1. Übungsblatt zur Numerischen Mathematik I

Prof. Dr. Christian Kanzow
Dr. Alexandra Schwartz
Wintersemester 2012/13
15.10.2012
1. Übungsblatt zur Numerischen Mathematik I
Aufgabe 1 (Programmieraufgabe)
(4 Punkte)
Für die Seitenlänge sn eines dem Einheitskreis (Kreis mit Radius 1) einbeschriebenen n-Ecks
gilt laut Vorlesung die Rekursionsformel
q
p
s2n = 2 − 4 − s2n ,
(1)
die äquivalent auch geschrieben werden kann als
sn
s2n = q
.
p
2 + 4 − s2n
(2)
Schreiben Sie ein einfaches Computerprogramm zur näherungsweisen Bestimmung der Zahl π
unter Verwendung dieser beiden Rekursionsformeln, ausgehend von s6 = 1. (Zur Erinnerung:
nsn → 2π, jedenfalls in exakter Arithmetik.)
Aufgabe 2
(1+1+2 Punkte)
Sei f : R → R eine gegebene Funktion, von der wir annehmen, dass wir sie in jedem Punkt
x ∈ R exakt auswerten können. Dann stellt sich die Frage, wie kleine Störungen im Argument
x sich auf das Bild y := f (x) auswirken. Zu diesem Zweck definiert man für eine stetig
differenzierbare Funktion f und einen Punkt x mit f (x) 6= 0 die relative Konditionszahl von
f in x als
|f 0 (x) · x|
.
κrel :=
|f (x)|
Beachte: κrel hängt sowohl von f als auch x ab, auch wenn dies in der Notation nicht zum
Ausdruck gebracht wird.
(a) Zeigen Sie, dass
|∆y|
|∆x|
≈ κrel
|y|
|x|
gilt, wobei für eine Störung ∆x des Arguments ∆y := f (x+∆x)−f (x) die resultierende
Störung im Bild sei.
(b) Bestimmen Sie κrel für die folgenden Funktionen:
f1 (x) := x + a
(a ∈ R fest),
f2 (x) := a · x
(a ∈ R fest),
f2 (x) := (x − 1)n (n ∈ N fest).
Wann wird κrel groß?
(c) Bestimmen Sie für die Funktion f (x) := 1 − cos x und einen Punkt x ≈ 0 die relative
Konditionszahl κrel näherungsweise. (In x = 0 ist κrel nicht definiert!)
Aufgabe 3
(1+1+1+1 Punkte)
Die beiden Nullstellen des quadratischen Polynoms p(x) := x2 + px + q sind bekanntlich
gegeben durch
r p
p 2
x1,2 = − ±
−q
(pq-Formel).
2
2
(a) Zeigen Sie, dass dann x1 x2 = q gilt (Satz von Vieta).
(b) Berechnen Sie die Nullstellen x1 , x2 des Polynoms x2 − 12x + 1 unter Verwendung einer
3-stelligen Rechnung (Mantissenlänge t = 3), und zwar zum einen unter Benutzung der
pq-Formel und zum anderen unter Verwendung der pq-Formel für die betragsgrößere
Nullstelle sowie des Satzes von Vieta für die betragskleinere Nullstelle.
(c) Ebenso wie in Teil (b), aber für das Polynom x2 − 26x + 1.
(d) Welches sind die exakten Nullstellen (exakt im Sinne eines Taschenrechners oder Computers) der beiden Polynome aus (b) und (c)? Wie groß sind die relativen Fehler für diese
Nullstellen, wenn man sie mit den Ergebnissen aus den Teilen (b) und (c) vergleicht?
Aufgabe 4
Sei f : R → R eine stetig differenzierbare Funktion mit
0
f (x) − f 0 (y) ≤ L|x − y| ∀x, y ∈ R
(4 Punkte)
für eine Lipschitz–Konstante L > 0. Statt der eventuell komplizierten Funktion f (etwa
exp, sin, cos) steht auf dem Computer nur eine Näherung f˜ zur Verfügung, für die allerdings
die Abschätzung
f˜(x) − f (x) ≤ eps ∀x ∈ R
gelte, wobei eps die Maschinengenauigkeit bezeichne. Zur numerischen Approximation der
Ableitung f 0 (x) soll nun der Differenzenquotient
f˜(x + h) − f˜(x)
h
mit einem kleinen h > 0 benutzt werden. Zeigen Sie, dass dann die Abschätzung
2eps Lh
f˜(x + h) − f˜(x)
0
−
f
(x)
+
≤
h
h
2
gilt. Wie würden Sie h (im Hinblick auf diese Ungleichung) wählen?
Abgabe: Bis Dienstag, den 23. Oktober 2012, 14:15 Uhr, in die dafür vorgesehenen
Briefkästen im naturwissenschaftlichen Hörsaalgebäude (vor der ehemaligen Teilbibliothek der
Mathematik).