Planetenschleifen mit Geogebra

Planetenschleifen
1
Planetenschleifen mit Geogebra1
Entstehung der Planetenschleifen
Nach dem dritten Kepler’schen Gesetz stehen die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten
im gleichen Verhältnis wie die Kuben der großen Halbachsen, oder in einem Formel gefasst
P2
= const. .
a3
(1)
2π
Führt man weiterhin die Winkelgeschwindigkeit eines Planeten ein als ω =
, lässt sich GleiP
chung 1 schreiben als
ω = const0 · a−3/2 .
(2)
Die Winkelgeschwindigkeit eines Planeten nimmt demnach ab, mit zunehmender großen Halbachse (vgl. Abbildung 1)
ω∝
1
a3/2
.
(3)
Winkelgeschwindigkeit der Planeten
27,5
Merkur
25,0
22,5
Winkelgeschwindigkeit ω / a‐1
20,0
17,5
15,0
12,5
Venus
10,0
7,5
Erde
5,0
Mars
2,5
Jupiter
Uranus
Saturn
Neptun
0,0
0
5
10
15
große Halbachse a / AE
20
25
30
Abbildung 1: Winkelgeschwindigkeit der Planeten
Heliozentrisches Weltbild
Im Vergleich zu den äußeren Planeten hat die Erde eine höhere Winkelgeschwindigkeit und
überholt diese folglich auf ihrer Bahn um die Sonne. Dabei entstehen die Planetenschleifen. Abbildung 2 verdeutlicht dies am Beispiel von Jupiter. Zur Vereinfachung des Problem werden die
Planetenbahnen als Kreisbahnen (e = 0) angenommen und ihre Inklinationen i vernachlässigt.
1
GeoGebra - Dynamic Mathematics for Everyone - http://www.geogebra.org/
Planetenschleifen
2
Am Himmel 6
5
7
4
13
13
7
3
6
12
12
8
5
11
4
9
10
3
9
11
2
10
1
2
1
Okt
Jan
8
Jul
Erdbahn
Apr
Jupiterbahn
Abbildung 2: Entstehung der Planetenschleifen
Weiterhin soll die Umlaufperiode P von Jupiter genau 12 Jahre betragen. Tabelle 1 zeigt die
wahren Parameter der beiden Planeten. Die Abweichungen der vereinfachenden Annahmen sind
nur gering und daher für den Einsatz im Unterricht annehmbar. Ein Jupiterumlauf dauert soa / AE
P / Jahre
e
i /◦
Erde
1,00
1,00
0,017
0
Jupiter
5,20
11,86
0,048
1,31
Tabelle 1: Parameter Erde, Jupiter [1]
mit 144 Monate. In Abbildung 2 sind sowohl auf der Erd-, als auch auf der Jupiterbahn die
einzelnen Monate abgetragen. Im gezeigten Beispiel bewegt sich Jupiter in den Monaten Januar
bis Juni (1-6) entgegen des Uhrzeigersinnes durch den Fixsternhimmel. In den Monaten 7-10
verläuft seine Bewegung gegenläufig, im Uhrzeigersinn. Die Monate 11-13 werden wieder im
Gegenuhrzeigersinn durchlaufen. Diesen Verlauf bezeichnet man als Planetenschleife.
Die beiden inneren Planeten Merkur und Venus haben hingegen höhere Winkelgeschwindigkeiten als die Erde. Sie überholen diese auf ihrer Bahn um die Sonne und erzeugen so ebenfalls
Planetenschleifen mit der charakteristischen Phase der Rückläufigkeit des Planeten. Sowohl die
Planetenschleifen der inneren, als auch der äußeren Planeten sind Projektionseffekte und im
heliozentrischen Weltbild leicht durch die unterschiedlichen Winkelgeschwindigkeiten erklärbar.
Planetenschleifen
3
Im geozentrischen Weltbild werden die Planetenschleifen dagegen durch die Überlagerung zweier
Kreisbewegungen erklärt.
Geozentrisches Weltbild
Im geozentrischen Weltbild bewegt sich ein Planet auf einem Großkreis, dem sogenannten Deferenten um die Erde. Gleichzeitig bewegt sich der Planet auf einer zweiten Kreisbahn, dem
Epizykel (vgl. Abbildung 3). Für die äußeren Planeten entspricht der Radius des Deferenten der
REpi
Deferent
Epizykel
RDef
Erde
Jupiter
Abbildung 3: Planetenschleifen im geozentrischen Weltbild
großen Halbachse des Planeten. Ein Umlauf des Epizykels dauert dabei gerade so lange wie die
siderische Umlaufperiode des Planeten im heliozentrischen Weltbild. Der Radius des Epizykels
entspricht der großen Halbachse der Erde und der Umlauf des Planeten auf dem Epizykel dauert
ein Jahr.
Bei inneren Planeten beträgt der Radius des Deferenten eine astronomische Einheit und die
Umlaufzeit beträgt ein Jahr. Der Planet kreist dann auf dem Epizykel, dessen Radius der großen
Halbachse des Planeten im heliozentrischen Weltbild entspricht. Die Umlaufdauer entspricht der
siderischen Periode des Planeten. Tabelle 2 fasst die wichtigen Größen zusammen.
Innere Planeten
Äußere Planeten
RDef
1 AE
aP lanet
PDef
1a
Psid,P lanet
REpi
aP lanet
1 AE
PEpi
Psid,P lanet
1a
Tabelle 2: Deferent und Epizykel im geozentrischen Weltbild [2]
Planetenschleifen
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Umsetzung in Geogebra
Die Umsetzung wird hier am Beispiel von Jupiter beschrieben. Für alle anderen Planeten gelten die gleichen Formel. Die Umlaufzeiten und Radien der Bahnen müssen dann entsprechend
angepasst werden. In Geogebra soll ein Skalenteil einer astronomischen Einheit entsprechen.
Heliozentrisches Weltbild
Die Erd- und Jupiterbahn sind konzentrische Kreise mit den Radien RE = 1 und RJup = 5, 2
um den gemeinsamen Mittelpunkt (0, 0) in welchem die Sonne sitzt. Der Fixsternhimmel wird
als Kreis mit dem Radius RFix = 25, ebenfalls zentriert um die Sonne gewählt. Die Position der
Erde wird durch den Vektor ~rE und die von Jupiter durch ~rJup beschrieben (vgl. Abbildung 4)
Sic
ht
y/AE
lin
ie
5
4
Jupiter
yJup,helio
3
2
rJup
1
Erde
rE
1
2
3
4
5
x/AE
xJup,helio
Sonne
Abbildung 4: Positionen der Planeten im heliozentrischen Weltbild
~rE =
xE
yE
=1·
cos(ϕE )
sin(ϕE )
, ~rJup =
xJup
yJup
= 5, 2 ·
cos(ϕJup )
sin(ϕJup )
.
(4)
Die Winkel ϕE und ϕJup hängen von der Zeit ab und ergeben sich aus der Umlaufperiode der
Planeten zu
2·π
2·π
· M und ϕJup =
·M,
(5)
12
144
M steht für die Anzahl der vergangenen Monate. Für die Erde ergibt sich ein voller Umlauf
nach 12 Monaten und für Jupiter nach 144. Für die Anzahl der vergangenen Monate M wird
ein Schieberegler im Bereich 0 ≤ M ≤ 144 hinzugefügt.
Für die Projektion von Jupiter an den Fixsternhimmel fügt man einen Strahl durch zwei Punk”
te“, beginnend im Punkt der Erde, weiter über den Punkt für Jupiter ein. Mit Hilfe des Werkzeugs Schneide zwei Objekte“ wird die Projektion, der Schnittpunkt zwischen Strahl und Fix”
sternhimmel durch einen Punkt markiert.
Zur Veranschaulichung wird in Geogebra eine Animation gestartet, welche die Anzahl der Monate in Schritten von 0,05 Monaten zwischen 0 Monaten und 144 Monaten variiert. Die Schleifenbewegung wird dann deutlich sichtbar.
ϕE =
Planetenschleifen
5
Geozentrisches Weltbild
Im geozentrischen Weltbild setzt man zuerst einen Punkt für die Erde in den Koordinatenursprung, fügt einen Kreis für den Deferenten mit dem Radius RDef = RJup und einen mit dem
Radius RFix = 25 hinzu; beide um den Mittelpunkt (0, 0). Der Mittelpunkt des Epizykelkreises
läuft mit der siderischen Umlaufperiode von Jupiter auf dem Deferenten um. Dieser Punkt hat
demnach dieselben Koordinaten wir Jupiter im heliozentrischen Weltbild. Man füge diesen Mittelpunkt und einen zugehörigen Kreis mit dem Radius REpi = 1 ein. Für den Planeten Jupiter
fügt man nun einen Punkt auf dem Epizykel hinzu, dessen Koordinaten (xJup,geo , yJup,geo ) aus
der Summe der beiden Kreisbewegungen bestehen
2·π
2·π
xJup,geo = RDef · cos
·M
+ REpi · cos
·M
144
12
und
ie
2·π
2·π
yJup,geo = RDef · sin
·M
+ REpi · sin
·M
.
144
12
yEpi
Sic
ht
lin
y/AE
5
yJup,geo
4
Jupiter
Epizykel
3
yDef
Deferent
2
1
1
2
3
4
xJup,geo
Erde
xDef
5
x/AE
xEpi
Abbildung 5: Positionen der Planeten im geozentrischen Weltbild
Der Umlauf auf dem Epizykelkreis hat die Periodendauer PEpi = 12 Monate. Abschließend fügt
man auch hier einen Strahl durch zwei Punkte zwischen Erde und Jupiter ein sowie den Schnittpunkt, welcher die Projektion an den Fixsternhimmel anzeigt. Nach Rechtsklick auf den Planeten
kann die Eigenschaft Spur ein“ ausgewählt werden.
”
Literatur
[1] H. Karttunen: Astronomie - Eine Einführung; Springer-Verlag; 1990
[2] A. Unsöld, B. Baschek: Der neue Kosmos; 7. Auflage; Springer-Verlag;
2005