Ubungen zur Modellbildung in der Stochastik

Mathematisches Institut
der Heinrich-Heine-Universität
Düsseldorf
WS 06/07
20.11.2006
Blatt 5
Prof. Dr. F. Jarre / K. Hauk / H. Ünlü
Übungen zur Modellbildung in der Stochastik
Aufgabe 17: Ein Experiment, bei dem ein Ereignis A mit der Wahrscheinlichkeit p = 0.1
eintritt, wird n = 50 mal wiederholt. Man bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
das Ereignis A höchstens 3 mal in diesen 50 Versuchen auftritt
a) durch exakte Rechnung
b) mit Hilfe des Poissonschen Grenzwertsatzes.
Aufgabe 18: Von den 6 Flächen eines Würfels W1 sind 4 rot und 2 schwarz gefärbt, von
den 6 Flächen des Würfels W2 sind 2 rot und 4 schwarz gefärbt. Eine echte Münze wird
einmal geworfen. Wenn Kopf fällt, wird der Würfel W1 n- mal geworfen, wenn Zahl fällt,
wird der Würfel W2 n- mal geworfen. Wie groß ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass
der Würfel W1 benutzt wird, wenn in allen n Würfen ,rot’ auftritt?
Aufgabe 19: Bei Zwillingsgeburten treten zweieiige Zwillinge mit der Wahrscheinlichkeit
2/3 und eineiige Zwillinge mit der Wahrscheinlichkeit 1/3 auf. Gehen Sie davon aus, dass
bei zweieiigen Zwillingen die bedingte Wahrscheinlichkeit für die Geburt von zwei Jungen
bzw. von zwei Mädchen jeweils 1/4 und für die Geburt eines Pärchens (d.h. ein Junge
und ein Mädchen) 1/2 ist. Bei eineiigen Zwillingen können Pärchen nicht auftreten, und
wir benutzen für die bedingte Wahrscheinlichkeit der Geburt von zwei Jungen bzw. von
zwei Mädchen jeweils den Wert 1/2. Betrachten Sie in der Situation einer Zwillingsgeburt
folgende Ereignisse:
Ai =
ˆ ‘Genau i Jungen werden geboren,’ für i = 0, 1, 2.
B=
ˆ ‘Die Zwillinge sind eineiig.’
a) Geben Sie die bedingten Wahrscheinlichkeiten P (Ai | B) und P (Ai | B C ) für i = 0, 1, 2
an.
b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit P (Ai ) für i = 0, 1, 2.
c) Wie groß ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass es sich bei einer Zwillingsgeburt
von zwei Mädchen um eineiige Zwillinge handelt?
Aufgabe 20: Sei Ω ein Grundraum und A, B, C Ereignisse.
a) Zeigen Sie: Falls A, B disjunkte Ereignisse sind, so sind sie genau dann unabhängig,
wenn eines der Ereignisse die Wahrscheinlichkeit 0 hat.
b) Beweisen oder widerlegen Sie, dass aus
P (A ∩ B ∩ C) = P (A)P (B)P (C)
die Unabhängigkeit dieser Ereignisse folgt.
c) Seien A und B unabhängige Ereignisse, die jeweils mit Wahrscheinlichkeit 12 eintreten.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt genau eines der Ereignisse ein?
d) Es werde mit zwei Würfeln W1 und W2 gewürfelt. Sei Ai das Ereignis, dass mit dem
Würfel Wi eine gerade Zahl gewürfelt wird (i = 1, 2). Sei A3 das Ereignis, dass die
Summe der beiden Augenzahlen gerade ist.
1) Geben Sie ein Wahrscheinlichkeitsmodell (Ω, P ) an und stellen Sie die Mengen
A1 , A2 und A3 als Teilmengen von Ω dar.
2) Untersuchen Sie, ob
(i) A1 , A2
(ii) A1 , A3
(iii) A2 , A3
(iv) A1 , A2 , A3
unabhängig sind.
Abgabe: Montag, 27.11.2006 bis 11 Uhr in den Übungsbriefkästen