Mathematischer Vorbereitungskurs für das MINT

Mathematischer Vorbereitungskurs für das
MINT-Studium
Dr. B. Hallouet
[email protected]
SS 2017
Vorlesung 1
MINT Mathekurs
SS 2017
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Organisation
Vorlesung (2 SWS): Do., 16:15 Uhr -18:00 Uhr, Hörsaal IV, Geb. E2. 4
Lecture: Thursday, 4:15pm-5:45pm, Lecture Hall IV, Building E2.4
Übungen (2 SWS): Mo., 16:15 Uhr -17:45 Uhr, Seminarraum E.04, Geb. E2. 6
Exercices: Monday 4:15 pm-5:45 pm, Room E.04, Building E2.6
SWS: Semesterwochenstunde (je 45 min)
Vorlesung 1
MINT Mathekurs
SS 2017
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Übungen (exercises sessions)
Übungen: Mo. 16:15 Uhr -17:45 Uhr, Seminarraum E.04, Geb. E2. 6
Exercises: Monday 4:15 pm-5:45 pm, Room E.04, Building E2.6
Jeden Donnerstag wird ein neues Übungsblatt verteilt.
Each Thursday the exercises sheets will be distributed.
Außerdem können Sie die Übungsblätter auf folgender Webseite herunterladen:
They are available for download on the website:
http://www.uni-saarland.de/lehrstuhl/pelster/lehre/ss2017/mint-ss2017.html
Vorlesung 1
MINT Mathekurs
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Literatur (Literature)
Die SULB ist die Saarländische Universitäts- und Landesbibliothek (University Library)
und besitzt einen Online-Katalog.
Als Einstieg:
Vorkurs Mathematik, E. Cramer
(Hoch)Schulmathematik: Ein Sprungbrett vom Gymnasium an die Uni. Tobias
Glauser
Basiswissen Mathematik, 2. Auflage, Jürgen Schmidt
Vorkurs Mathematik für Nebenfach-Studierende, Marcel Klinger
Als Studierende der Universität können Sie diese Bücher herunterladen. (Zugriff nur
aus dem Universitätsnetz).
Vorlesung 1
MINT Mathekurs
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Vorlesung 1 (Lecture 1)
Einführung in der Aussagenlogik
Introduction to sentential logic
Die Grammatik der Mathematik.
Vorlesung 1
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Aussage (Statement)
Definition:
Eine logische Aussage ist eine Behauptung, die entweder wahr (w) oder falsch (f)
ist.
A logical statement is a mathematical statement, which is either true (w) or false (f).
Vorlesung 1
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Aussage (Statement)
Definition:
Eine logische Aussage ist eine Behauptung, die entweder wahr (w) oder falsch (f)
ist.
A logical statement is a mathematical statement, which is either true (w) or false (f).
Bsp:
7 ist eine gerade Zahl (even number): (f )
Saarbrücken ist eine Stadt (city): (w)
Außerirdisches Leben existiert: (?)
Bayern München ist die beste Fussballmannschaft: (keine Aussage, subjektiv)
Vorlesung 1
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Negation (Negation)
Sei A eine Aussage:
Definition:
Das logische Gegenteil (contrary) einer Aussage bezeichnet man als Negation
(Verneinung) von A. Bezeichnung ¬A ( „nicht A“, „not A“).
Das Zeichen „¬“ ist der Junktor (connective) der Negation.
Vorlesung 1
MINT Mathekurs
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Negation (Negation)
Sei A eine Aussage:
Definition:
Das logische Gegenteil (contrary) einer Aussage bezeichnet man als Negation
(Verneinung) von A. Bezeichnung ¬A ( „nicht A“, „not A“).
Das Zeichen „¬“ ist der Junktor (connective) der Negation.
Vorlesung 1
A
¬A
w
f
f
w
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Negation (Negation)
Sei A eine Aussage:
Definition:
Das logische Gegenteil (contrary) einer Aussage bezeichnet man als Negation
(Verneinung) von A. Bezeichnung ¬A ( „nicht A“, „not A“).
Das Zeichen „¬“ ist der Junktor (connective) der Negation.
Vorlesung 1
A
¬A
w
f
f
w
Bsp.:
A: der Schnee ist weiß.
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Negation (Negation)
Sei A eine Aussage:
Definition:
Das logische Gegenteil (contrary) einer Aussage bezeichnet man als Negation
(Verneinung) von A. Bezeichnung ¬A ( „nicht A“, „not A“).
Das Zeichen „¬“ ist der Junktor (connective) der Negation.
Vorlesung 1
A
¬A
w
f
f
w
Bsp.:
A: der Schnee ist weiß.
¬A: der Schnee ist nicht weiß.
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Konjunktion (Conjunction)
Seien A und B Aussagen:
Definition:
Die Verknüpfung zweier Aussagen A und B durch „und“ heißt Konjunktion. Man
schreibt sie in der Form A ∧ B (gesprochen „A und B“, „A and B“).
A ∧ B ist genau dann wahr (true), wenn beide (both) Teilaussagen wahr sind.
Vorlesung 1
MINT Mathekurs
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Konjunktion (Conjunction)
Seien A und B Aussagen:
Definition:
Die Verknüpfung zweier Aussagen A und B durch „und“ heißt Konjunktion. Man
schreibt sie in der Form A ∧ B (gesprochen „A und B“, „A and B“).
A ∧ B ist genau dann wahr (true), wenn beide (both) Teilaussagen wahr sind.
A
B
A∧B
f
f
w
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Vorlesung 1
MINT Mathekurs
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Konjunktion (Conjunction)
Seien A und B Aussagen:
Definition:
Die Verknüpfung zweier Aussagen A und B durch „und“ heißt Konjunktion. Man
schreibt sie in der Form A ∧ B (gesprochen „A und B“, „A and B“).
A ∧ B ist genau dann wahr (true), wenn beide (both) Teilaussagen wahr sind.
A
B
A∧B
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Vorlesung 1
Bsp.:
A: „2 ist eine gerade Zahl“ (w)
B: „3 ist eine gerade Zahl“ (f)
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Konjunktion (Conjunction)
Seien A und B Aussagen:
Definition:
Die Verknüpfung zweier Aussagen A und B durch „und“ heißt Konjunktion. Man
schreibt sie in der Form A ∧ B (gesprochen „A und B“, „A and B“).
A ∧ B ist genau dann wahr (true), wenn beide (both) Teilaussagen wahr sind.
A
B
A∧B
f
f
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w
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f
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Vorlesung 1
Bsp.:
A: „2 ist eine gerade Zahl“ (w)
B: „3 ist eine gerade Zahl“ (f)
A ∧ B: „2 ist eine gerade Zahl und 3
ist eine gerade Zahl“(f)
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Disjunktion (Disjunction)
Seien A und B Aussagen:
Definition:
Die Verknüpfung zweier Aussagen A oder B durch „oder“ heißt Disjunktion. Man
schreibt sie in der Form A ∨ B (gesprochen „A oder B“, „A or B“).
A ∨ B ist genau dann wahr (true), wenn mindestens (at least) eine der beiden
Teilaussagen wahr ist.
Vorlesung 1
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Disjunktion (Disjunction)
Seien A und B Aussagen:
Definition:
Die Verknüpfung zweier Aussagen A oder B durch „oder“ heißt Disjunktion. Man
schreibt sie in der Form A ∨ B (gesprochen „A oder B“, „A or B“).
A ∨ B ist genau dann wahr (true), wenn mindestens (at least) eine der beiden
Teilaussagen wahr ist.
A
B
A∨B
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w
Vorlesung 1
MINT Mathekurs
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Disjunktion (Disjunction)
Seien A und B Aussagen:
Definition:
Die Verknüpfung zweier Aussagen A oder B durch „oder“ heißt Disjunktion. Man
schreibt sie in der Form A ∨ B (gesprochen „A oder B“, „A or B“).
A ∨ B ist genau dann wahr (true), wenn mindestens (at least) eine der beiden
Teilaussagen wahr ist.
A
B
A∨B
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Vorlesung 1
Bsp.:
A: „2 ist eine gerade Zahl“ (w)
B: „3 ist eine gerade Zahl“ (f)
MINT Mathekurs
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9 / 19
Disjunktion (Disjunction)
Seien A und B Aussagen:
Definition:
Die Verknüpfung zweier Aussagen A oder B durch „oder“ heißt Disjunktion. Man
schreibt sie in der Form A ∨ B (gesprochen „A oder B“, „A or B“).
A ∨ B ist genau dann wahr (true), wenn mindestens (at least) eine der beiden
Teilaussagen wahr ist.
A
B
A∨B
f
f
w
w
f
w
f
w
f
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Vorlesung 1
Bsp.:
A: „2 ist eine gerade Zahl“ (w)
B: „3 ist eine gerade Zahl“ (f)
A ∨ B: „2 ist eine gerade Zahl oder 3
ist eine gerade Zahl“(w)
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Subjunktion (material implication)
Definition:
Die Verknüpfung zweier Aussagen A und B durch „wenn A, dann B“ heißt
Subjunktion. Man schreibt sie in der Form A → B (gesprochen „wenn A dann B,
aus A folgt B“, „if A then B“).
A → B ist per Definition genau dann falsch, wenn A wahr ist und B falsch ist.
Vorlesung 1
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Subjunktion (material implication)
Definition:
Die Verknüpfung zweier Aussagen A und B durch „wenn A, dann B“ heißt
Subjunktion. Man schreibt sie in der Form A → B (gesprochen „wenn A dann B,
aus A folgt B“, „if A then B“).
A → B ist per Definition genau dann falsch, wenn A wahr ist und B falsch ist.
A
B
A→B
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f
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Vorlesung 1
MINT Mathekurs
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Subjunktion (material implication)
Definition:
Die Verknüpfung zweier Aussagen A und B durch „wenn A, dann B“ heißt
Subjunktion. Man schreibt sie in der Form A → B (gesprochen „wenn A dann B,
aus A folgt B“, „if A then B“).
A → B ist per Definition genau dann falsch, wenn A wahr ist und B falsch ist.
A
B
A→B
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w
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Vorlesung 1
Bsp.:
A: „2 ist eine gerade Zahl“ (w)
B: „3 ist eine gerade Zahl“ (f)
MINT Mathekurs
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10 / 19
Subjunktion (material implication)
Definition:
Die Verknüpfung zweier Aussagen A und B durch „wenn A, dann B“ heißt
Subjunktion. Man schreibt sie in der Form A → B (gesprochen „wenn A dann B,
aus A folgt B“, „if A then B“).
A → B ist per Definition genau dann falsch, wenn A wahr ist und B falsch ist.
A
B
A→B
f
f
w
w
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w
w
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Vorlesung 1
Bsp.:
A: „2 ist eine gerade Zahl“ (w)
B: „3 ist eine gerade Zahl“ (f)
A → B: „Wenn 2 eine gerade Zahl ist, dann
3 ist eine gerade Zahl“(f)
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10 / 19
Subjunktion (material implication)
Definition:
Die Verknüpfung zweier Aussagen A und B durch „wenn A, dann B“ heißt
Subjunktion. Man schreibt sie in der Form A → B (gesprochen „wenn A dann B,
aus A folgt B“, „if A then B“).
A → B ist per Definition genau dann falsch, wenn A wahr ist und B falsch ist.
Bsp.:
A
B
A→B
f
f
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w
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Vorlesung 1
A: „2 ist eine gerade Zahl“ (w)
B: „3 ist eine gerade Zahl“ (f)
A → B: „Wenn 2 eine gerade Zahl ist, dann
3 ist eine gerade Zahl“(f)
B → A: „Wenn 3 eine gerade Zahl ist, dann
2 ist eine gerade Zahl “(w)
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Bijunktion (biconditional)
Definition:
Die Verknüpfung zweier Aussagen A und B durch „(A → B) ∧ (B → A) “ heißt
Bijunktion. Man schreibt sie in der Form A ↔ B (gesprochen „A genau dann, wenn
B ; A äquivalent zu B“, „ A if only if B“).
A ↔ B ist per Definition genau dann wahr, wenn beide Teilaussagen denselben
Wahrheitswert haben.
Vorlesung 1
MINT Mathekurs
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11 / 19
Bijunktion (biconditional)
Definition:
Die Verknüpfung zweier Aussagen A und B durch „(A → B) ∧ (B → A) “ heißt
Bijunktion. Man schreibt sie in der Form A ↔ B (gesprochen „A genau dann, wenn
B ; A äquivalent zu B“, „ A if only if B“).
A ↔ B ist per Definition genau dann wahr, wenn beide Teilaussagen denselben
Wahrheitswert haben.
A
B
A↔B
f
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f
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Vorlesung 1
MINT Mathekurs
SS 2017
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Bijunktion (biconditional)
Definition:
Die Verknüpfung zweier Aussagen A und B durch „(A → B) ∧ (B → A) “ heißt
Bijunktion. Man schreibt sie in der Form A ↔ B (gesprochen „A genau dann, wenn
B ; A äquivalent zu B“, „ A if only if B“).
A ↔ B ist per Definition genau dann wahr, wenn beide Teilaussagen denselben
Wahrheitswert haben.
A
B
A↔B
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Vorlesung 1
Bsp.:
A: „8+7=15“ (w), B: „49-9=40“ (w)
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Bijunktion (biconditional)
Definition:
Die Verknüpfung zweier Aussagen A und B durch „(A → B) ∧ (B → A) “ heißt
Bijunktion. Man schreibt sie in der Form A ↔ B (gesprochen „A genau dann, wenn
B ; A äquivalent zu B“, „ A if only if B“).
A ↔ B ist per Definition genau dann wahr, wenn beide Teilaussagen denselben
Wahrheitswert haben.
A
B
A↔B
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f
w
w
f
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Vorlesung 1
Bsp.:
A: „8+7=15“ (w), B: „49-9=40“ (w)
A ↔ B: „Genau dann ist 8+7=15, wenn
49-9=40“(w)
MINT Mathekurs
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Bijunktion (biconditional)
Definition:
Die Verknüpfung zweier Aussagen A und B durch „(A → B) ∧ (B → A) “ heißt
Bijunktion. Man schreibt sie in der Form A ↔ B (gesprochen „A genau dann, wenn
B ; A äquivalent zu B“, „ A if only if B“).
A ↔ B ist per Definition genau dann wahr, wenn beide Teilaussagen denselben
Wahrheitswert haben.
A
B
A↔B
f
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Vorlesung 1
Bsp.:
A: „8+7=15“ (w), B: „49-9=40“ (w)
A ↔ B: „Genau dann ist 8+7=15, wenn
49-9=40“(w)
C: „2+3=6“ (f), D: „1+1=3“ (f)
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Bijunktion (biconditional)
Definition:
Die Verknüpfung zweier Aussagen A und B durch „(A → B) ∧ (B → A) “ heißt
Bijunktion. Man schreibt sie in der Form A ↔ B (gesprochen „A genau dann, wenn
B ; A äquivalent zu B“, „ A if only if B“).
A ↔ B ist per Definition genau dann wahr, wenn beide Teilaussagen denselben
Wahrheitswert haben.
Bsp.:
A
B
A↔B
f
f
w
w
f
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w
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f
w
Vorlesung 1
A: „8+7=15“ (w), B: „49-9=40“ (w)
A ↔ B: „Genau dann ist 8+7=15, wenn
49-9=40“(w)
C: „2+3=6“ (f), D: „1+1=3“ (f)
C ↔ D: „Genau dann ist 2+3=6, wenn
1+1=3“(w)
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11 / 19
Komplexere Aussagen
A∧B∨C?
Vorlesung 1
MINT Mathekurs
SS 2017
12 / 19
Komplexere Aussagen
A∧B∨C?
Operatorrangfolge (Order of operations)
1.) ¬
2.) ∧
Vorlesung 1
3.) ∨
4.) →
5.) ↔
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SS 2017
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Komplexere Aussagen
A∧B∨C?
Operatorrangfolge (Order of operations)
1.) ¬
2.) ∧
3.) ∨
4.) →
5.) ↔
Klammer setzen, um die Operationenreihenfolge zu ändern. Bsp.: A ∧ (B ∨ C).
Vorlesung 1
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Tautologie & Kontradiktion (Tautology, contradiction)
A
¬A
A ∨ ¬A
A ∧ ¬A
¬(¬A)
w
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f
w
w
w
f
f
w
f
A ∨ ¬A ist immer wahr, sie stellt eine Tautologie dar.
A ∧ ¬A ist immer falsch, sie stellt eine Kontradiktion (Widerspruch) dar.
.
Vorlesung 1
MINT Mathekurs
SS 2017
13 / 19
Tautologie & Kontradiktion (Tautology, contradiction)
A
¬A
A ∨ ¬A
A ∧ ¬A
¬(¬A)
w
f
f
w
w
w
f
f
w
f
A ∨ ¬A ist immer wahr, sie stellt eine Tautologie dar.
A ∧ ¬A ist immer falsch, sie stellt eine Kontradiktion (Widerspruch) dar.
Satz vom ausgeschlossenen Widerspruch:
Eine Aussage kann nicht gleichzeitig (at the same time) wahr oder falsch sein.
.
Vorlesung 1
MINT Mathekurs
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13 / 19
Tautologie & Kontradiktion (Tautology, contradiction)
A
¬A
A ∨ ¬A
A ∧ ¬A
¬(¬A)
w
f
f
w
w
w
f
f
w
f
A ∨ ¬A ist immer wahr, sie stellt eine Tautologie dar.
A ∧ ¬A ist immer falsch, sie stellt eine Kontradiktion (Widerspruch) dar.
Satz vom ausgeschlossenen Widerspruch:
Eine Aussage kann nicht gleichzeitig (at the same time) wahr oder falsch sein.
A und ¬(¬A) haben dieselbe Wahrheitstabelle: A ist logisch äquivalent zu ¬(¬A)
(A ⇔ ¬(¬A), i.e. A ↔ ¬(¬A) ist eine Tautologie).
Vorlesung 1
MINT Mathekurs
SS 2017
13 / 19
Grundgesetze der Logik (Basic laws of logic)
Grundgesetze der Logik
a) A ∧ B ⇔ B ∧ A,
A∨B ⇔B∨A
(Kommutativität)
Beweise z.B. mit Hilfe von Wahrheitstabellen.
Vorlesung 1
MINT Mathekurs
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14 / 19
Grundgesetze der Logik (Basic laws of logic)
Grundgesetze der Logik
a) A ∧ B ⇔ B ∧ A,
A∨B ⇔B∨A
b) A ∧ (B ∧ C) ⇔ (A ∧ B) ∧ C,
(Kommutativität)
A ∨ (B ∨ C) ⇔ (A ∨ B) ∨ C (Assoziativität)
Beweise z.B. mit Hilfe von Wahrheitstabellen.
Vorlesung 1
MINT Mathekurs
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14 / 19
Grundgesetze der Logik (Basic laws of logic)
Grundgesetze der Logik
a) A ∧ B ⇔ B ∧ A,
A∨B ⇔B∨A
b) A ∧ (B ∧ C) ⇔ (A ∧ B) ∧ C,
(Kommutativität)
A ∨ (B ∨ C) ⇔ (A ∨ B) ∨ C (Assoziativität)
c) A ∧ (B ∨ C) ⇔ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)
A ∨ (B ∧ C) ⇔ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)
(Distributivität)
Beweise z.B. mit Hilfe von Wahrheitstabellen.
Vorlesung 1
MINT Mathekurs
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14 / 19
Grundgesetze der Logik (Basic laws of logic)
Grundgesetze der Logik
a) A ∧ B ⇔ B ∧ A,
A∨B ⇔B∨A
b) A ∧ (B ∧ C) ⇔ (A ∧ B) ∧ C,
(Kommutativität)
A ∨ (B ∨ C) ⇔ (A ∨ B) ∨ C (Assoziativität)
c) A ∧ (B ∨ C) ⇔ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)
A ∨ (B ∧ C) ⇔ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)
d) ¬(¬A) ⇔ A
(Distributivität)
(Doppelte Negation)
Beweise z.B. mit Hilfe von Wahrheitstabellen.
Vorlesung 1
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14 / 19
Grundgesetze der Logik (Basic laws of logic)
Grundgesetze der Logik
a) A ∧ B ⇔ B ∧ A,
A∨B ⇔B∨A
b) A ∧ (B ∧ C) ⇔ (A ∧ B) ∧ C,
A ∨ (B ∨ C) ⇔ (A ∨ B) ∨ C (Assoziativität)
c) A ∧ (B ∨ C) ⇔ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)
A ∨ (B ∧ C) ⇔ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)
d) ¬(¬A) ⇔ A
e) ¬(A ∧ B) ⇔ ¬A ∨ ¬B,
(Kommutativität)
(Distributivität)
(Doppelte Negation)
¬(A ∨ B) ⇔ ¬A ∧ ¬B
(De Morgansche Regeln)
Beweise z.B. mit Hilfe von Wahrheitstabellen.
Vorlesung 1
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14 / 19
Grundgesetze der Logik (Basic laws of logic)
Grundgesetze der Logik
a) A ∧ B ⇔ B ∧ A,
A∨B ⇔B∨A
b) A ∧ (B ∧ C) ⇔ (A ∧ B) ∧ C,
A ∨ (B ∨ C) ⇔ (A ∨ B) ∨ C (Assoziativität)
c) A ∧ (B ∨ C) ⇔ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)
A ∨ (B ∧ C) ⇔ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)
d) ¬(¬A) ⇔ A
e) ¬(A ∧ B) ⇔ ¬A ∨ ¬B,
(Kommutativität)
(Distributivität)
(Doppelte Negation)
¬(A ∨ B) ⇔ ¬A ∧ ¬B
f) (A ⇒ B) ⇔ (¬B ⇒ ¬A)
(De Morgansche Regeln)
(Kontraposition)
Beweise z.B. mit Hilfe von Wahrheitstabellen.
Vorlesung 1
MINT Mathekurs
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14 / 19
Grundgesetze der Logik (Basic laws of logic)
Grundgesetze der Logik
a) A ∧ B ⇔ B ∧ A,
A∨B ⇔B∨A
b) A ∧ (B ∧ C) ⇔ (A ∧ B) ∧ C,
A ∨ (B ∨ C) ⇔ (A ∨ B) ∨ C (Assoziativität)
c) A ∧ (B ∨ C) ⇔ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)
A ∨ (B ∧ C) ⇔ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)
d) ¬(¬A) ⇔ A
e) ¬(A ∧ B) ⇔ ¬A ∨ ¬B,
(Kommutativität)
(Distributivität)
(Doppelte Negation)
¬(A ∨ B) ⇔ ¬A ∧ ¬B
f) (A ⇒ B) ⇔ (¬B ⇒ ¬A)
(De Morgansche Regeln)
(Kontraposition)
g) (A → B) ∧ (B → C) → (A ⇒ C)
(Transitivität der Implikation)
Beweise z.B. mit Hilfe von Wahrheitstabellen.
Vorlesung 1
MINT Mathekurs
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14 / 19
Beispiel (Example)
Zeigen Sie, dass: ¬B → ¬A
Vorlesung 1
⇔
A→B
MINT Mathekurs
⇔
¬A ∨ B
SS 2017
15 / 19
Beispiel (Example)
Zeigen Sie, dass: ¬B → ¬A
1
A → B ⇔ ¬A ∨ B
Vorlesung 1
⇔
A→B
⇔
¬A ∨ B
(∗)
MINT Mathekurs
SS 2017
15 / 19
Beispiel (Example)
Zeigen Sie, dass: ¬B → ¬A
1
A → B ⇔ ¬A ∨ B
Vorlesung 1
⇔
A→B
⇔
¬A ∨ B
(∗)
A
B
A→B
¬A
¬A ∨ B
f
f
w
w
f
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f
w
w
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f
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f
f
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w
f
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MINT Mathekurs
SS 2017
15 / 19
Beispiel (Example)
Zeigen Sie, dass: ¬B → ¬A
1
2
A → B ⇔ ¬A ∨ B
⇔
A→B
⇔
¬A ∨ B
(∗)
A
B
A→B
¬A
¬A ∨ B
f
f
w
w
f
w
f
w
w
w
f
w
w
w
f
f
w
w
f
w
A → B ⇔ ¬B → ¬A
Vorlesung 1
MINT Mathekurs
SS 2017
15 / 19
Beispiel (Example)
Zeigen Sie, dass: ¬B → ¬A
1
2
A → B ⇔ ¬A ∨ B
⇔
(∗)
A→B
⇔
¬A ∨ B
A
B
A→B
¬A
¬A ∨ B
f
f
w
w
f
w
f
w
w
w
f
w
w
w
f
f
w
w
f
w
A → B ⇔ ¬B → ¬A
A → B ⇔ ¬A ∨ B
(∗)
⇔ B ∨ ¬A
(Kommutativität)
⇔ ¬(¬B) ∨ ¬A
(Doppelte Negation)
⇔ ¬B → ¬A
(∗)
(q.e .d .)
Vorlesung 1
MINT Mathekurs
SS 2017
15 / 19
In Worten (With words).
A= „Es regnet.“ , B=„Ich habe meinen Regenschirm.“
Folgende Formulierungen sind äquivalent:
1
A ⇒ B: „Wenn es regnet, dann habe ich meinen Regenschirm“
Vorlesung 1
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16 / 19
In Worten (With words).
A= „Es regnet.“ , B=„Ich habe meinen Regenschirm.“
Folgende Formulierungen sind äquivalent:
1
A ⇒ B: „Wenn es regnet, dann habe ich meinen Regenschirm“
2
¬A ∨ B:
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16 / 19
In Worten (With words).
A= „Es regnet.“ , B=„Ich habe meinen Regenschirm.“
Folgende Formulierungen sind äquivalent:
1
A ⇒ B: „Wenn es regnet, dann habe ich meinen Regenschirm“
2
¬A ∨ B: „Es regnet nicht oder ich habe meinen Regenschirm“
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In Worten (With words).
A= „Es regnet.“ , B=„Ich habe meinen Regenschirm.“
Folgende Formulierungen sind äquivalent:
1
2
3
A ⇒ B: „Wenn es regnet, dann habe ich meinen Regenschirm“
¬A ∨ B: „Es regnet nicht oder ich habe meinen Regenschirm“
¬B ⇒ ¬A:
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16 / 19
In Worten (With words).
A= „Es regnet.“ , B=„Ich habe meinen Regenschirm.“
Folgende Formulierungen sind äquivalent:
1
2
3
A ⇒ B: „Wenn es regnet, dann habe ich meinen Regenschirm“
¬A ∨ B: „Es regnet nicht oder ich habe meinen Regenschirm“
¬B ⇒ ¬A: „Wenn ich meinen Regenschirm nicht habe, dann regnet es
nicht.“
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16 / 19
In Worten (With words).
A= „Es regnet.“ , B=„Ich habe meinen Regenschirm.“
Folgende Formulierungen sind äquivalent:
1
2
3
A ⇒ B: „Wenn es regnet, dann habe ich meinen Regenschirm“
¬A ∨ B: „Es regnet nicht oder ich habe meinen Regenschirm“
¬B ⇒ ¬A: „Wenn ich meinen Regenschirm nicht habe, dann regnet es
nicht.“
Man sagt, dass A eine hinreichende Bedingung (sufficient condition) für B ist. B ist
eine notwendige Bedingung (necessary condition) für A.
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Aussageform
P (x ): ‘‘x ist eine gerade Zahl’’.
P (x ) ist keine Aussage, sie ist weder wahr noch falsch (neither ... nor).
Sie ist eine Aussageform. Sie wird in eine Aussage übergehen, sobald man einen
Wert einsetzt.
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Aussageform
P (x ): ‘‘x ist eine gerade Zahl’’.
P (x ) ist keine Aussage, sie ist weder wahr noch falsch (neither ... nor).
Sie ist eine Aussageform. Sie wird in eine Aussage übergehen, sobald man einen
Wert einsetzt. Bsp.: P (2) (w), P (3) (f)
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Exkurs: Quantoren (Quantifiers:) .
1
∀
2
3
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Exkurs: Quantoren (Quantifiers:) .
1
∀ für alle (Elemente) (for all). Der Allquantor.
2
3
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18 / 19
Exkurs: Quantoren (Quantifiers:) .
1
2
∀ für alle (Elemente) (for all). Der Allquantor.
∃
3
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18 / 19
Exkurs: Quantoren (Quantifiers:) .
1
2
∀ für alle (Elemente) (for all). Der Allquantor.
∃ es existiert ein (Element) (there exists). Der Existenzquantor.
3
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Exkurs: Quantoren (Quantifiers:) .
1
2
3
∀ für alle (Elemente) (for all). Der Allquantor.
∃ es existiert ein (Element) (there exists). Der Existenzquantor.
∃! es existiert genau ein (Element)
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Exkurs: Um A ⇒ B zu beweisen: (Prove A ⇒ B:)
1
2
Direkter Beweis (Direct proof): B wird unter Annahme von A schrittweise
gezeigt. (A ⇒ B)
Indirekter Beweis(Indirect proof):
a) Beweis durch Kontraposition (Proof by contraposition) : ¬A wird unter Annahme von ¬B
schrittweise gezeigt. (¬B ⇒ ¬A)
b) Beweis durch Widerspruch (Proof by contradiction):
Wir negieren A ⇒ B: ¬(A ⇒ B) ⇔ A ∧ ¬B.
Wir nehmen A und ¬B an und kommen dann zu einem Widerspruch.
3
...
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19 / 19