Dichteoperator

Basics
Einführung des Dichteoperators
Definition und Eigenschaften des Dichteoperators
Zeitentwicklung
Dichteoperator
Krizmanits Claudia
06.06.2012
Krizmanits Claudia
Dichteoperator
Basics
Einführung des Dichteoperators
Definition und Eigenschaften des Dichteoperators
Zeitentwicklung
Inhalt
1
Basics
Reine Zustände
Gemischte Zustände
2
Einführung des Dichteoperators
Dichteoperatoren? Wozu?
Dichteoperator für 2-Zustands-System
Krizmanits Claudia
Dichteoperator
Basics
Einführung des Dichteoperators
Definition und Eigenschaften des Dichteoperators
Zeitentwicklung
Inhalt
1
Basics
Reine Zustände
Gemischte Zustände
2
Einführung des Dichteoperators
Dichteoperatoren? Wozu?
Dichteoperator für 2-Zustands-System
3
Definition und Eigenschaften des Dichteoperators
Definition des Dichteoperators
Eigenschaften des Dichteoperators
Krizmanits Claudia
Dichteoperator
Basics
Einführung des Dichteoperators
Definition und Eigenschaften des Dichteoperators
Zeitentwicklung
Inhalt
1
Basics
Reine Zustände
Gemischte Zustände
2
Einführung des Dichteoperators
Dichteoperatoren? Wozu?
Dichteoperator für 2-Zustands-System
3
Definition und Eigenschaften des Dichteoperators
Definition des Dichteoperators
Eigenschaften des Dichteoperators
4
Zeitentwicklung
Schrödingerbild
Heisenberbild
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Dichteoperator
Basics
Einführung des Dichteoperators
Definition und Eigenschaften des Dichteoperators
Zeitentwicklung
Inhalt
1
Basics
Reine Zustände
Gemischte Zustände
2
Einführung des Dichteoperators
Dichteoperatoren? Wozu?
Dichteoperator für 2-Zustands-System
3
Definition und Eigenschaften des Dichteoperators
Definition des Dichteoperators
Eigenschaften des Dichteoperators
4
Zeitentwicklung
Schrödingerbild
Heisenberbild
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Definition und Eigenschaften des Dichteoperators
Zeitentwicklung
Reine Zustände
Gemischte Zustände
Gliederung
1
Basics
Reine Zustände
Gemischte Zustände
2
Einführung des Dichteoperators
3
Definition und Eigenschaften des Dichteoperators
4
Zeitentwicklung
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Dichteoperator
Basics
Einführung des Dichteoperators
Definition und Eigenschaften des Dichteoperators
Zeitentwicklung
Reine Zustände
Gemischte Zustände
Basics
Reine Zustände
Quantensysteme mit Hilbertraum assoziiert
Bsp.: Hilbertraum eines einzelnen Spins, welcher durch
|↑i oder |↓i aufgespannt wird.
Zustandsvektoren: Reine Zustände beschrieben durch
normierte Zustandsvektoren aus komplexem Hilbertraum
.
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Einführung des Dichteoperators
Definition und Eigenschaften des Dichteoperators
Zeitentwicklung
Reine Zustände
Gemischte Zustände
Basics
Reine Zustände
Quantensysteme mit Hilbertraum assoziiert
Bsp.: Hilbertraum eines einzelnen Spins, welcher durch
|↑i oder |↓i aufgespannt wird.
Zustandsvektoren: Reine Zustände beschrieben durch
normierte Zustandsvektoren aus komplexem Hilbertraum
Bsp: Zustandsvektor |ψi = α |↑i + β |↓i
.
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Einführung des Dichteoperators
Definition und Eigenschaften des Dichteoperators
Zeitentwicklung
Reine Zustände
Gemischte Zustände
Basics
Reine Zustände
Quantensysteme mit Hilbertraum assoziiert
Bsp.: Hilbertraum eines einzelnen Spins, welcher durch
|↑i oder |↓i aufgespannt wird.
Zustandsvektoren: Reine Zustände beschrieben durch
normierte Zustandsvektoren aus komplexem Hilbertraum
Bsp: Zustandsvektor |ψi = α |↑i + β |↓i
Normierung: hψ|ψi = 1 und |α|2 + |β|2 = 1.
.
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Definition und Eigenschaften des Dichteoperators
Zeitentwicklung
Reine Zustände
Gemischte Zustände
Basics
Reine Zustände
Quantensysteme mit Hilbertraum assoziiert
Bsp.: Hilbertraum eines einzelnen Spins, welcher durch
|↑i oder |↓i aufgespannt wird.
Zustandsvektoren: Reine Zustände beschrieben durch
normierte Zustandsvektoren aus komplexem Hilbertraum
Bsp: Zustandsvektor |ψi = α |↑i + β |↓i
Normierung: hψ|ψi = 1 und |α|2 + |β|2 = 1.
.
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Definition und Eigenschaften des Dichteoperators
Zeitentwicklung
Reine Zustände
Gemischte Zustände
Basics
Reine Zustände
Allgemein kann man eine orthonormale Basis wählen.
B = Basis mit d Niveaus = |1i , ..., |di.
Jeder Zustandsvektor lässt sich mit dieser Basis ausdrücken:
d
P
|ψi =
cj |ji .
j=1
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Reine Zustände
Gemischte Zustände
Basics
Reine Zustände
Allgemein kann man eine orthonormale Basis wählen.
B = Basis mit d Niveaus = |1i , ..., |di.
Jeder Zustandsvektor lässt sich mit dieser Basis ausdrücken:
d
P
|ψi =
cj |ji .
j=1
Es gilt:
hj|ki = δj,k
d
P
|ji hj| = 1
j=1
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Reine Zustände
Gemischte Zustände
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Reine Zustände
Allgemein kann man eine orthonormale Basis wählen.
B = Basis mit d Niveaus = |1i , ..., |di.
Jeder Zustandsvektor lässt sich mit dieser Basis ausdrücken:
d
P
|ψi =
cj |ji .
j=1
Es gilt:
hj|ki = δj,k
d
P
|ji hj| = 1
j=1
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Reine Zustände
Gemischte Zustände
Basics
Reine Zustände
Wahrscheinlichkeitsdichte, ein Teilchen an einem Ort
vorzufinden bei einer Ortsmessung = p(x) = |ψ(x)|2
Observablen sind hermitische Operatoren A = A† , deren
Eiegenwerte mögliche Messwerte darstellen.
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Reine Zustände
Gemischte Zustände
Basics
Reine Zustände
Wahrscheinlichkeitsdichte, ein Teilchen an einem Ort
vorzufinden bei einer Ortsmessung = p(x) = |ψ(x)|2
Observablen sind hermitische Operatoren A = A† , deren
Eiegenwerte mögliche Messwerte darstellen.
Erwartungswert der Observable = hAi = hψ|A|ψi
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Definition und Eigenschaften des Dichteoperators
Zeitentwicklung
Reine Zustände
Gemischte Zustände
Basics
Reine Zustände
Wahrscheinlichkeitsdichte, ein Teilchen an einem Ort
vorzufinden bei einer Ortsmessung = p(x) = |ψ(x)|2
Observablen sind hermitische Operatoren A = A† , deren
Eiegenwerte mögliche Messwerte darstellen.
Erwartungswert der Observable = hAi = hψ|A|ψi
Diagonalisierbarkeit: Zu jedem hermitischen Operator existiert
ein unitärer Operator U und eine Diagonalmatrix D, sodass
A = UDU †
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Zeitentwicklung
Reine Zustände
Gemischte Zustände
Basics
Reine Zustände
Wahrscheinlichkeitsdichte, ein Teilchen an einem Ort
vorzufinden bei einer Ortsmessung = p(x) = |ψ(x)|2
Observablen sind hermitische Operatoren A = A† , deren
Eiegenwerte mögliche Messwerte darstellen.
Erwartungswert der Observable = hAi = hψ|A|ψi
Diagonalisierbarkeit: Zu jedem hermitischen Operator existiert
ein unitärer Operator U und eine Diagonalmatrix D, sodass
A = UDU †
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Reine Zustände
Gemischte Zustände
Basics
Reine Zustände
Allgemeine Operatoren in Hilberträumen können in der Basis
dargestellt werden.
A=
P
j,k=1 hj|A|ki |ji hk| .
Die Spur von A
tr [A] =
P
j=0 hj|A|ji
hängt nicht von der gewählten Basis ab.
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Gemischte Zustände
Basics
Reine Zustände
Allgemeine Operatoren in Hilberträumen können in der Basis
dargestellt werden.
A=
P
j,k=1 hj|A|ki |ji hk| .
Die Spur von A
tr [A] =
P
j=0 hj|A|ji
hängt nicht von der gewählten Basis ab.
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Reine Zustände
Gemischte Zustände
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Gemischte Zustände
Wie beschreibe ich Zustände beim Stern-Gerlach Versuch?
Vorschlag: |ψi =
|↑i+|↓i
√
2
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Reine Zustände
Gemischte Zustände
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Gemischte Zustände
Wie beschreibe ich Zustände beim Stern-Gerlach Versuch?
Vorschlag: |ψi =
|↑i+|↓i
√
2
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Zeitentwicklung
Reine Zustände
Gemischte Zustände
Basics
Gemischte Zustände
Wie beschreibe ich Zustände beim Stern-Gerlach Versuch?
Vorschlag: |ψi =
|↑i+|↓i
√
2
Nein! Zwei voneinander unabhängige Strahlen:
N1 Teilchen im reinen Zustand |↑i, N2 in |↓i
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Reine Zustände
Gemischte Zustände
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Gemischte Zustände
Wie beschreibe ich Zustände beim Stern-Gerlach Versuch?
Vorschlag: |ψi =
|↑i+|↓i
√
2
Nein! Zwei voneinander unabhängige Strahlen:
N1 Teilchen im reinen Zustand |↑i, N2 in |↓i
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Zeitentwicklung
Reine Zustände
Gemischte Zustände
Bascis
Gegenüberstellung
reiner Zustand
P
|ψi =
cj |ji
gemischter Zustand
System in Zuständen |ψj i,
j=1
die statistisch mit einer
wobei
d
P
|cj |2 = 1
j=1
Wahrscheinlichkeit wj auftreten,
P
wobei
pj = 1
j
Zustandsvektor
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?
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Zeitentwicklung
Reine Zustände
Gemischte Zustände
Bascis
Gegenüberstellung
reiner Zustand
P
|ψi =
cj |ji
gemischter Zustand
System in Zuständen |ψj i,
j=1
die statistisch mit einer
wobei
d
P
|cj |2 = 1
j=1
Wahrscheinlichkeit wj auftreten,
P
wobei
pj = 1
j
Zustandsvektor
?
⇒ neues Werkzeug benötigt!
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Zeitentwicklung
Reine Zustände
Gemischte Zustände
Bascis
Gegenüberstellung
reiner Zustand
P
|ψi =
cj |ji
gemischter Zustand
System in Zuständen |ψj i,
j=1
die statistisch mit einer
wobei
d
P
|cj |2 = 1
j=1
Wahrscheinlichkeit wj auftreten,
P
wobei
pj = 1
j
Zustandsvektor
?
⇒ neues Werkzeug benötigt!
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Definition und Eigenschaften des Dichteoperators
Zeitentwicklung
Dichteoperatoren? Wozu?
Dichteoperator für 2-Zustands-System
Gliederung
1
Basics
2
Einführung des Dichteoperators
Dichteoperatoren? Wozu?
Dichteoperator für 2-Zustands-System
3
Definition und Eigenschaften des Dichteoperators
4
Zeitentwicklung
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Dichteoperator
Basics
Einführung des Dichteoperators
Definition und Eigenschaften des Dichteoperators
Zeitentwicklung
Dichteoperatoren? Wozu?
Dichteoperator für 2-Zustands-System
Einführung des Dichteoperators
Dichteoperatoren? Wozu?
Beschreibung der Situation im Stern-Gerlach Versuch
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Dichteoperator
Basics
Einführung des Dichteoperators
Definition und Eigenschaften des Dichteoperators
Zeitentwicklung
Dichteoperatoren? Wozu?
Dichteoperator für 2-Zustands-System
Einführung des Dichteoperators
Dichteoperatoren? Wozu?
Beschreibung der Situation im Stern-Gerlach Versuch
Das Werkzeug, dass diese Situation sinnvoll beschreibt ist...
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Definition und Eigenschaften des Dichteoperators
Zeitentwicklung
Dichteoperatoren? Wozu?
Dichteoperator für 2-Zustands-System
Einführung des Dichteoperators
Dichteoperatoren? Wozu?
Beschreibung der Situation im Stern-Gerlach Versuch
Das Werkzeug, dass diese Situation sinnvoll beschreibt ist...
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Zeitentwicklung
Dichteoperatoren? Wozu?
Dichteoperator für 2-Zustands-System
Einführung des Dichteoperators
Dichteoperatoren? Wozu?
Beschreibung der Situation im Stern-Gerlach Versuch
Das Werkzeug, dass diese Situation sinnvoll beschreibt ist...
der Dichteoperator = ρ =
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1
2
|↑i h↑| + 21 |↓i h↓|
Dichteoperator
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Zeitentwicklung
Dichteoperatoren? Wozu?
Dichteoperator für 2-Zustands-System
Einführung des Dichteoperators
Dichteoperatoren? Wozu?
Beschreibung der Situation im Stern-Gerlach Versuch
Das Werkzeug, dass diese Situation sinnvoll beschreibt ist...
der Dichteoperator = ρ =
1
2
|↑i h↑| + 21 |↓i h↓|
preferred ensemble fallacy
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Zeitentwicklung
Dichteoperatoren? Wozu?
Dichteoperator für 2-Zustands-System
Einführung des Dichteoperators
Dichteoperatoren? Wozu?
Beschreibung der Situation im Stern-Gerlach Versuch
Das Werkzeug, dass diese Situation sinnvoll beschreibt ist...
der Dichteoperator = ρ =
1
2
|↑i h↑| + 21 |↓i h↓|
preferred ensemble fallacy
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Dichteoperatoren? Wozu?
Dichteoperator für 2-Zustands-System
Einführung des Dichteoperators
Dichteoperatoren? Wozu?
Beschreibung der Situation im Stern-Gerlach Versuch
Das Werkzeug, dass diese Situation sinnvoll beschreibt ist...
der Dichteoperator = ρ =
1
2
|↑i h↑| + 21 |↓i h↓|
preferred ensemble fallacy
Gegebener gemischter Zustand: durch kein Experiment Info welche
reinen Zustände gemischt wurden!
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Dichteoperatoren? Wozu?
Dichteoperator für 2-Zustands-System
Einführung des Dichteoperators
Dichteoperatoren? Wozu?
Beschreibung der Situation im Stern-Gerlach Versuch
Das Werkzeug, dass diese Situation sinnvoll beschreibt ist...
der Dichteoperator = ρ =
1
2
|↑i h↑| + 21 |↓i h↓|
preferred ensemble fallacy
Gegebener gemischter Zustand: durch kein Experiment Info welche
reinen Zustände gemischt wurden!
scheiternder Versuch: “preferred ensemble fallacy“
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Dichteoperatoren? Wozu?
Dichteoperator für 2-Zustands-System
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Dichteoperatoren? Wozu?
Beschreibung der Situation im Stern-Gerlach Versuch
Das Werkzeug, dass diese Situation sinnvoll beschreibt ist...
der Dichteoperator = ρ =
1
2
|↑i h↑| + 21 |↓i h↓|
preferred ensemble fallacy
Gegebener gemischter Zustand: durch kein Experiment Info welche
reinen Zustände gemischt wurden!
scheiternder Versuch: “preferred ensemble fallacy“
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Dichteoperatoren? Wozu?
Dichteoperator für 2-Zustands-System
Einführung des Dichteoperators
Dichteoperator für 2-Zustandssystem
Der Dichteoperator im 2-Zustands-System ist gegeben durch
ρ = pa |ψa i hψa | + pb |ψb i hψb |, also
pa |a1 |2 + pb |b1 |2 pa a1 a2∗ + pb b1 b2∗
ρ=
.
pa a1∗ a2 + pb b1∗ b2 pa |a2 |2 + pb |b2 |2
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Dichteoperatoren? Wozu?
Dichteoperator für 2-Zustands-System
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Der Dichteoperator im 2-Zustands-System ist gegeben durch
ρ = pa |ψa i hψa | + pb |ψb i hψb |, also
pa |a1 |2 + pb |b1 |2 pa a1 a2∗ + pb b1 b2∗
ρ=
.
pa a1∗ a2 + pb b1∗ b2 pa |a2 |2 + pb |b2 |2
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Definition des Dichteoperators
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Gliederung
1
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2
Einführung des Dichteoperators
3
Definition und Eigenschaften des Dichteoperators
Definition des Dichteoperators
Eigenschaften des Dichteoperators
4
Zeitentwicklung
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Dichteoperator
Basics
Einführung des Dichteoperators
Definition und Eigenschaften des Dichteoperators
Zeitentwicklung
Definition des Dichteoperators
Eigenschaften des Dichteoperators
Definition und Eigenschaften des Dichteoperators
Definition des Dichteoperators
Allgemein (beliebig viele reine Zustände,die jeweils beliebig
wahrscheinlich sind):
P
ρ = pj |ψj i hψj |,
j
ψj nicht notwendigerweise orthogonal.
Sprechweisen:
Krizmanits Claudia
Dichteoperator
Basics
Einführung des Dichteoperators
Definition und Eigenschaften des Dichteoperators
Zeitentwicklung
Definition des Dichteoperators
Eigenschaften des Dichteoperators
Definition und Eigenschaften des Dichteoperators
Definition des Dichteoperators
Allgemein (beliebig viele reine Zustände,die jeweils beliebig
wahrscheinlich sind):
P
ρ = pj |ψj i hψj |,
j
ψj nicht notwendigerweise orthogonal.
Sprechweisen:
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Definition und Eigenschaften des Dichteoperators
Zeitentwicklung
Definition des Dichteoperators
Eigenschaften des Dichteoperators
Definition und Eigenschaften des Dichteoperators
Definition des Dichteoperators
Allgemein (beliebig viele reine Zustände,die jeweils beliebig
wahrscheinlich sind):
P
ρ = pj |ψj i hψj |,
j
ψj nicht notwendigerweise orthogonal.
Sprechweisen:
- gemischter Zustand durch das Ensemble ({pj }, {|ψj i})
beschrieben.
Krizmanits Claudia
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Definition und Eigenschaften des Dichteoperators
Zeitentwicklung
Definition des Dichteoperators
Eigenschaften des Dichteoperators
Definition und Eigenschaften des Dichteoperators
Definition des Dichteoperators
Allgemein (beliebig viele reine Zustände,die jeweils beliebig
wahrscheinlich sind):
P
ρ = pj |ψj i hψj |,
j
ψj nicht notwendigerweise orthogonal.
Sprechweisen:
- gemischter Zustand durch das Ensemble ({pj }, {|ψj i})
beschrieben.
- gemischter Zustand definiert durch die Wahrscheinlichkeiten
pj und die reinen Ensemblezustandsvektoren |ψj i
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Einführung des Dichteoperators
Definition und Eigenschaften des Dichteoperators
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Definition des Dichteoperators
Eigenschaften des Dichteoperators
Definition und Eigenschaften des Dichteoperators
Definition des Dichteoperators
Allgemein (beliebig viele reine Zustände,die jeweils beliebig
wahrscheinlich sind):
P
ρ = pj |ψj i hψj |,
j
ψj nicht notwendigerweise orthogonal.
Sprechweisen:
- gemischter Zustand durch das Ensemble ({pj }, {|ψj i})
beschrieben.
- gemischter Zustand definiert durch die Wahrscheinlichkeiten
pj und die reinen Ensemblezustandsvektoren |ψj i
Aber, nur ρ physikalisch relevant!
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Definition und Eigenschaften des Dichteoperators
Zeitentwicklung
Definition des Dichteoperators
Eigenschaften des Dichteoperators
Definition und Eigenschaften des Dichteoperators
Definition des Dichteoperators
Allgemein (beliebig viele reine Zustände,die jeweils beliebig
wahrscheinlich sind):
P
ρ = pj |ψj i hψj |,
j
ψj nicht notwendigerweise orthogonal.
Sprechweisen:
- gemischter Zustand durch das Ensemble ({pj }, {|ψj i})
beschrieben.
- gemischter Zustand definiert durch die Wahrscheinlichkeiten
pj und die reinen Ensemblezustandsvektoren |ψj i
Aber, nur ρ physikalisch relevant!
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Zeitentwicklung
Definition des Dichteoperators
Eigenschaften des Dichteoperators
Definition und Eigenschaften des Dichteoperators
Eigenschaften des Dichteoperators
{pj } bildet eine Wahrscheinlichkeitsverteilug:
0 ≤ pj ≤ 1,
P
pj = 1
j
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Definition des Dichteoperators
Eigenschaften des Dichteoperators
Definition und Eigenschaften des Dichteoperators
Eigenschaften des Dichteoperators
{pj } bildet eine Wahrscheinlichkeitsverteilug:
0 ≤ pj ≤ 1,
P
pj = 1
j
Der Dichteoperator lässt sich schreiben als:
P
ρ=
pj Pψj ,
j
mit dem Projektionsoperator Pψj = |ψj i hψj | (EW = 0 & 1)
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Zeitentwicklung
Definition des Dichteoperators
Eigenschaften des Dichteoperators
Definition und Eigenschaften des Dichteoperators
Eigenschaften des Dichteoperators
{pj } bildet eine Wahrscheinlichkeitsverteilug:
0 ≤ pj ≤ 1,
P
pj = 1
j
Der Dichteoperator lässt sich schreiben als:
P
ρ=
pj Pψj ,
j
mit dem Projektionsoperator Pψj = |ψj i hψj | (EW = 0 & 1)
Pψj angewandt auf beliebigen Zustandvektor projeziert dessen
Komponente parallel zum Zustand |ψj i.
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Zeitentwicklung
Definition des Dichteoperators
Eigenschaften des Dichteoperators
Definition und Eigenschaften des Dichteoperators
Eigenschaften des Dichteoperators
{pj } bildet eine Wahrscheinlichkeitsverteilug:
0 ≤ pj ≤ 1,
P
pj = 1
j
Der Dichteoperator lässt sich schreiben als:
P
ρ=
pj Pψj ,
j
mit dem Projektionsoperator Pψj = |ψj i hψj | (EW = 0 & 1)
Pψj angewandt auf beliebigen Zustandvektor projeziert dessen
Komponente parallel zum Zustand |ψj i.
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Definition und Eigenschaften des Dichteoperators
Zeitentwicklung
Definition des Dichteoperators
Eigenschaften des Dichteoperators
Definition und Eigenschaften des Dichteoperators
Eigenschaften des Dichteoperators
Jeder Dichteoperator ρ ist ein legitimer physikalischer Zustand
mit:
ρ ≥ 0.
⇒ρ=
ρ† ,d.h.
alle Eigenwerte sind reell.
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Definition und Eigenschaften des Dichteoperators
Zeitentwicklung
Definition des Dichteoperators
Eigenschaften des Dichteoperators
Definition und Eigenschaften des Dichteoperators
Eigenschaften des Dichteoperators
Jeder Dichteoperator ρ ist ein legitimer physikalischer Zustand
mit:
ρ ≥ 0.
⇒ρ=
ρ† ,d.h.
alle Eigenwerte sind reell.
ρ ist normiert: Tr (ρ) = 1.
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Definition und Eigenschaften des Dichteoperators
Zeitentwicklung
Definition des Dichteoperators
Eigenschaften des Dichteoperators
Definition und Eigenschaften des Dichteoperators
Eigenschaften des Dichteoperators
Jeder Dichteoperator ρ ist ein legitimer physikalischer Zustand
mit:
ρ ≥ 0.
⇒ρ=
ρ† ,d.h.
alle Eigenwerte sind reell.
ρ ist normiert: Tr (ρ) = 1.
Für reine Zustände gilt:
ρ = |ψi hψ| = Pψ
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Definition und Eigenschaften des Dichteoperators
Zeitentwicklung
Definition des Dichteoperators
Eigenschaften des Dichteoperators
Definition und Eigenschaften des Dichteoperators
Eigenschaften des Dichteoperators
Jeder Dichteoperator ρ ist ein legitimer physikalischer Zustand
mit:
ρ ≥ 0.
⇒ρ=
ρ† ,d.h.
alle Eigenwerte sind reell.
ρ ist normiert: Tr (ρ) = 1.
Für reine Zustände gilt:
ρ = |ψi hψ| = Pψ
ρ = ρ2
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Einführung des Dichteoperators
Definition und Eigenschaften des Dichteoperators
Zeitentwicklung
Definition des Dichteoperators
Eigenschaften des Dichteoperators
Definition und Eigenschaften des Dichteoperators
Eigenschaften des Dichteoperators
Jeder Dichteoperator ρ ist ein legitimer physikalischer Zustand
mit:
ρ ≥ 0.
⇒ρ=
ρ† ,d.h.
alle Eigenwerte sind reell.
ρ ist normiert: Tr (ρ) = 1.
Für reine Zustände gilt:
ρ = |ψi hψ| = Pψ
ρ = ρ2
Tr (ρ2 ) = Tr (ρ) = 1 (gemischt: Tr (ρ2 ) < 1)
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Definition und Eigenschaften des Dichteoperators
Zeitentwicklung
Definition des Dichteoperators
Eigenschaften des Dichteoperators
Definition und Eigenschaften des Dichteoperators
Eigenschaften des Dichteoperators
Jeder Dichteoperator ρ ist ein legitimer physikalischer Zustand
mit:
ρ ≥ 0.
⇒ρ=
ρ† ,d.h.
alle Eigenwerte sind reell.
ρ ist normiert: Tr (ρ) = 1.
Für reine Zustände gilt:
ρ = |ψi hψ| = Pψ
ρ = ρ2
Tr (ρ2 ) = Tr (ρ) = 1 (gemischt: Tr (ρ2 ) < 1)
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Dichteoperator
Basics
Einführung des Dichteoperators
Definition und Eigenschaften des Dichteoperators
Zeitentwicklung
Definition des Dichteoperators
Eigenschaften des Dichteoperators
Definition und Eigenschaften des Dichteoperators
Eigenschaften des Dichteoperators
”Gemischtheit”:
Sind ρ1 und ρ2 zwei Dichtematrizen so bedeutet
ρ1 ρ2 ,
dass ρ1 gemischter bzw. chaotischer als ρ2 ist.
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Eigenschaften des Dichteoperators
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Eigenschaften des Dichteoperators
”Gemischtheit”:
Sind ρ1 und ρ2 zwei Dichtematrizen so bedeutet
ρ1 ρ2 ,
dass ρ1 gemischter bzw. chaotischer als ρ2 ist.
⇒ ρ1 kann als Mischung von zu ρ2 unitär äquivalenten
Dichtematrizen aufgefasst werden.
Erwartungswert einer Observablen ist
P
hAi = pj hψj |A|ψj i = Tr (ρA)
j
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Zeitentwicklung
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Eigenschaften des Dichteoperators
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Eigenschaften des Dichteoperators
”Gemischtheit”:
Sind ρ1 und ρ2 zwei Dichtematrizen so bedeutet
ρ1 ρ2 ,
dass ρ1 gemischter bzw. chaotischer als ρ2 ist.
⇒ ρ1 kann als Mischung von zu ρ2 unitär äquivalenten
Dichtematrizen aufgefasst werden.
Erwartungswert einer Observablen ist
P
hAi = pj hψj |A|ψj i = Tr (ρA)
j
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Dichteoperator
Basics
Einführung des Dichteoperators
Definition und Eigenschaften des Dichteoperators
Zeitentwicklung
Definition des Dichteoperators
Eigenschaften des Dichteoperators
Definition und Eigenschaften des Dichteoperators
Eigenschaften des Dichteoperators
Messpostulate:
Spektralzerlegung Obs.A:
P
P
A=
λk Pk mit Pk = |ψk i hψk | .
k
k
Pk sind somit Projektoren auf den Eigenraum zum Eigenwert λk .
Ws pr bzw. pg bestimmten Messwert λr bzw. λg (|r i bzw. |g i
zugehörige EV) messen bei System im...
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Messpostulate:
Spektralzerlegung Obs.A:
P
P
A=
λk Pk mit Pk = |ψk i hψk | .
k
k
Pk sind somit Projektoren auf den Eigenraum zum Eigenwert λk .
Ws pr bzw. pg bestimmten Messwert λr bzw. λg (|r i bzw. |g i
zugehörige EV) messen bei System im...
...reinen Zustand |ψi:
pr = hψ|Pr |ψi = Tr (ρPr )
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Messpostulate:
Spektralzerlegung Obs.A:
P
P
A=
λk Pk mit Pk = |ψk i hψk | .
k
k
Pk sind somit Projektoren auf den Eigenraum zum Eigenwert λk .
Ws pr bzw. pg bestimmten Messwert λr bzw. λg (|r i bzw. |g i
zugehörige EV) messen bei System im...
...reinen Zustand |ψi:
pr = hψ|Pr |ψi = Tr (ρPr )
...gemischten Zustand ρ:
P
P
pg = hgi |ρ|gi i =
wi pr = Tr (ρPg ).
i
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i
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Spektralzerlegung Obs.A:
P
P
A=
λk Pk mit Pk = |ψk i hψk | .
k
k
Pk sind somit Projektoren auf den Eigenraum zum Eigenwert λk .
Ws pr bzw. pg bestimmten Messwert λr bzw. λg (|r i bzw. |g i
zugehörige EV) messen bei System im...
...reinen Zustand |ψi:
pr = hψ|Pr |ψi = Tr (ρPr )
...gemischten Zustand ρ:
P
P
pg = hgi |ρ|gi i =
wi pr = Tr (ρPg ).
i
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3
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4
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Schrödingerbild
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Zeitentwicklung
Schrödingerbild
Ausgangspunkt: Schrödingergleichung
bei zeitunabhängigen Hamiltonoperator gilt:
|ψ(t)i = e −iHt/~ |ψ(0)i .
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Schrödingerbild
Ausgangspunkt: Schrödingergleichung
bei zeitunabhängigen Hamiltonoperator gilt:
|ψ(t)i = e −iHt/~ |ψ(0)i .
Da H hermitesch ist, ist der Operator
U(t) = e −iHt/~
unitär, weshalb sich die Norm des Zustands nicht ändert.
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bei zeitunabhängigen Hamiltonoperator gilt:
|ψ(t)i = e −iHt/~ |ψ(0)i .
Da H hermitesch ist, ist der Operator
U(t) = e −iHt/~
unitär, weshalb sich die Norm des Zustands nicht ändert.
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Zeitentwicklung von Zeit t1 zu Zeit t2 > t1 durch unitäre
Transformation von Zustandsvektoren:
|ψ(t2 )i = U(t2 − t1 ) |ψ(t1 )i .
Für Dichteoperatoren gilt somit:
ρ(t2 ) = U(t2 − t1 )ρ(t1 )U † (t2 − t1 ).
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Zeitentwicklung von Zeit t1 zu Zeit t2 > t1 durch unitäre
Transformation von Zustandsvektoren:
|ψ(t2 )i = U(t2 − t1 ) |ψ(t1 )i .
Für Dichteoperatoren gilt somit:
ρ(t2 ) = U(t2 − t1 )ρ(t1 )U † (t2 − t1 ).
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Heisenbergbild
Im Heisenbergbild ist der Dichteoperator nun zeitunabhängig:
ρ(t2 ) = ρ(t1 )
Zeitabhängig sind hier die Observablen:
A(t2 − t1 ) = U † (t2 − t1 )AU(t2 − t1 )
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Heisenbergbild
Im Heisenbergbild ist der Dichteoperator nun zeitunabhängig:
ρ(t2 ) = ρ(t1 )
Zeitabhängig sind hier die Observablen:
A(t2 − t1 ) = U † (t2 − t1 )AU(t2 − t1 )
Die Vorhersagen (Erwartungswerte) sind im Schrödingersowie Heisenbergbild gleich!
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Heisenbergbild
Im Heisenbergbild ist der Dichteoperator nun zeitunabhängig:
ρ(t2 ) = ρ(t1 )
Zeitabhängig sind hier die Observablen:
A(t2 − t1 ) = U † (t2 − t1 )AU(t2 − t1 )
Die Vorhersagen (Erwartungswerte) sind im Schrödingersowie Heisenbergbild gleich!
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coole Bilder
Als Abschiedsgeschenk...
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...coole Bilder
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Quellenverzeichnis
Text:
1.
http://www.jense.qipc.org/QMII.pdf
2.
http://www.physik.uni-leipzig.de/ uhlmann/PDF/Uh71b.pdf
3.
http://www.unisiegen.de/fb7/quantenoptik/lehre/hauptseminarqm/dichtematrix.pdf
4.
http://www.matthiaspospiech.de/files/pruefung/fragen/PruefFragenQM.pdf
5. http://de.wikipedia.org/wiki/Dichtematrix
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Zeitentwicklung
Quellenverzeichnis
Pictures:
1)
http://www.ornl.gov/ pk7/thesis/pkthnode58.html
2)
http://www.maths.nottingham.ac.uk/personal/pmzmig/research.html
3)
http://www.theo.chemie.tu-muenchen.de/research/dyn PES.htm
4)
http://molekel.cscs.ch/wiki/pmwiki.php/ReferenceGuide/Surfaces
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Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!
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