Prof. Dr.-Ing. Herzig Vorlesung " Elektrotechnik 1"

Prof. Dr.-Ing. Herzig
Vorlesung " Elektrotechnik 1"
287
1etv5-1
5
Wechselstromkreise
Bei der Berechnung von Gleichstromkreisen waren die dargelegten Sachverhalte dadurch
gekennzeichnet, dass die betrachteten elektrischen Größen Strom und Spannung
zeitunabhängig waren. Bei der Behandlung der Induktionsvorgänge hatten wir allerdings
festgestellt, dass infolge der Bewegung eines Leiters im Magnetfeld im allgemeinen eine
zeitlich veränderliche Spannung induziert wurde. Als Ergebnis einer Drehbewegung
entstand dabei eine periodische Zeitfunktion der elektrischen Größe. Grundsätzlich sind
die elektrischen Vorgänge gleicher Natur wie bei Gleichstrom, aber es entstehen
zusätzliche Vorgänge eigener Prägung, die eine gesonderte Behandlung erfordern. Von
den periodischen Zeitfunktionen haben die Wechselgrößen eine besondere Bedeutung. In
der Energietechnik erfolgt die Erzeugung, Übertragung und Wandlung fast
ausschließlich mit Wechselgrößen von Strom und Spannung, in der Nachrichtentechnik
haben Wechselgrößen dominierende Bedeutung.
5.1
Grundbegriffe sinusförmiger Zeitfunktionen
Der Lernende kann
- erläutern, was eine zeitabhängige periodische Größe ist und die Begriffe Periodendauer und
Frequenz definieren
- den Begriff Wechselgröße anhand des arithmetischen Mittelwertes erläutern
- die sinusförmige Wechselgröße beliebiger Lage im Zeitkoordinatensystem mathematisch formulieren
und die Begriffe Augenblickswert, Scheitelwert und Nullphasenwinkel definieren
- den Gleichwert einer zeitlichen periodischen Funktion berechnen
- den Effektivwert einer Wechselgröße physikalisch erläutern
- den Effektivwert einer sinusförmigen Wechselgröße berechnen und den Zusammenhang zwischen
Effektivwert und Scheitelwert nennen
5.1.1
Definition der Wechselgröße
Da Wechselgrößen sind periodische Zeitfunktionen. Wir wollen zunächst eine
periodische Zeitfunktion definieren. Eine periodische Zeitfunktion x(t) ist eine Funktion,
deren Funktionswerte sich nach einer Zeit T in gleicher Weise wiederholen. In Abb.5.1.01
ist eine periodische Zeitfunktion dargestellt. Sie lässt sich durch Gl.(5.1.01) beschreiben.
x(t) = x(t + n ⋅ T)
n = 1, 2, 3...
(5.1.01)
Die Zeit zum Durchlaufen einer Periode T wird als Periodendauer bezeichnet.
Der reziproke Wert der Periodendauer ist die Frequenz f.
1
(5.1.02)
T
Für Periodendauer und Frequenz ergeben sich folgende Maßeinheiten:
1
1
[T] = s
(Hertz)
[ f ] = = = Hz
[T ] s
f=
Heinrich Hertz (1857-1894) deutscher Physiker
Prof. Dr.-Ing. Herzig
Vorlesung " Elektrotechnik 1"
288
1etv5-1
Der Zahlenwert {f } der Frequenz mit der Maßeinheit [ f ] = Hz gibt die Zahl der
Schwingungsperioden in der Sekunde an.
Beispiel 5.1.01
Zu berechnen sind die Periodendauern für die Frequenzen f1 = 50Hz und f2 = 1kHz.
1
1
1s
1
1
1s
T1 = =
=
= 20ms
T2 = =
=
= 1ms
f1 50Hz 50
f2 1kHz 1000
x
t+T
t
t
T
x (t + T )
x (t)
T
Abb.5.1.01 Periodische Zeitfunktion
Die Wechselgröße ist eine spezielle periodische Zeitfunktion. Nach DIN 5488 ist eine
Wechselgröße vom Augenblickswert x eine periodische Funktion der Zeit mit einem
arithmetischen Mittelwert über eine Periode gleich Null. Der arithmetische Mittelwert über
eine Periode ist nach Gl.(5.1.03) definiert
t+T
1
(5.1.03)
x = ∫ x(t) ⋅ dt
T t
Bei der Bildung des arithmetischen Mittelwertes wird das Integral über eine Periode, das
heißt die Fläche unter der Kurve über eine Periode, durch ein flächengleiches Rechteck
ersetzt, dessen eine Seite die Periodendauer T und die andere der arithmetische
Mittelwert x ist.
t+T
x⋅T =
∫ x(t) ⋅ dt
t
Arithmetischer Mittelwert über eine Periode gleich Null bedeutet, dass die Fläche unter
der Kurve innerhalb einer Periode gleichgroße positive und negative Anteile haben muss.
In Abb.5.1.02 sind einige periodische Zeitfunktionen dargestellt, die.
diese Bedingung erfüllen und demzufolge Wechselgrößen sind.
Prof. Dr.-Ing. Herzig
Vorlesung " Elektrotechnik 1"
289
1etv5-1
X0
X0
1
2
T
− X0
T
X̂
1
2
t
− X0
T
T
t
1
2
T
T
t
− X̂
Abb.5.1.02 Wechselgrößen
5.1.2
Sinusförmige Zeitfunktionen
Wechselgrößen mit sinusförmiger Zeitfunktion haben eine besondere Bedeutung und
werden als Wechselgrößen im engeren Sinne bezeichnet. Im Folgenden wollen wir unter
Wechselgrößen nur noch solche mit sinusförmigen zeitlichen Verläufen verstehen, nach
DIN 5488 werden sie auch als Sinusgrößen bezeichnet.
Ein sinusförmiger Zeitverlauf kann mathematisch durch eine Sinusfunktion oder eine
Kosinusfunktion beschrieben werden. Da die Kosinusfunktion hinsichtlich ihrer Symmetrie
einige mathematische Vorteile besitzt , wird im Folgenden fast ausschließlich die
Kosinusfunktion verwendet. In Abb.5.1.03 ist der zeitliche Verlauf der Wechselgröße x als
reine Kosinusfunktion dargestellt. Der zu einem bestimmten Zeitpunkt t vorliegende Wert
x(t) der Wechselgröße wird als Augenblickswert bezeichnet. Der größte positive
Augenblickswert ist der Scheitelwert X̂ . Da der Kosinus nur von einem Winkel gebildet
werden kann, wird die Wechselgröße zunächst nur als Funktion einer Winkelkoordinate α
angegeben. Die Funktion lässt sich nach Gl.(5.1.04) formulieren.
ˆ ⋅ cos α
x=X
Die Maßeinheit des Winkels ist [α] = rad (Bogenmaß) oder [ α ] =
(5.1.04)
o
(Grad), wobei die
Umrechnungsbeziehungen gelten:
180o
π
1rad =
1o =
rad
(5.1.05)
π
180
Um den Augenblickswert als Funktion der Zeit anzugeben, stellen wir mit Abb.5.1.03 die
Verhältnisgleichungen auf:
Prof. Dr.-Ing. Herzig
Vorlesung " Elektrotechnik 1"
290
1etv5-1
x
X̂
1
2
t1
T
T
2π
π
α1
t
α
Abb.5.1.03 Wechselgröße in Winkel- und Zeitabhängigkeit
α 2π
2π
=
α1 =
⋅ t1
(5.1.06)
T
t
T
Damit wird aus Gl.(5.1.04)
ˆ ⋅ cos  2π ⋅ t 
x=X
(5.1.07)
 T 


In der Zeit T wird der Winkel 2π zurückgelegt. Damit lässt sich die Winkelgeschwindigkeit
ω definieren:
α 2π
ω= =
(5.1.08)
t
T
ˆ ⋅ cos ωt
(5.1.09)
x=X
xl
X̂
x
x
αl
ϕ
α
ϕ
αl
α
Abb.5.1.04 Wechselgröße allgemeiner Lage
a) ϕ > 0
xl
X̂
αl
α
αl
α
b) ϕ < 0
Wenden wir uns jetzt der Darstellung der Kosinusfunktion allgemeiner Lage zu. Der
zeitliche Verlauf ist in Abb.5.1.05 dargestellt. Um die Funktion im Koordinatensystem
Prof. Dr.-Ing. Herzig
Vorlesung " Elektrotechnik 1"
291
1etv5-1
α zu formulieren, ist es zweckmäßig, eine Koordinatentransformation durchführen. Im
Koordinatensystem αl gilt nämlich Gl.(5.1.04)
ˆ ⋅ cos αl
x=X
Es wird der Winkel ϕ zur Markierung des positiven Maximums im Koordinatensystem
eingeführt. Der Winkel ϕ ist vorzeichenbehaftet.
ϕ >0
Der Richtungspfeil beginnt beim positiven Maximum, zeigt in Richtung
der Zeit- oder Winkelachse und endet bei α = 0 .
ϕ <0
Der Richtungspfeil beginnt beim positiven Maximum, zeigt in die negative
Zeitachsenrichtung und endet bei α = 0 .
Um die Beziehung zwischen den Winkeln α und αl herzustellen, rechen wir mit den
Winkeln wie am Zahlenstrahl und erhalten
α‘ = α + ϕ
(5.1.10)
Damit ergibt sich die allgemeingültige Gleichung für die Zeitfunktion der Wechselgröße
ˆ ⋅ cos ( ωt + ϕ )
x=X
(5.1.11)
Beispiel 5.1.02
Es ist die Zeitfunktion der Schwingung anzugeben, deren Scheitelwert X̂ ist und dieser
im Koordinatensystem
b) bei ωt 2 = 41 π auftritt.
a) bei ωt1 = − 41 π
a) Nach Abb.5.1.04a liegt das positives Maximum bei ωt1 = − 41 π , damit ist ϕ1 = 41 π und
mit Gl.(5.1.11)
ˆ ⋅ cos ( ωt + ϕ ) = X
ˆ ⋅ cos ( ωt + 1 π )
x=X
1
4
b) Nach Abb.5.1.04b liegt das positive Maximum bei ωt1 = 41 π , damit ist ϕ2 = − 41 π und
mit Gl.(5.1.11)
ˆ ⋅ cos ( ωt + ϕ ) = X
ˆ ⋅ cos ( ωt − 1 π )
x=X
2
4
Prof. Dr.-Ing. Herzig
Vorlesung " Elektrotechnik 1"
292
1etv5-1
5.1.3
Mittelwerte
Bei Zeitfunktionen werden zur quantitativen Beschreibung Mittelwerte benutzt.
a) Arithmetischer Mittelwert:
Der arithmetische Mittelwert oder Gleichwert x einer periodischen Funktion wird gebildet,
indem man die Fläche unter der Kurve während einer Periodendauer durch ein
flächengleiches Rechteck bei gleicher Betrachtungszeit ersetzt (Gl.5.1.03).
Für eine Wechselgröße ergibt sich über die Periodendauer der arithmetische Mittelwert
t +T
1
x = ∫ x(t) ⋅ dt = 0
T t
In Abb.5.1.05 ist die Bildung des arithmetischen Mittelwertes dargestellt.
x
X̂
⊕
⊕
ω ( t1 + T )
ω t1
α = ωt
:
Abb.5.1.05 Arithmetischer Mittelwert über eine Periodendauer
t +T
ω( t + T )
1
1
x(t) ⋅ dt =
x ( ωt ) ⋅ d ωt = 0
∫
ωT ω∫t
T t
Bei der Integration über eine Periodendauer ist der positive und der negative
Flächenanteil gleich groß und damit der arithmetische Mittelwert über eine Periodendauer
gleich Null.
Der arithmetische Mittelwert wird für periodische Funktionen angewandt, die ein
Gleichglied haben, z. B. für die Bestimmung der Ausgangsspannung einer
Gleichrichterschaltung. In Abb.5.1.06 ist eine Einweggleichrichtung gezeigt.
x=
Û
L
uLN
N
ud
Ud
ud
uLN
Abb.5.1.06 Zur Bestimmung des Gleichwertes bei
einer Einweggleichrichtung
T t
Prof. Dr.-Ing. Herzig
Vorlesung " Elektrotechnik 1"
293
1etv5-1
Bei der Mittelwertbildung wird die schraffierte Fläche unter der Kurve über eine Periode
durch das grau angelegte Rechteck ersetzt.
T
Ud ⋅ T = ∫ ud ⋅ dt
0
Die Spannung ud hat folgenden Zeitverlauf
Û ⋅ sin ωt 0 ≤ t ≤ T / 2
ud = 
T/2 ≤ t ≤ T
 0
Damit wird
T
T/2
ˆ
ˆ ⋅ sin ωt ⋅ dt = 2 ⋅ U
Ud ⋅ T = ∫ ud ⋅ dt = ∫ U
ω
0
0
b)
Ud =
ˆ 2 ⋅U
ˆ U
ˆ
2 ⋅U
ˆ
=
= = 0.318 ⋅ U
ωT
π
2π
Quadratischer Mittelwert, Effektivwert
Für die quantitative Beschreibung einer Wechselgröße wird der quadratische Mittelwert
oder Effektivwert verwendet. Der Effektivwert eines Wechselstromes ist folgendermaßen
definiert. Fließt der Wechselstrom durch einen Ohmschen Widerstand R, so wird
elektrische Energie in Wärme umgewandelt. Um die von diesem Wechselstrom bewirkte
Energieumwandlung beurteilen zu können, wird die während einer Periode umgewandelte
Energie mit der Energie verglichen, die eine Gleichstrom im gleichen Widerstand während
der gleichen Zeit wandelt. Dieser zeitlich konstante Strom erzeugt also am Widerstand R
den gleichen Effekt wie der Wechselstrom und wird als Effektivwert des Wechselstromes
bezeichnet. In Abb.5.1.07 ist der Energieumsatz für beide Fälle für eine Periode
berechnet.
i
I
R
R
t+T
∆W = R ⋅
∫ i (t)dt
2
t
∆W = I2 ⋅ R ⋅ T
Abb.5.1.06 Berechnung des Energieumsatzes während einer Periode bei Wechselstrom und bei
Gleichstrom
Wir setzen diese beiden Energien vereinbarungsgemäß gleich und lösen nach dem
Effektivwert des Stromes auf
t +T
I2 ⋅ R ⋅ T = R ⋅
∫ i (t)dt
2
t
t+T
1 2
(5.1.12)
i (t) ⋅ dt
T ∫t
Diese Beziehung wird nun für die Beurteilung einer beliebigen periodischen Funktion x(t)
verwendet. Allgemein erhalten wir den Effektivwert einer periodischen Zeitfunktion nach
Gl.(5.1.13)
I=
Prof. Dr.-Ing. Herzig
Vorlesung " Elektrotechnik 1"
294
1etv5-1
X=
1
T
t +T
∫ x (t) ⋅ dt
2
(5.1.13)
t
Im Folgenden wollen wir den Effektivwert einer sinusförmigen Zeitfunktion berechnen. Da
der Effektivwert unabhängig von der Lage der Funktion im Koordinatensystem ist,
verwenden wir für die Funktion:
ˆ ⋅ cos ωt und für die Integrationsgrenzen t = 0 und t + T = T .
x=X
Eingesetzt in Gl.(5.1.13) ergibt sich
T
X=
(
ˆ2
X
T
)
2
1 ˆ
X ⋅ cos ωt ⋅ dt =
∫
T0
Mit cos2 ωt =
ˆ⋅
X=X
1
2
T
∫ ( cos ωt )
0
2
T
ˆ 2 ⋅ 1 cos2 ωt ⋅ dt
⋅ dt = X
T ∫0
(1 + cos 2ωt )
T
1
(1 + cos 2ωt) ⋅ dt
2T ∫0
T
ˆ
ˆ ⋅ 1  t + 1 sin2ωt  = X
X=X

2T  2ω
2
0
X=
X̂
2
ˆ
=X
2
ˆ
≈ 0.7 ⋅ X
2
X̂ = 2 ⋅ X
(5.1.14)
Bei einer sinusförmigen Wechselgröße vermittelt zwischen Effektivwert und Scheitelwert
der Faktor 2 .
Beispiel 5.1.03
Im Niederspannungsnetz haben Spannungen die Effektivwerte ULN = 230V und
ULL = 400V. Zu berechnen sind die Scheitelwerte.
ÛLN = 2 ⋅ ULN = 2 ⋅ 230V = 325 V
ÛLL = 2 ⋅ ULL = 2 ⋅ 400V = 566 V
Prof. Dr.-Ing. Herzig
Vorlesung " Elektrotechnik 1"
295
1etv5-1
5.2
Wechselstromverhalten der Grundschaltelemente
Der Lernende kann
- den Wechselstromwiderstand definieren die Bestimmungswerte des Wechselstromwiderstandes
nennen
- den Wechselstromwiderstand des Ohmschen Widerstandes, des idealen Kondensators und der
idealen Spule angeben
- die Strom-Spannungsbeziehungen der drei Grundschaltelemente mit ihren Zählzuordnungen
angeben
- die Zuordnung von Strom und Spannung an den drei Grundschaltelementen im Zeitdiagramm angeben
und die Begriffe Voreilen und Nacheilen erklären
5.2.1
Definition des Wechselstromwiderstandes
Werden die drei idealen Grundschaltelemente Widerstand, Kondensator und Spule an
einer Wechselspannung
ˆ ⋅ cos ( ωt + ϕ )
u=U
u
betrieben und wartet man nach dem Einschalten der Spannung genügend lange, so
fließen dann im stationären Zustand Wechselströme
i = ˆI ⋅ cos ( ωt + ϕi ) .
Das Wechselstromverhalten der Grundschaltelemente wird dann für den stationären
Betriebszustand durch den Wechselstromwiderstand beschrieben. Der
Wechselstromwiderstand wird durch zwei Größen bestimmt.
ˆ an, so
Legt man an das Schaltelement eine Wechselspannung mit dem Scheitelwert U
ergibt das Experiment, dass ein Wechselstrom mit dem Scheitelwert Î .fließt. Als
Scheinwiderstand Z wird der scheinbare Widerstand definiert, der sich nach dem
Ohmschen Gesetz aus dem Quotienten der Scheitelwerte von Spannung und Strom
ergibt. Nach Gl.(5.1.14) erhält man den gleichen Wert beim Quotienten der Effektivwerte
von Spannung und Strom.
Û U
Z= =
(5.2.01)
ˆI
I
Der Kehrwert des Scheinwiderstandes wird als Scheinleitwert Y bezeichnet.
1 ˆI
I
Y= = =
(5.2.02)
ˆ U
Z U
Der zweite Bestimmungswert des Wechselstromwiderstandes ist die
Phasenverschiebung ϕ. Die Phasenverschiebung ist die Differenz der
Nullphasenwinkel von Spannung und Strom.
ϕ = ϕu - ϕi
(5.2.03)
Bei positiver Differenz der Nullphasenwinkel von Spannung und Strom ist die
Phasenverschiebung der Winkel, um den der Strom gegenüber der Spannung nacheilt,
bei negativer Differenz der Winkel, um den der Strom der Spannung vorauseilt. Wegen
der Differenzbildung ist es unbedingt notwendig, den Nullphasenwinkeln ein Vorzeichen
(Zählpfeil) entsprechend Abb.5.1.04 zuzuordnen.
Prof. Dr.-Ing. Herzig
Vorlesung " Elektrotechnik 1"
296
1etv5-1
5.2.2
Wechselstromverhalten des idealen Widerstandes
Für den idealen Widerstand gilt die Strom-Spannung-Beziehung nach Gl.(5.2.04) im
Zusammenhang mit der Zählzuordnung nach Abb.5.2.01
u = R ⋅i
i=
u
R
(5.2.04)
u
i
R
Abb.5.2.01 Zählpfeile von Strom und Spannung am Widerstand
Mit i = Î cos(ωt + ϕi ) erhalten wir nach Gl.(5.2.04) für die Spannung
u = R ⋅ ˆI ⋅ cos(ωt + ϕi )
(5.2.05)
Definieren wir die Spannung als
ˆ ⋅ cos(ωt + ϕ )
u=U
u
und führen einen Vergleich mit Gl.(5.2.05) durch, dann erhalten wir
ˆ = R ⋅ ˆI
U
ϕu = ϕi
Aus diesen Beziehungen lassen sich die Bestimmungswerte des
Wechselstromwiderstandes berechnen.
ˆ R ⋅ ˆI
U
=
=R
ˆI
ˆI
ϕR = ϕu − ϕi = 0
ZR =
(5.2.06)
(5.2.07)
Der Scheinwiderstand ist gleich dem Widerstand R. Spannung und Strom haben den
gleichen Nullphasenwinkel, sie sind phasengleich. In Abb.5.2.02 sind die Zeitverläufe
von Spannung und Strom am idealen Widerstand R aufgetragen.
u, i
u
i
ϕu
ϕi
ωt
Abb.5.2.02 Zeitverläufe von Strom und Spannung am Widerstand
Prof. Dr.-Ing. Herzig
Vorlesung " Elektrotechnik 1"
297
1etv5-1
5.2.3
Kondensator
Für den idealen Kondensator gilt die Strom-Spannung-Beziehung nach Gl.(5.2.08) im
Zusammenhang mit der Zählzuordnung nach Abb.5.2.03
i=C
du
dt
(5.2.08)
u
i
C
Abb.5.2.03 Zählpfeile von Strom und Spannung am Kondensator
Mit u = Û ⋅ cos(ωt + ϕu ) erhalten wir nach Gl.(5.2.08) den Strom
du
ˆ ⋅ ω ⋅ ( − sin(ωt + ϕ )) = C ⋅ U
ˆ ⋅ ω ⋅ cos(ωt + ϕ + 1 π) (5.2.09)
i = C⋅
= C ⋅U
u
u
2
dt
Definieren wir den Strom als
i = ˆI ⋅ cos(ωt + ϕi )
und führen einen Vergleich mit Gl.(5.2.09) durch, dann erhalten wir
ˆI = ω ⋅ C ⋅ U
ˆ
ϕi = ϕu + 21 π
Aus diesen Beziehungen lassen sich die Bestimmungswerte des
Wechselstromwiderstandes des Kondensators berechnen.
ˆ
ˆ
U
U
1
=
=
ˆI ω ⋅ C ⋅ U
ˆ ω⋅C
ϕC = ϕu − ϕi = ϕu − ( ϕu + 21 π ) = − 21 π
ZC =
(5.2.10)
(5.2.11)
Der Scheinwiderstand des Kondensators ist der Frequenz und der Kapazität umgekehrt
proportional. Am Kondensator eilt der Strom der Spannung um 90o voraus. Der Strom
erreicht sein positives Maximum 41 T früher als die Spannung. In Abb.5.2.04 sind die
Zeitverläufe von Spannung und Strom am idealen Kondensator aufgetragen.
u, i
u
i
ϕi
ϕu
π/2
Abb.5.2.04 Zeitverläufe von Strom und Spannung am Kondensator
ωt
Prof. Dr.-Ing. Herzig
Vorlesung " Elektrotechnik 1"
298
1etv5-1
5.2.4
Spule
Für die ideale Spule gilt die Strom-Spannung-Beziehung nach Gl.(5.2.12) im
Zusammenhang mit der Zählzuordnung nach Abb.5.2.05
u=L
di
dt
(5.2.12)
u
i
L
Abb.5.2.05 Zählpfeile von Strom und Spannung an der Spule
Mit i = Î ⋅ cos(ωt + ϕi ) erhalten wir nach Gl.(5.2.12) die Spannung
di
u = L ⋅ = L ⋅ ˆI ⋅ ω ⋅ ( − sin(ωt + ϕi )) = L ⋅ ˆI ⋅ ω ⋅ sin(ωt + ϕi + 21 π)
(5.2.13)
dt
Definieren wir den Strom als
ˆ ⋅ cos(ωt + ϕ )
u=U
u
und führen einen Vergleich mit Gl.(5.2.13) durch, dann erhalten wir
ˆI = ω ⋅ C ⋅ U
ˆ
ϕi = ϕu + 21 π
Aus diesen Beziehungen lassen sich die Bestimmungswerte des
Wechselstromwiderstandes des Kondensators berechnen.
ˆ ω ⋅ L ⋅ ˆI
U
=
= ω⋅L
ˆI
ˆI
ϕ = ϕu − ϕi = ϕu − ( ϕu − 21 π ) = 21 π
ZL =
(5.2.14)
(5.2.15)
Der Scheinwiderstand der Spule ist der Frequenz und der Induktivität proportional. An der
Spule eilt die Spannung dem Strom um 90o voraus. Die Spannung erreicht ihr positives
Maximum 41 T früher als der Strom. In Abb.5.2.06 sind die Zeitverläufe von Spannung und
Strom an der idealen Spule aufgetragen.
u, i
u
i
ϕu
π/2
ϕi
Abb.5.2.06 Zeitverläufe von Strom und Spannung an der Spule
ωt
Prof. Dr.-Ing. Herzig
Vorlesung " Elektrotechnik 1"
299
1etv5-1
5.2.5
Zusammenfassung
In Tabelle 5.2.01 sind alle Zusammenhänge an den Wechselstromwiderständen
der idealen Grundschaltelemente Widerstand, Kondensator und Spule zusammengestellt.
Diese Zusammenhänge sollten Sie sich sicher einprägen.
u
i
R
i
u
u
i
C
u=iR
ϕu = ϕi
1
i ⋅ dt )
C∫
du
i=C
dt
Î
Û =
ω⋅C
I
U=
ω⋅C
ϕu = ϕi − 21 π
ZR = R
ZC =
1
=G
R
ϕR= 0
YC = ω ⋅ C
i=
u
R
ˆ = R ⋅ ˆI
U
U = R ⋅I
YR =
(u =
1
ω⋅C
ϕC = − 21 π
L
u =L⋅
(i =
di
dt
1
u ⋅ dt)
L∫
ˆ = ω ⋅ L ⋅ ˆI
U
U = ω ⋅L ⋅I
ϕu = ϕi + 21 π
ZL = ω⋅L
1
ω⋅L
ϕL = 21 π
YL =
Tabelle 5.2.01 Wechselstromwiderstände von Widerstand, Kondensator und Spule
Beispiel 5.2.01
Zu berechnen sind die Scheinwiderstände und Phasenverschiebungen folgender
Bauelemente mit den Werten R = 100Ω , L = 1H und C = 10µF bei f = 50Hz .
Widerstand:
ZR = R = 100Ω
ϕR = 0
Spule:
Kondensator:
ZL = ω ⋅ L = 2π ⋅ f ⋅ L = 2π ⋅ 50s−1 ⋅ 1Vs / A = 314Ω
ϕL = π / 2
1
1
1
=
=
= 318Ω
ZC =
−1
ω ⋅ C 2π ⋅ f ⋅ C 2π ⋅ 50s ⋅ 10 ⋅ 10 −6 As / V
ϕC = −π / 2
Prof. Dr.-Ing. Herzig
Vorlesung " Elektrotechnik 1"
300
1etv5-1
Beispiel 5.2.02
Die Reihenschaltung der idealen Bauelemente Widerstand, Kondensator und Spule wird
vom Wechselstrom i = Î ⋅ cos ωt durchflossen. Zu berechnen sind die Spannungen über
den drei Bauelementen. Strom und Spannung sind für jedes Bauelement in einem
Diagramm als Zeitfunktionen darzustellen.
i
uC
uR
uL
Abb.5.2.07 Schaltung zu Beispiel 5.2.02
ˆ ⋅ cos ωt
uR = R ⋅ i = R ⋅ ˆI ⋅ cos ωt = U
R
ˆI
ˆI
1
1
ˆ cos ( ωt − 1 π )
uC = ∫ i ⋅ dt = ∫ ˆI ⋅ cos ωt ⋅ dt =
sin ωt =
cos ( ωt − 21 π ) = U
C
2
C
C
ωC
ωC
d ˆI ⋅ cos ωt
di
ˆ cos ( ωt + 1 π )
uL = L ⋅ = L ⋅
= L ⋅ −ˆI ⋅ ω ⋅ sin ωt = ωL ⋅ ˆI cos ( ωt + 21 π ) = U
L
2
dt
dt
(
)
(
)
uC,i
uR,i
u,i
L
uL
uC
uR
i
i
ωt
i
ωt
ωt
1
2
−21 π
a) Widerstand
b) Kondensator
Abb.5.2.08 Strom- und Spannungsverläufe zu Beispiel 5.2.02
c) Spule
π
Prof. Dr.-Ing. Herzig
Vorlesung " Elektrotechnik 1"
301
1etv5-1
5.3
Lineare Netzwerke bei sinusförmiger Erregung
Der Lernende kann
- den Begriff sinusförmige Erregung erklären
- Knoten- und Maschensatz auf lineare Netzwerke bei sinusförmiger Erregung anwenden
- die Strom-Spannungs-Beziehungen der Grundschaltelemente mit den zugehörigen Zählpfeilen von
Strom und Spannung anwenden
- Addition, Subtraktion, Multiplikation mit konstantem Faktor, Differenziation und Integration von
sinusförmigen Wechselgrößen durchführen.
- erklären, dass alle notwendigen Rechenoperationen nur Einfluss auf Amplitude und Nullphasenwinkel
der Ergebnisgröße haben
5.3.1
Berechnungsgrundlagen
Grundsätzlich gelten für die Berechnung linearer Netzwerke bei sinusförmiger Erregung
die gleichen Gesetzmäßigkeiten wie bei Gleichstromnetzwerken. Das Besondere besteht
darin, dass die Quellengrößen der Spannungs- und Stromquellen zeitlich sinusförmige
Spannungs- und Stromverläufe gleicher Frequenz haben. Bedingt durch die
Zeitfunktionen der Spannungen und Ströme müssen neben den Widerständen auch die
Kondensatoren und Spulen bei der Berechnung berücksichtigt werden. Zur Berechnung
benötigen wir Knoten- und Maschensatz sowie die Strom-Spannungs-Beziehungen der
Grundschaltelemente Widerstand, Kondensator und Spule. In Tabelle 5.3.01 sind die
notwendigen Berechnungsgrundlagen zusammengestellt.
Knotensatz
∑i
Maschensatz
∑u
Spannungsquelle
Stromquelle
=0
ν
ν
=0
(5.3.01)
(5.3.02)
uq
i
uq = 2 ⋅Uq ⋅ cos ( ωt + ϕuq )
iq
iq = 2 ⋅Iq ⋅ cos ( ωt + ϕiq )
Widerstand
u=iR
(5.3.03)
Kondensator
du
i=C
dt
u
i
u
(5.3.04)
Spule
di
u =L⋅
dt
i
C
i
(5.3.05)
R
u
L
Tabelle 5.3.01 Berechnungsgrundlagen für lineare Netzwerke bei sinusförmiger Erregung
Prof. Dr.-Ing. Herzig
Vorlesung " Elektrotechnik 1"
302
1etv5-1
5.3.2
Analyse der Rechenoperationen
Da wir es bei der Berechnung jetzt mit Wechselgrößen zu tun haben, wollen wir zunächst
untersuchen, welche Rechenoperationen wir dabei durchführen müssen und wie diese
Rechenoperationen mit sinusförmigen Größen ausgeführt werden. Analysieren wir aus
dieser Sicht Tabelle 5.3.01, so ergeben sich bei der Anwendung von Knoten- und
Maschensatz Addition und Subtraktion zeitlich sinusförmiger Ströme und Spannungen.
Bei den Strom-Spannungsbeziehungen der Grundschaltelemente müssen wir Ströme und
Spannungen mit konstanten Faktoren R, C und L multiplizieren und die Ströme und
Spannungen nach der Zeit differenzieren oder integrieren. Multiplikation und Division von
Strömen und Spannungen tritt nicht auf. Die Betrachtung erfolgt genau wie bei den
Gleichstromnetzwerken im eingeschwungenen, stationären Zustand, also genügend
lange nach dem Einschalten der Quellen.
a) Addition, Subtraktion
Wir wollen die beiden sinusförmig schwingenden Größen x1 und x2 miteinander
verknüpfen.
ˆ cos(ωt + ϕ )
x1 = X
1
x1
ˆ
x = X cos(ωt + ϕ )
2
2
x2
x = x1 + x2
ˆ cos(ωt + ϕ ) + X
ˆ cos(ωt + ϕ ) = Xcos(
ˆ
x=X
ωt + ϕ x )
1
x1
2
x2
(5.3.06)
Die Addition oder Subtraktion sinusförmiger Größen gleicher Frequenz ergibt eine
sinusförmige Größe derselben Frequenz mit der Amplitude X̂ und dem
Nullphasenwinkel ϕx . Ohne Herleitung sollen dieser Stelle angegeben werden, wie
Amplitude und Nullphasenwinkel für die Summe berechnet werden können.
ˆ = X
ˆ2 +X
ˆ 2 + 2⋅ X
ˆ ⋅X
ˆ cos(ϕ − ϕ )
X
1
2
1
2
x2
x1
ˆX sin ϕ + X
ˆ sin ϕ
x1
2
x2
tan ϕx = 1
ˆ cos ϕ + X
ˆ cos ϕ
X
1
x1
2
(5.3.07)
(5.3.08)
x2
Für die Subtraktion analoge Ergebnisse nur mit anderen Vorzeichenkombinationen. Jede
Subtraktion kann in die Addition einer negativen Größe umgewandelt werden.
x = x 1 − x 2 = x1 + ( − x 2 )
ˆ cos(ωt + ϕ∗ x2 ) = X
ˆ cos(ωt + ϕ∗ x2 + π) = X
ˆ cos(ωt + ϕ )
−x2 = − X
2
2
2
x2
∗
ϕx2 = ϕ x2 + π
(5.3.09)
(5.3.10)
(5.3.11)
Für die Berechnung von Amplitude und Nullphasenwinkel der Differenz können dann
wieder die Gl.(5.3.07) und (5.3.08) verwendet werden. Grundsätzlich ist es möglich, die
Addition und Subtraktion auch grafisch durchzuführen. Dabei werden zu gleichen Zeiten
die Augenblickwerte der Größen addiert beziehungsweise subtrahiert.
Prof. Dr.-Ing. Herzig
Vorlesung " Elektrotechnik 1"
303
1etv5-1
b)
Multiplikation mit konstantem Faktor
Multiplikation eines konstanten Faktors mit einer sinusförmigen Größe verändert nur
den Scheitelwert bei Beibehaltung der Frequenz und des Phasenwinkels. Wir hatten
diese Rechenoperation bereits bei der Berechnung des Strom-Spannungs-Verhaltens des
Widerstandes in Gl.(5.2.05) kennen gelernt
x = A ⋅ x1
c)
ˆ ⋅ A ⋅ cos(ωt + ϕ ) = X
ˆ ⋅ cos(ωt + ϕ )
x=X
1
x1
x
(5.3.12)
ˆ =X
ˆ ⋅A
X
1
ϕ x = ϕ x1
(5.3.13)
Differenziation
Bei der Differenziation einer sinusförmigen Schwingung bestimmter Frequenz ist das
Ergebnis wiederum eine sinusförmige Schwingung gleicher Frequenz veränderter
Amplitude (Scheitelwert) und einer um + π/2 veränderten Phasenlage. Wir hatten diese
Rechenoperation beim der Strom-Spannungs-Verhalten des Kondensators Gl.(5.2.09)
und der Spule Gl.(5.2.13) kennen gelernt.
(
)
ˆ
dx1 d X1 ⋅ cos ( ωt + ϕx1 )
ˆ ⋅ ( − sin(ωt + ϕ )
x=
=
= ω⋅ X
1
x1
dt
dt
ˆ ⋅ cos(ωt + ϕ + 1 π) = X
ˆ ⋅ cos(ωt + ϕ )
x = ω⋅ X
1
x1
x
2
ˆ = ω⋅ X
ˆ
X
1
ϕx = ϕx1 + π
1
2
d)
(5.3.14)
(5.3.15)
(5.3.16)
Integration
ˆ ⋅ cos ( ωt + ϕ ) ⋅ dt = X̂1 ⋅ sin ( ωt + ϕ )
x = ∫ x1 ⋅ dt = ∫ X
1
x
x
ω
X̂
ˆ ⋅ cos(ωt + ϕ )
x = 1 ⋅ cos(ωt + ϕx1 − 21 π) = X
x
ω
X̂
X̂ = 1
ω
ϕx = ϕx1 − 21 π
(5.3.17)
(5.3.18)
(5.3.19)
Prof. Dr.-Ing. Herzig
Vorlesung " Elektrotechnik 1"
304
1etv5-1
e)
Zusammenfassung
Als Ergebnis aller bei der Berechnung von Wechselstromkreisen verwendeten
Rechenoperationen können wir feststellen:
1.
Die Ergebnisgrößen sind sinusförmig schwingende Wechselgrößen gleicher
Frequenz wie die Ausgangsgrößen.
2.
Amplituden und Nullphasenwinkel der Ergebnisgrößen werden durch die
Amplituden und Nullphasenwinkel der Ausgangsgrößen bestimmt.
Beispiel 5.3.01
Gegeben ist die Reihenschaltung eines Widerstandes mit einer Spule, die von einer
Wechselspannungsquelle gespeist werden. Gegeben ist die Zeitfunktion des Stromes i.
Zu berechnen sind die Spannungsfälle uR und uL über Widerstand und Spule sowie die
Quellenspannung uq.
ˆ ⋅ cos(ωt + ϕ )
uq = U
q
q
uR
i
M:
R
uq
M
R = 100Ω L = 1H
i = 0.71A ⋅ cos ωt
L
uL
f = 50Hz
−uq + uR + uL = 0
uR = i R
uL = L ⋅
di
dt
Differenzialgleichung, im stationären
Zustand alle Größen sinusförmig
uq = R ⋅ i + L ⋅
Abb.5.3.01 Netzwerk zu Beispiel 5.3.01
i = ˆI ⋅ cos(ωt + ϕi ) = 0.71A ⋅ cos ωt
Î = 0.71A
ϕi = 0
uR = ˆI ⋅ R ⋅ cos(ωt + ϕi ) = 0.71A ⋅ 100Ω ⋅ cos ωt = 71V ⋅ cos ωt
ϕuR = 0
ÛR = 71V
uL = ˆI ⋅ ω ⋅ L ⋅ cos(ωt + ϕi + 0.5π)
uL = 0.71A ⋅ 2π ⋅ 50Hz ⋅ cos ( ωt + 0.5π ) = 223V ⋅ cos ( ωt + 0.5π )
ϕuL = 0.5π
ÛL = 223V
ˆ ⋅ cos ωt + U
ˆ ⋅ cos(ωt + 1 π) = U
ˆ ⋅ cos(ωt + ϕ )
uq = U
R
L
q
q
2
uq = 71V ⋅ cos ωt + 223V ⋅ cos(ωt + 21 π)
di
dt
Prof. Dr.-Ing. Herzig
Vorlesung " Elektrotechnik 1"
305
1etv5-1
Mit Gl.(5.3.07) und (5.3.08) erhalten wir
ˆ = U
ˆ2 +U
ˆ 2 + 2 ⋅U
ˆ ⋅U
ˆ cos(ϕ − ϕ ) = 234 V
U
q
R
L
R
L
uL
uR
tan ϕx =
ˆ sin ϕ + U
ˆ sin ϕ
U
R
uR
L
uL
= 3.14
ˆ
ˆ
UR cos ϕuR + UL cos ϕuL
ϕuq = 72.3o = 0.402π
uq = 234V ⋅ cos ( ωt + 0.402π )
In Abb.5.3.02 sind die zeitlichen Verläufe aller Spannungen und des Stromes
aufgetragen. In dieser Skizze können Sie auch die grafische Addition der Spannungen
uq = uR + uL nachvollziehen, indem Sie zu gleichen Zeiten die Augenblickswerte addieren.
u/V i/A
300
234
uL
u
-π
-π/2
3
200
2
100
1
uR i
π/2
0
0.402π
-100
-1
-200
-2
-300
-3
π
ωt
Abb.5.3.02 Zeitliche Verläufe der Spannungen und des Stromes zu Beispiel 5.3.01
Beispiel 5.3.01 zeigt, dass Berechnungen mit Wechselgrößen in der gezeigten Form im
so genannten Zeit- oder Originalbereich recht aufwendig sind. Hätten wir in der
Aufgabenstellung diese Beispiels die Quellenspannung uq vorgegeben und den Strom zu
berechnen versucht, wäre die Rechnung noch erheblich umfangreicher gewesen, oder wir
hätten zur grafischen Lösung greifen müssen. Wir wollen deshalb in den folgenden
Abschnitten eine andere Lösungsmethode behandeln, mit der wir Berechnungen
linearer Netzwerke bei sinusförmiger Erregung rationell bewältigen können. Diese
Methode beruht auf der Erkenntnis, dass die Ergebnisgrößen in Amplitude und
Nullphasenwinkel nur durch die Amplituden und Nullphasenwinkel der Ausgangsgrößen
bestimmt werden.