Serie 1 - D-MATH

Analysis I
MATH, PHYS, CHAB
Prof. D. Salamon
HS 2014
Serie 1
1. (a) Beweisen Sie mit vollständiger Induktion:
n
X
k2 =
k=1
n(n + 1)(2n + 1)
6
(b) Zeigen Sie mit vollständiger Induktion:
(1 + x)n ≥ 1 + nx,
∀x ≥ −1, n ∈ N
(c) Wo liegt der Fehler in folgendem Induktionsbeweis?
Behauptung: Alle Pferde haben dieselbe Farbe.
Beweis: Sei P (n) die Aussage, dass in jeder Ansammlung von n Pferden alle Pferde
dieselbe Farbe aufweisen. P (1) ist oensichtlich wahr. Im Induktionsschritt nehmen
wir an, dass P (k) wahr sei, und wollen P (k + 1) beweisen: Nehmen wir eine beliebige
Gruppe von k + 1 Pferden. Schicken wir eines weg, so bleiben k Pferde, die also alle
die gleiche Farbe haben. Holen wir das Pferd zurück und schicken ein anderes weg, so
bleiben wieder k Pferde übrig, die dann alle die gleiche Farbe haben. Da Pferde ihre
Farbe nicht ändern, muss dies dieselbe Farbe wie bei der ersten Gruppe sein. Somit
haben alle k + 1 Pferde die gleiche Farbe.
2. Beantworten Sie die folgenden Fragen und begründen Sie Ihre Antwort:
(a) Ist π 2 ∈ [5, 10]?
(b) Ist 3.1415 ∈ [0, 4]\Q?
(c) Das Komplement einer Teilmenge M ⊂ X ist deniert durch M c := X\M . Zeigen Sie,
dass für Teilmengen A, B ⊂ X gilt:
sowie
(A ∩ B)c = Ac ∪ B c
(A ∪ B)c = Ac ∩ B c
(d) Gilt (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)?
3. Der goldene Schnitt φ ∈ R ist das Teilungsverhältnis einer Strecke, sodass die gesamte
Strecke im Verhältnis zur längeren Strecke gleich dem Verhältnis der längeren Strecke zur
kürzeren ist. Bezeichne mit l = a + b > a > b die Länge der gesamten Strecke sowie der
beiden Teilstücke. Dann gilt
φ=
a
l
= .
a
b
Zeige, dass φ irrational ist.
4. Es bezeichne
(i) S die Menge aller natürlichen Zahlen ohne quadratische Teiler
(ii) T die Menge aller natürlichen Zahlen mit genau drei Primfaktoren
(iii) U die Menge aller natürlichen Zahlen kleiner gleich 100
1
Was ist S ∩ T ∩ U ?
5. (a) Für welche x ∈ R gilt |x + 3| ≥ 3?
(b) Für welche x ∈ R gilt |x − 2| ≥ |x| − 2?
(c) Für welche x ∈ R gilt x −2x+2
≥ 2 − x?
x+2
(d) Zeichnen Sie die Menge {(x, y) ∈ R2 | 1 ≤ |x| + |y| ≤ 2}.
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6. Zeigen Sie
(a)
n
X
k
10
k=0
(b)
n
X
=
n−1
X
(k + 1)10
k=0
(ak − ak−1 ) = an − a0
k=1
(c)
n
Y
an
ak
=
,
ak−1
a0
(wobei ak 6= 0 für k = 0, . . . , n)
k=1
(d)
n
X
k=1
(e)
1
1
=1−
,
k(k + 1)
1+n
n Y
k=1
1
1+
n+k
1
1
1
Tipp:
= −
k(k + 1)
k k+1
=2−
1
n+1
7. In der Bibliothek des Grafen Dracula gibt es keine zwei Bücher, welche gleich viele Wörter
enthalten. Die Anzahl der Bücher ist grösser als die Summer der Anzahl der Wörter aller
Bücher. Diese Aussagen genügen um den Inhalt mindestens eines Buches aus der Bibliothek
genau zu beschreiben. Was steht in diesem Buch? Kann man mehr über die Bibliothek
aussagen?
Abgabe:
Freitag, den 26. September 2014.
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