2. Übung Lineare Algebra II für M Lösungsvorschläge Hausübungen

2. Übung Lineare Algebra II für M
Lösungsvorschläge Hausübungen
(H2)
Gegeben Sei der Raum Mn (R), der n × n Matrizen über R.
a) (2 Punkte)
Zeigen Sie, dass folgende Relation eine Äquivalenzrelation bildet:
A∼B
:⇐⇒
∃S ∈ GLn (R), sodass A = SBS −1 ist.
Diese Äquivalenzrelation heisst Ähnlichkeit.
b) (6 Punkte)
Zeigen Sie, dass folgende Matrizen ähnlich sind:


0 0 −2
1 ,
A :=  1 2
1 0
3


2 0 0
B :=  0 2 0  .
0 0 1
c) (2 Punkte)
Was bedeutet es, dass zwei Matrizen ähnlich zueinander sind? Was sagt
das über die linearen Abbildungen aus, die von diesen Matrizen induziert
werden?
a) Wir zeigen:
Reexivität: Mit S = E ergibt sich EAE −1 = A, also A ∼ A.
Symmetrie: Ist A ∼ B , so gibt es eine Matrix S ∈ GLn (R), so dass A = SBS −1
ist. Wählen wir T := S −1 , so ergibt sich
A = SBS −1
⇔ A = T −1 BT
⇔ T AT −1 = B,
und somit B ∼ A.
1
Transitivität: Da A ∼ B ist, gibt es eine Matrix S ∈ GLn (R) mit A = SBS −1 . Da
B ∼ C ist, gibt es eine Matrix T ∈ GLn (R) mit B = T CT −1 . Damit
ergibt sich
A = SBS −1 = ST CT −1 S −1 = ST C(ST )1 .
Da mit S und T auch ST in GLn (R) ist, ist A ∼ C .
b)
1. Die charakteristische Gleichung zur Matrix A lautet
−λ3 + 5λ2 − 8λ + 4 = (1 − λ)(2 − λ)2 = 0,
also hat A die Eigenwerte λ = 1 und λ = 2 und besitzt zwei Eigenräume. Für λ = 2 erhält man das Gleichungssystem


  
2 0
2
x1
0
 −1 0 −1   x2  =  0  .
−1 0 −1
x3
0
Als Lösung erhält man x1 = −s, x2 = t, x3 = s. Damit sind die
Eigenvektoren von A zu λ = 2 die von Null verschiedenen Vektoren
der Gestalt




 
−s
−1
0





t
0
x=
=s
+ t 1 .
s
1
0
Da

  
−1
0
 0 ,  1 
1
0
linear unabhängig sind, bilden sie eine Basis des Eigenraumes zu λ = 2.
Für λ = 1 erhält man das Gleichungssystem

  
1
0
2
x1
0
 −1 −1 −1   x2  =  0  .
−1
0 −2
x3
0

Die Lösungen haben die Gestalt x1 = −2s, x2 = s, x3 = s. Also spannt


−2
 1 
1
den Eigenraum zu λ = 1 auf. Da wir nun drei linear unabhängige
Basisvektoren gefunden haben, ist A diagonalisierbar mit der Transformationsmatrix


S := 
2
−1 0 −2
0 1
1 .
1 0
1
2. Die Inverse von S ist

S −1
und es gilt

1 0
2
1 
= 1 1
−1 0 −1


2 0 0
S −1 AS =  0 2 0  = B.
0 0 1
Damit ist A ∼ B .
c) Zwei ähnliche Matrizen repräsentieren dieselbe lineare Abbildung. Die
Eigenschaften einer linearen Abbildung sind von der Wahl der Basis unabhängig, eine Matrix benötigt jedoch eine Basis, bezüglich derer sie dargestellt
werden kann. Repräsentieren zwei Matrizen dieselbe lineare Abbildung, nur
bezüglich verschiedener Koordinatensysteme, so gibt es eine invertierbare
Matrix S , welche die eine in die andere Matrix überführt.
Diese Matrix S ist die Transformationsmatrix des zugehörigen Basiswechsels.
(H3)(5 Punkte)
Gegeben seien die Vektoren


 

−1
2
1
 1 
 1 
 1

 2 

v1 := 
 −1  , v2 :=  1  , v3 :=  2
1
1
1
2


1



 und v4 := 


1
2
1
2

.

1
Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis von lin(v1 , v2 , v3 , v4 ).
Oensichtlich gilt v3 = 2v2 . Daher ist lin(v1 , v2 , v3 , v4 ) = lin(v1 , v2 , v4 ). Mit
dem Orthonormalisierungsverfahren nach Gram-Schmidt kann aus v1 , v2 , v4 eine
Orthonormalbasis für lin(v1 , v2 , v4 ) bestimmt werden. (Ob v1 , v2 , v4 linear unabhängig sind, kann im Verlauf des Verfahrens festgestellt werden.) Es ergeben sich
3
die folgenden Schritte:

−1
 1 

u1 = v 1 = 
 −1 
1

  1 
−1
−2
1 



u1
1
 1  =  21 
b1 =
=p
ku1 k
(−1)2 + 12 + (−1)2 + 12  −1   − 2 
1
1
2
 
 1 
1
−2
1 
 1 

2  − −1 + 1 − 1 + 1 
2 
u2 = v2 − hv2 , b1 ib1 = 
2
4
2
4  −1 
 1 

2
1
2
1
2


=

3
4
3
4
3
4
3
4





b2 =
u2
1
=q
ku2 k
9
9
+ 16
+
16
9
16
+
9
16



3
4
3
4
3
4
3
4


 
=
 
u3 = v4 − hv4 , b1 ib1 − hv4 , b2 ib2
 
 1
1
−2
1
 1 

2  − −1 + 1 − 1 + 1 
2
=
2
4
4
2  −1
 1 
2
2
1
1
2
 1 
1
2
1
2
1
2
1
2







−

1
2
+ 14 + 14 +
4
 −1 
4 
=
 −1 
4
1
4

b3 =
u3
1
=q
ku3 k
1
1
+ 16
+
16
1
16
+
1
16



1
4
− 14
− 14
1
4


 
=
 
1
2
− 12
− 12
1
2




Folglich ist (b1 , b2 , b3 ) eine Orthonormalbasis von lin(v1 , v2 , v4 ).
4
1
2



1
2
1
2
1
2
1
2



