technische universit ¨at m ¨unchen

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Zentrum Mathematik
P ROF. D R .D R . J ÜRGEN R ICHTER -G EBERT, VANESSA K RUMMECK
Computergestützte Geometrie (Sommersemester 2005)
— Aufgabenblatt 2 (27. April 2005) —
— Hausaufgaben —
Aufgabe 6. Triangulierungen eines n-Ecks
Sei G ein konvexes n-Eck mit n ∈ N, n ≥ 3.
a) Bestimmen Sie alle möglichen Triangulierungen eines 3-Ecks, eines 4-Ecks, eines 5-Ecks und eines 6-Ecks.
Erstellen Sie jeweils Skizzen. Wieviele Dreiecke haben die Triangulierungen jeweils? Wieviele Möglichkeiten
zu triangulieren gibt es jeweils?
b) Wie viele Dreiecke hat eine Triangulierung von G (für n ∈ N, n ≥ 3)? Beweisen Sie Ihre Aussage.
c) Für n ∈ N, n ≥ 1, sei C(n) die Anzahl aller Möglichkeiten, wie man den Ausdruck a1 · a2 · . . . · an+1
klammern kann. Bei einer zulässigen Klammerung werden in jedem Rechenschritt immer nur zwei Zahlen
miteinander multipliziert; Beispiel für n = 4: [a1 · [[a2 · a3 ] · [a4 · a5 ]]].
Welcher Zusammenhang besteht zwischen möglichen Klammerungen und binären Bäumen? Welcher Zusammenhang besteht zwischen möglichen Klammerungen, binären Bäumen und Triangulierungen von konvexen n-Ecken?
Zeigen Sie: Die Anzahl der Triangulierungen des n-Ecks ist gleich C(n − 2).
Hinweis:
d) Was sind Catalan-Zahlen und in welchem Zusammenhang stehen diese zu der Anzahl der Triangulierungen
eines konvexen n-Ecks?
Hinweis: Bibliothek, Internet ... “Heute ist Selberdenk- und Selberforsch-Tag“ :-)
Aufgabe 7. Triangulierungen von Polytopen
Eine Triangulierung einer 3-dimensionalen Punktmenge p1 , p2 , . . . , pn ∈ R3 ist eine Zerlegung der konvexen
Hülle conv(p1 , p2 , . . . , pn ) in Tetraeder, so dass gilt:
(i) Die Ecken der Tetraeder sind Ecken der Punktmenge.
(ii) Die Tetraeder überdecken die konvexe Hülle.
(iii) Zwei Tetraeder haben entweder nichts, einen Punkt, eine Kante oder eine Fläche gemeinsam.
Ein Triangulierung heißt minimal (maximal), wenn die Anzahl der benötigten Tetraeder minimal (maximal) ist.
a) Geben Sie eine minimale und eine maximale Triangulierung für die Ecken eines Dreiecksprismas an.
b) Geben Sie eine minimale und eine maximale Triangulierung für die Ecken des Einheitswürfels an.
c) Gegeben sei eine Triangulierung der n Ecken eines konvexen Polytopes. Es sei i die Anzahl der inneren
Kanten der Triangulierung. Zeigen Sie: Für die Anzahl T der Tetraeder gilt
T = n + i − 3.
d) Gegeben sei jetzt folgendes konvexes Polytop mit koplanaren Ecken A, B, C, D:
F
E
G
D
B
C
A
J
H
I
Geben Sie eine minimale Triangulierung an. Wieviele Tetraeder werden benötigt?
e) Jetzt sollen die Punkte A und B des konvexen Polytops aus Aufgabenteil d) ein kleines bisschen nach oben
verschoben werden, so dass die vier Punkte A, B, C, D nicht mehr koplanar sind. Bestimmen Sie auch für
diesen Fall eine minimale Triangulierung. Wieviele Tetreder werden jetzt benötigt?
Aufgabe 8. Flip-Abstand
Geben sei folgende Punktkonfiguration mit zwei verschiedenen Triangulierungen (in grün und rot):
a) Welche Triangulierung ist die Delaunay-Triangulierung?
b) Zeigen Sie, dass man mindestens 16 Flips benötigt, um von der roten zur grünen Triangulierung zu kommen.
c) Zeigen Sie, dass es Punktmengen mit 2n Punkten (n ∈ N) gibt, die Triangulierungen haben, bei denen man
(n − 1)2 Flips benötigt, um zur Delaunay Triangulierung zu kommen.