Blatt 3 - Leibniz Universität Hannover

Leibniz Universität Hannover
Fakultät für Mathematik und Physik
Prof. Dr. M. Erné
R. Haustein
2. Mai 2011
Übungen zur Diskreten Mathematik
Sommersemester 2011
Blatt 3
Abgabe: Dienstag, 10. 5. 2011, vor Beginn der Übungen im Raum B 302 (14.15)
7. Leibniz studierte ca. 1690 das sogenannte harmonische Dreieck. Es ist für natürliche Zahlen k, n
mit 1 ≤ k ≤ n durch folgende Rekursion gegeben:
h i hni
1
n+1
n+1
n
=
−
.
,
=
1
k
n
k+1
k
Dabei bezeichnet nk den k-ten Eintrag in der n-ten Zeile. Zeigen Sie:
h n i 1 n−1
(a)
=
,
k
k k
−1
∞ ∞ X
X
n+k
n
n+k
1
und
=
für n ≥ 2.
(b)
=
n
k
n−1
k
k=1
k=0
8. (a) Wieviele Permutationen vom Typ (n − 7, 2, 1, 0, . . .) gibt es auf n?
(b) Wieviele Permutationen σ auf n gibt es mit σ 2 = id ?
(c) Zeigen Sie kombinatorisch (ohne Induktion), dass für die Anzahl Dn der fixpunktfreien Permutationen folgende (von Euler stammende) Rekursion gilt:
Dn+1 = n(Dn + Dn−1 ) mit D0 = 1, D1 = 0 .
9. (a) Berechnen Sie die Stirlingsche Zahl erster Art s6,3 mittels
(i) Rekursion, (ii) expliziter Formel, (iii) kombinatorischer Abzählung.

!2 n−1 
n−1
X 1
(n − 1)!  X 1
 und sn,n−2 = 3n−1
−
(b) Zeigen Sie: sn,3 =
4
2
k
k2
k=1
Knacky 3: Diskret befreit
n
3
.
k=1
Im Gefängnis von Zyklonia sitzt eine durch 10 teilbare Anzahl n von
durchnummerierten Gefangenen. Zu seinem Geburtstag gibt König Zyklops der Neunte ihnen eine Chance zur Freilassung. In n durchnummerierten Säckchen wird wahllos je eine Kugel mit einer der Zahlen von 1
bis n versteckt. Jeder der Gefangenen darf nun jeweils neun Zehntel aller Säckchen öffnen. Finden alle Gefangenen dabei ihre eigene Nummer,
kommen sie alle frei; findet allerdings ein einziger seine Nummer nicht,
bleiben alle im Gefängnis.
(a) Ab welcher Gefangenzahl ist die Wahrscheinlichkeit der Freilassung geringer als 1%, wenn die Gefangenen systemlos vorgehen?
(b) Bestimmen Sie für m > n2 die Anzahl der Permutationen einer
n-elementigen Menge, die einen Zykel der Länge m besitzen.
(c) Der inhaftierte Mathematiker Binomi empfiehlt seinen Mitgefangenen, zuerst das Säckchen mit der eigenen
Nummer zu öffnen, danach das Säckchen mit der Nummer, die auf der gefundenen Kugel steht, usw.
Warum kommen die Gefangenen bei Binomis Strategie mit nahezu 90-prozentiger Wahrscheinlichkeit frei?