Leitungsmechanismen

Torsten Leddig
Mathias Arbeiter
19.Oktober 2004
Betreuer: Dr.Hoppe
Physikalisches Praktikum
3. Semester
- Leitungsmechanismen -
1
Aufgaben:
1. Innere Grenzflächen:
Die Thermospannung des Cu-Fe-Thermoelements ist zu messen und graphisch darzustellen. Der
Kurvenverlauf ist zu diskutieren, dabei sind die Bändermodelle der benutzten Materialien zu berücksichtigen.
2. Äußere Grenzflächen:
Bestimmen Sie die Austrittsarbeit, die die Elektronen verrichten müssen, um eine Wolfram-Kathode
verlassen zu können!
Vorbetrachtung:
Leitungsmechanismen:
• Festkörper:
– verschiedene Leitungsmechanismen
– aber frei bewegliche Ladungsträger Voraussetzung
– Halbleiter: Elektronen-/Löcherleitung
• Vakuum:
– enthält keine Ladungsträger
– Ladungsträger müssen erst bereit gestellt werden
– z.B. Erwärmung eines Metalldrahtes auf Weißglut
– dadurch werden Elektronen aus der Metalloberfläche ins Vakuum emittiert
– Anlegen eines Potenzials bewirkt eine Beschleunigung Richtung Anode
– Elektronenstrom!
Thermospannung:
• tritt bei Thermoelementen auf
• Thermoelemente sind zwei miteinander verbundene verschiedene Metalle
• an der Berührungsstelle gehen Elektronen aus dem Metall mit der kleineren Austrittsarbeit in das
Metall mit der größeren Austrittsarbeit über
• durch diese Ladungsverschiebung entsteht eine Kontaktspannung, die eine eindeutige Funktion der
Temperatur der Kontaktstellen ist
• ⇒ Seebeck-Effekt
• die Tiefe der höchsten besetzten Elektronenzustände bestimmt die Fermi-Grenze
• die Energie des höchsten besetzten Elektronen-Zustandes bezeichnet man als Fermi-Energie
• es gibt Elemente mit hoher Fermi-Energie (die höchsten besetzten Elektronenzustände liegen hoch)
und Elemente geringerer Fermi-Energie
• tiefliegende Valenzbänder führen zu geringer Fermi-Energie und somit zu größerer Austrittsarbeit
• Elektroneübergange an den Kontaktstellen führen zum Ausgleich der Fermi-Energien (Elektronen
wandern von Element mit geringer Austrittsarbeit zum Element höherer Austrittsarbeit)
2
• dadurch laden sich die unterschiedlichen Metalle gegensätzlich auf und es entsteht ein Potenzial
Richardson - Gleichung:
• Glühemission:
– Emission von Elektronen aus einem bis zum Glühen erhitzten Metall
• Richardson-gleichung:
– Beschreibung des Sättigungsstroms Is der emittierten Elektronen in Abhängigkeit von der
Temperatur T und der Austrittsarbeit φ
φ
⇒ IS = c A T 2 e− k T
mit A = Oberfläche der Kathode
J
)
k = Boltzmann-Konstante (= 1.380658 · 10−23 K
c = Materialabhängige Mengenkonstante (= 3 · 104 A · m−2 · K −2 im vorliegenden Fall)
• Boltzmann-Konstante k ist die Proportionalitäts-Konstante des idealen Gasgesetzes
• Zusammenhang mit universeller Gaskonstante R:
R = k NA (NA = Avogadro-Zahl)
Strom- und Spannungsrichtiges Messen:
• Stromrichtige Messschaltung:
– wird bei großen Widerständen R verwendet, damit die geringe Stromstärke durch R nicht
wesentlich durch jene Stromstärke des Stromes verfälscht wird, der durch den Spannungsmesser
fließt
–
• Spannungsrichtige Messschaltung:
– wird bei kleinen Widerständen R verwendet, damit die Spannung an R nicht wesentlich
durch jene Teilspannung verfälscht wird, die am Strommesser auftritt
–
3
Theorie über die Kennlinie einer Röhrendiode:
Röhrendiode:
Anlaufstrom:
Einfachster Röhrentyp, bestehend aus Kathode und Anode.
Da Elektronen nur von Kathode zu Anode strömen können,
dient sie als Gleichrichter.
Strom, der in einer Röhrendiode ohne äußere angelegte Spannung fließt
- Die durch die Heizung der Kathode freigesetzten Elektronen erzeugen
auch ohne äußere Spannung einen Strom zwischen Kathode und Anode;
- erst durch Anlegen einer hinreichend großen Gegenspannung kommt der Strom zum Erliegen
1.
Sperrbereich:
- kein Stromfluss durch große negative Anodenspannung
2.
Anlaufstrombereich:
- Anodenspannung leicht negativ bis Null
- Gegenspannung also so klein, dass sie nur von schnellen Elektronen überwunden werden kann
- diese gelangen zur Anode, so dass ein (kleiner) Strom fließt
3.
Raumladebereich:
- Anodenspannung positiv
- Raumladung der Kathode bleibt bestehen, Elekronen werden von der Anode abgesaugt
- Anodenstrom von Spannung und Raumladung bestimmt!
4.
Sättigungsbereich:
- Anodenspannung positiv und so groß, dass alle austretenden Elektronen zur Anode gelangen
- Anodenstrom = Emissionsstrom der Kathode
4
benutzte Geräte:
• Cu-Fe- und Ni-CrNi-Thermoelement
• MV 40 - Messgerät (zum Messen der Thermospannung Aufgabe 1)
• 3 digitale Multimeter zur Strom- und Spannungsmessung
• Röhrentriode mit einer Kathode, bestehend aus Wolfram mit 1.8% Thorium
1. Bestimmung der Thermospannung des Cu-Fe-Thermoelements:
Versuchsaufbau:
Durchführung:
• Heizplatte in Betrieb nehmen und den Sand erhitzen
• per Schalter kann zwischen Messung der Thermospannung des N i − CrN i-Thermoelements und
des Cu − F e-Thermoelements umgeschaltet werden
• zu gleichen Zeiten UN i−Cr und UCu−F e messen
• die Abhängigkeit zwischen Temperatur und Thermospannung ist bei Ni-CrNi-Thermoelement bekannt und liegt als Kalibrierkurve vor
• dadurch wird die Temperatur indirekt über UN i−Cr gemessen
Messwerte:
• UCu−F e und UN i−Cr werden gemessen
• die Temperatur T wird aus UN i−Cr ermittelt, da für diesen Stoff die genaue Abhängigkeit als
T-U-Diagramm vorliegt
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• T wird also indirekt über UN i−Cr gemessen
UCu−F e in mV
0.16
0.33
0.5
0.8
0.9
0.93
0.95
0.96
UN i−Cr in mV
1.8
2.55
4.3
7.4
8.5
9.4
11.7
12.0
Temp. T in K
312
327
366
435
462
480
531
537
Diskussion der Kurve:
Durch unerwartet schnelles Erreichen der maximalen Thermospannung, wurden weniger Messpunkte aufgenommen, als das Experiment erforderlich macht! Dennoch ist ein gewisser Trend der Kurve erkennbar!
Im Gegensatz zum N i − CrN i-Thermoelement, welches eine lineare Abhängigkeit zwischen Temperatur
und Thermospannung aufweist, liegt beim Cu − F e-Thermoelement eine nichtlineare Abhängigkeit vor!
Mit steigender Temperatur steigt die Thermospannung zunächst schnell an, flacht mit größer werdender Temperatur ab und nähert sich ab ca. 480 K asymptotisch einer maximalen Thermospannung (hier
≈ 1 mV ) an.
Verwiesen wird auf den Abschnitt Thermospannung in den Vorbetrachtungen. Beim Cu−F e-Thermoelement
ist die Fermi-Energie-Differenz offensichtlich größer, als beim N i−CrN i-Thermoelement. Dadurch können
schon bei geringerer Temperatur Elektronen von dem einem zum anderen Metall wandern, bis sie sich
schließlich einer maximalen Thermospannung annähert.
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2. Bestimmung der Austrittsarbeit:
gegebene Werte:
• Aufbau der Kathode:
-
Wolfram-Thorium-Draht
Länge des Kathodendrahtes = l = (116 ± 1)mm
Durchmesser des Drahtes = D = (257 ± 5)µm
Temperaturkoeffizient von Wolfram = α = 4.5 · 10−3 K −1
• Mengenkonstante c = 3 · 104
A
K 2 · m2
J
• Boltzmann-Konstante k = (1.3806505 ± 0.0000024) · 10−23 K
Messung von R0 :
Versuchsaufbau:
• Batterie an die Röhrendiode anschließen (kleine Ströme und Spannungen erzeugen, denn kleine
Ströme = geringe Temperaturerhöhung des Drahtes!)
• Strom und Spannung messen und über das ohm’sche Gesetz den Widerstand R0 berechnen
Messwerte:
U in mV
I in mA
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.2
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
7
U
I
0.050
0.050
0.060
0.067
0.071
0.075
0.078
R0 =
R=
7
P
Ri
i=1
7
⇒ R = 0.063
uR = τ · sR
v
u
u
sR = t
n
1 X
(Ri − R)2
n − 1 i=1
sR = 0.013mm
0.013Ω
sR
⇒ sR = √ = √
= 0.00433Ω
n
9
τ8 = 2.306
⇒ uR = 0.00433mm · 2.306
⇒ uR = 0.010Ω
⇒ R0 = (0.06 ± 0.01)Ω
Messung der Austrittsarbeit:
Versuchsaufbau:
Durchführung:
• Anodenspannung wird durch zwei Spannungsquellen, in Reihe geschaltet, (Spannungen addieren
sich) erzeugt
• Spannungen dabei so einstellen, dass sie zusammen ca. 500V < UA < 600V ergeben
8
• Heizstrom und Heizspannung über eine zusätzliche Stromquelle einspeisen
• Temperatur des Glühfadens ergibt sich dann aus dem Widerstand (R =
UH
IH )
• der Sättigungsstrom wird ca. zwischen 4.5A < IH < 5.5A erreicht und auch gemessen
• Berechnung von φ erfolgt über Logarithmieren der Richardson-Gleichung und anschließender linearer Regression durch den Nullpunkt
• während der gesamten Messung ist das Gitter auf Kathodenpotenzial zu legen
Formeln:
R = R0 [1 + α (T − T0 )]
mit R =
⇒T =
UH
IH
UH
IH
− R0 (1 + T0 · α)
R0 · α
(1)
φ
IS = c A T 2 e− k T
Messwerte:
Raumtemperatur R0 = 23.8◦ C
(digitales Temperaturmessgerät)
angelegte Anodenspannung: UA = UA1 + UA2 = 290V + 290V = 580V (Reihenschaltung!)
IH in A
4.42
4.605
4.675
4.808
4.911
4.996
5.073
5.162
5.237
5.303
5.398
5.503
UH in V
2.14
2.320
2.394
2.517
2.613
2.701
2.778
2.865
2.941
3.010
3.106
3.217
IS in mA
0.335
0.675
0.871
1.337
1.818
2.390
3.003
3.840
4.723
5.678
7.256
9.498
Rechnung:
Formel:
φ
IS = c A T 2 e− k T
⇒ φ = k · T · ln
φ
= ln
kT
µ
µ
c A T2
IS
c A T2
IS
¶
¶
9
aus
T inK −→ (1)
1189
1258
1287
1327
1357
1388
1412
1439
1462
1483
1510
1525
Berechnung der Fläche A
Formel: A = 2 π D l
D = Durchmesser des Fadens = (257 ± 5)µm (siehe Versuchsanleitung)
l = Länge des Fadens = (116 ± 1)mm (siehe Versuchsanleitung)
⇒ A = 2 π 257µm · 116mm
⇒ A = 0.187 · 10−3 m2
uA
ul
uD
=
+
A
l
D
uA
1mm
5µm
=
+
A
116mm 257µm
⇒
uA
= 8.62 · 10−3 + 19.46 · 10−3
A
⇒
uA
= 2.81%
A
Berechnung von φ durch lineare Regression:
durch die Logarithmierung der Richardson-Gleichung wird aus der Exponentialfunktion eine lineare Funktion
⇒ durch lineare Regression durch den Koordinatenursprung kann nun φ ermittelt werden!
⇒y=φx
1
kT
¶
µ
c A T2
y = ln
IS
mit x =
c A T2
y = ln
IS
23.89
23.30
23.09
22.72
22.46
22.23
22.04
21.83
21.65
21.50
21.29
21.04
µ
1
in 1019 J1
x=
kT
6.093
5.758
5.627
5.456
5.335
5.219
5.128
5.035
4.955
4.884
4.795
4.750
10
¶
⇒ Anstieg φ = Austrittsarbeit = 4.224 · 10−19 J
⇒ φ = 2.64eV
v
u

P
12
u
2
u
y
u 1  i=1 i

−21

− φ2 
sφ = u
un − 1  P
 = 4.97 · 10 J
12
t
x2i
i=1
⇒ uφ = sφ · τ11 = 4.97 · 10−21 J · 2.201
⇒ uφ = 1.09 · 10−20 J
⇒
uφ
φ
= 2.58%
φ = 2.64eV · (1 ± 2.58%) = (2.64 ± 0.07)eV
Auswertung:
akzeptierter Wert: φakz = 2.60eV
∆φ = φ − φakz = 2.64eV − 2.60eV = 0.04eV
∆φ < uφ
Die Abweichung der Austrittsarbeit unserer Messung vom akzeptierten Wert liegt innerhalb der Fehlertoleranzen unseres Ergebnisses. Somit ist die Abweichung insignifikant. Die Versuchsanordnung und die
Art der Durchführung des Experimentes scheinen dafür geeignet zu sein, die Austrittsarbeit realitätsnah zu bestimmen. In die Fehlerrechnung haben wir allerdings nur den Fehler der linearen Regression
aufgenommen. Der Fehler von R0 führt zu einer Abweichung von T , welche im Fehler der linearen Regression jedoch enthalten ist. Der Fehler in der Berechnung der Kathoden-Oberfläche ist in dem Fehler
der linearen Regression jedoch nicht erfasst, da es sich hierbei um keinen zufälligen Fehler handelt, der
sich herausmittelt, sondern der systematisch bei jedem Messpunkt zuviel bzw. zuwenig gemessen wird.
Da uA jedoch sehr klein ist und zusätzlich A nur im Argument der Logarithmus-Funktion auftaucht,
kann er vernachlässigt werden! Des Weiteren wurden Messungenauigkeiten, hervorgerufen durch systematische Fehler der Messinstrumente, ebenfalls nicht berücksichtigt! Der tatsächliche Fehler von φ dürfte
aus diesen genannten Gründen also ein wenig größer sein, als von uns angegeben.
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