Yang-Mills-Gleichung.

Die Yang-Mills Theorie
und die
Massen Lücke
Ein Millenium Problem
R. Schrader
Bielefeld, 5. November 2008
Schrader (FU-Berlin)
Ein Millenium Problem
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Inhalt
1
Das Clay Mathematics Institute und die Clay Foundation
2
Die Autoren
3
Quantenfeldtheorie
4
Die Yang-Mills Theorie
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Das Clay Mathematics Institute
Das Clay Mathematics Institute ist ein virtuelles Institut. Es wurde 1998
von Landon T. Clay gegründet und wird von der Clay Foundation
finanziert. Das Institut hat sich zum Ziel gesetzt, einerseits die
Mathematik durch Öffentlichkeitsarbeit stärker sichtbar werden zu lassen
und andererseits die Grundlagenforschung zu unterstützen. Dazu gehören
die Aufgaben
Neuere mathematische Ergebnisse in der Öffentlichkeits zu
präsentieren
Begabte Schüler zu animieren, Mathematik zu studieren
Preise für besondere Leitungen in der Mathematik zu vergeben
Modernes Lehrmaterial für den Mathematikunterricht an den Schulen
zu entwickeln und bereit zu stellen
Einzelne Wissenschaftler bei ihren Forschungen finanziell zu
unterstützen, z.B. durch Freistellung von Lehrverpflichtungen
Einzelne Wissenschaftler zu unterstützen, die ein Lehrbuch schreiben
wollen
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Die Autoren
Arthur Jaffe
Schrader (FU-Berlin)
Ed Witten
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Die Autoren
Arthur Jaffe ist seit 1967 Professor an der Harvard Universität in
Cambridge, Massachusetts(USA). Sein Arbeitsgebiet in der theoretischen
Physik ist die Quantenfeldtheorie. Insbesondere hat er wichtige Beiträge
geliefert in der
Konstruktiven Quantenfeldtheorie.
Dort bemüht man sich, explizite Modelle mathematisch streng zu
konstruieren.
Sein Studium absovierte er an der Cambbridge Universität (England) und
an der Princeton Universität (New Jersey,(USA)). Sein Doktorvater war
Arthur Wightman, einer der Begründer der
Axiomatischen Quantenfeldteorie.
Jaffe war für 3 Jahre der erste Präsident des Clay Mathematical Institute.
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Die Autoren
Ed Witten ist seit 1987 ein permanentes Mitglied des
Institute for Advanced Study (IAS) in Princeton.
Sein Studium absovierte er an der
Princeton University (New Jersey,(USA))
Seine wichtigsten Beiträge sind in der
String Theorie
angesiedelt. Insbesondere hat er daraus viele wichtige Resultate in
mathematischen Themenbereichen hergeleitet. Hervorzuheben sind vor
allem seine Resultate zur
Knoten Theorie, Morse Theorie, Positivität der Energie in der
Relativitätstheorie und der Indextheorie.
Er erhielt dafür im Jahre 1990 die höchste Auszeihnung in der Mathematik,
die Fields Medaille und ist Träger vieler weiterer Auszeichnungen.
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Die Autoren
Bevor wir zum Begriff Quantenfeldtheorie kommen liefern wir kurz
eine
Beispielserläuterung für Konstruktiv
Betrachte die unendliche Summe
∞
X
an z n
n=0
mit komplexen Zahlen an und z.
Frage:
Unter welchen Bedingungen an die an kann man diese Summe als eine
Funktion f (z) auffassen? Wenn das geht, nennt man diese Summe die
Taylorentwicklung von f (z) um z = 0.
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Die Autoren
und weiter eine
Beispielserläuterung für Axiomatisch
Für die natürlichen Zahlen
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, · · ·
gilt das Axiomensystem von Peano
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Was ist eine Quantenfeldtheorie ?
Aufgabe und Ziel einer Quantenfeldtheorie
sind eine theoretische Beschreibung des Verhaltens von Elementarteilchen
wie Elektronen, Protonen, Neutronen, Pionen, Neutrinos, etc. und von
Licht
die den
Prinzipien der Quantentheorie
und der speziellen Relativitätstheorie
genügt.
Insbesondere soll ihrer Wechselwirkung eine mathematische Formulierung
gegeben werden.
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Was ist eine Quantenfeldtheorie ?
Zunächst ist ein Quantenfeld ein Feld, das den Gesetzen der
Quantenmechanik genügt. Gehen wir dazu zurück in die Geschichte und
erinnern wir uns an den Ursprung der Quantenmechanik, nämlich and die
Entdeckung durch Max Planck (1858-1947).
1900 lieferte er die erste korrekte Formel für die Spektralverteilung des
schwarzen Strahlers. Man wusste seit theoretischen Vorhersagen von J. C.
Maxwell (1831-1879) und den Experimenten von H. Hertz (1857-1894),
daß Licht und Radiowellen elektromagnetischer Natur sind, ihre
Ausbreitung also durch die Maxwell Gleichungen beschrieben wird.
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Was ist eine Quantenfeldtheorie ?
Die Problemstellung hatte zuerst Kirchhoff (1859) gegeben. Die Formel ist
ρ(ν, T ) =
8π 2
hν
ν
c 3 e hν/kT − 1
mit ν als Frequenz, T als Temperatur, c als Lichtgeschwindigkeit und k
als Boltzmann Konstante. h = 2π~ ist die Planck’sche Konstante, ihr
Wert ist 6.6260×10−34 J·s.
Diese Formel interpoliert zwischen der Strahlungsformel von Raleigh-Jeans
(1894) und der von Wien (1893/94).
Bei seiner Herleitung war Planck gezwungen, der Austauschenergie
zwischen dem elektromagnetischem Feld und den Wänden diskrete Werte
zu geben. Heute sprechen wir von Quantisierung.
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Was ist eine Quantenfeldtheorie ?
Es war Albert Einstein (1879-1953), der im Annus Mirabilis 1905 in seiner Arbeit zum Photoelektrischen Effekt für das elektromagnetische Feld
eine granulare Struktur forderte. Es war diese Arbeit, für die er 1921 den Nobel Preis erhielt.
Unabhängig davon postulierte Paul Ehrenfest
(1880-1933) im Jahre 1906, daß die Feldenergie, die in einer Frequenzmode ν residiert, ein
Vielfaches von hν sein sollte.
Konsequenz:
Da ν klein sein darf, kann das Feld Anregungen mit beliebig kleiner
Energie besitzen.
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Was ist eine Quantenfeldtheorie ?
Mit dieser Hypothese von Ehrenfest konnte P.J.W. Debye (1884-1966) die
Planck’sche Strahlungsformel herleiten. Im Jahresübergang 1925-1926
fand die Formulierung der Quantentheorie ihren ersten Abschluß und
Höhepunkt durch die grundlegenden Arbeiten von
Werner Heisenberg Erwin Schrödinger
(1901 − 1976)
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(1887 − 1961)
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Was ist eine Quantenfeldtheorie ?
Wir sagen heute, die Quanten des elektromagnetischen Feldes sind die
Photonen.
Die ersten, unvollständigen Versuche zur Quantisierung des Maxwell
Feldes, also des elektrischen Feldes und des magnetischen Feldes wurden
von Born, Heisenberg und Jordan schon 1926 durchgeführt, aber erst P.
Dirac (1882-1970) gelang 1928 die vollständige Quantisierung.
Das endgültige Resultat ist folgendes:
In der quantenmechanische Beschreibung ist ein freies Maxwell Feld - also
ein elektromagnetisches Feld in Abwesenheit von Ladungen und Strömen eine bestimmte Ansammlung von quantenmechanischen harmonischen
Oszillatoren. Frei bedeutet hier, daß die Oszillatoren entkoppelt sind.
Zur Erinnerung:
Heisenberg hatte seine Formulierung der Quantenmechanik über den
harmonischen Oszillators gefunden, während Schrödinger das
Wasserstoffatom quantenmechanisch gelöst hatte.
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Was ist eine Quantenfeldtheorie ?
Die quantenmechanische Beschreibung der Wechselwirkung zwischen
geladenen Teilchen ist so, daß diese untereinander virtuelle Photonen
austauschen.
Für unsere folgende Diskussion wird wichtig:
Die Photonen selber sind nicht geladen, wechselwirken also nicht
direkt mit sich selbst.
Klassisch ist das auch dadurch zu verstehen, daß die
Maxwellgleichungen in Abwesenheit von Ladungen und Strömen linear
sind. Somit gilt dann das Superpositionsprinzip: Die Summe zweier
Lösungen der Maxwell Gleichungen ist wieder eine Lösung.
Photonen sind “Teilchen”, die sich mit Lichtgeschwindigkeit
ausbreiten, also keine Masse haben.
Diese hängt eng damit zusammen, daß die elektrischen Kräfte
langreichweitig sind, oder: Die elektrischen Feldlinien, die von einer
Punktladung ausgehen, reichen bis ins Unendliche.
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Was ist eine Quantenfeldtheorie ?
Wenn aber die Wechselwirkung zwischen elektrisch geladenen Teilchen
eine quantenmechanische Beschreibung erfährt, dann müssen diese
Teilchen auch eine quantentheoretische Beschreibung erfahren.
Anders ausgedrückt: In Umkehrung der Tatsache, daß Licht auch eine
korpuskulare Struktur hat, müssen beliebige Teilchen auch eine
Wellennatur haben.
Nun hatte von Laue (1879-1960) schon 1912 in seinem berühmten
Experiment der Streuung von Elektronen in Kristallen tatsächlich deren
Wellennatur nachgewiesen.
de Broglie (1892-1987) vermutete 1924, daß das eben ein allgemeines
Prinzip sei.
Es war schließlich 1928 die Entdeckung von P. Dirac (1882-1970) der nach
ihm benannten Dirac Gleichung, die zu der Konstruktion einer
Quantenfeldtheorie des freien Elektron’s führte.
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Was ist eine Quantenfeldtheorie ?
Damit haben wir in groben Strichen die Quantenformulierung einer
Feldtheorie erklärt. Es fehlt noch eine wichtige Forderung:
Eine Quantenfeldtheorie, die eine Beschreibung von Elementarteilchen
liefert, muß mit den Prinzipien der speziellen Relativitätstheorie verträglich
sein.
Technisch ausgedrückt:
Alle Strukturaussagen, die man erhält, müssen unabhängig von der
speziellen Wahl des Inertialsystems sein.
oder noch anders:
Die Symmetriegruppe der speziellen Relativitätstheorie ist die Poincare
Gruppe und diese Gruppe muß als Kovarianzgruppe in jeder relativistische
Quantenfeldtheorie operieren.
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Was ist eine Quantenfeldtheorie ?
Die
Quantenelektrodynamik (QED)
also die Quantenversion der Maxwelltheorie, ist nun eine solche Theorie,
die im Rahmen einer Störungstheorie sehr präzise Aussagen macht über
das Verhalten von Elektronen und Photonen macht. Ihre endgültige
Formulierung fand sie durch die Arbeiten von
R.P. Feynman, J. Schwinger, S. Tomonaga
Störungstheorie heißt, daß von der interessierenden Größe, wie z.B. das
magnetische Moment des Elektron’s, die ersten Koeffizienten ihrer
Taylorentwicklung nach der Feinstrukturkonstante
α = e 2 /~c4π0 ∼
= 1/136 berechnet werden können und die entsprechende
Teilsumme schon sehr gute Übereinstimmung mit den experimentellen
Daten liefert. Insofern ist also die QED noch keine mathematisch streng
formulierte Theorie.
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Die Yang-Mills Theorie: Zielsetzung
Wir nähern uns nun der Problemstellung des Milleniumpreises von der
physikalischen Seite. Neben der elektromagnetischen Wechselwirkung gibt
es in der Natur die schwache, die starke und die gravitative.
Uns interessiert die starke Wechselwirkung der Hadronen, zu denen u.a.
das Proton und das Neutron gehören, die Bausteine aller Atomkerne. Nun
sind aber Protonen und Neutronen genau genommen nicht elementar,
sondern zusammengestezt aus Quarks. Diese selbst sind bisher nicht
beobachtet worden und man erwartet das auch nicht. Gesucht nun sind
die Kräfte, die die Quarks zu Protonen und Neutronen binden und die die
Anziehung zwischen diesen Teilchen beschreiben.
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Die Yang-Mills Theorie: Zielsetzung
Ein Kandidat dafür ist ein Yang-Mills Feld, im unserem Falle der starken
Wechselwirkung werden die entprechenden Quanten Gluonen genannt.
C.N. Yang
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Die Yang-Mills Theorie: Zielsetzung
Was sind die Schwierigkeiten?
Im Gegensatz zu den Photonen wechselwirken die Gluonen direkt
miteinander. Das sieht man auch klassisch: In Analogie zur
Maxwelltheorie gibt es in Abwesenheit von Quarks keine freien
Lösungen und es gilt nicht das Superpositionsprinzip.
Sowohl die Quarks als auch Gluonen sind nicht beobachtbar.
Theoretisch sollten die Gluonen als Quanten eines Yang-Mills Feldes
masselos sein. Das verträgt sich aber nicht mit der
Kurzreichweitigkeit der starken Wechselwirkung.
Selbst klassische Yang-Mills Felder sind mathenmatisch bisher noch
nicht genügend gut verstanden.
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Die Yang-Mills Theorie: Zielsetzung
Jede Quantenfeldtheorie verwendet das Konzept des Vakuums, das ist ein
Zustand, in dem das Feld nicht angeregt ist. Per fiat ordnet man diesem
Zustand immer die Energie Null zu.
Nach all diesen vorbereitenden Bemerkungen kommen wir schließlich zur
Formulierung des
Milleniumproblems:
Konstruiere eine Yang-Mills Quantenfeldtheorie
und zeige:
Es gibt eine Massenlücke m > 0: Jede Anregung des Yang- Mills
Feldes oberhalb des Vakuums hat Energie größer als mc 2 .
(Wir erinnern uns an das Ehrenfest’sche Postulat für das e.m. Feld.)
und zeige:
Es gibt Quark Confinement, d.h. die Quarks (aber auch die
Gluonen) sind selbst direkt nicht beobachtbar.
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