung daraus bestimmt. Für den Reglerentwurf wird angenommen, dass die Sensoren keine eigene Dynamik besitzen, d. h. es besteht keine Verzögerung zwischen m dem Verlauf der gemessenen Größen iA , iE , ωM und den zugehörigen Messsignalen im A , iE m und ωM . Das Rauschen in einem Messsignal x, x ∈ {iA , iE , ωM }, wird mithilfe eines PT1-Filters mit der Zeitkonstante Tg,x unterdrückt: Fg (s) = 1 x̂(s) = m x (s) 1 + sTg,x (B.9) Für die im weiteren Verlauf zu entwerfenden Regler stehen ausschließlich die gefilterten Messignale als Eingangsgrößen zur Verfügung. In Abb. B.15 sind schließlich alle Komponenten des zu regelnden Antriebssystems als kompakter Signalflussplan veranschaulicht. uA,ref Pulssteller VST R TST R uE,ref uA uE GM iA iE ωM Sensorik nx im A im E Glättung 1 Tg, x m ωM îA îE ω̂M Abbildung B.15: Komponenten des untersuchten Antriebssystems. B.3.3 Regelung Gegenstand dieses Abschnitts ist die Auslegung des Stromreglers im inneren Regelkreis der Kaskadenstrukur (siehe Abb. B.13), wobei ein Betrieb im Ankerstellbereich, d. h. ψE = ψEN , vorausgesetzt wird. Wie in der elektrischen Antriebstechnik gebräuchlich, wird zur Reglerauslegung das Betragsoptimum (BO) bzw. das Symmetrische Optimum (SO) angewendet. Die theoretischen Hintergründe dieser Optimierungsverfahren zum Reglerentwurf und deren Anwendung auf den speziellen Fall des Gleichstromantriebes werden in [18], Kapitel 3 bzw. 7, ausführlich behandelt. – 81/116 – B. Grundlagen der Gleichstrommaschine – 82/116 – . Anhang C Grundlagen der Drehfeldmaschinen (siehe [17] und [18]) C.1 Übersicht Drehfeldmaschinen erfordern durch den Wegfall des Kommutators (im Vergleich zur Gleichstrommaschine) einen wesentlich geringeren Wartungsaufwand und eignen sich somit besonders für einen robusten Einsatz in industriellen Anlagen. Hierbei sind dreisträngige Asynchronmotoren (mit Käfigläufer) sowie Synchronmaschinen mit Permanentmagneten am weitesten verbreitet. Drehfeldmaschinen werden in der Regel durch Spannungszwischenkreisumrichter gespeist. C.2 C.2.1 Allgemeines Grundwellenmodell von Drehfeldmaschinen Danksagung Abschnitt C.2 wurde von Dipl.-Ing. Julien Cordier (Lehrstuhl für Elektrische Antriebssysteme und Leistungselektronik) erarbeitet und zur Verfügung gestellt. Hierfür möchte sich der Autor ganz herzlich bedanken. Die folgenden Unterabschnitte wurden teilweise abgeändert (v.a. zur Vereinheitlichung der Nomenklatur). C.2.2 Annahmen zur Modellbildung Wie im Falle der Gleichstrommaschine sind die in Drehfeldmaschinen auftretenden elektromagnetischen, mechanischen sowie thermischen Vorgänge komplex und im Allgemeinen nicht linear. Aus diesem Grund müssen einige vereinfachende Annahmen zur Modellbildung gemacht werden: • Die räumlich-radiale Verteilung der magnetischen Durchflutung und des magnetischen Luftspaltfeldes an der Statorbohrung werden als sinusförmig angesehen. Diese Annahme trifft lediglich in erster Näherung zu. In praktischen Fällen wird zwar angestrebt, den Oberwellengehalt der Durchflutung durch geschickte Wahl der Nutenzahl und Verteilung der Wicklungen (z. B. Sehnung, vgl. [2, 12]) zu reduzieren, Oberwellen lassen sich jedoch aufgrund der diskreten Verteilung nicht vollständig unterdrücken. Ferner führen die Nutöffnungen zu Variationen der Luftspaltbreite, welche sich ebenfalls auf die Feldverteilung auswirken. – 83/116 – C. Grundlagen der Drehfeldmaschinen (siehe [17] und [18]) Abbildung C.1: Prinzipdarstellung der betrachteten Anordnung x1 : ständerbezogene Umfangskoordinate; x2 : läuferbezogene Umfangskoordinate; θ: Winkel zwischen den Achsen der Stränge A und U • Die Blechpakete im Stator und Rotor besitzen lineare magnetische Eigenschaften. Sättigung, Hysterese sowie Wirbelströmen werden keine Rechnung getragen. • Die Auswirkung der Temperatur auf Widerstands- und Induktivitätswerte wird vernachlässigt. Die Vernachlässigung der Oberwellen im räumlichen Verlauf der Luftspaltgrößen führt zu sog. Grundwellenmodellen. Zur Herleitung eines für Synchron- und Asynchronmaschinen allgemein gültigen Grundwellenmodells wird zuerst eine Drehfeldmaschine mit sowohl einem Wicklungssatz im Stator (Stränge A, B, C), als auch im Rotor (Stränge U, V, W) betrachtet (vgl. Abb. C.1). Hierbei werden die nachstehenden Bedingungen vorausgesetzt: • Stator und Rotor sind symmetrisch aufgebaut. • Die Stränge auf Stator- bzw. Rotorseite sind symmetrisch gewickelt und deren Achsen um 2/3 der Polteilung τp , d. h. 2/3 der halben räumlichen Periode der Durchflutungsgrundwelle, versetzt. Alle Statorwicklungen (bzw. Rotorwicklungen) besitzen n1 (bzw. n2 ) Windungen. • Beide Wicklungssätze sind sternförmig verschaltet. Beide Sternpunkte sind isoliert bzw. potentialfrei. – 84/116 – C.2. Allgemeines Grundwellenmodell von Drehfeldmaschinen ik dψk dt Rl uk Abbildung C.2: Definition der verwendeten elektrischen Stranggrößen (k ∈ {A, B, C, U, V, W } , l ∈ {1, 2}) Ohne Beschränkung der Allgemeingültigkeit wird der Übersichtlichkeit halber die Polpaarzahl p = 1 gewählt. Folglich sind die Achsen der Strangwicklungen auf Stator- bzw. Rotorseite räumlich um 120◦ versetzt. Zur Bestimmung der Rotorlage innerhalb einer Polpaarteilung, d. h. einer vollen räumlichen Periode der Durchflutungsgrundwelle, wird der Winkel θ zwischen den Strängen A und U herangezogen. Im betrachteten Fall entspricht θ dem mechanischen Rotorwinkel θM . Im weiteren Verlauf werden strangbezogene Größen wie Spannungen, Ströme oder Flussverkettungen mit dem Index k des entsprechenden Strangs (k ∈ {A, B, C, U, V, W }) gekennzeichnet. Stator- bzw. Rotorgrößen, wie Widerstände oder Induktivitäten, werden mit dem Index 1 bzw. 2 versehen. C.2.3 Elektrische Differentialgleichungen Anwenden der Kirchhoffschen Maschenregel auf die statorseitigen Wicklungsstränge führt zu folgendem Gleichungssystem: dψA uA = R1 iA + dt dψB (C.1) uB = R1 iB + dt u = R i + dψC . 1 C C dt Hierbei bezeichnen uk , ik bzw. Ψk (k ∈ {A, B, C}) die Spannungen, Ströme bzw. Flussverkettungen der jeweiligen Stränge und R1 deren Widerstand. Für die Rotorstränge mit dem Widerstand R2 gilt: dψU uU = R2 iU + dt dψV uV = R2 iV + dt dψ W u = R i + . 2 W W dt (C.2) Zur übersichtlichen Darstellung der Zusammenhänge werden die Stranggrößen in Vektoren – 85/116 – C. Grundlagen der Drehfeldmaschinen (siehe [17] und [18]) zusammengefasst: u1 = i1 = ψ1 = > uA uB uC > iA iB iC > ψA ψB ψC u2 = uU uV i2 = iU iV ψ2 = ψU > uW > iW ψV ψW > . Somit lassen sich die Gleichungen (C.1) und (C.2) in die folgende Form überführen: dψ 1 dt dψ 2 u2 = R2 i2 + dt u1 = R1 i1 + (C.3) (C.4) C.2.4 Magnetische Zusammenhänge C.2.5 Flussverkettungen der einzelnen Stränge Um geschlossene Beziehungen zu erhalten, werden nachfolgend die Flussverkettungen der einzelnen Stränge genauer analysiert. Im Allgemeinen ist davon auszugehen, dass alle sechs Stränge magnetisch miteinander verkoppelt sind. Unter der Annahme linearer magnetischer Verhältnisse ergibt sich beispielsweise die Flussverkettung des Strangs A, ΨA , demnach aus der Summe von sechs Anteilen: ψA = ψAA + ψAB + ψAC + ψAU + ψAV + ψAW . |{z} | {z } | {z } I II (C.5) III Neben der durch den Term I ausgedrückten Verkettung mit dem Eigenfeld, stellen die Anteile II bzw. III die Kopplung mit den anderen statorseitigen Strängen bzw. mit den rotorseitigen Spulen dar. Als Folge der angenommenen magnetischen Linearität lassen sich die jeweiligen Anteile von ΨA auf einfache Weise mithilfe der Strangströme angeben. Zu diesem Zweck werden die vom magnetischen Zustand der Maschine unabhängigen Induktivitäten LAk , k ∈ {A, B, C, U, V, W } eingeführt: ψA = LAA iA + LAB iB + LAC iC + LAU (θ)iU + LAV (θ)iV + LAW (θ)iW (C.6) Hierbei ist jedoch zu beachten, dass sich die Kopplung zwischen Strang A und den Rotorwicklungen mit den Rotorwinkel θ ändert, sodass die Induktivitäten LAU , LAV sowie LAW ebenfalls von θ abhängig sind. Die Flussverkettungen der anderen Stränge können analog ermittelt werden. Es ergeben sich die nachstehenden Beziehungen zwischen den Vektoren ψ 1 und i1 bzw. ψ 2 und i2 : ψ 1 = L1 i1 + L12 (θ)i2 (C.7) ψ 2 = L2 i2 + L21 (θ)i1 (C.8) – 86/116 – C.2. Allgemeines Grundwellenmodell von Drehfeldmaschinen Abbildung C.3: Aufteilung des Magnetfelds einer Wicklung in Luftspalt- und Streufeld [12, S. 235] (a) Aufteilung im Querschnitt; (b) Aufteilung im Längsschnitt Für die resultierenden Induktivitätsmatrizen gilt: LAA LAB LAC LU U LU V LU W L1 = LBA LBB LBC L2 = LV U LV V LV W LCA LCB LCC LW U LW V LW W LU A (θ) LU B (θ) LU C (θ) LAU (θ) LAV (θ) LAW (θ) L21 (θ) = LV A (θ) LV B (θ) LV C (θ) . L12 (θ) = LBU (θ) LBV (θ) LBW (θ) LCU (θ) LCV (θ) LCW (θ) LW A (θ) LW B (θ) LW C (θ) Die Matrizen L1 und L2 drücken die magnetische Kopplung zwischen den Strängen innerhalb des stator- bzw. rotorseitigen Wicklungssatzes aus, wohingegen L12 (θ) und L21 (θ) die Wechselwirkungen zwischen beiden Wicklungssätzen zum Ausdruck bringen. C.2.5.1 Eigeninduktivitäten der Stränge auf Stator- und Rotorseite Die Eigeninduktivitäten des statorseitigen bzw. rotorseitigen Wicklungssatzes sind durch die Diagonalelemente der Matrizen L1 bzw. L2 dargestellt. Diese sollen nachfolgend genauer beschrieben werden. Statorseitiger Wicklungssatz Wird beispielsweise der Strang A auf dem Ständer durch den Strom iA durchflossen, entsteht ein magnetischer Feldverlauf, welcher sich großenteils über den Luftspalt und den Rotor schließt. Dieser Teil ist somit mit den Spulen aller Stränge auf dem Stator und dem Rotor verkettet und wird als Luftspaltfeld bezeichnet. Der restliche Teil, das Streufeld, ist lediglich mit den Leitern des Strangs A verkettet (siehe Abb. C.3 und [12], [2]). Der resultierende – 87/116 – C. Grundlagen der Drehfeldmaschinen (siehe [17] und [18]) magnetische Fluss ΦA , welcher die Wicklungen des Strangs A durchsetzt, kann folglich in zwei Anteile zerlegt werden: Einen Hauptflussanteil ΦhA und einen Streuflussanteil ΦσA . Es gilt ΦA = ΦhA + ΦσA . Hierbei wird in erster Näherung angenommen, dass alle Windungen der verteilten Strangwicklungen vom selben Fluss ΦA durchsetzt werden. Werden die Reluktanzen (magnetischen Widerstände) RmhA und RmσA dem Hauptflussanteil bzw. dem Streuflussanteil zugeordnet, ergeben sich folgende Zusammenhänge aus dem Hopkinsonschen Gesetz: n1 iA RmhA n1 i A = RmσA ΦhA = ΦσA (C.9) (C.10) Für die Flussverkettung des Strangs A folgt: ψA = n1 ΦA = n21 n21 iA . iA + RmhA RmσA (C.11) Aus Gleichung (C.11) können die Hauptinduktivität LhA und die Streuinduktivität LσA des Strangs A definiert werden: n21 RmhA n21 . := RmσA LhA := (C.12) LσA (C.13) Die Eigeninduktivität des Strangs A ergibt sich gemäß Gl. (C.11) zu: LAA = LhA + LσA . (C.14) Bedingt durch den symmetrischen Maschinenaufbau sowie die zuvor angenommenen Ausführungsmerkmale des statorseitigen Wicklungssatzes gilt für die Stränge B und C: RmhB = RmhC = RmhA =: Rmh1 (C.15) RmσB = RmσC = RmσA =: Rmσ1 . (C.16) Für die Induktivitäten folgt: n21 Rmh n21 = LσC = LσA = Lσ1 = Rmσ1 = LCC = LAA = Lh1 + Lσ1 . LhB = LhC = LhA = Lh1 = (C.17) LσB (C.18) LBB (C.19) Hierbei stellen Lh1 und Lσ1 die Hauptinduktivität bzw. die Streuinduktivität des statorseitigen Wicklungssatzes dar. Rotorseitiger Wicklungssatz Die Eigeninduktivitäten LU U , LV V und LW W der auf dem Läufer angebrachten Wicklungen können analog berechnet werden. Hierbei wird der Streuanteil des magnetischen Flusses der Reluktanz Rmσ2 zugeordnet. Ferner wird davon ausgegangen, dass der Hauptflussanteil, wie – 88/116 – C.2. Allgemeines Grundwellenmodell von Drehfeldmaschinen auf der Statorseite, über den magnetischen Widerstand Rmh mit dem Strom in Verbindung steht. Daraus folgt: Lh2 = LhU = LhV = LhW = n22 Rmh (C.20) n22 Rmσ2 = Lh2 + Lσ2 Lσ2 = LσU = LσV = LσW = LU U = LV V = LW W C.2.5.2 (C.21) (C.22) Koppelinduktivitäten zwischen den Strängen eines Wicklungssatzes Nun werden die Koppelterme in den Matrizen L1 und L2 untersucht. Diese beschreiben die magnetische Kopplung zwischen den Strängen innerhalb eines Wicklungssatzes. Statorseitiger Wicklungssatz Es wird angenommen, dass die magnetische Kopplung zwischen den Strängen eines Wicklungssatzes über das Luftspaltfeld und somit über den magnetischen Widerstand Rmh erfolgt. Fließt der positive Strom iA durch die Wicklungen des Strangs A, folgt unter den in Abschnitt C.2.2 aufgeführten Voraussetzungen eine sinusförmige Verteilung der radialen Komponente des Luftspaltfeldes über der Umfangskoordinate x1 . Hierbei weist diese Komponente Br eine räumliche Periodizität gleich der doppelten Polteilung τp auf und erreicht deren Maximum B̂r in der Achse des Strangs A, d. h. bei x1 = 0: π Br = B̂r cos x1 . (C.23) τp Die Wicklungsachsen der Stränge B und C sind um 2/3 bzw. 4/3 der Polteilung τp gegenüber der Achse des Strangs A versetzt. An den entsprechenden Stellen beträgt die radiale Komponente des vom Strom iA herrührenden Luftspaltfelds −1/2B̂r und erzeugt demnach einen negativen Fluss durch die Wicklungen der Stränge B und C. Somit gilt: LAB = LAC = − n21 Lh1 =− . 2Rmh 2 (C.24) Die Herleitung der anderen Koeffizienten der Matrix L1 erfolgt auf ähnliche Weise und es folgt: L1 = Lh1 + Lσ1 Lh1 − 2 Lh1 − 2 − Lh1 2 Lh1 + Lσ1 − Lh1 2 Lh1 2 Lh1 − 2 − Lh1 + Lσ1 . (C.25) Rotorseitiger Wicklungssatz Ähnliche Zusammenhänge bestehen für den rotorseitigen Wicklungssatz, sodass die Matrix – 89/116 – C. Grundlagen der Drehfeldmaschinen (siehe [17] und [18]) L2 folgende Gestalt annimmt: L2 = − Lh2 + Lσ2 Lh2 − 2 Lh2 − 2 Lh2 2 Lh2 2 Lh2 − 2 − Lh2 + Lσ2 − Lh2 2 Lh2 + Lσ2 . (C.26) L1 und L2 sind symmetrisch und erfüllen somit die Reziprozitätsbedingung für gekoppelte magnetische Kreise [12]. C.2.5.3 Koppelinduktivitäten zwischen beiden Wicklungssätzen Die obige Vorgehensweise kann prinzipiell zur Bestimmung der Koeffizienten der Matrizen L12 (θ) sowie L21 (θ) angewendet werden. In diesem Fall ist allerdings zu beachten, dass die Stränge auf dem Stator und dem Rotor unterschiedliche Windungszahlen besitzen und sich deren Lage zueinander durch den Winkel θ definiert. Darüber hinaus sind beide Wicklungssätze ausschließlich über das Luftspaltfeld miteinander verkoppelt. Die sich daraus ergebenden Zusammenhänge sollen nachfolgend am Beispiel der Stränge A und U hergeleitet werden. Zu diesem Zweck wird davon ausgegangen, dass der durch den Strang A fließende Strom iA eine radiale Feldverteilung nach Gl. (C.23) hervorruft. Für den Spezialfall, dass die Achsen der Stränge A und U übereinander liegen, d. h. θ = 0, ergibt sich folglich der maximale Wert der Induktivität LAU : LAU (0) = n1 n2 n2 = Lh1 . Rmh n1 (C.27) Für einen beliebigen Winkel θ ist zur Ermittlung des von iA herrührenden magnetischen Flusses durch die Wicklungen des Strangs U zudem der Verlauf der radialen Feldkomponente nach (C.23) zu berücksichtigen. In Anlehnung an die in Abschnitt C.2.5.2 angestellten Analysen folgt: LAU (θ) = n2 Lh1 cos θ. n1 (C.28) Die Herleitung der anderen Koeffizienten der Matrix L12 (θ) erfolgt analog unter Berücksichtigung des Versatzes von 2/3 der Polteilung, welcher zwischen den einzelnen Strängen eines Wicklungssatzes besteht. Für die Matrix L12 (θ) ergibt sich: 2π 2π cos θ cos θ + cos θ − 3 3 n2 2π 2π L12 (θ) = Lh1 cos θ − cos θ cos θ + (C.29) . n1 3 3 2π 2π cos θ + cos θ − cos θ 3 3 Die Herleitung der Koeffizienten von L21 kann auf ähnliche Weise vorgenommen werden. Es – 90/116 – C.2. Allgemeines Grundwellenmodell von Drehfeldmaschinen folgt: n2 L21 (θ) = Lh1 n1 2π 2π cos θ cos θ − cos θ + 3 3 2π 2π cos θ + cos θ cos θ − 3 3 2π 2π cos θ − cos θ + cos θ 3 3 und somit gilt: L21 (θ) = L> 12 (θ). C.2.6 C.2.6.1 (C.30) (C.31) Raumzeigerdarstellung Grundlegende Überlegungen Die Gleichungen (C.3) und (C.4) sowie (C.7) und (C.8) modellieren das Grundwellenverhalten einer Drehfeldmaschine und bilden ein verkoppeltes System bestehend aus sechs linearen Differentialgleichungen: di1 di2 ∂L12 (θ) ∂θ + L12 (θ) + i2 dt dt ∂θ ∂t di1 ∂L21 (θ) ∂θ di2 + L21 (θ) + i1 u2 = R2 i2 + L2 dt dt ∂θ ∂t u1 = R1 i1 + L1 (C.32a) (C.32b) An dieser Stelle bietet sich eine Suche nach möglichen Vereinfachungen des Differentialgleichungssystems an. Zu diesem Zweck werden im Folgenden die räumlichen Zusammenhänge im Maschinenquerschnitt betrachtet, wenn lediglich der statorseitige Wicklungssatz vorhanden ist (vgl. Abb. C.4). Die in Abb. C.4 dargestellten Vektoren eA , eB und eC bezeichnen Einheitsvektoren der Wicklungsachsen der Stränge A, B und C, während die Basis (eα , eβ ) ein kartesisches Koordinatensystem definiert, wobei davon ausgegangen wird, dass eA = eα . Dieses Koordinatensystem wird folglich als „statorfestes“ oder (α, β)-Koordinatensystem bezeichnet. Die Lage eines Punktes im Luftspalt wird mit der Umfangskoordinate x1 bzw. dem Winkel ϕ beschrieben. Wie aus (C.23) hervorgeht, führt ein Strom iA durch Strang A zu einer sinusförmigen Durchflutungsverteilung (bzw. einer sinusförmigen radialen Feldkomponente) im Luftspalt, die in der Wicklungsachse des Strangs A maximal ist. Bekanntlich ist die resultierende Durchflutung ϑA proportional zu iA und es ergibt sich: ϑA = βiA cos φ. (C.33) Ähnliches gilt für die von Strömen in den Strängen B und C herrührenden Durchflutungen: ϑB = βiB cos (φ − 2π/3) ϑC = βiC cos (φ + 2π/3) . (C.34) (C.35) Unter den in Abschnitt C.2.2 gemachten Annahmen und insbesondere den vorausgesetzten linearen magnetischen Verhältnissen ergibt sich die Verteilung der Gesamtdurchflutung ϑ zu einem Zeitpunkt t0 , welche aus den Strömen iA (t0 ), iB (t0 ) und iC (t0 ) resultiert, aus der – 91/116 – C. Grundlagen der Drehfeldmaschinen (siehe [17] und [18]) eβ eB B 2π 3 x1 φ A eα = eA C eC Abbildung C.4: Schematische Darstellung der Maschine im Querschnitt mit statorseitigem Wicklungssatz und Definition der verwendeten Größen Summe der einzelnen Durchflutungsverteilungen ϑA , ϑB und ϑC : 2π 2π ϑ(t0 ) = β iA (t0 ) cos φ + iB (t0 ) cos φ − + iC (t0 ) cos φ + . 3 3 (C.36) Die Durchflutungsverteilung ϑ(t0 ) (bzw. die radiale Feldkomponente Br (t0 )) weisen demnach ebenfalls eine räumliche Periode von 2π auf. Der Betrag von ϑ(t0 ) ist maximal, wenn folgende Bedingung erfüllt ist: dϑ(t0 ) = 0. dφ (C.37) Aus (C.36) und (C.37) folgt für den Winkel φ0 , für den die Extremwerte der Durchflutung ϑ(t0 ) erreicht werden: √ 3 1 cos φ0 (iB − iC ) − sin φ0 iA − (iB + iC ) = 0. (C.38) 2 2 Dieser Ausdruck kann auf folgende Weise dargestellt werden: 1 cos φ0 iA − (iB + iC ) × √3 2 = 0. sin φ (i − i ) 0 B C 2 – 92/116 – (C.39) C.2. Allgemeines Grundwellenmodell von Drehfeldmaschinen Gleichung (C.39) kann entnommen werden, dass der Vektor 1 iA − (iB + iC ) is1 = √ 2 = iα eα + iβ eβ 3 (iB − iC ) 2 cos(−2π/3) cos(2π/3) 1 + iC + iB = iA sin(−2π/3) sin(2π/3) 0 = iA eA + iB eB + iC eC . die Punkte im Luftspalt bestimmt, an denen der Betrag der Durchflutung maximal ist. Schließlich genügt die Kenntnis der zwei Komponenten iα und iβ , um den räumlichen Verlauf der Durchflutung bzw. die Feldverteilung im Luftspalt für einen gegebenen Zeitpunkt t0 vollständig beschreiben zu können. Die Größe is1 wird als Statorstromraumzeiger bezeichnet. Hierbei weist das hochgestellte s darauf hin, dass die Größe im statorfesten Koordinatensystem ausgedrückt ist. C.2.6.2 Clarke-Transformation Die vorigen Überlegungen können durch Einführung folgender Transformation verallgemeinert werden: TC : R3 −→ R3 xA xα xA x = xB 7−→ TC (x) = xs = xβ = TC xB . xC x0 xC Hierbei lautet die Transformationsmatrix TC : 2π 2π cos − cos(0) cos 3 1 3 2 2 2π 2π TC = sin(0) sin sin − = 3 0 3 3 3 1 1 1 1 2 2 2 2 1 − 2 √ 3 2 1 2 1 − √2 3 . − 2 1 (C.40) (C.41) 2 TC wird als Clarke-Transformation bezeichnet und ermöglicht, die in den Vektor x zusammengefassten Stranggrößen im allgemeinen Fall auf einen Raumzeiger xs abzubilden. > Wird TC auf beispielsweise den Stromvektor i1 = iA iB iC angewendet, ergibt sich s der Stromraumzeiger i1 : 1 i − (i + i ) C A 2 B √ 2 3 s . (C.42) i1 = TC (i1 ) = TC i1 = (i − i ) B C 3 2 1 (iA + iB + iC ) 2 Die ersten zwei Zeilen des in (C.42) auftretenden Spaltenvektors entsprechen dem zuvor ermittelten Ausdruck von is1 . Die dritte stellt den Mittelwert der Stranggrößen für den betrachteten Zeitpunkt dar und wird als Gleichtaktkomponente (engl. zero sequence component) bezeichnet. Der Faktor 2/3 dient lediglich der Normierung des Raumzeigers auf die Amplitude – 93/116 – C. Grundlagen der Drehfeldmaschinen (siehe [17] und [18]) der Stranggrößen. Es kann leicht gezeigt werden, dass die Matrix TC regulär ist und somit eine Rücktransformation des Raumzeigers xs auf die zugehörigen Stranggrößen ermöglicht. Diese lautet: TC −1 : mit R3 −→ R3 xα xA xα xs = xβ 7−→ TC −1 (xs ) = x = xB = TC −1 xβ xC x0 x0 TC −1 1 1 = − 2 1 − 2 0 √ 3 2 √ 3 − 2 1 1 . 1 (C.43) (C.44) An dieser Stelle sei angemerkt, dass sowohl der Vektor der zusammengefassten Stranggrößen x, als auch der Raumzeiger xs aus mathematischer Sicht dreidimensionale Vektoren darstellen. Demnach entspricht die Clarke-Transformation einem Basiswechsel im Vektorraum R3 . Aus den Überlegungen im vorigen Abschnitt geht jedoch hervor, dass der Stromraumzeiger is1 die räumliche Verteilung der Durchflutungsgrundwelle im Luftspalt beschreibt und somit, im Gegensatz zum Vektor i1 , eine besondere physikalische Bedeutung aufweist. Dieser Tatsache wird durch die unterschiedliche Schreibweise Rechnung getragen. C.2.6.3 Anwendung der Clarke-Transformation zur Modellierung von Drehfeldmaschinen Die Clarke-Transformation kann ebenfalls auf die Statorspannungssgleichung (C.3) angewendet werden. In diesem Fall ergibt sich: TC u1 = us1 = TC R1 i1 + dψ 1 dψ 1 d(TC ψ 1 ) = R1 TC i1 + TC = R1 TC i1 + . dt dt dt Daraus folgt die Statorspannungsgleichung in Raumzeigerdarstellung: us1 = R1 is1 + dψ s1 dt (C.45) Die Analysen aus Abschnitt C.2.6.1 können problemlos auf den Rotorwicklungssatz erweitert werden. Hierbei ist allerdings eine neue kartesische Basis (eαr , eβr ) zu definieren, sodass der Vektor eαr ein Einheitsvektor der Wicklungsachse des Strangs U darstellt (siehe Abb. C.5). Der Basis (eαr , eβr ) zugehörige Koordinatensystem wird als rotorfestes Koordinatensystem bzw. (d, q)-Koordinatensystem bezeichnet. Raumzeiger, die in diesem Koordinatensystem ausgedrückt sind, werden mit einem hochgestellten r gekennzeichnet. Unter Berücksichtigung dieser Zusammenhänge nimmt die Rotorspannungsgleichung (C.4) in Raumzeigerdarstellung folgende Gestalt an: ur2 = R2 ir2 + dψ r2 dt Magnetische Beziehungen – 94/116 – (C.46) C.2. Allgemeines Grundwellenmodell von Drehfeldmaschinen eβ eB B ed = eU e βr θ U A eV eα = eA V W eW C eC Abbildung C.5: Definition des Rotorkoordinatensystems zur Anwendung der Clarke-Transformation auf den rotorseitigen Wicklungssatz Bei der Transformation der Statorflussverkettungsgleichungen (C.7) und (C.8) ist zu beachten, dass diese sowohl Stator-, als auch Rotorgrößen enthalten. Die Transformation von (C.7) liefert: TC ψ 1 = ψ s1 = TC L1 i1 + TC L12 (θ)i2 = TC L1 TC −1 is1 + TC L12 (θ)TC −1 ir2 . (C.47) Mit den Bezeichungen Ls1 = TC L1 TC −1 und Ls12 (θ) = TC L12 (θ)TC −1 ergibt sich für den Raumzeiger der Statorflussverkettung ψ s1 = Ls1 is1 + Ls12 (θ)ir2 bzw. in ausgeschriebener Form nach Ausführen der Matrixmultiplikationen: i 3 ψα 0 0 α 2 Lh1 + Lσ1 iβ 3 ψβ = 0 L + L 0 σ1 h1 2 0 0 Lσ1 ψ01 i01 id cos θ − sin θ 0 3 n2 Lh1 sin θ cos θ 0 iq . + 2 n1 i02 0 0 0 (C.48) (C.49) Aus (C.49) geht hervor, dass zum einen die transformierte Matrix Ls1 diagonal ist und zum anderen, dass die dritte Komponente des Statorflussraumzeigers durch lediglich die Gleichtaktkomponenten der im statorseitigen Wicklungssatz fließenden Ströme bestimmt wird. Aus der Annahme, dass beide Wicklungssätze isolierte Sternpunkte besitzen, werden die Raumzeiger is1 , ir2 und folglich ψ s1 vollständig durch ihre ersten zwei Komponenten beschrieben. Durch Einsetzen von (C.49) in die Statorspannungsgleichung (C.45) kann ebenfalls geschlos– 95/116 – C. Grundlagen der Drehfeldmaschinen (siehe [17] und [18]) sen werden, dass einzig die Komponenten uα und uβ ungleich Null sind. Auf ähnliche Weise lässt sich zeigen, dass der Raumzeiger der Rotorflussverkettung die folgende Beziehung erfüllt: ψ r2 = Lr2 ir2 + Lr21 (θ)is1 (C.50) wobei Lr2 = TC L2 TC −1 und Lr21 (θ) = TC L21 (θ)TC −1 . In ausgeschriebener Form ergibt sich: 3 ψd 2 Lh2 + Lσ2 ψq = 0 ψ02 i 0 0 d iq 3 Lh2 + Lσ2 0 2 0 0 Lσ2 i02 cos θ sin θ 0 iα 3 n2 Lh1 − sin θ cos θ 0 iβ + 2 n1 i01 0 0 0 (C.51) Hierbei besitzt die dritte Komponente aller auf den rotorseitigen Wicklungssatz bezogenen Raumzeiger auch keine Relevanz, sodass im weiteren Verlauf sämtliche Zusammenhänge zwischen Raumzeigern in dem von den Basisvektoren eα und eβ (bzw. eαr und eq ) aufgespannten Unterraum untersucht werden, d. h. die dritte Komponente wird nicht weiter betrachtet. Mithilfe der Clarke-Transformation können demnach die linearen Kombinationen iA + iB + iC = 0 iU + iV + iW = 0, die zwischen den drei Strangströmen der jeweiligen Wicklungssätze bestehen, wenn deren Sternpunkt potentialfrei ist, zur Reduzierung der Modellordnung ausgenutzt werden. Zusammenfassend ist das vereinfachte Gleichungssystem in ausgeschriebener Form wiedergegeben: d ψα uα iα (C.52a) = R1 + uβ iβ dt ψβ 3 3 n2 ψα 1 0 iα cos θ − sin θ id (C.52b) = Lh1 + Lσ1 + Lh1 ψβ 0 1 iβ sin θ cos θ iq 2 2 n1 d ψd ud id = R1 + uq iq dt ψq 3 3 n2 ψd 1 0 id cos θ sin θ iα = Lh2 + Lσ2 Lh1 + − sin θ cos θ iβ ψq 0 1 iq 2 2 n1 – 96/116 – (C.53a) (C.53b) C.2. Allgemeines Grundwellenmodell von Drehfeldmaschinen eβ e βr ed e αr eq φ θ eα Abbildung C.6: Definition eines neuen, um den Winkel ϕ gedrehten Koordinatensystems anhand der Transformation TPϕ Unter Verwendung der Definitionen 3 L1 = Lh1 + Lσ1 2 3 L2 = Lh2 + Lσ2 2 3 n2 Lm = Lh1 2 n1 cos θ − sin θ TP (θ) := sin θ cos θ ergibt sich in kompakter Darstellung: dψ s1 dt ψ s1 = L1 is1 + Lm TP (θ)ir2 dψ r2 ur2 = R2 ir2 + dt ψ r2 = L2 ir2 + Lm TP (−θ)is1 us1 = R1 is1 + (C.54) Das Gleichungssystem vierter Ordnung (C.54) mit Raumzeigern ist äquivalent zu den ursprünglichen Gleichungen (C.3), (C.4), (C.7) und (C.8) mit Stranggrößen. C.2.6.4 Rotierende Koordinatensysteme Aus der Betrachtung der obigen Flussverkettungsgleichungen ist ersichtlich, dass die Drehmatrix TP die Winkelabhängigkeit der Koppelinduktivität zwischen stator- und rotorseitigem Wicklungssatz ausdrückt. Um die Zusammenhänge zu vertiefen und die Möglichkeit einer weiteren Vereinfachung des Modells zu erörtern, wird die nachstehende Transformation eingeführt: TPφ : 2 R R2 −→ xd xα xd cos φ − sin φ xd k k s x = 7−→ TPφ (x ) = x = = TP (ϕ) = . xq xβ xq sin φ cos φ xq (C.55) TPφ beschreibt, ausgehend von der Basis (eα , eβ ), eine neue, um den Winkel φ gedrehte – 97/116 – C. Grundlagen der Drehfeldmaschinen (siehe [17] und [18]) Basis (ed , eq ) (vgl. Abb C.6). Folglich ermöglicht diese Transformation, Raumzeiger nicht nur im stator- bzw. rotorfesten Koordinatensystem zu beschreiben, sondern auch in einem beliebigen, um die Maschinenachse rotierenden (d, q)-Koordinatensystem. Liegt der Ausdruck eines Raumzeigers xk in diesem Koordinatensystem vor, entspricht TP (xk ) = TP (φ)xk seiner Darstellung im statorfesten Koordinatensystem (α, β). TPφ wird in der Antriebstechnik als Park-Transformation bezeichnet. Die Rotationsmatrix TP ist regulär mit TP (φ)−1 = TP (φ)> = TP (−φ), (C.56) sodass die Rücktransformation TPφ −1 existiert. Sie ermöglicht, einen im (α, β)-Koordinatensystem angegebenen Raumzeiger in (d, q)-Koordinaten zu überführen. Für den Sonderfall φ = θ entspricht TPθ eine Transformation vom rotorfesten ins statorfeste Koordinatensystem. Für φ = −θ ergibt sich hingegen eine Transformation vom stator- ins rotorfeste Koordinatensystem. Somit ist ersichtlich, dass der Term TP (θ)ir2 im Gleichungssystem (C.54) dem Ausdruck des Rotorstromraumzeigers im statorfesten Koordinatensystem, is2 , entspricht. Der Term TP (−θ)is1 stellt dagegen den Statorstromraumzeiger in Rotorkoordinaten, ir1 , dar. Folglich lässt sich die Winkelabhängigkeit der Koppelinduktivität im System (C.54) entfernen und die Gleichungen daher weiter vereinfachen: dψ s1 dt s s ψ 1 = L1 i1 + Lm is2 dψ r2 ur2 = R2 ir2 + dt r r ψ 2 = L2 i2 + Lm ir1 us1 = R1 is1 + (C.57a) (C.57b) (C.57c) (C.57d) Ist ein Raumzeiger in einem umlaufenden Koordinatensystem angegeben, ist bei der Berechnung dessen zeitlicher Ableitung die Produktregel zu beachten (vgl. ψ r2 in (C.57c)). Für den allgemeinen Fall eines Raumzeigers xk in einem beliebigen Koordinatensystem (k, l) gilt demnach: dxk (t) d[TP (φ(t))−1 xs (t)] d[TP (−φ(t))xs (t)] = = dt dt dt dTP (−φ(t)) s dxs (t) = x (t) + TP (−φ(t)) dt dt ∂T (−φ) dφ s dxs (t) = x (t) + TP (−φ(t)) ∂φ dt dt − sin φ cos φ cos φ sin φ dxs (t) = φ̇ xs (t) + − cos φ − sin φ − sin φ cos φ dt cos φ sin φ 0 −1 s cos φ sin φ dxs (t) = −φ̇ x (t) + − sin φ cos φ 1 0 − sin φ cos φ dt s dx (t) = −φ̇T (−φ)J xs (t) + T (−φ) dt (C.58) mit J = TP π 2 0 −1 = . 1 0 – 98/116 – (C.59) C.2. Allgemeines Grundwellenmodell von Drehfeldmaschinen Wird (C.57c) mithilfe der Transformation TPθ in das Statorkoordinatensystem überführt, ergibt sich: us2 = TP (θ)ur2 = R2 TP (θ)ir2 + TP (θ) = R2 is2 + TP (θ) = R2 is2 + TP (θ) = R2 is2 + dTP (−θ)ψ s2 dt dψ r2 dt −ωTP (−θ)J ψ s2 dψ s + TP (−θ) 2 dt dψ s2 − ωJ ψ s2 . dt mit ω = θ̇ (C.60) (C.60) stellt die Rotorspannungsgleichung im statorfesten Koordinatensystem dar. C.2.7 Umrechnung rotorbezogener Größen auf die Statorseite Der Gleichungssatz (C.57) involviert u. a. die Parameter des rotorseitigen Wicklungssatzes R2 und L2 , sowie die Koppelinduktivität Lm . Diese Größen sind jedoch in der Praxis nicht immer bestimmbar, beispielsweise, wenn die Klemmen des rotorseitigen Wicklungssatzes nicht zugänglich sind, wie im Falle von Asynchronmaschinen mit Kurzschlussläufern. Um ein brauchbares Modell zu erhalten, ist aus diesem Grund eine Umformung von (C.57) nötig. Hierzu werden die Induktivitäten L1 und L2 wiederum in Haupt- und Streuanteil aufgespaltet und anschließend Ersatzgrößen eingeführt. Für die Rotorflussverkettungsgleichung (C.57d) gilt: ψ r2 = L2 ir2 + Lm ir1 3 n2 3 Lh2 + Lσ2 ir2 + Lh1 ir1 . = 2 2 n1 n22 Lh1 folgt: n21 2 3 n2 3 n2 r ψ2 = Lh1 ir1 Lh1 + Lσ2 ir2 + 2 n21 2 n1 n2 n1 r 3 n2 r 3 ⇔ ψ2 = Lh1 + 12 Lσ2 i + Lh1 ir1 . n2 2 n1 2 2 n2 Unter Berücksichtigung der Beziehung Lh2 = Werden die Größen ψ rr := n1 r ψ n2 2 irr := n2 r i n1 2 Lσr := n21 Lσ2 n22 irs := ir1 3 M := Lh1 2 Lr := M + Lσr definiert, ergibt sich folgende Gleichung: ψ rr = (M + Lσr ) irr + M irs = Lr irr + M irs = M (irr + irs ) + Lσr irr . (C.61) Der mit dem Verhältnis der Windungszahlen skalierte Raumzeiger der Rotorflussverkettung ψ rr besteht somit aus dem Hauptflussanteil ψ rh = M (irr + irs ) und dem Streuflussanteil ψ rσr = Lσr irr . – 99/116 – C. Grundlagen der Drehfeldmaschinen (siehe [17] und [18]) Wird ψ rr in die Rotorspannungsgleichung (C.57c) eingesetzt, folgt: n2 dψ rr n1 dt 2 dψ rr n1 r n ⇔ u2 = 12 R2 irr + n2 dt n2 ur2 = R2 ir2 + Anhand der Definitionen urr = n2 n1 r u2 und Rr = 21 R2 n2 n2 lässt sich (C.57c) wie folgt umschreiben: urr = Rr irr + dψ rr dt (C.62) Ferner gilt für die statorseitige Flussverkettung in Statorkoordinaten: ψ ss = Ls iss + M isr = M (iss + isr ) + Lσs iss (C.63) mit ψ ss = ψ s1 Rs = R1 Ls = M + Lσs Wiederum sind ein Hauptflussanteil, ψ sh = M (isr +iss ), sowie ein Streuflussanteil, ψ sσs = Lσs iss , zu erkennen. Schließlich werden die elektromagnetischen Zusammenhänge im allgemeinen Grundwellenmodell der Drehfeldmaschine mithilfe der neuen Größen durch den nachstehenden Gleichungssatz beschrieben: Statorspannung: Statorflussverkettung: Rotorspannung: Rotorflussverkettung: dψ ss dt s s ψ s = Ls is + M isr = M (iss + isr ) + Lσs iss dψ rr urr = Rr irr + dt ψ rr = Lr irr + M irs = M (irs + irr ) + Lσr irr uss = Rs iss + (C.64a) (C.64b) (C.64c) (C.64d) Hierbei ist festzuhalten, dass die Größen Ls , Lr , Rr und M , im Gegensatz zu Rs , nicht den Wert der entsprechenden Stranggrößen annehmen. Somit stellt beispielsweise Rr nicht den tatsächlichen Widerstand eines rotorseitigen Strangs dar. Alle Parameterwerte können jedoch experimentell auf einfache Weise bestimmt werden, z. B. durch einen Leerlaufversuch und einen Kurzschlussversuch im Falle einer Asynchronmaschine (vgl. [18, 527]). Im weiteren Verlauf und insbesondere bei der Herleitung des Signalflussplans der verallgemeinerten Drehfeldmaschine wird ausschließlich der Gleichungssatz (C.64) zur Beschreibung der elektromagnetischen Zusammenhänge herangezogen. C.2.8 Momentenerzeugung und Mechanik Die vorigen Überlegungen bezogen sich ausschließlich auf die Beschreibung des elektromagnetischen Verhaltens der Drehfeldmaschine. Der elektromagnetische Energiewandlungsprozess führt jedoch ebenfalls zur Entstehung eines Drehmoments mM , welches sich auf den Rotor – 100/116 – C.3. Wichtige Zusammenhänge auswirkt. Der Ausdruck dieses Drehmoments lässt sich aus einer Leistungsbilanz gewinnen und lautet: 3 3 mM = p (iss )> J ψ ss = p (ψα iβ − ψβ iα ) , 2 2 (C.65) wobei p die Polpaarzahl der Maschine darstellt. Über eine Momentenbilanz kann der Zusammenhang zwischen der mechanischen Winkelgeschwindigkeit des Rotors ωM , dem elektromagnetischen Drehmoment mM sowie dem Lastmoment mL abgeleitet werden: ΘM dωM = mM − mL dt (C.66) Hierbei stellt ΘM das Trägheitsmoment des Rotors dar. Bei Maschinen mit Polpaarzahl p > 1 ist zudem die Beziehung θ = p θm zwischen dem mechanischen Rotorwinkel θm und dem elektrischen Winkel θ zu beachten. Letzterer ist bei Koordinatentransformationen zwischen Stator und Rotor zu benutzen. C.3 Wichtige Zusammenhänge Wichtige Grundlage zum Verständnis von Drehfeldmaschinen ist die Zeigertheorie (engl. space vector theory). Hierzu siehe Abbildung C.7. ωk = φ̇k β u v w q0 d φk ψrs q b br ar br a b φsa r a cr φr ωr = φ̇r d0 α c cr c Abbildung C.7: Zeigertheorie: Maschine mit Anschlussklemmen u, v, w, Stator-Wicklungen a, b, c und Rotor-Wicklungen ar , br , cr (links) und unterschiedliche Koordinatensysteme (rechts): • 3-phasiges Koordinatensystem (a, b, c), • statorfestes s-Koordinatensystem (α, β), • rotorfestes r-Koordinatensystem (d0 , q 0 ) und • beliebiges k-Koordinatensystem (d, q) und Statorstrom is mit Länge kis k = kiss k = q k β 2 r 2 (iα s ) + (is ) = kis k = is mit β entsprechenden Komponenten (z.B. iα s und is im Stator-Koordinatensystem). – 101/116 – C. Grundlagen der Drehfeldmaschinen (siehe [17] und [18]) • Clarke-Transformation von Stranggrößen xabc in Statorgrößen xs = TC xabc mit a α 1 − 12 − 21 a x x √ √ x 2 3 3 b β 3 b x TC : R → R , 7→ x := 0 2 − 23 (C.67) xc 3 c 0 x x x 1 1 1 | {z } | {z } 2 2 2 {z } | s abc =:x =:x [Analogie zu D. Schröder: a0 := ej 0◦ =:TC ∈R3×3 ◦ ◦ = 1, a1 := ej 120 , a2 := ej 240 ] wobei x ∈ {ψ r , ψ s , ur , is , . . . }. TC ist regulär mit inverser Matrix 1 0 1 TC−1 = − 2 1 1 , 1 √ − 21 − 3 2 √ 3 2 d.h. xabc = TC−1 xs . (C.68) Oft wird die Nullkomponente x0 vernachlässigt (z.B. gilt i0 = 0 = ia + ib + ic bei Sternschaltung), dann vereinfachen sich die Clarke-Transformationsmatrizen zu 1 0 " # 1 1 √ 1 2 1 −2 −2 3×2 3 √ √ − ∈ R2×3 und TC−1 = . TC = 2 ∈R 2 3 3 3 0 √ − 2 2 − 12 − 23 • Park-Transformation von Statorgrößen xs in beliebig umlaufendes Koordinatensystem (z.B. rotorfestes (d0 , q 0 )-KoSy oder rotorflussfestes (d, q)-KoSy) Zur Vereinfachung wird die Nullkomponente (zero-sequence) x0 in Statorgrößen vernachlässigt " # cos(φ) − sin(φ) TP : R → R2×2 , φ 7→ TP (φ) := [Analogie zu D. Schröder: ej φ ] sin(φ) cos(φ) (C.69) wobei TP (φ) regulär für alle φ ∈ R mit inverser Matrix " # cos(φ) sin(φ) −1 TP (φ) = = TP (φ)> = TP (−φ). [Analogie zu D. Schröder: e−j φ ] − sin(φ) cos(φ) (C.70) Es gilt entsprechend −1 TP (−φ) = " # cos(φ) − sin(φ) sin(φ) cos(φ) = TP (−φ)> = TP (φ). (C.71) Mithilfe der trigonometrischen Sätze folgt ∀ φ1 , φ2 ∈ R : TP (φ1 )TP (φ2 ) = TP (φ1 + φ2 ). – 102/116 – [Analogie zu D. Schröder: ej (φ1 +φ2 ) ] (C.72) C.3. Wichtige Zusammenhänge Für φ = π/2 gilt J := TP π 2 = " # 0 −1 1 0 π [Analogie zu D. Schröder: ej 2 ] , (C.73) was einer (positiven) Drehung um π/2 eines Vektors x ∈ R2 entspricht. Die Matrizen J und TP (φ) kommutieren, d.h. " # − sin(φ) − cos(φ) ∀φ ∈ R : J TP (φ) = = TP (φ)J , cos(φ) − sin(φ) π (C.74) π [Analogie zu D. Schröder: ej( 2 +φ) = ej(φ+ 2 ) = jejφ ]. Für d dt φ =: ω gilt " # − sin(φ) − cos(φ) d TP (φ) = ω = ω J TP (φ) = ω TP (φ)J ṪP (φ) := dt cos(φ) − sin(φ) π π d jφ [Analogie zu D. Schröder: e = jω ejφ = ωej( 2 +φ) = ωej(φ+ 2 ) ] dt (C.75) und " # − sin(φ) cos(φ) d −1 = −ω J TP (φ)−1 = −ω TP (φ)−1 J TP (φ) = ω ṪP (φ) := dt − cos(φ) − sin(φ) (C.76) d −jφ [Analogie zu D. Schröder: e = −jω e−jφ ] dt −1 Mit der Konvention φk = φ lässt sich mithilfe der Park-Transformation TP (φk ) ausgehend von einem statorfesten Koordinatensystem (α, β) in ein (beliebiges) umlaufendes k-Koordinatensystem (d, q) (Superskript xk = (xd , xq )> ) übergegangen werden xk = TP (−φk )xs = TP (φk )−1 xs =⇒ xs = TP (φk )xk , (C.77) z.B. zur Rotorfluss-Orientierung (d.h. ψrq = ψ̇rq = 0 und ψrd = kψrr k = ψrk , der Rotorfluss im k-Koordinatensystem liegt ‘exakt’ auf der d-Achse). – 103/116 – C. Grundlagen der Drehfeldmaschinen (siehe [17] und [18]) – 104/116 – . Anhang D Grundlagen der Regelungstechnik (siehe [7, 16–18]) D.1 Wichtige Zusammenhänge Im Folgenden werden stichpunktartig wichtige Zusammenhänge der linearen Regelungstheorie zusammengefasst. • Lösungsformel für ax2 + bx + c = 0 r −b ac x1,2 = 1± 1−4 2 2a b für a, b, c ∈ R (D.1) für a, b, c, x ∈ R (D.2) für σ, ω ∈ R (D.3) • Rechenregeln für Logarithmus zur Basis x logx (a · bc ) = logx (a) + c logx (b) • Komplexe Rechnung s = σ + j · ω = |s| exp(j∠s) ∈ C wobei s∗ := σ − j · ω, |s| = ∠s = arctan ={s} <{s} √ s∗ s = p <{s}2 + ={s}2 und tan ∠s = 0 + π 2π • Laplace-Transformation x(s) = Dann , ={s} ≥ 0 ∧ <{s} ≥ 0 , (={s} < 0 ∨ ={s} > 0) ∧ <{s} ≤ 0 , ={s} ≤ 0 ∧ <{s} ≥ 0. R∞ 0 ={s} <{s} . x(t) exp(−st)dt (oder kurz x(t) d – 105/116 – (D.4) t x(s)) D. Grundlagen der Regelungstechnik (siehe [7, 16–18]) Für a, b ∈ R und a 6= b gilt: ẋ(t) ẍ(t) ( 1 ,t ≥ T σ(t − T ) = 0 ,t < T tn , n ∈ N0 1 (exp(−bt) − exp(−at)) a−b exp(−at) cos(bt) c 1 exp(−at) sin(bt) b 1 (s + a)(s + b)2 s s c s sx(s) − x(0+)∗ c s c c c c s s x(s) − sx(0+) − ẋ(0+) ∗ 2 s s (D.5) (D.6) e−sT s (D.7) n! sn+1 (D.8) 1 (s + a)(s + b) s+a s (s + a)2 + b2 (D.9) (D.10) 1 (D.11) (s + a)2 + b2 1 c exp(−at) − exp(−bt) + (a − b)t exp(−bt) (a − b)2 (D.12) • Faltungsregel für Impulsantworten f (t) d f (t) ∗ g(t) := Z 0 t t F (s) und g(t) d f (τ )g(t − τ )dτ c s F (s)G(s) t G(s) (D.13) • Additivität von Betrag (in [dB]) und Phase im Bode-Diagramm F (jω) = F1 (jω) · . . . · Fn (jω) = |F1 (jω)| exp(j∠F1 (jω)) · . . . · |Fn (jω)| exp(j∠Fn (jω)) (D.14) |F (jω)|dB = 20 log(|F1 (jω)| · . . . · |Fn (jω)|) = 20 log(|F1 (jω)|) + . . . + 20 log(|Fn (jω)|) = |F1 (jω)|dB + . . . + |Fn (jω)|dB (D.15) ∠F (jω) = ∠F1 (jω) + . . . + ∠Fn (jω) (D.16) • Standardreglerstrukturen P-Regler: u(t) = VR e(t) PI-Regler: Z 1 u(t) = VR e(t) + e(t)dt Tn c c s FP (s) = u(s) = VR (D.17) e(s) s FP I (s) = u(s) = VR e(s) 1 1+ sTn = VR 1 + sTn (D.18) sTn PD-Regler: u(t) = VR (e(t) + Tv ė(t)) c s FP D (s) = u(s) = VR (1 + sTv ) – 106/116 – e(s) (D.19) D.1. Wichtige Zusammenhänge PID-Regler: Z e(t) u(t) = VR e(t) + Tv ė(t) + dt Tn c 1 1 + sTv + e(s) sTn 1 + sTn + s2 Tv Tn (D.20) = VR sTn s FP ID (s) = u(s) = VR y(s) Z(s) • Anfangs- und Endwertsätze für F (s) = u(s) =N (s) Wenn die Endwerte limt→0+ y(t), limt→∞ y(t) und limt→0 ẏ(t) existieren und endlich sind, dann gilt lim y(t) = lim (sF (s)u(s)) t→0+ s→∞ für deg(Z) < deg(N ) (D.21) lim y(t) = lim (sF (s)u(s)) (D.22) lim ẏ(t) = lim (s2 F (s)u(s)) (D.23) t→∞ t→0 s→0 s→∞ wobei deg(Z) und deg(N ) die Ordnung des Zähler- bzw. Nennerpolynoms beschreiben. • Stabilität von linearen Regelkreisen Ein Regelkreis der Ordnung m, n ∈ N0 , VS ∈ R, c0 , . . . , cm−1 ∈ R und a0 , . . . , an−1 ∈ R mit der Übertragungsfunktion FS (s) = y(s) Z(s) c0 + c1 s + · · · + cm−1 sm−1 + sm := VS = VS u(s) N (s) a0 + a1 s + · · · + an−1 sn−1 + sn mit m ≤ n (D.24) zwischen Eingang u(s) und Ausgang y(s) ist (exponentiell) stabil (d.h. Systemantwort klingt ab), wenn alle Pole λi von FS (s), d.h. alle Nullstellen des Nennerpolynoms N (λi ) = 0 negativen Realteil <{λi } < 0 für alle i = 1, . . . , n besitzen. • Routh-Hurwitz Stabilitätskriterium für lineare Regelkreise Dazu untersucht man das charakteristische Polynom n-ter Ordnung des LTI Systems N (s) = a0 + a1 s + a2 s2 + · · · + an sn , a0 , . . . , an ∈ R. (D.25) Das charakteristische Polynom entspricht dem Nennerpolynom der Übertragungsfunktion FS (s) in (D.24). Es gilt: N (s) ist ein Hurwitz-Polynom (d.h. System ist exponentiell stabil), (i) dann sind alle Koeffizienten ai > 0 in N (s) (notwendige Bedingung, d.h. nicht unbedingt ausreichend!); (ii) genau dann, wenn der Koeffizient an > 0 und alle nordwestlichen Hurwitz-Unterdeterminanten Di > 0 für i = 1, . . . , n−1 (notwendige & hinreichende Bedingung)1 Die Unterdeterminanten Di entstehen aus den Determinanten der entsprechenden (i, i)1 Falls alle Koeffizienten ai > 0 kann über das Liénard-Chipart-Kriterium die Anzahl der zu untersuchenden Determinaten reduziert werden. Es müssen lediglich die Determinanten Di mit ungeradem Index i = 1, 3, 5, . . . oder geradem Index i = 2, 4, 6, . . . auf Positivität geprüft werden. Dieser Sachverhalt basiert auf der linearen Abhängigkeit der Determinaten für ai > 0 für alle i = 1, 2, 3, . . . . – 107/116 – D. Grundlagen der Regelungstechnik (siehe [7, 16–18]) Untermatrizen in der linken oberen (“nordwestlichen”) Ecke der Koeffizienten-Matrix Mn = an−1 an 0 0 .. . an−3 an−2 an−1 an an−5 an−4 an−3 an−2 ... ... ... ... .. . an−2n+3 an−2n+4 an−2n+5 an−2n+6 an−2n+1 an−2n+2 an−2n+3 an−2n+4 .. . 0 0 0 0 ... ... ... ... a1 a2 0 a0 Zu untersuchen sind D1 = an−1 k > 0. a a und D2 = n−1 n−3 an an−2 ∈ Rn×n . (D.26) , etc. Es gilt a−k = 0 für • Kausalität (Realisierbarkeit) Z(s) y(s) c0 +c1 s+···+cm−1 sm−1 +sm := VS N Ein lineares dynamisches System FS (s) = u(s) (s) = VS a0 +a1 s+···+an−1 sn−1 +sn wird kausal genannt, wenn m ≤ n. Die Systemantwort y(t) eines kausalen Systems hängt lediglich vom (vorangegangenen) Verlauf der Eingangsgröße u(τ ) mit 0 ≤ τ ≤ t ab. • Zustandsdarstellung eines LTI1 Systems (Regelungsnormalform) Zustandsgleichung (Vektordifferentialgleichung) und Ausgangsgleichung eines dynamischen Systems n-ter Ordnung ẋ(t) = Ax(t) + bu(t) , x(0) = x0 ∈ Rn (D.27) y(t) = c> x(t) mit > – dem Zustandsvektor x(t) = x1 (t), . . . , xn (t) ∈ R (z.B. Motorstrom & -drehzahl) – der Stellgröße u(t) ∈ R (z.B. Motorspannung oder -moment) – der Systemmatrix in Regelungsnormalform (RNF) 0 0 .. . 1 0 A= 0 ... 0 ... −a0 −a1 0 ... 1 0 .. .. . . ... 0 ... ... ... ... ... ... .. . 0 0 .. . 1 0 0 1 . . . −an−1 – dem Steuer-/Einkoppelvektor b = 0, . . . , 0, VS > ∈ Rn×n (D.28) ∈ Rn – dem Auskoppel-/Ausgangsvektor c> = c0 , c1 , . . . , cn−1 ∈ Rn • Übertragungsfunktion (aus Regelungsnormalform) Darstellung im Laplace-Bereich mit s = σ + iω ∈ C ergibt FS (s) = 1 y(s) c0 + c1 s + · · · + cn−1 sn−1 = c> (sI n − A)−1 b = VS u(s) a0 + a1 s + · · · + an−1 sn−1 + sn linearen, zeit-invarianten (engl. linear, time-invariant) – 108/116 – (D.29) D.2. Wiederholungsaufgaben • Stabilität eines LTI Systems in Zustandsdarstellung (D.27) Ein System der Form (D.27) ist • für jeden Anfangswert x0 ∈ Rn (exponentiell) stabil und • für jeden Anfangswert x0 ∈ Rn und jeden beschränkten Eingang u(·) bounded-input, bounded-output (BIBO) stabil, wenn alle Eigenwerte λ1 , . . . , λn ∈ C der Matrix A negativen Realteil besitzen, d.h. <{λi } < 0 für alle i ∈ {1, . . . , n}. Die Eigenwerte können durch Nullsetzen der charakteristischen 1 .. Gleichung χA (s) := det(sI n −A) = 0 bestimmt werden. Hierbei entspricht I n = ∈ . 1 Rn×n der Einheitsmatrix der Ordnung n. Die Eigenwerte λi sind identisch mit den Polen der Übertragungsfunktion (D.29). D.2 D.2.1 Wiederholungsaufgaben Standardstrecken anhand der Gleichstrommaschine (GM) Eine nennerregte GM mit konstantem Nennfluss ψEN > 0 [Vs] ist im Zeitbereich gegeben durch uA (t) = eA (t) + RA iA (t) + LA diA (t) , dt eA (t) = CM · ψEN · ωM (t) dωM (t) 1 = (mM (t) − mL (t)) , dt ΘM mM (t) = CM · ψEN · iA (t). iA (0) = 0 [A] ωM (0) = 0 rad s (D.30) (D.31) (D.32) (D.33) Hierbei sind uA [V] die (Stelleingang), iA [A] der Ankerstrom, RA [Ω] der Ankerspannung die Ankerinduktivität, eA [V] die (induzierte) Gegenspannung, Ankerwiderstand, LA Vs A rad CM [1] die Motorkonstante, ωM s die Motorwinkelgeschwindigkeit, ΘM kg m2 die (Rotor)Trägheit, mM [Nm] das Motormoment und mL [Nm] das Lastmoment (Störung bzw. Reibung). Aufgabe D.2.1 (Elektrischer Ankerkreis der GM (PT1 -Strecke)). (a) Für eA := 0 transformieren Sie Gleichung (1) des Ankerkreises in den Frequenzbereich (Laplace-Transformation) und leiten die Übertragungsfunktion FP T1 (s) = uiAA(s) (s) her! (Hinweis: Nutzen Sie die B.3!) (b) Für s = jω (Fourieranalyse) bilden Sie Betrag |FP T1 (jω)|dB := 20 log |FP T1 (jω)| und Phase ∠FP T1 (jω) der Übertragungsfunktion F1 (s) = uiAA(s) (s) ! (c) Für die Ankerzeitkonstante TA := LA /RA werten Sie Betrag und Phase an den markanten Frequenzen ω ∈ {0, 101TA , T1A , T10A } aus! (d) Skizzieren Sie das Bodediagramm von FP T1 (jω)! (e) Berechnen Sie die Sprungantwort des Ankerkreises für ( u0 , t ≥ 0 uA (t) = u0 σ(t) = 0, t<0 – 109/116 – D. Grundlagen der Regelungstechnik (siehe [7, 16–18]) mit u0 > 0. (Hinweis: Nutzen Sie die Laplace-Rücktransformation und die Laplace-Transformierte u0 σ(t) c s us0 )! (f ) Für welche Ankerzeitkonstanten TA ∈ R (theoretisch) ist Ankerkreis (1) stabil, grenzstabil und instabil? (g) Berechnen Sie Anfangswert limt→0 iA (t), Anfangssteigung limt→0 i̇A (t) und Endwert limt→∞ iA (t) für einen Einheitssprung uA (t) = σ(t) mithilfe der Anfangs- und Endwertsätze (siehe B.3)! Aufgabe D.2.2 (Mechanik der GM (I-Strecke)). (a) Für mL := 0 transformieren Sie Gleichung (3) der Mechanik in den Frequenzbereich ωM (s) (Laplace-Transformation) und leiten die Übertragungsfunktion FI (s) = m her! M (s) (Hinweis: Nutzen Sie die B.3!) (b) Für s = jω (Fourieranalyse) bilden Sie Betrag |FI (jω)|dB := 20 log |FI (jω)| und Phase ωM (s) ∠FI (jω) der Übertragungsfunktion FI (s) = m ! M (s) (c) Skizzieren Sie das Bodediagramm von FI (jω)! (Hinweis: Überlegen Sie sich die Steigung des Betrages und wählen eine “einfache” Frequenz als Startwert!) (d) Berechnen Sie die Sprungantwort der Mechanik für mM (t) = m0 σ(t) für m0 > 0! (Hinweis: Lösen Sie hier die Differential (3) direkt!) (e) Ist FI (s) stabil? (f ) Berechnen Sie Anfangswert limt→0 ωM (t), Anfangssteigung limt→0 ω̇M (t) und Endwert limt→∞ ωM (t) für einen Einheitssprung mM (t) = σ(t) mithilfe der Anfangs- und Endwertsätze (siehe B.3)! Aufgabe D.2.3 (Elektromechanische Systemantwort der GM (PT2 -Strecke)). (a) Für mL = 0 leiten Sie aus den Systemgleichungen (1)-(4) die elektromechanische Systemantwort der GM her! Hinweis: Leiten Sie eine Differentialgleichung zweiter Ordnung der Form 1 2D ω̈M (t) + ω̇M (t) + ωM (t) = VS uA (t), ω0 ω02 (ωM (0), ω̇M (0)) = (0, 0). (D.34) her. Hierbei sind VS ∈ R [1/(Vs)], ω0 > 0 [rad/s] und D ≥ 0 [1] abhängig von den Systemparametern CM , ψEN , TA , LA , RA und ΘM ! (b) Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion FP T2 (s) = Transformation) ωM (s) uA (s) von (D.34)! (Hinweis: Laplace- (c) Für s = jω (Fourieranalyse) bilden Sie Betrag |FP T2 (jω)|dB := 20 log |FP T2 (jω)| und (s) Phase ∠FP T2 (jω) der Übertragungsfunktion FP T2 (s) = ωuM ! A (s) (d) Für Eigenfrequenz ω0 werten Sie Betrag und Phase an den markanten Frequenzen ω ∈ {0, ω0 /10, ω0 , 10ω0 } aus! (e) Skizzieren Sie das Bodediagramm von FP T2 (jω)! Überprüfen Sie Ihr Ergebnis mithilfe von Matlab (für D = 0.1, VS = 1, ω0 = 10)! (Hinweis: Nutzen Sie den Befehl bode(sys).) – 110/116 – D.2. Wiederholungsaufgaben (f ) Bestimmen Sie die Pole p1 , p2 ∈ C der Übertragungsfunktion FP T2 (s)! (g) Für welche Werte von D, ω0 und VS ist das System (D.34) stabil, d.h. <{p1 }, <{p2 } < 0? (h) Bestimmen Sie die Sprungantwort von (D.34) für uA (t) = u0 σ(t) mit u0 > 0! (Tipp: Nutzen Sie die Laplace-Rücktransformation) (i) Für welche Werte von D, ω0 und VS ist das System (D.34) schwingungsfähig? Nutzen Sie Simulink/Matlab zur Simulation des Systems (D.34) für unterschiedliche Werte von D ∈ {0.01, 0.1, 1, 5}, VS ∈ {−0.1, 3} und ω0 ∈ {0.5, 1, 10}! (j) Berechnen Sie Anfangswert limt→0 ωM (t), Anfangssteigung limt→0 ω̇M (t) und Endwert limt→∞ ωM (t) für einen Einheitssprung uA (t) = σ(t) mithilfe der Anfangs- und Endwertsätze (siehe B.3)! (k) Im Folgenden gelte D = 1. • Zerlegen Sie das System (D.34) in zwei P T1 Systeme mit Übertragungsfunktion V FP Ti = 1+sS,iTi , i = 1, 2 ? Ist die Zerlegung eindeutig, d.h. sind die Zeitkonstanten T1 und T2 bzw. VS,1 und VS,2 eindeutig? • Sind beide Systeme FP T1 und FP T2 stabil? D.2.2 Regelkreise und Reglerauslegung z1 yref e FR (s) u v − FS1 (s) FS2 (s) y − z2 − y r ym Fr (s) Abbildung D.1: Standardregelkreis (SISO) Aufgabe D.2.4 (Serienschaltung PT1 -Strecke und I-Strecke (IT1 -Strecke)). (a) Wie lautet die Übertragungsfunktion FS (s) = y(s) u(s) von Eingang u(t) c s u(s) zu Aus- gang y(t) c s y(s) für z1 = 0 (keine Störung innerhalb der Strecke) entsprechend dem Regelkreis in Abb. D.1? y(s) u(s) einer VS,1 1+s TS,1 und (b) Stellen Sie die Übertragungsfunktion FIT1 (s) = indem Sie eine PT1 -Strecke FP T1 (s) = VS,2 s TS,2 v(s) u(s) = allgemeinen IT1 -Strecke auf, eine I-Strecke FI (s) = y(s) v(s) = in Serie verschalten! (c) Für s = jω (Fourieranalyse) bilden Sie Betrag |FIT1 (jω)|dB := 20 log |FIT1 (jω)| und Phase ∠FIT1 (jω) der Übertragungsfunktion FIT1 (s)! (Hinweis: Nutzen Sie hierzu Additivität von Betrag und Phase!) – 111/116 – D. Grundlagen der Regelungstechnik (siehe [7, 16–18]) (d) Skizzieren Sie das Bode-Diagramm von FIT1 (jω)! (e) Berechnen Sie die Sprungantwort von FIT1 (s) für u(t) = u0 σ(t) mit u0 > 0 (d.h. u(s) = u0 /s)! (f ) Ist FIT1 (s) stabil? (g) Berechnen Sie Anfangswert limt→0 y(t), Anfangssteigung limt→0 ẏ(t) und Endwert limt→∞ y(t) für einen Einheitssprung u(t) = σ(t) mithilfe der Anfangs- und Endwertsätze (siehe B.3)! Aufgabe D.2.5 (Regelkreisanalyse). (a) Bestimmen Sie die Führungsübertragungsfunktion Fyref (s) = Abb. D.1! (b) Bestimmen Sie die Störübertragungsfunktionen Fz1 (s) = Regelkreises in Abb. D.1! y(s) yref (s) y(s) z1 (s) des Regelkreises in und Fz2 (s) = y(s) z2 (s) des (c) Wie lautet das gesamte Übertragungsverhalten des Regelkreises? Bestimmen Sie hierzu y(s) = f (yref (s), z1 (s), z2 (s))! (d) Wie können Sie Stabilität des Regelkreises überprüfen? Was fällt Ihnen auf ? (e) Welche Teilstrecke in Abb. D.1 können Sie normalerweise problemlos vorgeben/ändern? (f ) Welche der Störungen z1 (s) und z2 (s) können Sie nicht unterdrücken, sofern ein gutes Führungsverhalten gewünscht wird? Aufgabe D.2.6 (Vorsteuerung und Störgrößenaufschaltung). Nehmen Sie an, dass Störung z1 (t) als Messgröße (oder Schätzwert) und Referenz yref (t) als (zeitvariante) Signale vorliegen und als Stelleingriff ihres Systems FS1 (s)FS2 (s) nur u(t) zugänglich ist. (a) Nutzen Sie die Information des Referenzsignals yref (t) um Ihren Regler zu entlasten! Wie sieht eine ideale Vorsteuerung FV (s) aus? Was müssen Sie beachten? (b) Nutzen Sie die Information der Störung z1 (t) um Ihren Regler zu entlasten! Wie sieht eine ideale Störgrößenaufschaltung FSA (s) aus? Was müssen Sie beachten? (c) Zeichnen Sie Vorsteuerung FV (s) und Störgrößenaufschaltung FSA (s) in Abb. D.1 ein! Aufgabe D.2.7 (Standardregler: P, PI, PD und PID Regler). Für alle Reglertypen (P,PI,PID) aus B.3 bearbeiten Sie folgende Aufgabenstellungen. Nutzen Sie auch Matlab/Simulink! (a) Für s = jω (Fourieranalyse) bilden Sie Betrag |FRegler (jω)|dB := 20 log |FRegler (jω)| und Phase ∠FRegler (jω) der Übertragungsfunktion FRegler (s), wobei “Regler” = {P, PI, PD, PID}! (Hinweis: Nutzen Sie hierzu Additivität von Betrag und Phase!) (b) Skizzieren Sie das Bode-Diagramm von FRegler (jω)! (c) Berechnen Sie die Sprungantwort von FRegler (s) = e0 σ(t) mit e0 > 0 (d.h. e(s) = e0 /s)! u(s) e(s) für einen Fehlersprung e(t) = (d) Berechnen Sie Anfangswert limt→0 u(t), Anfangssteigung limt→0 u̇(t) und Endwert limt→∞ u(t) für einen Einheitssprung e(t) = σ(t) mithilfe der Anfangs- und Endwertsätze (siehe B.3)! – 112/116 – D.2. Wiederholungsaufgaben Im Folgenden gelte FS1 (s) = 1, Fr (s) = 1 (Einheitsrückführung) und z2 = 0 für den Regelkreis in Abb. D.1, d.h. y = yr = ym und u = v. Aufgabe D.2.8 ( Beispielregelkreise). Für folgende Strecken- und Reglerkombinationen wiederholen Sie die unten aufgelisteten Aufgabenstellungen. Es gelte VS , T1 > 0. • FR (s) = VR und FS2 (s) = VS 1 + s T1 1 VS • FR (s) = VR 1 + und FS2 (s) = s Tn 1 + s T1 • FR (s) = VR und FS2 (s) = • FR (s) = VR 1 + 1 s Tn VS s T1 und FS2 (s) = (a) Stellen Sie Führungs- Fyref (s) = y(s) yref (s) VS s T1 und Störübertragungsfunktion Fz1 (s) = y(s) z1 (s) auf ! (b) Können Sie den Regelkreis stabilisieren (alle Pole in der linken komplexen Halbebene)? In welchem Bereich können die Reglerparameter VR (und Tn ) gewählt werden? (c) Kann einem Sollwertsprung yref (t) = y0 σ(t) asymptotisch gefolgt werden (gutes Führungsverhalten)? (Hinweis: Endwertsatz) (d) Kann ein Störsprung z1 (t) = z0 σ(t) asymptotisch ausgeregelt werden (gutes Störverhalten)? (Hinweis: Endwertsatz) (e) Implementieren Sie die Regelkreise in Matlab/Simulink! Aufgabe D.2.9 (Reglerauslegung nach Optimierungstabelle (Betragsoptimum und Symmetrisches Optimum)). Für folgende Strecken wiederholen Sie die unten aufgelisteten Aufgabenstellungen. • FS2 (s) = 3 1 + s7 • FS2 (s) = 5 (1 + s 0.1)(1 + s) • FS2 (s) = 5 s 10(1 + s 0.05) • FS2 (s) = 5 (1 + s)(1 + s 0.05)(1 + s 0.8) (a) Welchen Regler wählen Sie für gutes Führungsverhalten (d.h. asymptotisch kann einem Sollwertsprung yref (t) = y0 σ(t) gefolgt werden)? (b) Welchen Regler wählen Sie für gutes Störverhalten (d.h. asymptotisch kann ein Störsprung z1 (t) = z0 σ(t) ausgeregelt werden)? (c) Bestimmen Sie jeweils die Reglerparameter des gewählten Reglers entsprechend der Optimierungstabelle? – 113/116 – D. Grundlagen der Regelungstechnik (siehe [7, 16–18]) (d) Verbleibt asymptotisch ein Regelfehler bei Soll- oder Störsprung? (e) Wie hoch ist das zu erwartende Überschwingen reduzieren? (Hinweis: Was ist TG )? ymax y0 ? Wie können Sie das Überschwingen (f ) Wie groß ist die zu erwartende Anregelzeit tan ? (g) Wie groß ist die zu erwartende Ausregelzeit taus ? (h) Implementieren Sie die Regelkreise mit entsprechender Auslegung in Matlab/Simulink und überprüfen Sie die Angaben der Tabelle! Aufgabe D.2.10 (Polplatzierung). Es gelte FS2 (s) = VS ω02 s2 + 2Dω0 s + ω02 mitVS > 0, 0 < D < 1 und ω0 > 0. Als Regler wollen Sie einen PID-Regler FR (s) = VR 1 + s Tv + s T1 n auslegen. (a) Ist FS2 (s) stabil? (Hinweis: Verwenden Sie das Routh-Hurwitz Kriterium; keine Berechnung der Pole!) (b) Können Sie die Optimierungstabelle nutzen, um FR (s) nach BO oder SO auszulegen? (c) Stellen Sie Führungs- Fyref (s) = y(s) yref (s) und Störübertragungsfunktion Fz1 (s) = y(s) z1 (s) auf ! (d) Welche Ordnung hat der Nenner N (s) von Fyref (s)? Q (e) Es sei folgendes Hurwitzpolynom gegeben: χWunsch (s) = m i=1 (s + 1/Ti ) mit Ti > 0. Wieviele Zeitkonstanten Ti (d.h. m =?) müssen Sie wählen? (f ) Bestimmen Sie die Reglerparameter VR , Tv und Tn , so dass der Nenner N (s) des Regelkreises mit dem Wunschpolynom χWunsch (s) übereinstimmt! (Hinweis: Koeffizientenvergleich) (g) Ist der Regelkreis stabil, d.h. ist N (s) ein Hurwitz-Polynom? (h) Implementieren Sie den Regelkreis in Matlab/Simulink für ω0 = 10 [rad/s], D = 0.1, VS = 5 und T1 = T2 = T3 = 1 [s]! (i) Testen Sie Führungsverhalten und Störverhalten für Einheitssprünge yref (t) = z1 (t) = σ(t)! (j) Was passiert für kleinere Wunschzeitkonstanten Ti (z.B. T1 = T2 = T3 = 0.1)? Betrachten Sie auch die nötige Stellgröße u(t)! Sehen Sie Schwierigkeiten in realen Anwendungen? D.3 Optimierungstabelle Siehe folgende Seite. – 114/116 – z – 115/116 – IT2 IT1 T2 > Tσ VS sT1 (1 + sT2 )(1 + sTσ ) VS sT1 (1 + sTσ ) T2 > Tσ PI beliebig PID VR T1 ≫ 1 PD VS Tσ beliebig P PID VR T1 ≥4 Tσ T1 ≫1 VS Tσ PID VR 1 + sTn sTn 1 + sTn sTn (1 + sTn )(1 + sTv ) sTn VR (1 + sTv ) VR VR (1 + sTn )(1 + sTv ) sTn (1 + sTn )(1 + sTv ) sTn T1 — — T1 — — — SO 4Tσ BO SO 4Tσ BO SO 4Tσ BO BO SO 4Tσ BO 1 + sTn sTn VR (1 + sTv ) VR VR BO BO 1 s Krit. Tn Opt. VR VR FR ✲ FS2 Regler Strecke ✲ FS1 FS }| Tv — — — TG — — T1 T2 2Tσ VS T1 T2 2Tσ VS T1 — 2Tσ VS T1 — 2Tσ VS 8,4 ... 13,3 4,7 ... 7,6 8,4 ... 13,3 4,7 ... 7,6 — 4Tσ 16,5 13,3 7,6 8,4 3,1 4,7 13,3 7,6 — 16,5 3,1 — 8,4 8,4 ... 16,5 3,1 ... 4,7 4,7 8,4 4,7 (8,4) 8,4 ... 16,5 3,1 ... 4,7 (4,7) 8,4 (8,4) 8,4 taus (±2%) Tσ 4,7 (4,7) 4,7 tan Tσ ! 1,08 1,43 1,04 1,08 1,43 1,04 1,04 ... 1,08 1,04 ... 1,43 1,04 1,04 ... 1,08 ! y∞ 1,04 ′ yref,0 1,04 ... 1,43 1,04 y∞ ′ yref,0 1,04 ymax ′ yref,0 1,04 t ✲ ±2% t ✲ 0 1 1 1 1 1 1 1 1 4 — 2 4 — 2 2 ... 4 — 2 2 VR VS 1 + VR VS 1 2 ... 4 — 2 2 2 Ters Tσ 1 1 1 VR VS 1 + VR VS 1 y∞ ′ yref,0 T1 Tσ T2 Tσ 4+ T2 Tσ r T2 ≈ 10 4 Tσ 10 (4,7) 4,4 T1 T2 Tσ2 r T2 ≈ 10 4 Tσ s 4+ ≈ 10 5,5 r (4,7) 6,3 tan Tσ 1,4 ... 1,8 p T2 /Tσ 0,5 ... 0,75 p T2 /Tσ T1 /Tσ 1 1 + VR VS 1,2 ... 1,6 T1 /Tσ 0,5 ... 1,2 T1 /Tσ 1 1 + VR VS 1 VR VS 1,8 p T2 /Tσ 1 VR VS T1 /Tσ ≈ 1,6 T1 /Tσ ≈ T1 /Tσ p ≈ ≈ 0,64 1 ymax V S z0 Störgröße z tan 0 1 VR VS 0 1 VR VS 0 0 1 1 + VR VS 0 0 1 1 + VR VS 0 1 y∞ V S z0 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Nr. t ✲ t ✲ ❩❩ Wendetangente ❩ ❩ Störgröße y ymax VS z0 ✻ V y∞ S z 0 VS z0 0 z z0 1 ✻ Verhalten bei Sprung der taus ymax ′ yref,0 ′ Führungsgröße yref (bzw. yref ) 0 tan ′ yref,0 ✻ y∞ 1 ′ yref,0 4Tσ — — T1 T2 2Tσ VS 0..4Tσ T1 T2 2Tσ VS T1 T2 2Tσ VS — T1 — 2Tσ VS 0..4Tσ T1 — 2Tσ VS T1 — 2Tσ VS 1 — 2Tσ VS VR Einstellung y r ✲ { y 0 Führungsgröße Abbildung D.2: Optimierungstabelle für exakt bekannte Strecken mit Ordnung n ≤ 3 und rein reellen Polen (T1 , T2 . . . große Zeitkonstanten, Tσ . . . kleine (Ersatz-)Zeitkonstante). 11 10 9 8 7 6 PT3 T1 >1 Tσ PD T1 ≫1 Tσ 5 VS (1 + sT1 )(1 + sT2 )(1 + sTσ ) PI T1 ≥4 Tσ 3 PT2 4 P I Typ PI T1 ≫1 Tσ beliebig Bereich Günstiger ✲❄ ❡− ✲ FSσ T1 >1 Tσ VS (1 + sT1 )(1 + sTσ ) VS 1 + sTσ 1 PT1 2 FS Nr. Typ Strecke Regler ✲ ❡ ✲ FR − ✻ ′ yref Führungsglättung ✲ FG yref z Optimierungstabelle ′ yref ′ yref,0 1✻ D.3. Optimierungstabelle
