Klausurvorbereitungsblatt

Klausurvorbereitung
Lineare Algebra WS 2013/14
Professor Deitmar
Frank Monheim
1.
21.1.2013
keine Abgabe
(a) Wann heissen Vektoren v1 , . . . , vn linear unabhaengig?
(b) Was ist das Signum einer Permutation?
(c) Was ist die Summe zweier Unterraeume eines Vektorraumes?
(d) Was besagt der Basiswechselsatz?
(e) Was besagt der Laplace-Entwicklungssatz?
(f) Was ist ein Eigenwert?
(g) Was ist das Minimalpolynopm einer Matrix?
2.
(a) Bestimme die Jordan-Normalform von

2 1
 0 2

 −1 1
1 1
0
0
2
0

0
0 
.
1 
2
(b) Invertiere die Matrix


1 2 3
 3 1 2 .
2 3 1
(c) Herr Musterstudent kauft ein Gramm Hasch, zwei Kondome und eine Flasche
Whisky und zahlt 32 Euro. Am naechsten Tag kauft er zwei Gramm Hasch,
sieben Kondome und zwei Flaschen Whisky und zahlt 70 Euro. Am dritten
Tag kauft er ein Gramm Hasch und ein Kondom und zahlt 10 Euro. Wieviel
kostet eine Flasche Whisky?
3. Beweise oder widerlege:
(a) Ist v Eigenvektor zur Matrix A, so ist auch 2v ein Eigenvektor zu A.
(b) Diagonalisierbare Matrizen mit gleichem charakteristischen Polynom sind konjugiert.
(c) Jedes lineare Gleichungssystem besitzt eine Loesung.
4. Sei A ∈ Mn (K) invertierbar. Zeige, dass es ein Polynom p gibt, so dass A−1 = p(A)
ist.
5. Sei T : V → V linear. Zeige die Aequivalenz der folgenden Aussagen:
(a) ker(T ) ∩ Bild(T ) = 0,
(b) ker(T 2 ) = ker(T ).