Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
iv
Einleitung
1
1 Aussagen, Mengen und Quantoren
1.1 Aussagen und logische Verknüpfungen
1.2 Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Die Quantoren ∃ und ∀ . . . . . . . . .
1.4 Verneinung (Negation) von Aussagen .
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3
3
5
7
8
Zahlenbereiche N, Z, Q, R
Bruchrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rechenregeln für reelle Zahlen und Ordnungsrelationen . . . . . . . . . . . . . . .
Intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
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15
16
2 Die
2.1
2.2
2.3
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3 Beweistechniken und einige Beweise Teil I
4 Potenzrechnung, Logarithmen und Rechnen mit
4.1 Potenzen und Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Der Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Die Logarithmengesetze . . . . . . . . . .
4.3 Der Betrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
Beträgen
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5 Gleichungen und Ungleichungen
5.1 Gleichungen und Ungleichungen in einer Variablen . . . . . . .
5.2 Quadratische Gleichungen und Ungleichungen . . . . . . . . . .
5.2.1 Quadratische Gleichungen und Quadratische Ergänzung
5.2.2 Lösungsmengen quadratischer Ungleichungen . . . . . .
5.3 Wurzelgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Bruchungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Betragsungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6 ...in zwei Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
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iv
INHALTSVERZEICHNIS
6 Funktionen
6.1 Definition und Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Eigenschaften von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Die Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
41
47
48
7 Spezielle Funktionen
7.1 Die Potenzfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Die Exponentialfunktion und die Logarithmusfunktion
7.3 Polynomfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4 Allgemeine (affin-)lineare Funktionen . . . . . . . . . .
7.5 Stückweise lineare Funktionen . . . . . . . . . . . . . .
7.6 Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . .
7.6.1 Herleitung und Definition . . . . . . . . . . . .
7.6.2 Die Additionstheoreme . . . . . . . . . . . . . .
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Index
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Kapitel 6
Funktionen
6.1
Definition und Grundlagen
Definition 6.1.1. Seien X, Y Mengen. Eine Vorschrift f , die jedem Element x ∈ X genau
ein Element y ∈ Y zuordnet, heißt Funktion oder auch Abbildung von X nach Y . Wir setzen in diesem Fall f (x) := y. X bezeichnen wir als Definitionsbereich und schreiben hierfür
Def(f ) := Df := X. Weiter bezeichnen wir Y als Werte- oder auch Zielbereich von f . Schreibweise: f : X → Y, x 7→ f (x).
Ist f : X → Y eine Funktion, so heißt Bild(f ) := {y ∈ Y | ∃ x ∈ X : y = f (x)} das Bild oder
auch die Wertemenge oder Bildmenge von f . Man beachte: die Wertemenge einer Funktion, also
die Menge der tatsächlich angenommenen Werte, ist eine – im allgemeinen echte – Teilmenge des
Wertebereichs von f . Zum Beispiel für die Funktion f : R → R, x 7→ x2 ist Bild(f ) = [0, ∞).
Anmerkung: Eine Funktion hat also stets drei „Bestandteile“, neben der eigentlichen Zuordnungsvorschrift x 7→ f (x) nämlich auch Definitions- und Wertebereich. So haben zum Beispiel
die Funktionen
f : R → R, x 7→ x2 ,
g : [0, ∞) → [0, ∞), x 7→ x2
zwar dieselbe Zuordnungsvorschrift x 7→ x2 , aber verschiedene Definitions- und Wertebereiche.
Dies ist zum Beispiel wichtig bei der Frage, ob eine Funktion eine Umkehrfunktion besitzt (dies
ist für g der Fall, aber nicht für f ) - diese Frage werden wir allgemein später im Abschnitt 6.3
behandeln.
Achtung: Wir unterscheiden die Funktion f von ihren Funktionswerten f (x). Insbesondere ist
„f (x)“ keine zulässige Schreibweise für die ganze Funktion f , sondern nur die Bezeichnung des
einen Funktionswertes f (x) für ein festes x ∈ X.
Definition 6.1.2 (Der Graph einer Funktion). Für eine Funktion f : X → Y heißt die Menge
Gf := {(x, y) ∈ X × Y | y = f (x)} der Graph der Funktion f . Gilt X, Y ⊂ R, so ist der Graph Gf
eine Teilmenge des R2 , und die Funktion f läßt sich gut durch ihren Graphen veranschaulichen:
41
42
6. Funktionen
Bild 6.A Graph einer Funktion als Teilmenge des R2
Anmerkung: Der oben beschriebene Funktionenbegriff sollte Ihnen von der Schule geläufig sein
und stellt zudem eine anschauliche und zum Arbeiten auch praktische Begriffsbildung dar. Dennoch ist diese Definition mathematisch noch nicht exakt (was für ein mathematische Objekt ist
eine „Zuordnungsvorschrift“?) - die Beschreibung über den Graphen stellt hingegen eine Möglichkeit dar, Funktionen sehr abstrakt, aber dafür konkret als bestimmte Typen von Mengen zu
definieren. Ohne dies weiter zu vertiefen, soll diese Variante der Definition hier genannt werden:
Definition einer Funktion als Menge. Seien X, Y Mengen. Ein Funktion f von X nach Y
ist eine Teilmenge f ⊆ X × Y so, daß es zu jedem x ∈ X genau ein y ∈ Y gibt mit (x, y) ∈ f .
Wir schreiben in diesem Fall f : X → Y , und für (x, y) ∈ f schreiben wir y = f (x).
Definition 6.1.3 (Hintereinanderausführung von Funktionen). Seien X, Y, Df , Dg Mengen und
f : Df → Y und g : Dg → X beliebige Funktionen. Dann wird die Verkettung von f mit g
definiert als
f ◦ g : Df ◦g → Y,
x 7→ f (g(x))
mit Df ◦g := {x ∈ Dg | g(x) ∈ Df }. Man bezeichnet f ◦ g als die die Hintereinanderausführung
oder auch Verkettung von g und f oder sagt kurz f nach g oder f „Kringel“ g.
√
Beispiel 6.1.4. Seien f : R → R, x 7→ 4 − x2 und g : [0, ∞) → R, x 7→ x. Bestimmen Sie die
Funktionen f ◦ g und g ◦ f mit ihren Definitionsbereichen.
√
Es gilt Df ◦g = {x ≥ 0 | x ∈ R} = [0, ∞), und für alle x ∈ [0, ∞) gilt
√
√
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f ( x) = 4 − ( x)2 = 4 − x.
Umgekehrt ist Dg◦f = {x ∈ R | 4 − x2 ≥ 0} = [−2, 2], und für alle x ∈ [−2, 2] gilt
p
(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(4 − x2 ) = 4 − x2 .
6.1. Definition und Grundlagen
43
Definitionsbereich/Wertemenge reeller Funktionen
Im Folgenden sei stets D ⊂ R und f : D → R eine Funktion. Eine solche Funktion nennt
man auch reellwertige (reelle) Funktion. Wir verwenden in dieser Situation auch die Bezeichnung
Wf := Bild(f ) = {y ∈ R| ∃ x ∈ D : f (x) = y} für die Wertemenge von f .
Oft werden reelle Funktionen - im Gegensatz zur obigen Definition - etwas lax nur durch ihre
Abbildungsvorschrift vorgegeben, und auf eine konkrete Angabe des Definitionsbereiches wird
verzichtet. In diesem Fall bezeichnen wir mit Df den maximalen Definitionsbereich von f , dies ist
die größte Teilmenge von R, auf der die Abbildungsvorschrift x 7→ f (x) noch „sinnvoll“ definiert
ist. Weiter heißt in diesem Fall Wf := {y ∈ R | ∃ x ∈ Df : f (x) = y} die maximale Wertemenge
von f .
Mit dem oben eingeführten Begriff der Verkettung von Funktionen läßt sich mathematisch sauber (wenn auch noch nicht ganz exakt) formulieren, was mit dem „maximalen Definitionsbereich“ einer Zuordnungsvorschrift gemeint ist: Die von uns notierten Zuordnungsvorschriften
sind Terme, die die Verkettung bestimmter elementarer Funktionen darstellen, deren Defini√
√
tionsbereich bekannt ist - wie z.B. der elementaren Funktionen · : [0, ∞) → R, x 7→ x,
log : (0, ∞) → R, x 7→ log(x), oder der Inversionsabbildung R\{0} → R, x 7→ x1 . Der maximalen
Definitionsbereich einer Zuordnungsvorschrift, die sich als Verkettung solcher elementare Funktionen darstellen läßt, ist schlicht der Definitionsbereich dieser Verkettung gemäß der obigen
Definition.
Beispiele 6.1.5.
1. Die Funktion f sei durch die Zuordnungsvorschrift
x 7→ log(−x2 + x + 2)
gegeben. Geben Sie den maximalen Definitionsbereich Df und die Wertemenge Wf an,
indem Sie f in geeigneter Weise als Verkettung zweier Funktionen schreiben.
Lösung: Die Funktion f ist in der Form f = u ◦ v mit den (elementaren) Funktionen
u = log : (0, ∞) → R, x 7→ log(x) und v : R → R, x 7→ −x2 + x + 2. Dann ist
Df = Du◦v = {x ∈ R | x ∈ Dlog } = {x ∈ R | − x2 + x + 2 > 0}.
Durch scharfes Hinsehen erhalten wir die zwei Nullstellen −1 und 2 der quadratischen
Gleichung x2 − x − 2 = 0 (Normalform). Wir verfahren wie in Abschnitt 5.2.2 dargestellt.
Für alle x ∈ R gilt
−x2 + x + 2 > 0 ⇔ x2 − x − 2 < 0 ⇔ (x + 1)(x − 2) < 0 ⇔ x ∈ (−1, 2).
Also ist Df = (−1, 2). Wir bestimmen nun die Wertemenge: Nach Definition gilt
Wf = {log(y) | y = v(x) für ein x ∈ Df }.
44
6. Funktionen
Wir bestimmen daher zunächst die Wertemenge von v: Mit quadratischer Ergänzung erhalten wir
v(x) = −x2 + x + 2 = −(x2 − x − 2) = − (x − 1/2)2 − 1/4 − 2 = 9/4 − (x − 1/2)2
für alle x ∈ R, und hieraus lesen wir ab: Wv = {v(x) | x ∈ Df } = (0, 94 ]. Damit folgt
Wf = {log(y) | y ∈ Wv } = {log(y) | y ∈ (0, 9/4]} = (−∞, log(9/4)].
(Für das letzte „=“ verweisen wir – zunächst – auf die Anschauung, tatsächlich gehen hier
Argumente wie Monotonie und Stetigkeit der Funktion log ein.)
r
1
2. Die Funktion f sei durch die Abbildungsvorschrift x 7→ 1 + gegeben. Bestimmen Sie
x
den maximalen Definitionsbereich Df und die maximale Wertemenge Wf .
r
1
Der Ausdruck 1 + ist sinnvoll definiert, falls x 6= 0 und 1 + x1 ≥ 0 ist. Die zweite
x
Ungleichung ist auf jeden Fall erfüllt für x > 0; Ist hingegen x < 0, so gilt
1+
1
≥ 0 ⇔ x + 1 ≤ 0 ⇔ x ≤ −1.
x
Damit folgt Df = (−∞, −1] ∪ (0, ∞).
Zur Bestimmung der Wertemenge stellen wir zunächst fest, daß Wf ⊆ [0, ∞) ist, da Wurzeln immer
/ Wf , denn wäre f (x) = 1 für ein x ∈ Df ,
q nicht-negativ sind. Außerdem ist 1 ∈
1+
so wäre
1
x
= 1, also auch 1 +
1
x
= 1 und damit
1
x
= 0, was aber nicht möglich ist.
Sei nun umgekehrt y ∈ [0, ∞), y 6= 1. Dann gilt für alle x ∈ Df :
r
1+
1
x
1
= y 2 ⇔ x + 1 = xy 2 ⇔ x − xy 2 = −1
x
1
⇔ x(1 − y 2 ) = −1 ⇔ x = 2
y −1
=
y ⇔1+
(beachte, daß y 2 6= 1, also y 2 − 1 6= 0 ist). Wenn wir zeigen können, daß x := y21−1 ∈ Df
ist, so haben wir gezeigt, daß y = f (x) ∈ Wf ist und damit insgesamt Wf = [0, ∞)\{1}.
Dazu machen wir eine Fallunterscheidung:
Fall 1: y > 1. Dann ist y 2 − 1 > 0, also auch x =
1
y 2 −1
> 0 und damit x ∈ Df .
Fall 2: y < 1, also auch 0 ≤ y 2 < 1. Dann ist −1 ≤ y 2 − 1 < 0, und hieraus folgt
−1 ≥ y21−1 (machen Sie sich dies anhand der Rechenregeln für Ungleichungen klar!). Also
ist x = y21−1 ≤ −1 und damit auch in diesem Fall x ∈ Df .
6.1. Definition und Grundlagen
45
3. Geben Sie den Definitionsbereich der durch die Zuordnungsvorschrift
p
x 7→ − 4 − (x − 1)2
definierten Funktion f an, und skizzieren Sie den Graphen der Funktion.
Lösung: Es gilt Df = {x ∈ R | 4 − (x − 1)2 ≥ 0}. Dazu berechnen wir:
4 − (x − 1)2
⇔
|x − 1|
⇔ −2 ≤ x − 1
⇔
−1 ≤ x
≥
≤
≤
≤
0
2
2
3
für alle x ∈ R, also ist Df = [−1, 3].
Einschub: Die Kreisgleichung In Abschnitt 5.6.1 haben wir die Kreisgleichung für den Einheitskreis, d.h. für den Kreis um Null mit Radius r = 1 kennengelernt: x2 + y 2 = 1. Seien x0 , y0 ∈ R,
r > 0. Dann lautet die allgemeine Kreisgleichung
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r2 ,
x, y, ∈ R
Die Lösungsmenge dieser Gleichung, also die Menge
K := {(x, y) ∈ R2 | (x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r2 } ⊆ R2
beschreibt (im R2 ) einen Kreis um (x0 , y0 ) mit Radius r. Durch Umformung sieht man, daß der
Kreis sich aus den Graphen der Funktionen
f1 : [x0 − r, x0 + r] → R, x 7→
p
r2 − (x − x0 )2 + y0
(oberer Halbkreis)
und
p
f2 : [x0 − r, x0 + r] → R, x 7→ − r2 − (x − x0 )2 + y0
(unterer Halbkreis)
zusammensetzt. Mit den obigen Überlegungen erkennt man, daß der resultierende Kreis aus
einer Verschiebung um x0 „nach rechts“ und y0 „nach oben“ aus dem Kreis um Null mit Radius
r hervorgegangen ist.
Zurück zur Aufgabenstellung: Das gegebene f stellt einen unteren Halbkreis um
(1, 0) mit Radius r = 2 dar:
Bild 6.B
46
6. Funktionen
Als weitere Anwendung der obigen Definition wollen wir uns verschiedenen Manipulationen von
Graphen widmen, wie Verschieben, Spiegeln, Strecken oder Stauchen. Dieses wird durch besonders einfache Verkettungen bewirkt, auch wenn diese der Einfachheit halber nicht mehr explizit
aufgeschrieben werden. Die Betrachtung dieser Verkettungen erlaubt einem häufig, auf einfache
Weise den Graphen der resultierenden Funktion f zu zeichnen oder Definitions- und Bildmenge
zu bestimmen.
Beispiel 6.1.6. Definiere h : R → R, x 7→ −x2 + x + 2.
Es gilt h(x) = −x2 + x + 2 = −(x2 − x − 2) = − (x − 1/2)2 − 1/4 − 2 = − (x − 1/2)2 − 9/4
für alle x ∈ R.
Der Graph von h entsteht nun aus dem Graphen der Funktion g : R → R, x 7→ x2 durch
Verschieben um 1/2 nach rechts, Verschieben um −9/4 nach unten und Spiegelung an der xAchse. Genauer gilt h = f2 ◦ g ◦ f1 mit den Funktionen f1 : R → R, x 7→ x − 1/2 und f2 : R →
R, y 7→ −(y − 9/4).
Daraus ist ersichtlich, daß Df = R und Wf = (−∞, 9/4] gilt.
Wir betrachten nun eine allgemeinere Situation: Die Funktion f (anstelle von h) sei durch
f (x) = ±c · g ± b(·x + a) + d, a, b, c, d ∈ R, b, c > 0
gegeben, wobei g eine elementare Funktion mit Dg = R ist. Ist Dg 6= R, so müssen die Definitionsbereiche der kombinierten Funktionen entsprechen angepaßt werden, worauf wir hier wegen
der Übersichtlichkeit aber nicht eingehen.
Im Folgenden werden wir alle Schritte anhand g(x) = x3 illustrieren.
3
Bild 6.C g(x)
=x
In Bezug auf den Graphen von f (x) = ±c · g ± b(·x + a) + d bewirkt
a eine Verschiebung des Graphen von g um −a entlang der x-Achse (s. Bild 4.M);
b eine 1/b-fache Streckung in Richtung der x-Achse (für b > 1 wird der Graph also gestaucht)
(s. Bild 4.N);
− vor b eine Spiegelung an der Achse x = −a (s. Bild 4.O);
6.2. Eigenschaften von Funktionen
Bild 6.D g(x − 1) = (x − 1)3
47
Bild 6.E g(1/2(x − 1))
Bild 6.F g(−1/2(x − 1))
c eine c-fache Streckung in Richtung der y-Achse (s. Bild 4.P);
− vor c eine Spiegelung an der x-Achse (s. Bild 4.Q);
d eine Verschiebung des Graphen um d in Richtung der y-Achse (s. Bild 4.R).
Bild 6.G 3 · g(−1/2(x − 1))
6.2
Bild 6.H −3 · g(−1/2(x − 1))
Bild 6.I 3 · g(−1/2(x − 1)) + 1
Eigenschaften von Funktionen
Definition 6.2.1 (Monotonie von Funktionen). Eine Funktion f : D → R, x 7→ f (x) heißt auf D
monoton wachsend (fallend), falls für alle x1 , x2 ∈ D mit x1 < x2 gilt
f (x1 ) ≤ f (x2 ) ( bzw. f (x1 ) ≥ f (x2 )) .
Entfallen die Gleichheitszeichen, so spricht man von strenger Monotonie.
Beispiele 6.2.2.
1. Die Funktion f : [0, ∞) → R, x 7→ x2 ist streng monoton wachsend.:
Beweis. Seien x1 , x2 ∈ [0, ∞) mit x1 < x2 . Dann gilt x2 − x1 > 0 und x2 > x1 ≥ 0, also
auch x2 + x1 ≥ x2 > 0 und damit
f (x2 ) − f (x1 ) = x22 − x21 = (x2 − x1 )(x2 + x1 ) > 0,
also f (x1 ) < f (x2 ).
48
6. Funktionen
2. Die Funktion f : R → R, x 7→ x2 ist weder monoton wachsend noch monoton fallend.
Beweis. Es ist −1 < 0 und f (−1) = 1 > 0 = f (0), also ist f nicht monoton wachsend, und
es ist 0 < 1, aber f (0) = 0 < f (1), also ist f auch nicht monoton fallend.
3. Die Wurzelfunktion
√
· : [0, ∞) → R, x 7→
√
x ist streng monoton wachsend.
Beweis. Seien x1 , x2 ∈ [0, ∞) mit x1 < x2 . Dann gilt x2 − x1 > 0 und x2 > x1 ≥ 0, also
√
√
√
auch x2 + x1 ≥ x2 > 0 und damit
f (x2 ) − f (x1 ) =
√
x2 −
√
√
√
√
√
( x2 − x1 )( x2 + x1 )
x2 − x1
=√
x1 =
√
√
√ > 0,
x2 + x1
x2 + x1
also f (x1 ) < f (x2 ).
Definition 6.2.3 (gerade und ungerade Funktionen). Eine Funktion f : R → R, x 7→ f (x) heißt
gerade oder symmetrisch, bzw. ungerade oder antisymmetrisch, wenn gilt
f (−x) = f (x), bzw. f (−x) = −f (x) für alle x ∈ R.
Bild 6.J monoton
wachsende Funktion
6.3
Bild 6.K gerade Funktion
Bild 6.L ungerade Funktion
Die Umkehrfunktion
Dieser Abschnitt ist der Berechnung von Umkehrfunktionen gewidmet. Dabei ist zu beachten,
daß im allgemeinen nicht jede Funktion überhaupt eine Umkehrfunktion besitzt!
Im folgenden sei f : R ⊇ D → R eine reelle Funktion und W = {y ∈ R | ∃ x ∈ D : f (x) = y}
die Wertmenge von f , also die Menge derjenigen reellen Zahlen, die als Funktionswert von f
angenommen werden. Existiert zu jedem y ∈ W genau ein x ∈ D mit y = f (x), so nennt man die
Funktion injektiv. Nach den Ausführungen zum Quantor „Es existiert genau ein ...“ im Rahmen
von Beispiel 1.8.1 (vgl. zweite Vorlesung) ist die Funktion genau dann injektiv, wenn folgendes
gilt:
∀ x1 , x2 ∈ D : f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x1 = x2 .
6.3. Die Umkehrfunktion
49
Ist f injektiv, so heißt die Funktion
f −1 : W → D, y 7→ x, wobei x ∈ D die eindeutige Zahl mit f (x) = y ist,
die Umkehrfunktion von f .
Es gilt also für alle x ∈ D und y ∈ W:
f −1 (f (x)) = x und f (f −1 (y)) = y.
Man kann sich überlegen (wir werden dies in den untenstehenden Beispiele auch tun), daß die
Graphen von f und f −1 symmetrisch zur Geraden y = x liegen, man erhält den Graphen der
Umkehrfunktion f −1 also durch Spiegeln des Graphen von f an der Hauptdiagonalen.
Beispiele 6.3.1. (1) Streng monotone Funktionen sind immer injektiv und besitzen somit
auch immer eine Umkehrfunktionen.
(2) Die Funktion f : [0, ∞) → R, x 7→ x2 ist streng monoton wachsend, vgl. Beispiel 6.2.2
√
(1), also insbesondere injektiv, Ihre Umkehrfunktion ist die Wurzelfunktion · : [0, ∞) →
√
R, x 7→ x.
(3) Die Funktion f : R → R, x 7→ x2 ist nicht injektiv, denn es gilt f (1) = 1 = (−1)2 = f (−1),
aber 1 6= −1, bzw. mit anderen Worten: y := 1 liegt im Wertebereich von f aber besitzt
zwei verschiedene Urbilder.
Wir kommen nun zu etwas aufwendigeren Beispielen, bei denen insbesondere die Umkehrfunktion
zu berechnen ist.
Beispiele 6.3.2.
1. Zeigen Sie, daß die Funktion f : R\{−1} → R, x 7→ x−1
x+1 injektiv ist.
Geben Sie die Umkehrfunktion von f an und zeichnen Sie deren Graphen.
Lösung: Wie auf der Skizze zu sehen ist die Funktion f injektiv und somit invertierbar,
wir geben aber zusätzlich noch einen formalen Beweis: Seien dazu x1 , x2 ∈ R\{−1} mit
f (x1 ) = f (x2 ). Dann gilt
x1 − 1
x2 − 1
= f (x1 ) = f (x2 ) =
,
x1 + 1
x2 + 1
und damit folgt (x1 − 1)(x2 + 1) = (x2 − 1)(x1 + 1), also
x1 x2 − x2 + x1 − 1 = (x1 − 1)(x2 + 1) = (x2 − 1)(x1 + 1) = x2 x1 − x1 + x2 − 1,
und hieraus folgt schließlich −x2 + x1 = −x1 + x2 , also 2x1 = 2x2 und damit x1 = x2 , was
zu zeigen war.
x−1
Zur Bestimmung der Umkehrfunktion müssen wir nun formal die Gleichung y = x+1
nach
x−1
y auflösen. Sei dazu x ∈ R\{−1} und y = x+1 . Dann ist auch y 6= 1, denn es kann nicht
50
6. Funktionen
x − 1 = x + 1 sein. Damit können wir die folgenden Umformungen vornehmen:
⇔
⇔
y6=1
⇔
y = x−1
x+1
(x + 1)y = x − 1
x(y − 1) = −1 − y
y+1
x = − y−1
Dies zeigt, daß es zu jedem y ∈ R\{1} genau ein x ∈ R\{−1} gibt mit f (x)= y, also
ist insbesondere Bild(f ) = R\{1}, und dieses x ist gegeben als x = − y+1
y−1 . Um die
Umkehrfunktion f −1 zu notieren, muß man sich klarmachen, daß das obige y die Variable
sein soll und man daher in der letzten Gleichung x und y vertauschen muß. Wir erhalten
also als Umkehrfunktion:
f
−1
: R\{1} → R\{−1}, x 7→ −
Bild 6.M Graph der Funktion f
x+1
x−1
.
Bild 6.N Graph der Funktion f −1
2. Sei a > 0. Geben Sie den maximalen Definitionsbereich Df und die zugehörige Wertemenge
Wf von der durch die folgende Abbildungsvorschrift definierte reellen Funktion f an:
x 7→
1
√ .
a+ x
Zeigen Sie ferner, daß f injektiv ist und bestimmen Sie die Umkehrfunktion f −1 .
Lösung: Es gilt Df = [0, ∞). Für jedes x ≥ 0 gilt zudem
0<
1
1
1
√ ≤
√ = ,
a
a+ x
a+ 0
6.3. Die Umkehrfunktion
51
also ist Wf ⊆ (0, 1/a]. Sei nun x ≥ 0, dann gilt:
y =
√
a+ x =
√
x =
⇔
⇔
√
x≥0bzw. y≤ a1
⇔
x =
1√
a+ x
1
y
1
y −a
1
y
2
−a
Dies zeigt, daß Wf = (0, 1/a] ist (ist y ∈ (0, 1/a], so ist y = f (x) für x =
und es ergibt sich die Umkehrfunktion
f
−1
: (0, 1/a] → [0, ∞), x 7→
1
−a
x
2
.
1
y
2
− a ∈ Df ),
52
6. Funktionen
Kapitel 7
Spezielle Funktionen
In diesem Kapitel wird eine Reihe von elementaren Funktionen mit ihren Graphen und elementaren Eigenschaften angegeben.
7.1
Die Potenzfunktion
Im Folgenden verwenden wir die Notationen R>0 := (0, ∞), R<0 := (−∞, 0) und R≥0 := [0, ∞).
Man nennt R>0 die positiven Zahlen, R<0 die negativen Zahlen und R≥0 die nicht-negativen
Zahlen.
Eine Funktion f : Df → R, für die es ein r ∈ Q gibt mit
f (x) = xr
für alle x ∈ Df ,
heißt Potenzfunktion. Dabei unterscheiden wir die folgenden Fälle:
1. r = 0. f ist eine konstante Funktion mit (maximalem) Definitionsbereich Df = R.
2. r = 1. f ist eine lineare Funktion (siehe auch Abschnitt 7.4), Df = R.
3. r ∈ N, r ≥ 2. Df = R.
4. r ∈ Z, r ≤ −1. Df = R \ {0}
5. r 6∈ N, r > 0. Df = R≥0 .
6. r 6∈ Z, r < 0. Df = R>0
53
54
7. Spezielle Funktionen
Bild 7.A
Bild 7.B
Beispiel 7.1.1. Es sei n ∈ N, n ≥ 2. Dann ist die Funktion f : [0, ∞) → R, x 7→ xn injektiv
(denn f ist streng monoton wachsen), und die Umkehrfunktion f −1 ist gegeben durch
f −1 (x) =
√
n
1
x = x n für alle x ∈ Df −1 = [0, ∞).
Der Graph der Umkehrfunktion f −1 entsteht durch Spiegelung des Graphen von f an der Achse
x = y, wie man in Bild 4.E sehen kann.
Allgemeiner gilt: Jede Potenzfunktion f : Df → R, x 7→ xr mit r ∈ Q\{0} ist injektiv und besitzt
eine Umkehrfunktion, die selbst wieder eine Potenzfunktion ist, nämlich
1
f −1 : Wf → R, x 7→ x r .
7.2
Die Exponentialfunktion und die Logarithmusfunktion
Sei a > 0, a 6= 1. Die Funktion
f : R → R, x 7→ ax = ex log(a)
nennt man Exponentialfunktion mit Basis a. Im Fall a = e heißt f einfach die Exponentialfunktion.
Man beachte: Nach dem Kommentaren in Abschnitt 2.1.3 haben wir ax für x ∈ R\Q noch gar
nicht definiert. Dies wird aber im Rahmen der Vorlesung Analysis 1 nachgeholt.
Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion zur Basis a ist die Logarithmusfunktion
loga : R>0 → R, x 7→ loga (x)
7.3. Polynomfunktionen
55
Bild 7.C
7.3
Polynomfunktionen
Als Polynomfunktionen bezeichnen wir bestimmte Summen von Potenzfunktionen.
Ein Funktion p : R → R gegeben durch
p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + ... + an xn ,
für alle x ∈ R mit a0 , a1 , ..., an ∈ R, n ∈ N0 ,
nennen wir eine Polynomfunktion. Ist an 6= 0, so ist p eine Polynomfunktion n-ten Grades und
n heißt der Grad von p.
Eine Polynomfunktion n-ten Grades hat höchstens n Nullstellen.
Bild 7.D Graph einer Polynomfkt. fünften Grades
56
7. Spezielle Funktionen
7.4
Allgemeine (affin-)lineare Funktionen
Definition 7.4.1 (Lineare Funktion). Eine Funktion f : R → R heißt linear, wenn für alle
x, y, c ∈ R gilt
f (x + y) = f (x) + f (y)
und f (cx) = c f (x).
Wie man leicht einsieht, ist für jedes b ∈ R die Funktion fb : R → R, x 7→ b · x linear im Sinne
dieser Definition. Tatsächlich sind dies auch schon alle lineare Funktionen, es gilt also:
Ist f : R → R linear, so gibt es ein b ∈ R mit f = fb .
Wir wollen dieses Aussage beweisen. Dafür überlegen wir vorab: Wenn es ein solches b gibt, so
muß insbesondere f (1) = fb (1) = b · 1 = b sein. Wir nehmen dies nun umgekehrt also Motivation,
b = f (1) zu wählen, was auch zum gewünschten Ziel führt – dies zeigt der folgende
Beweis. Sei f : R → R linear. Definiere b := f (1). Wir zeigen, daß dann f = fb ist. Sei dazu
x ∈ R beliebig, dann gilt
f (x) = f (x · 1)
f linear
=
x · f (1) = b · x = fb (x).
Also ist f = fb .
Insbesondere gilt für lineare Funktionen f immer f (0) = 0.
Allgemeiner betrachtet man auch verschobene lineare Funktionen: Die Funktion
f : R → R, x 7→ a + bx
mit a, b ∈ R,
nennt man allgemeine lineare Funktion bzw. genauer allgemeine affin-lineare Funktion.1 Die
Funktion f ist eine Polynomfunktion ersten Grades.
Beispiel 7.4.2. Skizzieren Sie den Graphen solch einer Funktion im Falle
1. a = 0, b = 2
2. a = 1, b = 0
3. a = −1, b = −0.5
7.5
Stückweise lineare Funktionen
Wir bringen nun ein Beispiel einer immer noch einfachen Funktion, die aber nicht zu den elementaren Funktionen gehört. Dennoch läßt sie sich durch Fallunterscheidungen aus elementaren
(nämlich affin-linearen) Funktionen zusammensetzen.
1
Wir bereiten hier bereits die Begriffsbildung vor, die Sie in der Vorlesung Lineare Algebra 1 kennenlernen
werden, dort ist die Bezeichnung lineare Funktion für den Fall a = 0 reserviert. Der Zusatz „affin“ steht für den
möglichen Fall a 6= 0.
7.5. Stückweise lineare Funktionen
57
Beispiel 7.5.1. Schreiben Sie die Funktion f : R → R, x 7→ 2 − |1 − x| − |x + 2| ohne Beträge,
indem Sie sie auf geeigneten Intervallen als affin-lineare Funktionen schreiben. Skizzieren Sie
ihren Graphen.
Lösung: Zunächst ermitteln wir die kritischen Punkte, in denen die Terme innerhalb der Betragsstriche das Vorzeichen wechseln. Das sind die Punkte 1 und −2.
Das führt uns auf die drei Teilintervalle von R: (−∞, −2), [−2, 1) und [1, ∞) auf denen eine
einheitliche Darstellung ohne Beträge möglich ist.
Sei x ∈ (−∞, −2): Hier gilt
f (x) = 2 − |1 − x| − |x + 2| = 2 − (1 − x) + (x + 2) = 3 + 2x
Sei x ∈ [−2, 1): Hier gilt:
Sei x ∈ [1, ∞): Hier gilt
f (x) = 2 − (1 − x) − (x + 2) = −1.
f (x) = 2 + (1 − x) − (x + 2) = −2x + 1
Insgesamt ist



3 + 2x x < −2
f (x) = −1
−2 ≤ x < 1


1 − 2x x ≥ 1
Bild 7.E Graph der Funktion f
58
7. Spezielle Funktionen
7.6
Trigonometrische Funktionen
7.6.1
Herleitung und Definition
Für ein rechtwinkliges Dreieck gelten die Definitionen
sin α := Gegenkathete/Hypotenuse,
cos α := Ankathete/Hypotenuse,
tan α := Gegenkathete/Ankathete.
Diese Definition ist nur für α < 90◦ möglich.
Bild 7.F
Die sog. Trigonometrischen Funktionen sin und cos erweitern diese Darstellung auf den Definitionsbereich R. Dies soll aus der Anschauung des Einheitskreises hergeleitet werden.
Bild 7.G
Umrechnung von Grad- und Bogenmaß
Der Umfang des Einheitskreises ist 2π. Daraus leitet sich das Bogenmaß ab, das im Folgenden statt des Gradmaßes verwendet wird. Es gilt 180◦ =π,
b zwischen dem Gradmaß a und dem
Bogenmaß b bestehen also die Beziehungen
a◦ =
180
b
π
und b =
π ◦
a .
180
Dabei wird das Bogenmaß als eine reelle Zahl interpretiert, man hat also keine Maßeinheit für b.
7.6. Trigonometrische Funktionen
59
Über die Anschauung am Einheitskreis können wir die Definition von Sinus und Cosinus auf
beliebige reelle Zahlen aussdehnen, wobei wir diese als Winkel gemessen im Bogenmaß auffassen.
So erhalten wir die Funktionen sin : R → R, x 7→ sin(x) und cos : R → R, x 7→ cos(x), und wir
können folgendes ablesen: Die Wertemengen Wsin und Wcos sind jeweils das Intervall [−1, 1].
Schaubild des Sinus und Cosinus.
Bild 7.H
Schaubild des Tangens und Cotangens.
Der Tangens
tan(x) :=
sin(x)
cos(x)
ist definiert auf
R \ {x | cos(x) = 0}
= R \ {kπ + π2 |k ∈ Z}.
Der Cotangens
cot(x) :=
cos(x)
sin(x)
ist definiert auf
R \ {x | sin(x) = 0}
= R \ {kπ | k ∈ Z}.
Bild 7.I
Die Funktionen sin und cos, bzw. tan und cot sind periodisch mit den Perioden 2π bzw. π, das
heißt, für alle x ∈ R und k ∈ Z gilt
sin(x) = sin(x + 2kπ),
cos x = cos(x + 2kπ),
tan(x) = tan(x + kπ),
cot x = cot(x + kπ).
60
7. Spezielle Funktionen
7.6.2
Die Additionstheoreme
Seien x, y ∈ R. Dann gilt:
1. sin2 (x) + cos2 (x) = 1, mit der Schreibweise sin2 (x) := (sin(x))2 ,
2. sin(x ± y) = sin(x) cos(y) ± cos(x) sin(y),
3. cos(x ± y) = cos(x) cos(y) ∓ sin(x) sin(y).
Die Additionstheoreme lassen sich geometrisch am Einheitskreis herleiten. Außerdem werden sie
im Rahmen der Analysis-Vorlesung mit analytischen Methoden bewiesen, denen aber insbesondere eine formale Definition der Funktionen sin, cos zugrunde liegen.
Setzt man bei 2. und 3. den Spezialfall x = y ein, so erhält man
sin(2x) = 2 sin(x) cos(x)
und cos(2x) = cos2 (x) − sin2 (x)
für alle x ∈ R.
Beispiel 7.6.1. Sei x ∈ R, dann folgt mit den Additionstheoremen:
cos(2x) = cos2 (x) − sin2 (x) = cos2 (x) − 1 − cos2 (x) = 2 cos2 (x) − 1,
1
bzw. cos2 (x) = (cos(2x) + 1).
2
Neben der bereits formulierten 2π-Periodizität kann man noch weitere Symmetrien von sin und
cos aus der Definition am Einheitskreis ablesen, etwa:
∀ x ∈ R : sin(x + π) = − sin(x)
und cos(x + π) = − cos(x).
Beispiel 7.6.2. Machen Sie sich anschaulich klar, daß für alle x ∈ R gilt
π
π
sin x +
= cos(x) und cos x +
= − sin(x),
2
2
und beweisen Sie dies mit den Additionstheoremen.
Spezielle Werte von Sinus, Cosinus und Tangens.
a) Leiten Sie folgende spezielle Funktionswerte am Einheitskreis her.
x in
◦
x im Bogenmaß
sin x
cos x
tan x
0◦
30◦
45◦
b) Mithilfe der Ergebnisse aus a) und den Additionstheoremen berechnen Sie sin(π/8) und
cos(π/8).
Index
<, 15
=, 15
>, 15
A \ B, 7
D, 43
L, 16
⇔, 4
N, 11
Q, 11
R2 , 37
R>0 , R>0 , R≥0 , 53
⇒, 4
W, 43
Z, 11
∅, 7
≥, 15
∈, 5
≤, 15
logb a, 26
¬, 4
⊇, 6
π, 12
⊆, 6
∨, 4
∧, 4
f ◦ g, 42
Df , 43
Wf , 43
Abbildung, 41
Additionstheoreme, 60
allgemeine lineare Funktion, 56
Aussage, 3
Basis, 24, 26
Betrag, 28
Betragsungleichungen, 36
Beweistechniken, 19
Bild, 41
Bildmenge, 41
binomische Formeln, 15
Bogenlänge des Einheitskreises, 12, 58
Bogenmaß., 58
Bruchrechnung, 12, 20
Bruchungleichungen, 35
Cosinus, 59
Cotangens, 59
Definitionsbereich, 41
Definitionsmenge, 29, 30
Eigenschaft, 6, 8
Einheitskreis, 45, 58
Element einer Menge, 5
elementare Funktionen, 53
euklidische Ebene, 37
Exponent, 24
Exponentialfunktion, 54
Fallunterscheidungen, 35
Funktion, 41
gerade, 48
symmetrische, 48
trigonometrische Funktion, 58
ungerade, 48
Funktionen
elementare, 53
ganze Zahlen, 11
gerade Funktion, 48
Gradmaß, 58
61
62
Graph einer Funktion, 41
INDEX
ganzzahlige Exponenten, 24
rationale Exponenten, 25
Hintereinanderausführung von Funktionen, 42
injektiv, 48
Intervall, 16
abgeschlossenes, 16
offenes, 16
kartesisches Produkt, 7, 37
Kreisgleichung, 45
Kreuzprodukt, 7
Lösungsmenge, 16
leere Menge, 7
Logarithmengesetze, 27
Logarithmus, 26
Basis, 26
Logarithmusfunktion, 54
logische Verknüpfungen, 3
maximale Wertemenge, 43
maximaler Definitionsbereich, 43
Menge, 5
monoton, 47
fallend, 47
wachsend, 47
natürliche Zahlen, 11
Negation, 8
negative Zahlen, 53
nicht-negative Zahlen, 53
Obermenge, 6
Parabel, 33
Polynom, 55
n-ten Grades, 55
positive Zahlen, 53
Potenz, 24
gebrochene, 25
mit ganzzahligem Exponenten, 24
mit rationalem Exponenten, 25
Potenzfunktionen, 53
Potenzgesetze
quadratische Gleichungen, 31
quadratische Ungleichungen, 31
quadratisches Ergänzen, 31
Quantoren, 7
rationale Gleichung, 34
rationale Zahlen, 11
reelle Zahlen
Rechenregeln, 15
reellwertige Funktion, 43
relatives Komplement, 7
Schnittmenge, 7
Sinus, 59
streng monoton, 47
symmetrisch, 48
Tangens, 59
Tautologische Äquivalenz, 4
Teilmenge, 6
trigonometrische Funktionen, 58
spezielle Werte, 60
Umkehrfunktion, 48
Umrechenformel, 27
ungerade Funktion, 48
Ungleichungen
Regeln, 16
Vereinigungsmenge, 7
Verkettung von Funktionen, 42
Verneinung, 8
Wertebereich, 41
Wertemenge, 41, 43
Wurzel, 24
q-te, 24
Wurzelgesetze, 25
Wurzelgleichungen, 34
Zielbereich, 41
Zuordnungsvorschrift, 41