Induktionsgesetz - PD Dr. rer. nat. habil. Gert Hillebrandt

Elektromagnetische Induktion
Bemerkungen zur Physik
Durch Recherche im Internet stößt man immer wieder auf gewisse Ungereimtheiten in den
Naturwissenschaften, insbesondere der Physik. Im Wesentlichen spalten sich die Naturwissenschaften in zwei
verschiedene Lager. Die einen sagen: „Was ich nicht messen kann und nicht in meinen Formeln steht, gibt es
nicht.“ Die anderen halten dagegen: „Wir sehen, dass es funktioniert, also sollten wir das Prinzip nutzen und
eine Erklärung dafür finden.“ Es geht also um Äther, Raumenergie, Tachyonen, Neutrinos, etc., die genutzt
werden sollen, um „freie Energie“, von den Geräten abgesehen, kostenlos zu erhalten. Leider wird dabei
versucht die bekannten Ergebnisse in Frage zu stellen. Dies stößt natürlich, aus welchen Gründen auch
immer, auf wenig Gegenliebe. Zumal auch oft noch „Laien“ etwas zu dem Thema zu sagen haben. Es geht
dabei um Energie für „Jedermann“. Unabhängig von irgendwelchen Geldgebern soll jeder, ob arm oder reich,
diese Energie kostenlos nutzen können. Das darf natürlich nicht sein! Möglicherweise hätte sonst die
„moderne Sklaverei“ ein Ende. Die Wenigsten bemerken, dass wir in einer modernen Diktatur (Oligarchien)
leben. Niemand fragt, warum sehr gute junge Menschen (Wissenschaft) das Land verlassen. Mit Recht!
Solange sich nichts an den inneren Strukturen ändert, dass Menschen, die das Land voranbringen, immer
noch versklavt werden, und an ihren Früchten keinen Anteil haben, weder durch ein Patent, noch durch
Anteile an den Gewinnen, wird sich nichts ändern. Wo soll ich denn bitte meinen Zähler anbringen!
Auch in der Physik gibt es viele Probleme, die zum Teil aus der Mathematik kommen. Die Probleme ergeben
sich daraus, dass Physiker die Mathematik nicht korrekt anwenden. Eingeführt und etabliert wurde z. B. die
Vektorrechnung von Josiah Willard Gibbs und Oliver Heaviside Ende des 19. Jahrhunderts. Heaviside
„vereinfachte“ die maxwellschen Gleichungen aus der Schreibweise in Quaternionen in die der Vektoren,
obwohl dadurch die Struktur ärmer wird. Vektoren lassen sich nun mal nicht multiplizieren, so dass wieder ein
Vektor entsteht, der zur selben Klasse angehört. Dadurch entstehen mehr Lösungen, die schwerer zu deuten
sind. Gut ist, dass in 2009 magnetische Monopole entdeckt wurden und so (endlich) die maxwellschen
Gleichungen überarbeitet werden müssen. Zu befürchten bleibt, dass dies über 20 Jahre dauert, da die
Physiker sich auf die Lokalität zurückziehen werden. Es hat doch bisher alles geklappt! Schade nur, dass von
den überlebenden Wissenschaftlern über die tatsächlichen Forschungen (1930 – 1945) nichts darüber hinaus
zu erfahren ist, was nicht schon jeder weiß. Hier noch weitere Beispiele.
Physiker unterscheiden zwischen gebundenen (längs einer Angriffslinie verschiebbar), linienflüchtige (die
an einem starren Körper angreifende Kraft) und Ortsvektoren (von einen Punkt zu einem anderen Punkt
zeigender Pfeil). Ich kann nur raten, sich wieder mehr an der Geometrie zu orientieren und nicht alles was
mathematisch richtig ist, hat eine physikalische Bedeutung!
Zur Verdeutlichung nur einige wichtige Beispiele.
1. Der Drehimpuls
Hierbei geht es um Drehungen. Drehungen sind mathematisch wie folgt definiert.
Es sei P ( x, y, z ) ein Punkt mit Abstandsvektor r = OP , der sich um einen Drehpunkt bewegt. Eine
Drehachse kann senkrecht zu r und zum Geschwindigkeitsvektor v definiert werden. Bleibt der Drehpunkt
fest, so kann die Drehachse noch eine Präzessionsbewegung ausführen. Dies wird in einigen Fällen durch
einen äußeren Zwang unterbunden. Der Punkt P beschreibt also eine Kurve, deren Veränderung durch die
Tangentialgerade, repräsentiert durch die 1. Ableitung, beschrieben wird. Die 1. Ableitung an einer
bestimmten festen Stelle ist ein Vektor. Die genaue Beschreibung ist durch ein Vektorfeld s : R 3 → TR 3 ,
s ( x, y, z ) := (( x, y, z ); t ( x, y, z ))
gegeben.
((a, b, c); t (a, b, c)) ∈ T( a ,b ,c ) R 3 = R 3 × V
Für
jeden
festen
Punkt
( a , b, c ) ∈ R 3
ist
mit V als Vektorraum. Dies ist eine lineare Mannigfaltigkeit und von
der beschreibenden Form unabhängig. An jeden Punkt der Kurve ist folglich ein Vektorraum definiert.
((a, b, c); t1 (a, b, c)) + ((a, b, c); t2 (a, b, c)) = ((a, b, c); (t1 + t2 ) (a, b, c))
γ ⋅ ((a, b, c); t1 (a, b, c)) = ((a, b, c); (γ ⋅ t1 ) (a, b, c))
PD Dr. rer. nat. habil. Gert Hillebrandt
1
Elektromagnetische Induktion
Der Punkt P sei nun durch eine feste Stange mit dem Drehpunkt (0,0,0) ∈ R 3 verbunden (sogenannte
Zwangsbedingung) und beschreibt bei der Bewegung einen Teil eines Kreises bzw. bewegt sich auf einer
Kreisbahn. Interpretieren wir den Vektor (z. B. Impuls), als den Tangentialvektor der Kreisbewegung des
Kurvenpunktes, so ist die Kreisbewegung vollständig durch die Bewegung des Punktes gegeben, genauer
durch seine Geschwindigkeit v , die in diesem Fall senkrecht auf dem Radius r steht. Greifen nun mehrere
Vektoren (Geschwindigkeiten) vi über feste Stangen mit jeweiligen Radien ri an, so sind alle Kreisbewegungen, also Geschwindigkeiten vi zu berücksichtigen, wenn alle Stangen im Drehpunkt fest verbunden
sind. Die Geschwindigkeit ist aber vom Abstand abhängig. Die Geschwindigkeit im Abstand r0 beträgt
v0 = rr0 v (Transformation der Geschwindigkeit), denn r r0 = r0 r. Ein Drehimpuls kann folglich vollständig
durch den Radius r und der Geschwindigkeit v des Punktes beschrieben werden. Wann ist der Drehimpuls
null? Natürlich dann, wenn alle Geschwindigkeiten null sind. Sind nicht alle Geschwindigkeiten null, so stelle
man sich Stangen als sehr dünne Scheiben vor, die ohne zu rutschen aneinander gekuppelt sind.
Transformieren wir jetzt alle Geschwindigkeiten auf die Länge 1 in einen gemeinsamen Punkt, so ist die
Summe aller Geschwindigkeiten null. Zur allgemeinen Beschreibung wähle man die ausgezeichnete
Parameterdarstellung (Länge der Kurve). Dann ist das begleitende Koordinatensystem das begleitende n-Bein
(Frenet) . Der Drehpunkt (0,0,0) ∈ R 3 ist also immer mit zu berücksichtigen.
1
Eine einfache mathematische Beschreibung von Drehungen bietet das Kreuzprodukt der Geometrie. Hier wird
mathematisch der Inhalt einer Fläche durch eine alternierende Bilinearform beschrieben. Dagegen ist nichts
einzuwenden, wenn man die Basisformen als Basis nimmt. Gegeben sei
r = xe1 + ye2 + ze3 und p = p1e1 + p2 e2 + p3e3 ,
dann sei der Drehimpuls
L durch
r × p := ( xp2 − yp1 )e1 × e2 + ( yp3 − zp2 )e2 × e3 + ( zp1 − xp3 )e3 × e1
definiert. Natürlich ist
e1 × e 2 , e2 × e3 , e3 × e1 die Basis eines Vektorraumes V× . Insbesondere gilt
ei × e j = −(e j × ei ) . Benützt man diesen Vektorraum, so ist wieder (0,0,0) ∈ R 3 der Drehpunkt, der
Radiusvektor ist eine Funktion des Ortes. Die Beschreibung ist wieder R 3 × V×. Der Vektorraum kann also
nicht einfach gewechselt werden. Ein Vektor aus V und ein Vektor V× kann nicht addiert werden. Sie ‚leben‘
in
verschiedenen
Welten.
Daran
ändert
sich
auch
nichts,
wenn
man
∗(e1 × e 2 ) = e3 , ∗ (e2 × e3 ) = e1 , ∗ (e3 × e1 ) = e 2 definiert, denn dies ist nur eine unter vielen Isomorphismen.
Graßmann liefert ein Vorbild. Ein negatives Beispiel ist F = Q ( E + µ0 v × H ) . Auf der linken Seite steht ein
2
Vektor, die Kraft, während auf der rechten Seite ein Vektor, die elektrische Feldstärke, und ein Pseudovektor,
v × H stehen. Diese dürfen eigentlich nicht addiert werden. Hier muss genau begründet werden, warum diese
Transformation physikalisch sinnvoll und richtig ist. Ein positives Beispiel eine Flächendichte. Ohne
Transformation kann jetzt der Drehimpuls ausgewertet werden. Dies kann wie folgt überlegt werden. Werden
alle Geschwindigkeiten auf die Länge 1 transformiert, so ist der Flächeninhalt unabhängig von Drehungen und
Translationen. Insbesondere gilt r0 × v0 = r0 × rr v = rr r0 × v = r × v . Das Kreuzprodukt kann demzufolge zur
0
0
Auswertung des Drehimpulses herangezogen werden. Definieren wir aber den Drehimpuls über das
Kreuzprodukt, so lebt er auch in V× . Dies bleibt auch für das Drehmoment M = d L so.
dt
Eine andere Möglichkeit, die den Mannigfaltigkeiten angepasst ist, bieten Tensoren.
1
2
Cartan, Henri:
Graßmann, H.:
Differentialformen, Seite 211
Die Mechanik nach den Principien der Ausdehnungslehre, Mathematische Annalen, Bd. 12, Heft 2,
S. 222 – 240 , 9.8.1877, Leipzig
PD Dr. rer. nat. habil. Gert Hillebrandt
2
Elektromagnetische Induktion
Pseudovektoren
Eine weitere Misere sind sogenannte Pseudovektoren, auch axiale Vektoren genannt. Sie ergeben sich,
wenn aus Skalaren Vektoren kreiert werden. Dieses geschieht oft durch das Kreuzprodukt. Betrachten wir als
Beispiel die zeitliche Änderung eines Winkels im Raum.
Als Beispiel diene die Bewegung eines Punktes, Volumenmaß null, auf einer Kreisbahn in der Ebene. Es sei
ɺ t ) = rϕɺ (t ) (−sin (ϕ (t )),cos (ϕ (t )),0) die Geschwindigkeit des
r(t ) := r (cos (ϕ (t )),sin (ϕ (t )),0) , dann ist r(
Punktes. Mit ϕ (t ) := ωt erhalten wir ϕɺ (t ) = ω . Nun wird allgemein definiert: ω (t ) := ϕɺ (t ). Es soll nun folgende
Gleichung gelten:
ɺ t ) := ω (t ) × r(t ).
r(
Dazu muss überlegt werden, welcher Vektor für ω (t ) gewählt werden soll. Nun ja, ω(t ) := (0,0, ϕɺ (t )) erfüllt
diese Bedingung, wie leicht mit (iii) nachzurechnen ist. Diese Darstellung sollte aber nur als Merkregel
angesehen werden. Natürlich kann der hier einfache Zusammenhang in jeder beliebigen Ebene des Raumes
definiert werden. Auch wenn ω (t ) ein Pseudovektor genannt wird, das Präfix Pseudo geht bald verloren.
Betrachten wir ein weiteres Beispiel:
1
w (t ) := (cos ( 10s
t ),sin ( 5s1 t ),sin ( 2s1 t )) , t ∈ [0s;20π s ] .
(
)
1
1
Es ist wɺ (t ) := − 10s
sin ( 10s
t ), 5s1 cos ( 5s1 t ), 2s1 cos ( 2s1 t ) . Bestimme ω (t ) , so dass wɺ (t ) = ω (t ) × w (t ) !
2. Tensoren
Was sind Tensoren? Die historische Entwicklung zeigte, dass Vektoren nicht immer zur Beschreibung
physikalischer Vorgänge ausreichen. Das einfachste Beispiel ist der Wechsel zwischen verschiedener
Koordinatensysteme, ein „ruhendes“ und ein zum ruhenden bewegtes Koordinatensystem. Der Wechsel wird
durch eine Matrix, ein Tensor 2. Stufe, beschrieben. Vektoren sind Tensoren 1. Stufe. Bei Drehung einer
Masse muss das Massenträgheitsmoment oder die Drehmasse berechnet werden. Der Drehimpuls wird dann
durch den Massenträgheitstensor und der Winkelgeschwindigkeit definiert L = Θ ⋅ ω . Hier ist Θ ein Tensor
2. Stufe und ω der in die „freie“ Drehachse transformierte Winkelgeschwindigkeitsvektor, also eine
willkürliche Zuordnung R → V . Einem Skalar wird ein Vektor zugeordnet. Eine mathematische Unsinnigkeit!
Der Drehimpuls L ist ein Pseudovektor. Wenn überhaupt, so sollte die innere Orientierung der
3
überstrichenen Fläche des vom Drehpunkt ausgehenden Strahls ω zugeordnet werden. Oder gleich so.
3. Magnetismus
Als vorläufig letzte Bemerkung sei die magnetische Feldstärke (Vektor) H eines Permanentmagneten
betrachtet. Über den Tensor µ wird die magnetische Flussdichte (Pseudovektor) B = µ H zugeordnet. Dies
ist meines Erachtens aber nur für geschlossene Feldlinien zulässig, da B als geschlossene Feldlinien, also
ohne Anfang und Ende angesehen werden, H aber von Nord- zum Südpol zeigt. µ wäre dann an den Polen
(Stellen maximaler Feldstärke) unstetig und somit eine Distribution! Im Allgemeinen muss sogar B = f ( H )
angesehen werden, die magnetische Flussdichte ist eine Funktion der magnetischen Feldstärke. Es zeigt sich
nun, dass es doch magnetische Monopole gibt. Veröffentlich wird es im September 2010 in der Zeitschrift
Science als Online-Ausgabe. Demzufolge ist nicht mehr divB = ∇iB = 0 oder d x B = 0 , sondern d x B = ρ mag
. Dies hat natürlich große Konsequenzen.
4. Physikalische Einheiten
Besonders hier gilt es aufzupassen. Verschiedene Größen haben dieselbe Einheit, obwohl sie nichts
miteinander zu tun haben. Drehmoment und Energie, Kraft und Zug-Druck-Tensor am Seil sind nur zwei
Beispiele.
3
http://www.mpe.mpg.de/~bernhardt/tensoren.pdf
PD Dr. rer. nat. habil. Gert Hillebrandt
3
Elektromagnetische Induktion
5. Letzte Bemerkung
Das dynamische Verhalten einiger physikalischer Größen wird durch Weyl-k-Dichten beschrieben. Ihr
Transformationsverhalten beim Koordinatenwechsel ist aber nicht das eines Vektors bzw. Vektorfeldes, da
hier noch der Faktor | ( aUV ) ′( p) |k , p ∈ R 3 auftritt. Ströme ( k = 1 ) sind Spezialfälle dieser Dichten.
Leider muss noch gesagt werden, dass Forschungsergebnisse auch manchmal manipuliert werden, um an
Forschungsgelder zu gelangen, denn nur was für die Industrie in Profit umgesetzt werden kann, ist
interessant. Hier kann ein Zähler angebracht werden!
Wichtig wäre auch zu jeder Formel (durch Messergebnisse gefunden) Fehlerschranken anzugeben, da alle
Messergebnisse in allen Naturwissenschaften gerundet sind. In diesem Zusammenhang ist natürlich danach
zu fragen, wie und welche physikalische Größen möglichst exakt gemessen werden können.
4,5
Auch hier sollte man sich der Differentialgeometrie auf Mannigfaltigkeiten bedienen. Aber Vorsicht, was
mathematisch richtig ist, kann physikalisch überhaupt keinen Sinn haben! Beschreiben wir daher die Physik
unter Berücksichtigung von Mannigfaltigkeiten ohne Isomorphismen, um zu einer einheitlichen Beschreibung
zu kommen. Isomorphismen dienen dazu Rechnungen einfacher zu machen, aber nicht dazu verschiedene
Räume in einen Topf zu werfen.
Pseudovektoren gehören in den Mülleimer.
Nach all diesen Vorbemerkungen kommen wir nun zum Induktionsgesetz. Dazu halte ich mich nicht an die
hier gemachten Bemerkungen und zeige, dass dies zu Merkwürdigkeiten führt. Um eine „neue Physik“ zu
kreieren, bedarf es sehr genauerer Messungen, eine neue geometrische Beschreibung und Nutzung der
„freien Energie“.
2005
In den letzten Jahren hat mich doch überrascht, dass ich so kontrovers diskutiert werde. Deshalb möchte ich
noch etwas Provokantes über Wahrheit und Messmethoden sagen.
Erstens sollten ‚Menschen‘, die etwas auf Wiki… veröffentlichen nicht schreiben, es wäre die Wahrheit, denn
schon das ist gelogen! Aus Büchern etwas abschreiben kann auch ein kleines Kind. Zweitens wissen manche
junge Physiker offensichtlich nicht, wie Messgeräte hergestellt werden. Sie sollen das messen, was ich in der
Theorie vorausgesagt habe. Dann wird Ihnen auffallen, dass Sie nichts anderes messen können. Es handelt
sich hierbei um eine Tautologie! Sie können auch Zirkelschluss sagen, es ändert nichts an dieser Tatsache.
Sie messen einen elektrischen Strom, sagen Sie! NEIN! Den messen sie nicht! Sie messen z.B. eine
Magnetfeldstärke, eine Induktionsspannung, eine Verlängerung des Leiters, etc. und schließen daraus, weil
Sie ja eine Formel haben, auf den elektrischen Strom, den Sie aber noch niemals im metallischen Leiter
beobachtet haben. Hieraus endlich wieder mittels einer neuen Formel auf die Anzahl der Ladungsträger,
sprich Elektronen im Metall. Was ein Elektron ist, und aus was es besteht, weiß leider auch kein Mensch.
Daher ist die Betrachtung einer Lorentz-Kraft auf ein ‚freies‘ Elektrönchen im Leiter reine Fiktion, also Unsinn!
http://www.alte-messtechnik.de/technik/technik.php und http://www.alte-messtechnik.de/technik/elektrostatisch.php
Und kommen Sie mir jetzt nicht mit dem Quantenquatsch!
Letzte Überarbeitung: März 2013
4
5
Frankel, Theodore: THE GEOMETRY OF PHYSICS, 3rd ed., 2012, Cambridge
http://www.thp.uni-koeln.de/Documents/zirnbauer_eddy_ss1998.pdf
PD Dr. rer. nat. habil. Gert Hillebrandt
4
Elektromagnetische Induktion
Untersuchungen zum Induktionsgesetz
Versuchsanordnung
N
S
Auf den oberen und unteren Block sind gleiche Spulen anzubringen und so zu beschalten, dass zwischen dem Nord- und
Südpol ein homogenes konstantes Magnetfeld vorhanden ist. Die Abmessungen der Polschuhe sollten 30 cm mal 30 cm
sein. In der Höhe genügen 5 mm. Der Abstand zwischen den Polschuhen sollte variabel sein. Für die ersten Versuche soll
der Abstand 1 cm, für die Rotationen höchstens 10 cm betragen. Das homogene Magnetfeld ist mit einer Hallsonde zu
prüfen.
Für die Untersuchung der Induktionsspannung des sich zeitlich ändernden Magnetfeldes sind unterschiedliche
Veränderungen der Spulenspannungen erforderlich. Dabei sollen die Versuchsleiter ruhen. Die sich ändernde
Spulenspannung, die Induktionsspannung und die gleichzeitig zu messende Hallspannung müssen aufgezeichnet werden.
Es ist darauf zu achten, dass sich nur die wirksame Leiterlänge im Magnetfeld befindet. Dies kann dadurch erreicht
werden, dass eine abgeschirmte Leitung verwendet wird (Antennenkabel, deren innerer Leiter durch verschiedene Leiter
ersetzt wird). Es sollte ca. 10 cm bis 20 cm frei gelegt werden. Ferner sind die äußeren Leitungen und das Messgerät
magnetisch abzuschirmen. Als Leiter sind zuerst homogene (die Stoffeigenschaften sind in allen Punkten gleich), isotrope
Stoffe (die Stoffeigenschaften sind richtungsunabhängig) zu verwenden.
10 – 20 cm
Das Magnetfeld ist zuerst stationär gegenüber der Erdoberfläche zu betrachten (Magnetfeld ruht). Die Richtung des
Magnetfeldes wird durch Feldlinien symbolisiert. Der Leiter bewegt sich im ruhenden Magnetfeld. In weiteren Versuchen
sollten Kohle, Halbleiter und im Glasrohr eingeschlossene Ionen als Leiter verwendet werden.
1. Beobachtung:
Wird ein parallel hin- und rücklaufender Leiter in einem homogenen konstanten Magnetfeld bewegt, so ist keine
Induktionsspannung zu beobachten.
Bewegungsrichtung
m
V
2. Beobachtung:
Wird ein gerader Leiter in einem Magnetfeld bewegt, so ist eine Induktionsspannung zu beobachten.
Bewegungsrichtung
V
PD Dr. rer. nat. habil. Gert Hillebrandt
5
Elektromagnetische Induktion
3. Beobachtung:
Werden N Leiter hintereinander (in Reihe) geschaltet, so ist die Induktionsspannung N-mal so groß wie die eines Leiters.
Die Schleifenführung sollte magnetisch isoliert außerhalb des Magnetfeldes liegen.
u ind
V
äquivalent
Bewegungsrichtung
u ind
2 ⋅ uind
Es sollte folglich von Induktionsspannung pro wirksame Leiterlänge gesprochen werden.
4. Beobachtung:
Wird die wirksame Leiterlänge um den Faktor k verlängert, so hat die zu beobachtende Induktionsspannung auch den
Faktor k.
5. Beobachtung:
Die Induktionsspannung ändert sich nicht, wenn der Leiter durch zwei parallele Bügel, die senkrecht zum Leiter stehen,
verändert wird.
y
a
V
Bewegungsrichtung
b
x
6. Beobachtung:
Wird eine symmetrische Leiterschleife (Parallelogramm, Kreis) in einem homogenen konstanten Magnetfeld geradlinig
bewegt, so wird keine Induktionsspannung beobachtet.
Bewegungsrichtung
V
7. Beobachtung:
Wird eine symmetrische Leiterschleife in einem inhomogenen Magnetfeld geradlinig bewegt, so wird eine
Induktionsspannung beobachtet.
Bewegungsrichtung
V
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6
Elektromagnetische Induktion
8. Beobachtung:
Wird eine symmetrische Leiterschleife in einem inhomogenen Magnetfeld geradlinig und parallel zu der Richtung des
Magnetfeldes bewegt, so wird eine Induktionsspannung beobachtet.
V
V
Bewegungsrichtung
Bewegungsrichtung
9. Beobachtung:
Wird ein Leiter in seiner Länge in einem (homogenen) Magnetfeld deformiert, so wird eine Induktionsspannung
induziert.
Deformation
10. Beobachtung:
Die Induktionsspannung hängt nicht vom Querschnitt des Leiters ab.
11. Beobachtung:
Die Induktionsspannung hängt nicht vom Material ab (Metall, Kohle, Ionen und Halbleiter (?)). Metalle haben ungefähr
1022 − 1023 freie Elektronen. Halbleiter ungefähr 1013 − 1015 !
12. Beobachtung:
Wird ein Leiter um eine Achse im homogenen konstanten Magnetfeld gedreht, so ist eine Induktionsspannung zu
beobachten.
13. Beobachtung:
Wird ein Leiter zu einem Rechteck gewickelt (vergleiche 6. Beobachtung) und um eine Achse im homogenen konstanten
Magnetfeld gedreht, so ist eine doppelte Induktionsspannung wie in 10. zu beobachten.
14. Beobachtung:
An den Beobachtungen 1. bis 9. ändert sich nichts, wenn die Leiter ruhen, aber das homogene konstante Magnetfeld
bewegt wird.
15. Beobachtung:
Werden Magnetfeld und ein gerader Leiter relativ zueinander bewegt, so ist eine Induktionsspannung zu beobachten.
PD Dr. rer. nat. habil. Gert Hillebrandt
7
Elektromagnetische Induktion
Fazit: Die induzierte Spannung hängt von folgenden Daten ab:
1.
Der wirksamen Leiterlänge ℓ,
2.
der Stärke der (homogenen konstanten) magnetischen Flussdichte B ( x, y , z ) ,
3.
der Bewegung der wirksamen Leiterlänge,
4.
der Relativgeschwindigkeit vℓ ( x, y, z ) jedes einzelnen Punktes der wirksamen Leiterlänge bzgl. der
magnetischen Flussdichte,
5.
der zeitlichen Änderung der magnetischen Flussdichte Bɺ t ( x, y, z ) ,
6.
der Relativgeschwindigkeit
v B ( x, y, z ) der magnetischen Flussdichte auf jeden einzelnen Punkt der
wirksamen Leiterlänge,
7.
nur vom senkrechten Anteil der Relativgeschwindigkeit zwischen wirksamen Leiter und magnetischen
Flussdichte,
8.
der
zeitlichen
Änderung
der
Vektorpotentialform
ϕtm = Aɺ t + λtm , wobei
(Raumquantelung)
Et = −(ιgɺ t Bt + ϕtm ) und Bɺ t + ιgɺ t ρtm = d xϕtm ,
9.
10.
nicht vom Leiterquerschnitt,
nicht vom metallischen Leiter!
Eine sehr gute und ausführliche Analyse auf dem Stand 1970, auch für den realen Fall, wird in [3] behandelt.
Zur Beschreibung des Allgemeinen Induktionsgesetzes gibt es einige Schwierigkeiten!
I.
Ein bewegtes Magnetfeld, Einheit der magnetischen Flussdichte [ Bt ] = 1 Vs
m2 , entspricht einem elektriV (hat aber noch
schen Feld: Et = −ιv ( Bt ) , (alt Et = v × Bt , Kreuzprodukt), mit der Einheit [ Et ] = 1 m
niemand im Leiter gesehen). Diese Felder können außerdem noch von der Zeit t abhängen. Da sich das
Differential d x nicht auf die Zeit auswirken soll, wird dies durch ein tiefgestelltes
und Formen verdeutlicht. Ferner ist im Leiter Et = −d xϕt
t
an den Vektorfeldern
(reine Mathematik) mit dem elektrischen
Potential ϕt , Einheit [ϕt ] = 1V . Hierauf beruht der erste Teil des Induktionsgesetzes! Das Minuszeichen
ist reine Willkür und hängt mit der willkürlichen Festlegung der Potentiale, der technischen
Stromrichtung sowie der Richtung des Feldes zusammen, dient letztendlich zur Erfüllung des
Energieerhaltungssatzes.
II. Eigentlich muss zwischen beiden Bewegungen, Magnetfeld ruht, 1. Maxwell-Gleichung, alt:
B ds = µ σ E dA und Leiter ruht, 2. Maxwell-Gleichung, alt: − E ds = Bɺ dA unterschieden
∫
0
t
∂A
∫
∫
t
∫
t
∂A
A
t
A
werden. Da es aber nur auf die Relativgeschwindigkeit ankommt, müssen beide durch eine GalileiTransformation ( r ' = r − ve ⋅ t , rɺ ' = rɺ − ve , t ' = t ) ineinander umgerechnet werden können, solange es um
homogene und isotrope Materialien geht. Schon Maxwell schrieb Et = −(µ( H t × v ) + Aɺ t + grad (ϕ ))
nachdem er Faradays Ergebnisse kannte und interpretierte die rechte Seite als elektrisches Feld (Formel).
III. H t
hat
mit
Bt
nichts
gemein!
Definieren
wir
im
einfachsten
Fall
µ = µ1 ∂∂x ⊗ dy ∧ dz + µ2 ∂∂y ⊗ dz ∧ dx + µ3 ∂∂z ⊗ dx ∧ dy, so ist Bt = ιµ ( H t ) oder ausgeschrieben
Bt = B1dy ∧ dz + B2 dz ∧ dx + B3 dx ∧ dy mit Bi = µi H i ,1 ≤ i ≤ 3 . d x Bt = 0 ist nicht mehr gültig, da
magnetische Monopole entdeckt und bestätigt sind.
PD Dr. rer. nat. habil. Gert Hillebrandt
8
Elektromagnetische Induktion
Die unterschiedlichen Schreibweisen des Induktionsgesetzes
1. Das bewegte Magnetfeld oder der bewegte Leiter (Induktion der Bewegung)
uind (t ) =
∫
ιv ( Bt )
wirksame
Leiterlänge
Eine Induktionsspannung ist angezeigt, wenn das Magnetfeld und der Leiter relativ zueinander bewegt
werden. Hierbei kann sich die wirksame Leiterlänge während der Relativbewegung ändern.
2. Das zeitlich veränderliche Magnetfeld (Induktion der Ruhe)
Eine Induktionsspannung erhalten wir auch, wenn keine Relativbewegung stattfindet, sich jedoch das
Magnetfeld zeitlich verändert. Die Induktionsspannung wird nun durch den magnetischen Fluss beschrieben.
∫
d
uind (t ) = − dt
Bt
wirksamen
Flächeninhalt
Auch hier ist der wirksame Flächeninhalt möglicherweise von der Zeit abhängig.
Beide beschreiben folglich die induzierte Spannung. Sie sind im Wesentlichen äquivalent.
Wir wollen nun für beide Situationen eine gemeinsame Formel finden. Dazu wird Alt und Neu
gegenübergestellt.
Zuerst die alte Beschreibung:
Wir gehen von einer konstanten homogenen Flussdichte B aus, wobei B von der Zeit unabhängig ist. Der
magnetische Induktionsfluss ist definiert durch
Φ(t ) :=
∫
B
Flächeninhalt von A
Im Koordinatensystem kann nun angenommen werden, dass B senkrecht auf die Ebene z = 0 auftrifft, also
B = − B3 dx ∧ dy. Nun wird die überstrichene Fläche beschrieben. Dabei ist die wirksame Leiterlänge konstant
und nur von der Geschwindigkeit des Leiters abhängig. Die einzig wirksame Fläche ist daher durch das
Flächenelement dx ∧ dy, Determinantenform in der Ebene z = 0 , gegeben. Wird nun ein gerader Leiter durch
das Magnetfeld bewegt, so ist nur der Anteil dx(t ) = vx (t )dt und (oder) dy (t ) = v y (t )dt zu berücksichtigen. Wir
dürfen folglich annehmen, dass der Leiter in die positive x − Richtung bewegt wird (vergleiche 2.). Das
orientierte Flächenelement ist nun
dx(t ) ∧ dy = vx (t )dt ∧ dy .
A
ℓ
0s
t
Die Flächenbeschreibung ergibt sich daher aus der wirksamen Leiterlänge in y −Richtung und die in der Zeit
überstrichene x − Länge. Es folgt
a
Φ(t ) = −∫
0
t
∫ B v (τ ) d τ
3 x
∧
dy ,
(#)
0
wobei wir die Zeit von null Sekunden an zählen und die Länge des Leiters als {0}×[0cm; a cm] annehmen. Die
Induktionsspannung ist somit
a t
uind (t ) = − ddt Φ = B3 ddt ∫
0
∫ vx (τ )d τ ∧ dy
0
a
= B3vx (t ) ∫ dy = B3vx (t )a.
0
PD Dr. rer. nat. habil. Gert Hillebrandt
9
Elektromagnetische Induktion
Daran ändert sich auch nichts, wenn die untere und obere Grenze des Integrals als Funktionen auftreten
(wirksame Leiterlänge). Die Längenänderung bei einer Geschwindigkeit null (keine Deformation!) induziert
aber keine Spannung. Sei also die Leiterlänge ℓ = {0}×[ 0, a ]×{0}.
Daher wird die Längenänderung durch eine Parametertransformation
Ψ t ( x(t ), y,0) = ( x(t ), ψ (t ) y,0), Ψ 0 = id die Identität. Wir erhalten
a t
beschrieben.
3 x
0
ist
∗
∫ ∫ B v (τ ) d τ ∧ Ψ τ (dy )
Φ(t ) = −
Hier
Ψt
0
a t
∫ ∫ B v (τ ) d τ ∧ d (ψ (τ ) y )
=−
3 x
0
A
0
∫ ∫ B v (τ ) d τ ∧ ψ (τ ) dy
=−
Ψt (A )
ℓ
a t
ℓ
3 x
0
0
0s
a t
t
0s
t
∫ ∫ B v (τ )ψ (τ ) d τ ∧ dy.
=−
3 x
0
0
Folglich ist
uind (t ) = − ddt Φ (t )
a
= ∫ B3vx (t ) ψ (t ) dy
0
= B3vx (t ) ψ (t ) a.
Betrachten wir noch eine weitere Möglichkeit der Beschreibung. Zu der Zeit t sei gt (ℓ ) die Lage des Leiters.
g t ( x; y; z ) := ( x(t ); y;0) , wobei x(0) := 0 und 0 ≤ y ≤ a ist. Dazu schreiben wir B = −B3 dx ∧ dy. Mit
gɺ t = vx (t ) ∂
ιgɺ t ( B ) = B3vx (t )dy .
ist
∂x
Folglich
∫
uind (t ) =
Ψt ( gt (ℓ ))
= ∫ ( B3
ιgɺ t B ( x; y; z ) =
(Ψ t
∫
B3 ( x; y; z )vx (t )dy
gt )(ℓ )
( Ψ t gt )) ( x; y; z )vx (t ) ( Ψ t gt )∗ dy
ℓ
= ∫ ( B3 Ψ t
g t )( x; y; z )vx (t ) g t ∗ Ψ t ∗dy
ℓ
a
= ∫ ( B3 Ψ t ) ( x(t ); y; z )vx (t )ψ (t ) gt*dy
0
a
= ∫ B3 ( x(t ); ψ (t ) y; z )vx (t )ψ (t ) dy
0
a
= vx (t )ψ (t ) ∫ B3 ( x(t ); ψ (t ) y; z ) dy.
0
Da B homogen ist, folgt uind (t ) = B3 ( x(t ); ψ (t ) y; z )vx (t )ψ (t )a.
Ist nun −v (t )× B = (−vx (t );0;0)T × (0;0; B3 )T = (0; vx (t ) B3 ;0)T , so folgt auch
PD Dr. rer. nat. habil. Gert Hillebrandt
10
Elektromagnetische Induktion
a
a
uind (t ) = −∫ −( v (t )× B) Ψ * dy = B3vx (t )ψ (t ) ∫ dy = B3vx (t ) ψ (t ) a.
(##)
0
0
Wenden wir uns den nächsten Fall zu, dass sich die Felddichte in der Zeit verändert, aber keine Bewegung
stattfindet. Hier ist
Bt = B3,t ( x, y, z ) dx ∧ dy .
Auch in diesem Fall beobachten wir eine Induktionsspannung an den Enden des ruhenden Leiters. Der
magnetische Fluss Φ ist folglich nur für
a
Φ(t ) = −
x
∫ ∫
B3,t (u , y , z ) du ∧ dy
y=0 u=− x
zu betrachten. Über die Länge ± x kann hier nichts gesagt werden, da hier nur geschlossene Leiterschleifen in
Betracht kommen. Möglicherweise kommt es auf den Wirkungsbereich an, über den dann gemittelt werden
muss. Die Induktionsspannung ist folglich
a
uind =
x
d
Φ(t ) = − ∫ ∫ Bɺ 3,t (u , y, z ) du ∧ dy
dt
y=0 u=− x
Die moderne Beschreibung:
In den modernen Beschreibungen werden nur alternierende Differentialformen verwendet. Statt eines
Pseudovektorfeldes Bt# = B1,t ∂ + B2,t ∂ + B3,t ∂
∂x
∂y
∂z
verwenden wir Differentialformen, da sie bereits in der
richtigen Orientierung zur Integration geschrieben sind; also Bt = B1,t dy ∧ dz + B2,t dz ∧ dx + B3,t dx ∧ dy.
Streng genommen muss das Pseudovektorfeld von der 2-Form unterschieden werden. (Siehe Eingangs
gemachte Bemerkungen) Die Bewegung des Leiters wird durch eine Abbildung beschrieben (Transformation
der bewegten Leiterlänge). Beachte, dass g t nur die Bewegung des Leiters beschreibt. Die Leiterlänge wird
nicht verändert.
Also g t (ℓ ) , wobei ℓ der Leiter im Raum zu der Zeit t = 0 ist, also g t ( x; y;0) = ( x(t ); y;0) , wobei x(t )
unabhängig von der Leiterlänge ℓ und 0 ≤ y ≤ ℓ sind.
Jetzt berechnen wir g*t Bt und erhalten in Übereinstimmung
g*t B ( x, y, z ) = − B3 ( gt ( x, y, z )) g*t (dx) ∧ g*t ( dy ) = − B3 ( g t ( x, y, z )) vx (t )dt ∧ dy .
Die moderne Beschreibung stimmt folglich mit der alten überein, vgl. (#) Seite 9.
Für das bewegte Magnetfeld erhalten wir die zeitliche Ableitung gɺ t = vx (t ) ∂ . Das innere Produkt mit
∂x
B = B3 dx ∧ dy liefert ιgɺ t ( B ) = B3vx (t )dy. Also
a
a
uind (t ) = ∫ ιgɺ t B = B3vx (t ) ∫ dy = B3vx (t )a.
0
0
Auch hier stimmen wir mit (##) Seite 10 überein!
Leiten wir das Allgemeine Induktionsgesetz ab.
PD Dr. rer. nat. habil. Gert Hillebrandt
11
Elektromagnetische Induktion
Allgemeines Induktionsgesetz I (bisherige physikalische Schreibweise)
Wird eine Leiterschleife bewegt, so wird durch die Bewegung ein Volumen im Raum beschrieben. Jeder feste
Punkt auf dem Leiter beschreibt eine Kurve in dieser Fläche des Volumens, die folglich nur von der Zeit
abhängt. Zu jedem Zeitpunkt ist also ein Geschwindigkeitsvektorfeld tangential an diese Kurve und damit
tangential an die Fläche geheftet. Das Innere der Leiterschleife ℓ wird als Fläche A angesehen, so dass
∂A = ℓ.
Ist U ⊂ R 3 offen und g t : U → R 3 die Relativbewegung der wirksamen Leiterlänge bzgl. der magnetischen
Flussdichte, also g t ( x, y , z ) für einen Punkt ( x, y, z ) ∈ A , wobei g 0 ( A) die Ausgangslage des Leiters ist, so gilt
mit
d
−uind (t ) = dt
(
∫
gt ( A)
Bt = ∫ ∂ (g*t Bt )
∂t
A
)
∂ g* B = g* Bɺ + g*L ( B )
t t
t gɺ t
t
∂t t t
= g*t ( Bɺ t + d xιgɺ t Bt + ιgɺ t d x Bt ).
(*)
Die Summe g*t ( Bɺ t + d xιgɺ t Bt + ιgɺ t d x Bt ) stellt das Differential (die Rotation) einer elektrischen Feldstärke, also
g*t (d x Et ) dar. Wir erhalten die Gleichung
−d x Et = Bɺ t + d xιgɺ t Bt + ιgɺ t d x Bt .
Hierbei ist L gɺ t die Lie-Ableitung. Die elektrische Feldstärke Et setzt sich folglich aus zwei Anteilen
zusammen: Et = EtR + EtB , wobei EtR das elektrische Feld der Ruhe und EtB das elektrische Feld der
Bewegung (Faraday) darstellt. Nach Maxwell also d x EtR = −Bɺ t − ιv d x Bt und nach Faraday EtB = −ιv Bt .
Interessanter Weise stimmt dies fast mit Maxwells Gleichung überein: E = −Aɺ − µH × v − d ϕ, ein
elektrisches Feld kann verschiedene Ursachen haben.
Schauen wir einmal genauer hin, so fällt auf, dass aus −d x Et = Bɺ t + d xιgɺ t Bt + ιgɺ t d x Bt wegen d x d x = 0 die
Gleichung
0 = d x Bɺ t + d xιgɺ t d x Bt = d x ( Bɺ t + ιgɺ t d x Bt )
folgt. Folglich existiert auf einem einfach
zusammenhängenden Gebiet eine 1-Form α t mit d x αt = Bɺ t + ιgɺ d x Bt . Wir erhalten schließlich
t
Et = −(ιgɺ t Bt + αt + d x τt ) ,
wobei τt eine Eichfunktion ist. Betrachten wir nun einen geraden Leiter, der sich in einem
Magnetfeld eines anderen Leiters aufhält, so muss die Induktionsspannung mit steigender Entfernung
abnehmen.
Die Änderung der Leiterlänge geht nicht in die Relativbewegung ein. Beachten wir nun noch die Nichtexistenz
des globalen magnetischen Vektorpotentials A t , so wird klar, dass die Gleichung neu zu interpretieren ist.
Physiker werden natürlich versuchen alles nur Erdenkliche zu retten. Meine größten Bedenken beziehen sich
auf das Magnetfeld innerhalb der Schleife. Warum zum Teufel soll die Schleife nur das Innere ‚sehen‘? Ich
persönlich habe Magenschmerzen mit dieser Formel! In dieser Formel kommt das Innere der Leiterschleife als
Fläche vor, egal wie deformiert dabei die Leiterschleife ist. Nun könnte argumentiert werden, dass es ja nur
auf die Projektion parallel zur Magnetfelddichte ankommt.
In einem inhomogenen Feld muss dann aber für jede Stelle der „Fläche“ den orthogonalen Anteil der
Magnetfelddichte kennen, der durch diese „Fläche“ stößt. Eine solche „Fläche“ lässt sich aber im Allgemeinen
gar nicht bestimmen.
PD Dr. rer. nat. habil. Gert Hillebrandt
12
Elektromagnetische Induktion
Als Beispiel betrachte man eine Leiterschleife, die durch die Sinusfunktion
geformt ist und dann zu einer Schleife zusammengeführt wird. Aber auch
beliebige Schleifen sind denkbar.
Eine Zwischenbemerkung
Analog wäre d x H t = Dɺ t + ιgɺ t d x Dt + d xιgɺ t Dt und H t = ιgɺ t Dt + µt + d x ξ .
(
)
Für die Induktionsspannung finden wir mit ηt = −Φ*t ( g t* ( Et )) = Φ*t g t* (ιgɺ t Bt + αt + d x τ ) folglich
uind (t ) = −λ ∫ ηt , mit a < b,
L
wobei Φt :[ a, b] → g t ( x; y; z ) eine positive Parameter-Transformation auf die wirksame Leiterlänge, λ die
Materialkonstante (für Metalle λ = 1 ),
g*t
die positive Transformation der Bewegung,
gɺ t
das
Geschwindigkeitsvektorfeld, Bt die magnetische Flussdichte (2-form), Bɺ t die zeitliche Ableitung der 2-form,
d x das räumliche Differential, und ιgɺ t die Verjüngung (inneres Produkt) des Geschwindigkeitsvektorfeldes
mit der magnetischen Vektorform (Divergenz) d x Bt , sowie d x αt = Bɺ t + ιgɺ t d x Bt ist. Ist die Differentialform
zeitunabhängig, so schreiben wir kurz B. Diese Beschreibung ist der modernen mathematischen Schreibweise
der alternierenden Differentialformen angepasst. (siehe Bronstein, Teil II)
Das Minuszeichen vor dem Integral hat überhaupt nichts mit der lenzschen Regel zu tun, wie in einigen
Physikbüchern behauptet wird, sondern hängt nur von den Festlegungen der Potentiale und der technischen
Stromrichtung ab. Es ändert sich auch nicht, wenn positive Ionen statt Elektronen strömen. Das
Potentialgefälle bleibt hiervon unberührt. Die lenzsche Regel tritt erst in Erscheinung, wenn zwei
Magnetfelder gegeneinander arbeiten. Erst dann, wenn ein Strom fließt, wird ein eigenes Magnetfeld
aufgebaut, das der Ursache entgegenwirkt. Beobachtet und natürlich gemessen wird folgendes: Das
Relativgeschwindigkeitsfeld gɺ t und die Formen B und E bilden ein Rechtssystem, d.h.: Ist µV die positive
normierte Volumenform und sind
B # = B1 ∂ + B2 ∂ + B3 ∂
∂x
∂y
∂z
sowie
E # = E1 ∂ + E2 ∂ + E3 ∂
∂x
∂y
die
∂z
zugeordneten (Pseudo)Vektorfelder, so ist µV (gɺ t , B # , E # ) ≥ 0. Dies wird auch durch die Hand-Regel zum
Ausdruck gebracht. Besser ist die Drei-Finger-Regel. Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger repräsentieren
das Koordinatensystem.
Interessant in diesem Zusammenhang ist die Tatsache, dass sich nicht der gesamte Leiter im Magnetfeld befindet und
trotzdem an den sehr langen Enden ohne Zeitverlust (Elektronengeschwindigkeit ca. 2 mm
s ) ein Potentialgefälle
gemessen wird. Findet hier eine Kommunikation der Elektronen statt? Sicher nicht! Die Erklärung Faradays mittels Kraft
auf die Elektronen kann nur für den wirksamen Leiter im Bereich des Magnetfeldes gelten, aber nicht außerhalb.
Trotzdem stimmen die Messergebnisse unter Beachtung der üblichen Fehlerabweichung mit der errechneten
Induktionsspannung überein. Eine mögliche Deutung geht auf Heaviside zurück, der den Poynting-Vektor S = E × H
bzw. S = E ∧ H als mögliche Erklärung heranzog. Eine elektromagnetische Welle, die ausgelöst wird, soll alle
Elektronen in Bewegung setzen. Hieraus folgt das nächste Problem: Wie kann E gemessen werden? Die magnetische
Feldstärke H kann mittels eines Hall-Generators gemessen werden. Nun kann auf die LECHER-Leitung zurückgegriffen
werden. Hier zeigt sich der Zusammenhang E = Z 0 H
für den Betrag der Feldstärken ( Z 0 =
µ0
ε0
Wellenwiderstand des leeren Raumes). Sind Materialien vorhanden, wäre Z 0 durch den Wellenwiderstand Z =
ist der
µ
ε zu
ersetzen. Also wäre S = Z (e × H )× H, wobei e der Einheitsvektor in Richtung S oder S = E × Z −1 (E ×e) ist.
PD Dr. rer. nat. habil. Gert Hillebrandt
13
Elektromagnetische Induktion
Allgemeines Induktionsgesetz II
In diesem Teil wollen wir in Richtung Tesla arbeiten, um zu einer Skalarwelle zu kommen. Starten wir also
gleich mit einer 1-Form Ct , statt mit Bt als 2-Form, so erhalten wir mit d
dt
∫
gt ( ℓ )
C t = ∫ ∂ (g*t C t ) :
∂t
ℓ
∂ (g*C ) = g*Cɺ + g*L (C )
t t
t gɺ t
t
∂t t t
= g*t (Cɺ t + d xι gɺ t Ct + ι gɺ t d x C t ).
Dann wäre hier Et = −(Cɺ t + d xι gɺ t Ct + ι gɺ t d x Ct + d xϕ ), wobei ϕt das Potential ist. Die 1-Form C t könnte die
lokale Vektorpotentialform αt (I) sein, die A t , ersetzt. Hier wäre
αɺ t + d xι gɺ t αt + ι gɺ t d x αt + d xϕt = αɺ t + d xι gɺ t αt + ι gɺ t ( Bɺ t + ι gɺ t d x Bt ) + d xϕt
= αɺ t + d xι gɺ t αt + ι gɺ t Bɺ t + d xϕt
= αɺ t + ι gɺ t Bɺ t + d x (ι gɺ t αt + ϕt ).
Vergleiche hierzu das Monstein-Experiment.
Der Anteil ι gɺ t αt + ϕt stellt eine Longitudinalwelle dar. αt kann aus der Gleichung d x αt = Bɺ t + ι gɺ t ρtm
bestimmt werden. Hierbei ist d x Bt = ρ tm . Die „Raumquantelung“, also Zug- und Druckspannung des
Raumes sind durch Experimente zu überprüfen, evtl. zu modifizieren. Wir finden eine DGL 1. Ordnung.
ρɺ tm + d xι gɺ t ρtm = 0
In den folgenden Beispielen soll nun gezeigt werden, dass es im faradayschen Fall Et = −ιgɺ t Bt keine
Probleme gibt. Das schließt natürlich weitere Beiträge zur Induktionsspannung nicht aus.
Die folgenden Beispiele sollen die Zweckmäßigkeit des alternierenden Differentialformenkalküls deutlich
machen.
Beispiele
1. Es sei B = −0, 6Tdx ∧ dy
Flussdichte „in negativer
ℓ (0,1, 0)R
die konstante homogene magnetische
z–Richtung“. Es werde ein Kupferleiter
der wirksamen Leiterlänge a = 15cm
Bewegungsrichtung
durch das
A
Magnetfeld mit konstanter Geschwindigkeit v = 10 cm
s in positiver xRichtung bewegt.
t
Gesucht ist die induzierte Spannung, die bei dieser Bewegung im Leiter entsteht.
Lösung:
a
Es gilt
uind (t ) = −∫ ηt . Die 2-Form der Magnetfelddichte ist zeitunabhängig. Die Bewegung beschreibt
0
gt ( x, y, 0) = ( x + vt , y, 0). Wir erhalten damit das Vektorfeld gɺ t = v ∂∂x . Folglich ist ιgɺ t ( B ) = −0, 6T ⋅ v ⋅ dy. Eine
Parametertransformation ist Φt ( w) := ( x0 + vt , w, 0). Die induzierte Spannung berechnet sich zu
a
a
0
0
uind (t ) = −∫ (−0, 6 T ⋅ v ) dw = 0, 6 T ⋅ v ∫ dw
= 0, 6 T ⋅ v ⋅ a = 0, 6 T ⋅ 0,1 m
s ⋅ 0,15 m
= 0, 009 V .
PD Dr. rer. nat. habil. Gert Hillebrandt
14
Elektromagnetische Induktion
2.
Ein Leiterbügel aus Kupfer der wirksamen Leiterlänge 30 cm rotiere im
konstanten Magnetfeld der magnetischen Flussdichte B = − 0,1T dx ∧ dy mit
der konstanten Winkelgeschwindigkeit ω . Der Abstand zum Rotationszentrum
betrage 20 cm.
Gesucht ist die im wirksamen Leiter induzierte Spannung.
Lösung:
Zuerst beschreiben wir die Kreisbewegung. Die Bewegung wird angegeben durch
gt = (0, 2 m, y, 0) = (0, 2 m cos ω t , y, 0, 2 m sin ω t ) .
(
)
Hieraus erhalten wir gɺ t = −0, 2 m⋅ ω ⋅ sin ω t ∂ − cos ω t ∂ .
∂x
∂z
Wie unter 1. erhalten wir ιgɺ t ( B ) = 0,1T⋅ 0, 2 m⋅ ω ⋅ sin ω t ⋅ dy , Φ t ( w) = (0, 2 m⋅ cos ω t , w, 0, 2 m⋅ sin ω t ) , also
ηt = 0, 02ω sin ω t Tm
0,3m
uind = − ∫ ηt
0
Vs
= − 0, 02 ω sin ω t m ⋅
0,3m
∫
dw
0
= − 0, 006ω sin ω t Vs.
Das Ergebnis sagt uns, dass ein Potentialgefälle in negativer y − Richtung vorhanden ist. Liegt ein weiterer Leiter
gegenüber, so erhalten wir die doppelte Induktionsspannung, da in diesem Leiter die Induktionsspannung entgegengesetzt
ist. Damit kann nun die Induktionsspannung auf die Innenfläche der Leiterschleife umgerechnet werden. Die von den
theoretischen Physikern vorgenommene Interpretation, dass das Feld dieser Fläche maßgeblich ist, bleibt unzulässig.
3.
y
Ein hängender Kupferleiter habe die Funktion 0, 4 m⋅ cosh m . Er werde um seine Aufhängepunkte 0, 4 m⋅ cosh(−0, 2)
und 0, 4 m⋅ cosh(0, 2) im homogenen konstanten Magnetfeld mit der magnetischen Flussdichte B = − 0,1T dx ∧ dy
gedreht (vgl. Seilspringen). Berechne die im wirksamen Leiter induzierte Spannung.
Lösung:
y
Wir beschreiben die Lage im Raum: x = 0, 4 m⋅ (cosh 0, 2 − cosh m ) mit y ∈ [− 0, 2 m;0, 2 m]. Die Ausgangslage sei
y
(0, 4 m⋅ cosh 0, 2 − 0, 4 m⋅ cosh m , y, 0) mit y ∈ [−0, 2 m; 0, 2 m]. Dann beschreibt sich die Kreisbewegung durch
y
gt (0, 4 m⋅ (cosh 0, 2 − cosh m ), y, 0)
y
y
:= (0, 4 m⋅ (cosh 0, 2 − cosh m ) ⋅ cos ωt , y, 0, 4 m⋅ (cosh 0, 2 − cosh m ) ⋅ sin ω t ).
(
)
(
)
y
y
Folglich ist gɺ t = −0, 4 m⋅ ω ⋅ cosh 0, 2 − cosh m ⋅ sin ω t ∂ + 0, 4 m⋅ ω ⋅ cosh 0, 2 − cosh m ⋅ cos ω t ∂ . Wir berechnen
∂x
(
y
∂z
)
ιgɺ t ( B ) = 0, 4 ⋅ 0,1⋅ ω ⋅ cosh 0, 2 − cosh m ⋅ sin ω t dy Vs
m .
Um
nun
die
Induktionsspannung berechnen zu
y
Φ ( w) = (0, 4 m⋅ cosh 0, 2 − 0, 4 m⋅ cosh m , w, 0) . Wir erhalten
können,
PD Dr. rer. nat. habil. Gert Hillebrandt
wählen
wir
eine
Parameterdarstellung
15
Elektromagnetische Induktion
0,2 m
uind (t ) = −
∫
ηt
−0,2 m
0,2 m
=−
∫
−0,2 m
w ⋅ sin ω t dw Vs
0, 04 ⋅ ω ⋅ (cosh 0, 2 − cosh m
)
m
= − 0, 08 ⋅ ω ⋅ (0, 2 ⋅ cosh 0, 2 − sinh 0, 2) ⋅ sin ω t Vs.
Auch hier zeigt das Potentialgefälle in die negative y-Richtung.
4.
In dieser Aufgabe soll das Magnetfeld begrenzt sein. Die Polschuhe haben die Form einer Raute, deren Diagonalen sich
auf der z-Achse schneiden und folgende Abmessungen haben: −0, 25 m ≤ x ≤ 0, 25 m , −0,15 m ≤ y ≤ 0,15 m . Ein
gerader Leiter ( ℓ y -Achse) beliebiger endlicher Länge werde mit konstanter Geschwindigkeit v = 2 m
s in x-Richtung
durch das Magnetfeld mit der magnetischen Flussdichte B = −0,1T dx ∧ dy bewegt. Berechne die im wirksamen Leiter
induzierte Spannung.
Lösung:
Wir beschreiben die Bewegung des Leiters: g t ( x, y, 0) = ( x + vt , y, 0) . Da eine Raute vorliegt, muss für die wirksame
Leiterlänge eine Fallunterscheidung getroffen werden.
(
)
vt ;0 für t ∈  0; 0,25m 
a) Φ1,t ( w) = −0, 25 m+ vt ; w ⋅ 0,25m

v 
(
) )
(
vt + 2 ;0 für t ∈  0,25m ; 0,5m 
b) Φ 2,t ( w) = −0, 25 m+ vt ; w ⋅ − 0,25m
 v
v 
V
Wie unter 1. erhalten wir ι gɺ t (d x α ) = − 0,1T⋅ 2 m
s dy = − 0, 2 m dy , also
V 2 t ⋅ dw = − 1, 6 V t ⋅ dw für t ∈ [0;0,125s]
a) η1,t = − 0, 2 m
ms
0,25s
(
)
V − 2 t + 2 ⋅ dw = − 0, 2 V −8 t + 2 ⋅ dw für t ∈ [ 0,125s; 0, 25s] .
b) η 2,t = − 0, 2 m
)
m(
s
0,25s
Damit kann die Induktionsspannung berechnet werden:
0,15m
0,15m
uind (t ) = −
∫
uind (t ) = −
η1,t
V
s
= 1,6t ⋅ 0,3
= 0, 48t
V
s
∫
η2,t
−0,15 m
−0,15m
,
und
= 0, 2 ⋅ (−8 st + 2)⋅ 0,3 V
= 0, 06 ⋅ (−8 st + 2) V,
t ∈ [0; 0,125s]
t ∈ [0,125s;0, 25s]
Die Induktionsspannung steigt in 0,125s linear auf 0,06V an, um dann wieder auf null V linear abzufallen.
5.
Ein gerader Leiter der Länge − 20 cm ≤ y ≤ 20 cm rotiere mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω = 100π 1s im
Magnetfeld der Raute aus 4. Die Ausgangslage sei (0, 25 m; y;0) , die Rotationsachse (0; y ; 0) . Berechne die Induktionsspannung.
Lösung:
Bewegung des Leiters: g t ( x; y; z ) = (0, 25 m⋅ cos ω t ; y;0, 25m⋅ sin ω t ) ,
Geschwindigkeit des Leiters: gɺ t = −0, 25m⋅ sin ω t ∂ + 0, 25 m⋅ cos ω t ∂ ,
∂x
∂z
wirksame Leiterlänge: y = w ⋅ (1− | cos ω t |) (Strahlensatz).
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16
Elektromagnetische Induktion
Induktionsspannung:
0,15m
∫
uind (t ) = −
ηt
−0,15m
0,15m
=
∫
0,025 ⋅ ω ⋅ sin ω t ⋅ (1− | cos ω t |) dw Vs
m
−0,15m
= 0, 0075 ⋅ ω ⋅ sin ω t ⋅ (1− | cos ω t |) Vs
= 0, 75π ⋅ sin ω t ⋅ (1− | cos ω t |) V
Der Spannungsverlauf ist im folgenden Bild festgehalten.
6.
Ein flexibler Leiter sei halbkreisförmig gebogen und in der Ausgangslage durch
(r cos ϑ; r sin ϑ;0) beschrieben. Er
werde im Magnetfeld mit der magnetischen Flussdichte B = −0,1T dx ∧ dy in die Endlage gerade gezogen, beschrieben
durch (0; r ϑ;0) . Hierbei ist r ein Parameter und ϑ ∈ − π2 ; π2  . Der Leiter befinde sich immer im Magnetfeld. Berechne


die Induktionsspannung für r = 0,1m , wenn die Bewegung 0, 05s dauert.
Lösung:
Die wirksame Leiterlänge ist in diesem Fall der halbe Kreisumfang, also r π . Da jeder Punkt des Leiters eine andere
Bewegungsrichtung hat, wollen wir zuerst diese Richtung bestimmen. Wir gehen davon aus, dass sich jeder Punkt auf
einer geraden Bahn in den Endpunkt bewegt. Dies könnte durch eine Hochgeschwindigkeitsaufnahme überprüft werden.
Das Koordinatensystem wird der Beschreibung der Leiter angepasst. Für die genaue Analyse beschreiben wir die
Situation in Parameterdarstellung bei festem r und ϑ . Die Bewegung hängt nur von ϑ ab.
Ein Ausgangspunkt des Leiters wird durch (r cos ϑ; r sin ϑ;0) und der Endpunkt des Leiters durch (0; r ϑ;0) beschreiben.
Die Richtung der Bewegung eines jeden Punktes ist folglich (−r cos ϑ; r (ϑ − sin ϑ);0) . Wir nehmen an (Überprüfen in
der Hochgeschwindigkeitsaufnahme!), dass sich die Geschwindigkeit nicht ändert und die Gesamtzeit t0 beträgt. Dann
ist v1t0 = −r cos ϑ und v2 t0 = r (ϑ − sin ϑ) , also v = − tr cos ϑ ∂ + tr ( ϑ − sin ϑ ) ∂ . Die Bewegungsgleichung lautet
∂x 0
∂y
0
also
(
)
gt (r cos ϑ ; r sin ϑ ; 0) = r cos ϑ 1− tt0 ; r sin ϑ 1− tt0 + r ϑ tt0 ; 0 . Also gɺ t = − tr cos ϑ ∂ + tr (ϑ − sin ϑ ) ∂ und damit
∂x
∂y
0
0
(
)
(
)
ιgɺ t B = 0,1T tr0 − cos ϑ dy + (sin ϑ − ϑ) dx .
Berechnen wir nun g*t (dx), g*t (dy ) und beachten, dass r konstant ist, so haben wir αt bereits gefunden, wenn wir noch
Φ ( ϑ) = (r cos ϑ; r sin ϑ;0) beachten.




Φ* g*t (dx) = 1− tt  d ( r cos ϑ) = −1− tt  r sin ϑ d ϑ




0
0
(
)
(
)
Φ* g*t (dy ) = (1− tt0 ) d ( r sin ϑ) + tt0 d ( r ϑ) = (1− tt0 ) r cos ϑ d ϑ + tt0 rd ϑ
PD Dr. rer. nat. habil. Gert Hillebrandt
17
Elektromagnetische Induktion
 




ηt = Φ* gt* (ιgɺ t B ) = 0,1T tr −1− tt  r cos 2 ϑ d ϑ − tt r cos ϑd ϑ − (sin ϑ − ϑ)1− tt  r sin ϑ d ϑ 


0  
0
0
0





= − 0,1T tr 1− tt  r cos 2 ϑ + sin 2 ϑ + tt r cos ϑ − 1− tt  r ϑ sin ϑ d ϑ




0 
0
0
0
(
)
(
)




2 
= − 0,1T rt 1− tt  + tt cos ϑ − 1− tt  ϑ sin ϑ  d ϑ


0
0 
0
0

2 
= − 0,1T rt  (1− tt )(1− ϑ sin ϑ) + tt cos ϑ d ϑ

0 
0
0
π
2
uind
2
= − ∫ ηt d ϑ = 0,1T r
t0
π
−2
r2
π
2
(
)∫
(
)
= 0,1T t 1− tt
0
0
π
2



1− tt (1− ϑ sin ϑ ) + tt cos ϑ d ϑ


0


0
π 
∫
−2
r2
− π2
(1− ϑ sin ϑ) d ϑ + 0,1T t tt
0 0
π
2
∫ cos ϑ d ϑ
− π2

2 
= 0,1T rt  1− tt (π −1) + 2 tt 
0 
0
0 
2 

= 0,1T rt  (π −1) − tt (π + 3)
0 
0

Für r = 0,1m und t0 = 0, 05s ergibt sich ein Potentialgefälle von
0, 02  π − 2 − (π − 4)20 st  V =  0, 023 + 0, 086 st  V , 0 ≤ t ≤ 0, 05s .
Interpretation:
Natürlich steigt das Potentialgefälle schlagartig von 0 V auf die maximale Spannung 0,0228V an, um dann weiter linear
auf 0, 0237 V zu steigen. Dies könnte mit einem Oszilloskop überprüft werden. Eventuell sind die Zwischenstände des
Leiters Ellipsen. Dann muss die Berechnung der Bewegung neu durchgeführt werden. Nun soll aber die Bewegung noch
in den Koordinaten ( x; y; z ) beschrieben werden.
Wegen
x = r cos ϑ ,
y = r sin ϑ
erhalten
wir
r = x2 + y2
und
y
ϑ = tan−1 x . Damit erhalten wir die
Bewegungsgleichung
(
)

y 
y
gt ( x; y; z ) =  x 1− tt ; y 1− tt + tt x 2 + y 2 tan−1 x ; 0 und gɺ t = − tx ∂ − t1 y − x 2 + y 2 tan−1 x ∂∂y .

0 ∂x
0
0
0
0

(
Das
innere
) (
)
Produkt
mit
(
der
magnetischen
Flussdichte
B = −0,1T dx ∧ dy
ergibt
)


y
ιgɺ t B = 0,1T⋅  tx dy − t1 y − x 2 + y 2 tan−1 x dx . Zu guter Letzt ist g*t (ιgɺ t B) zu berechnen.
0

 0
(
)
((
Dazu berechnen wir g*t (dx) = d g*t ( x) = d x 1− tt
0
)) = (1− tt ) dx
0
und
PD Dr. rer. nat. habil. Gert Hillebrandt
18
Elektromagnetische Induktion
 

y
g*t (dy ) = d g*t ( y ) = d  y 1− t  + t x 2 + y 2 tan−1 
  t0  t0
x 

y








y

 dy
−1 y
2
2
−1 y
2
2
x
x2
1
1
t
t
t
=t 
tan
− x +y
tan
+
x +y
 dx +  1− t + t 
2
y 2 
y
0
2
2
0
0
2
2
x
x
x

1 + ( x ) 
1 + ( x ) 
 x + y

 x + y

(
)
(
= tt
0
1
x2 + y 2




 x tan−1 y − y dx + 1− t  + t




x

 t0  t0
)


 y tan−1 y + x dy.


x
x2 + y2 

1
Folglich ist
(
)


y
g*t (ιgɺ t B ) = 0,1T⋅  tx g*t (dy ) − t1 y − x 2 + y 2 tan−1 x g*t (dx)
0
 0







1
 x tan−1 y − y dx + 1− t  + t
= 0,1T⋅ tx  tt



0
0
2
2
x
t0


t



x +y
0


(
y
)(
)



 y tan−1 y + x dy 
x
 
x2 + y 2 
 
1
−0,1T t1 y − x 2 + y 2 tan−1 x 1− tt dx.
0
0





y

x
 x tan−1 y − y  + y − x 2 + y 2 tan−1 xy  dx
g*t (ιgɺ t B ) = − 0,1T⋅ t1  y − x 2 + y 2 tan−1 x − tt 

0
0  x2 + y 2 
x







1
 y tan−1 y + x dy.
+0,1T⋅ tx 1− t + t
0
t0 t0 x 2 + y 2 
x



(
)
(
)
Bleibt nur noch die Parametertransformation der Leiterlänge zu berechnen. Mit Φ (ϑ) = (r cos ϑ; r sin ϑ;0) folgt
(
)
ηt = Φt*  g*t (ιgɺ t A) = − 0,1T⋅ t1  ( r sin ϑ − r ⋅ ϑ) − tt (cos ϑ ( r cos ϑ ⋅ ϑ − r sin ϑ) + (r sin ϑ − r ⋅ ϑ)) (−r sin ϑ)
0
0



+ 0,1T⋅ t1 r cos ϑ (1− tt ) + tt cos ϑ (r sin ϑ ⋅ ϑ + r cos ϑ ) r cos ϑ  d ϑ
0
0
0

(
)
2
= 0,1T⋅ rt [1− sin ϑ ⋅ ϑ − tt (sin ϑ cos 2 ϑ ⋅ ϑ − cos ϑ sin 2 ϑ + sin 2 ϑ − sin ϑ ⋅ ϑ + cos 2 ϑ − cos 2 ϑ sin ϑ ⋅ ϑ − cos3 ϑ) d ϑ
0

0
2
= 0,1T⋅ rt 1− sin ϑ ⋅ ϑ − tt (1− sin ϑ ⋅ ϑ − cos ϑ) d ϑ.
0 
0

2
Nach langer Rechnung haben wir auch ηt = 0,1T⋅ rt 1− sin ϑ ⋅ ϑ − tt (1− sin ϑ ⋅ ϑ − cos ϑ) d ϑ gefunden.
0 
0

7.
Ein sehr langer dünner Generatorleiter mit Radius r0 werde vom Strom i = I sin ωt durchflossen. Ein zweiter kurzer
Leiter der Länge a liege parallel im Abstand x dazu. Berechne die im parallelen Leiter induzierte Spannung.
Lösung:
+
{
}
Wir betrachten die Halbebene H = ( x,0, z ) x > r0 . Der Leiter liege rotationssymmetrisch in der z-Achse. Die
magnetische Feldstärke ist bekanntlich auch um den Leiter rotationssymmetrisch, so dass auch Zylinderkoordinaten
verwendet werden könnten.
Nach (Biot-Savart und Ampère) gilt für den Betrag der magnetische Flussdichte Bt = I
µ
0
r , wenn der Leiter ∞ lang
2π r 2
ist. Dieser Fall existiert nicht wirklich! Folglich ist die magnetische Flussdichte in der Ebene y = 0 zu beschreiben:
Bt ( x, y, z ) = I
Nun ist Bt (r0 , y, z ) = I
µ0
sin ωt 1x dx ∧ dz .
2π
µ0
sin ωt dx ∧ dz auf der Oberfläche des Leiters. Integrieren wir
2πr0
PD Dr. rer. nat. habil. Gert Hillebrandt
∫
Bt , so finden wir
[ r0 , r ]×[ 0, a ]
19
Elektromagnetische Induktion
uind ((r , 0, a), t ) =
∫
[r0 , r ]×[0, a ]
Vs cos ω t ln( r ),
Bt = 2 I ω ⋅ a ⋅10−7 Am
r
0
r > 0.
Sie nimmt mit dem Abstand r zu!
Wird ein zweiter Leiter der Länge a parallel zum ersten im Abstand d zum ersten gelegt und mit Leitern zu einer
Rechteckschleife verbunden, so verschwindet die Eichtransformation und wir erhalten die Induktionsspannung
uind (t ) = uind ((r + d , 0, a ), t ) − uind ((r , 0, a ), t ) = −I ω a
(
)
µ0  r+d
µ

ln r0 − ln rr0  cos ω t = I ω a 0 ln 1 + dr cos ω t , r > 0.
2π 
2
π

Dies stimmt mit der physikalischen Induktionsspannung überein, hat aber real keine Relevanz.
Diskussion
Dieser Fall des unendlich langen Leiters existiert nicht wirklich! Nur für theoretische Physiker. Jedoch kann an diesem
einfachen Beispiel einiges gelernt werden.
Dazu betrachten wir noch einmal die Gleichung d x αt = Bɺ t + ιgɺ t d x Bt = Bɺ t + ιgɺ t ρ mt . Wir lernen hier sofort, dass das BFeld angepasst ist, d.h. d x Bt = 0 . Damit muss αt = Aɺ t sein! Ein fataler Irrtum! Wird hier nicht nachgebessert, drehen
wir uns im Kreis. Damit ist eine genaue Rechnung überflüssig. Der eigentliche Fehler liegt im Gesetz von Biot-Savart.
Vergleiche hierzu „Kritische Gedanken zur Elektrodynamik“.
http://www.dr-gert-hillebrandt.de/pdf/Universitaet/Physik/Kritische%20Gedanken%20zur%20Elektrophysik.pdf
8.
Der parallele Leiter wird nun in x − Richtung mit der Geschwindigkeit v bewegt. Wie groß ist die induzierte Spannung?
Lösung:
a) Gehen wir von Bt = I
µ0
µ
1
1
sin ω t x dx ∧ dz aus, so erhalten wir ιv ∂ Bt = I 0 sin ω t x+vt v dz und damit
2π
2π
∂x
uind (t ) = I
b) Gehen
ι
∂ B
v
∂r
wir
von
B ( r , z , t ) = I sin ω t ⋅
(r , z, t ) = I sin ω t ⋅ v
µ0
2π
v
a x+vt sin (ωt ) .

ℓ G −z
µ0 
 dr ∧ dz
z
+

2
2 
4π r  r 2 + (ℓ G − z ) 2
r + z 
aus,
so
erhalten
wir


ℓ G −z

z
 dz und damit
+

4π (r + vt )  (r + vt )2 + (ℓ G − z ) 2
(r + vt )2 + z 2 
µ0
v
uind (v, t ) = I sin (ω t )⋅10−7 Vs
Am (r +vt )
(
(r + vt ) 2 + (ℓ G − z1 ) 2 − (r + vt )2 + (ℓ G − z0 ) 2
)
+ (r + vt )2 + z02 − (r + vt ) 2 + z12 .
a
In beiden Fällen ist gt ( x, y, 0) = ( x + vt , y, 0) . Insbesondere ist wieder uind (t ) = ∫ ηt zu berechnen.
0
Fazit
Alle Fälle, bis auf Beispiel 8 zeigen, dass es nur auf die wirksame Leiterlänge ankommt. Hier geht immer die Fläche
zwischen Generator und Induktionsleiter ein. Das erscheint sehr zweifelhaft. Hier muss meines Erachtens durch eine
hochpräzise Messreihe nachgebessert werden, selbst wenn über den Induktionsleiter gemittelt wird. Besondere
Beachtung sollten hierbei „dicke“ Leiter ( r0 > 5mm ) mit einer hohen Stromstärke erhalten. Mit den neuen Ansätzen
scheint im Induktionsgesetz die bisher unberücksichtigte Raumenergie zu erscheinen!
PD Dr. rer. nat. habil. Gert Hillebrandt
20
Elektromagnetische Induktion
9. Monstein-Experiment [6]
Zwei gleiche Magnete werden parallel gegeneinander geschaltet. Beide Magnete haben an den Polen 0,05 T.
Ein gerader Leiter der Länge 15 cm werde in die Symmetriemitte beider Magnete gelegt. Die magnetische
Induktion ist dort null. Nun werden beide Magnete gleichzeitig gegeneinander mit gleicher Geschwindigkeit
v = 2,64 mm
s gefahren. In der Mitte eines Magneten wird eine magnetische Flussdichte von etwa 0, 001 T
(gemittelt) gemessen.
Berechne die im Leiter induzierte Spannung.
Lösung:
Wir gehen von zwei homogenen Magnetfeldern um den Leiter aus. Die Ausgangslage des Leiters ist
( x, y, z ) = (0, y, 0) . Wir erhalten B1 = 0, 001T dx ∧ dy und B2 = − 0, 001T dx ∧ dy .
Die Bewegungen beschreiben gt ( x, y, 0) = (−x0 + vt , y, 0) und ht ( x, y, 0) = ( x0 − vt , y, 0) . Wir erhalten damit die
∂
∂
Vs
Vektorfelder gɺ t = v ∂x und hɺ t = −v ∂x . Folglich ist ιgɺ t B1 = 0, 002 ⋅ 2 ,64 mm
s m2 dy = ιhɺ t B2 . Eine ParametertransVs
formation ist Φ ( w) := (0, w, 0) . Zu integrieren ist folglich über ηt = 0,004 ⋅ 2,64 mm
s m2 dw .
Die induzierte Spannung berechnet sich zu
0,15m
uind (t ) =
∫
ηt
0m
0,15m
=
∫
0m
0, 004 Vs2 ⋅ 0, 00264 m
s dw
m
0,15m
V
= 0, 00001056 m
∫ dw
0m
−6
= 10,56 ⋅ 0,15 ⋅10
−6
= 1,584 ⋅10
V
V.
Die reale Induktionsspannung weicht von der gemessenen Induktionsspannung ab, da wir in der Mitte eines
Magneten während der Bewegung auch eine Erhöhung der variablen magnetischen Flussdichte messen. Daher
ist die zu erwartende Induktionsspannung auch größer als die berechnete Induktionsspannung. Genauer muss
(
die Zunahme pro mm (Radialsymmetrie) berücksichtigt werden. Insbesondere ist in Et = − ιgɺ t Bt + αt + d x τ
)
der reale Anteil von αt zu ergründen.
Fazit:
Die gemessene Induktionsspannung ist 0, 00317 mV = 3,17 ⋅10−6 V , also doppelt so hoch wie die berechnete.
Da aus dem Protokoll nicht hervorgeht, ob bei 250 Windungen durch 250 oder durch 500 geteilt wurde, um auf
einen Draht zu schließen, kann hier möglicherweise durch 250 und nicht wie es richtig wäre durch 500 (10.
und 11. Beobachtung) geteilt worden sein. Das ist im Versuchsprotokoll nicht erwähnt, folglich auch nicht zu
überprüfen. Die zeitliche Änderung ist null, da die magnetische Flussdichte und somit auch das
Vektorpotential nicht von der Zeit abhängen. Deshalb ist die Ersetzung αɺ t durch ( v ⋅∇) αt in der Formel fatal.
Zu prüfen wäre allerdings, ob ( v ⋅∇) αt , also die Richtungsableitung von αt in Richtung v eine (abgeleitete)
physikalische Bedeutung hat.
Zunächst sollte die Einsform αt
in Et = −(ιgɺ Bt + αt + d x τ ) genauer untersucht werden, um evtl.
t
Rückschlüsse auf Bt zu bekommen. Hier scheint etwas zu fehlen, worauf auch die Fehlinterpretation
des Inhalts der Fläche beruht. In alter Sprechweise muss die Rotation von αt gleich der zeitlichen
Änderung von Bt plus v × ρtm , also rot (αt ) = Bɺ t + v × ρtm (Pseudovektoren) sein.
PD Dr. rer. nat. habil. Gert Hillebrandt
21
Elektromagnetische Induktion
Literatur
[1] Cartan, H.: Differentialrechnung, BI Wissenschaftsverlag, 1. Auflage, 236 Seiten, ISBN 3–411–01442–3
[2] Cartan, H.: Differentialformen, BI Wissenschaftsverlag, 1. Auflage, 250 Seiten, ISBN 3–411–01443–1
[3] Frohne, H. und Ueckert, E.: Elektrische und magnetische Felder, Teubner Studienskripten, 3. Auflage,
Seiten 204 ff, ISBN 3–519–20002–3
[4] Graßmann, H.: Die Mechanik nach den Principien der Ausdehnungslehre, Mathematische
Annalen, Bd. 12, Heft 2, S. 222 – 240 , 9.8.1877, Leipzig
[5] Marinov, Stefan: Devine Electro-Magnetism, East-West, International Publishers, 1993, Seiten
261-264.
[6] Monstein, Christian: Elektromagnetische Induktion ohne Magnetfeld, NET-Journal mit SAFE-
News, Jg. Nr. 2, Heft 6/7 Juni/Juli 1997, Seiten 22 bis 26.
[7] Monstein, Christian: Induktion durch Änderung des magnetischen Vektorpotentials, NET-Journal
mit SAFE-News, Heft Nr. 6/7, 1997, Seiten 22-26.
[8] Catt, Ivor: Energy Current, http://www.ivorcatt.com/6_4.htm
PD Dr. rer. nat. habil. Gert Hillebrandt
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