Lösung Aufgabe 1.1 a) Ausgangspunkt (2. Newtonsches Gesetz

Lösung Aufgabe 1.1
a)
Ausgangspunkt (2. Newtonsches Gesetz): F⃗ = m ⃗a
Definitionen der Beschleunigung (Änderung der Geschwindigkeit mit der Zeit): ⃗a =
d⃗v
dt
Hier: Bewegung der Masse auf einer Kreisbahn mit konstanter Drehzahl n
Lageplan
→
Betrag der Geschwindigkeit ändert sich nicht
→
Richtung der Geschwindigkeit ändert sich fortwährend
v (t+dt)
a (t+dt)
Zur Berechnung der Beschleunigung wird der Massenpunkt M zu
zwei verschiedenen Zeitpunkten t und t = dt (siehe Lageplan)
betrachtet und die Änderung der Geschwindigkeit ermittelt (siehe
Vektorplan):
⃗v (t = dt) = ⃗v (t) + d⃗v
v (t)
ds
d.h. die Beschleunigung erzeugt die notwendige Richtungsänderung der Geschwindigkeit
dϕ
ϕ (t)
R
a (t)
Vektorplan
dv
Ausrechnung:
v (t)
v (t+dt)
skalar
d⃗v = d⃗
φ × ⃗v
dv = v dφ
a=
dφ
dv
=v
= v φ̇
dt
dt
⃗a =
d⃗
φ
d⃗v
=
× ⃗v = φ
⃗˙ × ⃗v
dt
dt
v=
ds
dφ
=R
= R φ̇
dt
dt
⃗v =
d⃗s
dφ ⃗
⃗
=
×R=φ
⃗˙ × R
dt
dt
⇒
dϕ
vektoriell
a = aM = R φ̇2
⇒
⃗
⃗a = ⃗aM = φ
⃗˙ × (φ
⃗˙ × R)
d⃗
φ
Bemerkung: die Vektoren φ
⃗ und φ
⃗˙ =
zeigen
dt
in Richtung der Drehachse, senkrecht zur Ebene der
Bewegung, mit dem nach der Rechtsschraubenregel
festgelegten Richtungssinn.
Es ist:
dφ
∆φ
2π
1
dφ
= φ̇ = const ⇒
=
=
wobei T die Zeit für eine Umdrehung ist: T = .
dt
dt
∆t
T
n
⇒
aM = R (2π n)2
1
b) Verknüpfung mit der gemessenen Kraft:
M=
F
F
=
aM
R (2π n)2
Freischnitt
M
Zahlenwerte:
M=
F
a
F
1275, 52 N
=
= 0, 4 kg
2
R (2π n)
4 m (2π 260 (60 s)−1 )2
c) Bilanzsystem: differentielles Massenelement dm des Seiles am Ort r mit 0 ≤ r ≤ R
Kräftebilanz in r-Richtung am Freischnitt für das Seilelement:
dm a(r) = µdr a(r) = −S(r)+S(r+dr) = dS(r)
Vorzeichenkontrolle: a(r) > 0 ⇔ dS(r) < 0
a(r) = r φ̇2
mit
√
Freischnitte
dm = µ dr
S (r)
S (r+dr)
Wir erhalten die Differentialgleichung (DGL):
a(r)
µrφ̇2 dr = −dS
r
Unbestimmete Integration liefert:
S(r) = −1/2µr2 φ̇2 + C0 ,
dr
M
R
S (R)
C0 = const
a(R)
Die freie Konstante C0 wird aus Randbedingungen bestimmt. Am Seilende kennen wir aus b)
die Kraft S(R) = +Fb) (Richtungssinn mit actio = reactio!):
r=R:
S(r = R) = M Rφ̇2 ( siehe b) )
Eingesetzt: S(r) = M Rφ̇2 + µ
⇒
R
C0 = (M + µ )Rφ̇2
2
R2 2 (
r )
φ̇ 1 − ( )2
2
R
Neuer Kraftwert am Kreismittelpunkt: S(r = 0) = F = (M +
m 2 2
)R φ̇
2
Verbesserte Bestimmung der Masse M aus:
M=
Freischnitt
F
R
F
mSeil
−µ =
−
2
2
Rφ̇
2
Rφ̇
2
Die Hälfte der Masse des Seiles ist abzuziehen,
unabhängig von der Drehzahl und der Seillänge!
F
R
mSeil
4
Zahlenwert: M = 0, 4 kg − 0, 1 · kg = 0, 2 kg
2
2
M