K1A - RZ User

K2 MATHEMATIK KLAUSUR 1
11.10.2012
Lösungen
(1) Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit
2
f (x) = (1 − x)e3x .
Nach der Produktregel ist
2
2
2
f 0 (x) = −e3x + 6x(1 − x)e3x = e3x (−1 + 6x − 6x2 ).
(2) Bestimmen Sie die Stammfunktion F der Funktion
π x
f (x) = 2 sin
2
mit F (1) = 0.
π 2
π 4
x · + c = − cos
x + c.
2
π
π
2
Aus F (1) = 0 folgt wegen cos π2 = 0, dass c = 0 sein muss.
Es ist F (x) = −2 cos
(3) Lösen Sie die Gleichung
e2x − 2 =
3
.
e2x
Substitution e2x = z liefert z − 2 = z3 ; Wegschaffen des Nenners
ergibt z 2 − 2z − 3 = 0. MNF zeigt z1 = 3 und z2 = −1. Resubstitution ergibt e2x = 3 und e2x = −1. Die erste Gleichung führt
auf 2x ln e = ln 3, also x = 21 ln 3, die zweite hat keine Lösung,
da ex > 0 ist.
(4) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an das Schaubild
von f (x) = x · ex in P (1|f (1)).
f (1) = 1 · e1 = e, f 0 (x) = ex + xex , also f 0 (1) = e + e = 2e.
Einsetzen von P (1|e) in y = mx + b liefert e = 2e · 1 + b, also
b = e − 2e = −e und damit t : y = 2exc − e.
1
2
11. 10. 2012
(5) Die vier Abbildungen zeigen Schaubilder von Funktionen. Eines
dieser Schaubilder gehört zur Funktion
f (x) = a · x · e−x
für ein gewisses a.
(a) Begründen Sie, dass die Abb. 1 zu f gehört. Bestimmen
Sie den Wert für a.
(b) Von den andern drei Abbildungen gehört eine zur Ableitungsfunktion f 0 , und eine zu einerRStammfunktion (nämlich
x
zur Integralfunktion I mit I(x) = 0 f (t) dt).
Welche Schaubilder gehören zu diesen Funktionen? Begründen
Sie jeweils Ihre Entscheidung.
11. 10. 2012
3
a) Es ist f (0) = a · 0 · e0 = 0, also kommen nur Abb. 1 und
Abb. 3 in Frage. Wegen f 0 (x) = aex + axex ist f 0 (0) = a; damit
kann man Abb. 3 ausschließen, denn wenn a = 0 wäre, msste
f (x) = 0 sein.
Alternativ: f (x) = axe−x hat die rechtsseitige Asymptote y =
0, was auf Abb. 1 hinweist.
Den Wert von a erhält man durch Einsetzen von (−1|e): aus
e = f (−1) = −ae folgt a = −1.
b) Die Ableitung f 0 muss in x = 1 eine Nullstelle haben, da f
dort einen Tiefpunkt hat. Also gehört f 0 zu Abb. 4.
Die Integralfunktion hat in x = 0 eine Nullstelle, also gehört
sie zu Abb. 3. Alternativ: da f in x = 0 eine Nullstelle mit
Vorzeichenwechsel von − nach + besitzt, muss F in x = 0
einen Hochpunkt haben. Also gehört I(x) zu Abb. 3.
(6) Gegeben sind zwei Ebenen E : 2x1 + 2x2 + 4x3 = 8 und F :
2x2 = 6. Skizzieren Sie diese Ebenen in einem gemeinsamen
Koordinatensystem, und zeichnen Sie die Schnittgerade ein.
Die Spurpunkte von E sind S1 (4|0|0), S2 (0|4|0) und S3 (0|0|2).
Die Ebene F hat nur den Spurpunkt T2 (0|3|0), ist also parallel
zur x1 x3 -Ebene.
x3
3
2
1
q
q
1
x1
2
q 3
S2
x2
4
11. 10. 2012
(7) Bestimmen Sie den Abstand zwischen der Geraden g und der
Ebene E:
1 −1 2 −1 3
g : ~x = −3 + t −4 ,
E : ~x = 0 + r −1 + s −4 .
6
2
2
2
2
Da Gerade und Ebene einen Richtungsvektor gemein haben,
sind sie parallel. Jeder Punkt der Geraden hat also denselben
Abstand von E. Die Hesse-Normalform von E lautet (Kreuzprodukt der Richtungsvektoren, durch 3 teilen; Punkt einsetzen)
E : 2x√1 − 2x2 − 3x3 =√0. Dessen Normalenvektor hat Länge
|~n | = 22 + 22 + 32 = 17, also ist die HNF von E gleich
2x1 − 2x2 − 3x3
√
= 0.
17
Einsetzen von P (1| − 3|6) ergibt
2 + 6 − 18 10
d= √
= √ .
17
17
(8) In einer Urne befinden sich 12 Kugeln mit der Zahl 1 und 8
Kugeln mit der Zahl 2. Es werden drei Kugeln mit Zurücklegen
gezogen.
(a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist mindestens eine Kugel
mit 1 beschriftet?
(b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Summe der Zahlen
auf den drei Kugeln gerade?
8 8 8
64
Gegenereignis: alle Kugeln 2. es ist p(2, 2, 2) = 20
· 20 · 20 = 1000
=
0,064, also die Wahrscheinlichkeit für mindestens eine 1 gleich
0,936.
Die Summe der Zahlen ist gerade, wenn (2,2,2), (1,1,2), (1,2,1)
oder (2,1,1) gezogen wird. Es ist p(2, 2, 2) = 0,064, und die
4 12 12
· 10 · 10 =
andern drei Pfade haben dieselbe Wahrscheinlichkeit 10
576
= 0,576. Also ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit gleich
1000
0,64.
11. 10. 2012
5
(9) Erläutern Sie (in Stichworten) die Schritte in folgender Rechnung:
2
f (x) = + 1
f (1) = 3
x
2
f 0 (x) = − 2
m = f 0 (1) = −2
x
1
0
m · m = −1 (bzw. mt · mn = −1)
m0 =
2
1
1
y = x+b
3= ·1+b
2
2
5
1
5
b=
n:y = x+
2
2
2
Man berechnet den Funktionswert mit f (1) = 3, die Ableitung
f 0 (x), die Tangentensteigung f 0 (1) = −2, und mit m · m0 =
−1 die Steigung m0 = 12 der Normalen. Einsetzen des Punkts
ergibt den y-Achsenabschnitt b = 52 , und dann erhält man die
Gleichung der Normalen y = 21 x + 52 .
(10) Die beliebte letzte Aufgabe: Lösen Sie die Gleichung
√
x = 4.
Quadrieren ergibt x = 16.