technische universit ¨at m ¨unchen

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Zentrum Mathematik
P ROF. D R .D R . J ÜRGEN R ICHTER -G EBERT, VANESSA K RUMMECK
Computergestützte Geometrie (Sommersemester 2005)
— Lösungshinweise zu Aufgabenblatt 2 (27. April 2005) —
— Hausaufgaben —
Aufgabe 6. Triangulierungen eines n-Ecks
Sei G ein konvexes n-Eck mit n ∈ N, n ≥ 3.
a) Bestimmen Sie alle möglichen Triangulierungen eines 3-Ecks, eines 4-Ecks, eines 5-Ecks und eines 6-Ecks.
Erstellen Sie jeweils Skizzen. Wieviele Dreiecke haben die Triangulierungen jeweils? Wieviele Möglichkeiten
zu triangulieren gibt es jeweils?
b) Wie viele Dreiecke hat eine Triangulierung von G (für n ∈ N, n ≥ 3)? Beweisen Sie Ihre Aussage.
c) Für n ∈ N, n ≥ 1, sei C(n) die Anzahl aller Möglichkeiten, wie man den Ausdruck a1 · a2 · . . . · an+1
klammern kann. Bei einer zulässigen Klammerung werden in jedem Rechenschritt immer nur zwei Zahlen
miteinander multipliziert; Beispiel für n = 4: [a1 · [[a2 · a3 ] · [a4 · a5 ]]].
Welcher Zusammenhang besteht zwischen möglichen Klammerungen und binären Bäumen? Welcher Zusammenhang besteht zwischen möglichen Klammerungen, binären Bäumen und Triangulierungen von konvexen n-Ecken?
Zeigen Sie: Die Anzahl der Triangulierungen des n-Ecks ist gleich C(n − 2).
Hinweis:
d) Was sind Catalan-Zahlen und in welchem Zusammenhang stehen diese zu der Anzahl der Triangulierungen
eines konvexen n-Ecks?
Hinweis: Bibliothek, Internet ... “Heute ist Selberdenk- und Selberforsch-Tag“ :-)
L ÖSUNGSHINWEIS :
a) Viereck:
Fünfeck:
1
Sechseck:
b) Anzahl der Dreiecke = n − 2.
c) n = 2 (→ 3 Terme):
n = 3 (→ 4 Terme):
n = 4 (→ 5 Terme):
n = 5 (→ 6 Terme):
2