4.1 Superpositionsprinzip 4.1 Test des Superpositionsprinzip

4.1 Superpositionsprinzip
Bewegung in 3 Koordinatenrichtungen sind unabhängig
voneinander !
Beispiel: Schiefer Wurf
Anfangsbedingungen
 0
 v0 x 
 0 
  r
  r 

r
r (t = 0) =  0 , v (t = 0) =  0 , a =  0 
h
v 
− g
 
 0z 


Bewegung in der x-z-Ebene
Elimination von t


v0 x t


r


r (t ) =
0

 1
 − g t 2 + v0 z t + h 

 2
x (t ) = v0 x t ⇒ t =
⇒
z (x ) = −
1
x (t )
, z (t ) = − g t 2 + v0 z t + h
2
v0 x
1 g 2 v0 z
x+h
x +
2 v02x
v0 x
4.1 Test des Superpositionsprinzip
Affenschuss
frei fallender
„Affe“
Bahnkurve des „Pfeils“
Affe und Pfeil starten zum
gleichen Zeitpunkt t=0
Wohin muss der Jäger zielen ?
 v0 x t 
!
rPfeil (t ) = 
g  =
 v0 z t − t 2 
2 

 xA 
rAffe (t ) = 
g 
h − t2 
2 

2
x
x
g x 
g x 
⇒ t = A , v0 z A −  A  = h −  A 
v0 x
v0 x 2  v0 x 
2  v0 x 
2
⇒
v0 z
h
=
v0 x x A
Auf den Affen !
1
4.1 Nicht konstante Beschleunigung
Als Funktion der Zeit ändert sich der Betrag und die Richtung der
Geschwindigkeit
Zerlegung der Beschleunigung
Tangentialkomponente
Normalkomponente
r
a (t ) in zwei Komponenten:
r
v
r
r
at (t ) || v (t )
Änderung des Betrags von
r
r
a n (t ) ⊥ v (t )
Änderung der Richtung von
r
v
4.1 Gleichförmige Kreisbeschleunigung
Spezialfall der beschleunigten Bewegung
r
r
v = konstant ⇒ a = 0
t
∆s
∆ϕ
ds
dϕ
= R
=
= R
v=
∆t
∆t
dt
dt
Definition der Winkelgeschwindigkeit
ω =
dϕ
dt
[ω ] =
r
 R cos ω t  r
r
d r  − Rω sin ω t 
=
r (t ) = 
, v (t ) =

dt  Rω cos ω t 
 R sin ω t 
r
d v  − Rω 2 cos ω t 
r
r
Beschleunigung
 = −ω 2 r (t )
a (t ) =
= 
2
zum Mittelpunkt
dt  − Rω sin ω t 
Umlaufperiode
T=
2π
ω
Umlauffrequenz
υ=
rad
s
v2
a =ω R =
R
2
1 ω
=
T 2π
2
4.2 Dynamik eines Massenpunktes
Dynamik: Frage nach der Ursache der Bewegung
Einführung der Begriffe Masse und Kraft zur Beschreibung der
Bewegung
Galileo Galilei (1564-1642) stellte fest:
Eine geradlinig gleichförmige Bewegung einer Masse mit
konstanter Geschwindigkeit bedarf keiner Ursache, sondern geht
aus sich heraus immer weiter. → Trägheitsprinzip
Ruhe ist nur ein Spezialfall der geradlinig gleichförmigen Bewegung
Um die Geschwindigkeit einer Masse zu verändern, muss auf
die Masse eine Kraft wirken.
4.2 Newtonsche Axiome
Newton 1686 „Mathematische Prinzipien der Naturphilosophie“
I. Trägheitsprinzip
Jeder Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder
der geradlinig gleichförmigen Bewegung, wenn
er nicht durch äußere Kräfte gezwungen wird,
diesen Zustand zu ändern.
II. Aktionsprinzip
Ein frei beweglicher Körper der
Masse m erfährt durch eine Kraft
eine Beschleunigung a, die der
wirkenden Kraft proportional ist.
F
r
r
F =ma
Isaac Newton
(1643-1727)
III. Reaktionsprinzip
Wirken zwischen zwei Körpern Kräfte, so ist die Kraft F12, die
der Körper 1 auf den Körper 2 ausübt, dem Betrag nach gleich,
der Kraft F21, die vom Körper 2 auf den Körper 1 wirkt, aber
entgegengesetzt groß
3
4.2 Trägheitsprinzip und Impuls
Maß für den Bewegungszustand eines Körpers, der berücksichtigt,
wie leicht sich die kinematischen Größen, Geschwindigkeit und
Beschleunigung eines Körpers, ändern lassen
Definition: Impuls
r
r
p := m v
Damit lautet das Trägheitsprinzip:
Der Impuls eines Körpers auf den keine äußere
resultierende Kraft wirkt ist zeitlich konstant
Da es keine absolute Geschwindigkeit gibt ist auch der Impuls keine
absolute Größe
Der Wert hängt vom Bezugssystem ab
4.2 Aktionsprinzip – Definition der Kraft
Die auf einen Massenpunkt wirkende Kraft ist identisch mit der
Änderung seines Impulses
r d pr
F :=
dt
r
r d pr d mvr r d m
dv
F=
=
=v
+m
dt
dt
dt
dt
klassische Mechanik
r
v
dm
dv
r
=0 ⇒ F =m
=ma
dt
dt
4
4.2 Reaktionsprinzip
F12, die der Körper 1
auf den Körper 2 ausübt, dem Betrag nach gleich, der Kraft F21, die vom
Wirken zwischen zwei Körpern Kräfte, so ist die Kraft
Körper 2 auf den Körper 1 wirkt, aber entgegengesetzt groß
r
r
F12 = − F21
m1
m2
dp1
dp
=− 2
dt
dt
dp1 dp2
+
=0
dt
dt
p = p1 + p2 = konstant
Im einem abgeschlossenen System wirken keine äußeren Kräfte
und somit gilt Erhaltung des Gesamtimpulses
4.2 Versuch: „Actio = Reactio“
Feder erzeugt
abstoßende Kraft
F
-F
m1
m2
F wirkt auf Masse m1 und hat ihren Ursprung an Masse m2
Masse m1 wird durch die Kraft F beschleunigt, Masse m2 wird
durch die entgegengesetzte Kraft –F beschleunigt.
Die Kraft
5
Zusammenfassung 29.10.2004
4. Punktmechanik
4.1 Kinematik eines Massenpunktes
Koordinatensysteme
Geschwindigkeit im Raum
Beschleunigung im Raum
Superpositionsprinzip
Schiefer Wurf, Wurfweite
Versuch: Schiefer Wurf
Versuch: Affenschuss
Nicht konstante Beschleunigung
Gleichförmige Kreisbeschleunigung
Versuch: Luftkissentisch Kreisbewegung
4.2 Dynamik eines Massenpunktes
Newtonsche Axiome
Trägheitsprinzip und Impuls, Versuch: Trägheit
Aktionsprinzip – Definition der Kraft
Versuch: Luftkissenschiene
Versuch: Variation von F und m
Reaktionsprinzip
Versuch: „Actio = Reactio“
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