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Physik 1 für Chemiker und Biologen
14. Vorlesung – 06.02.2017
Prof. Dr. Jan Lipfert
[email protected]
https://xkcd.com/1166/
Vorlesung heute:
-  Ausblick: Spezielle Relativitätstheorie
-  Klausurwiederholung
Wiederholungstutorium:
(Termin wird noch bekannt gegeben)
Möglichkeit Fragen zu stellen!
Klausuranmeldung für ALLE:
http://www.cup.uni-muenchen.de/anmeld/
physik/index.php
Bitte bringen Sie einen
Lichtbildausweis zur Klausur mit!
Wiederholung: Ideales Gas & Kelvin-Skala
Ein ideales Gas besteht aus Atomen oder Molekülen, die als punktförmige
Teilchen mit Masse genähert werden, die sich kräftefrei in einem Volumen
V bei einem Druck p und einer Temperatur T aufhalten und nur durch
Stöße miteinander wechselwirken.
Zustandsgleichung des idealen Gases: kB = Boltzmann Konstante
= 1,381·∙10 J/K N = Anzahl der Teilchen ñ = Anzahl der Mole -23
pV = N kB T
pV = ñRT
R = NA · k
Mittlere kinetische Energie
eines Gasteilchens: 1
3
2
hEkin i = mhv i = kB T
2
2
06.02.2017 = Gaskonstante
B = 8,314 J/(mol K) Kelvin-Temperaturskala: 0 K = −273,15 ºC
0 K ist der absolute Nullpunkt, an dem die
mittlere Geschwindigkeit und der Druck
eines idealen Gases Null werden.
Prof. Dr. Jan Lipfert 2 1. Hauptsatz und 2. Hauptsatz
Die Änderung ΔU der inneren Energie eines Systems
ist gleich der Summe der ihm netto zugeführten
Wärme Q und der ihm netto zugeführten Arbeit W. U =Q+W
https://de.wikipedia.org/wiki/Wärmeäquivalent
Entropieänderung (Maß für Unordnung) eines
reversiblen Prozesses: S=
Qrev
T
•  Bei einem irreversiblen Prozess nimmt die Entropie des Universums zu.
•  Es gibt keinen Prozess, bei dem die Entropie des Universums abnimmt.
Hat ein Zustand eines Systems Ω verschiedene
mikroskopische Zustände, so beträgt seine Entropie: S = kB log ⌦
https://de.wikipedia.org/wiki/
Ludwig_Boltzmann
06.02.2017 Prof. Dr. Jan Lipfert Ludwig Boltzmann
(1844-1906) 3 Volumenarbeit und p-V Diagramm
Geleistete
Arbeit W:
(W < 0 ! Gas verrichtet Arbeit; Kolben expandiert)
(W > 0 ! Arbeit wird am Gas verrichtet; Kolben komprimiert)
W =
W =0
W =
06.02.2017 ñRT log
✓
V2
V1
p·
V
◆
Prof. Dr. Jan Lipfert 4 Wiederholung: Gleichverteilungssatz
Wenn sich ein System im thermischen Gleichgewicht befindet,
entfällt auf jeden Freiheitsgrad eine Energie von ½ kBT pro Teilchen. Wiederholung: Wärmetransport
•  Wärmeleitung: Energietransport durch Wechselwirkungen von
Atomen oder Molekülen, die dabei selbst nicht transportiert werden •  Konvektion: Wärmetransport durch den Transport von Teilchen •  Wärmestrahlung: Wärmeübertragung der elektromagnetische
Strahlen (auch im Vakuum!) 06.02.2017 Prof. Dr. Jan Lipfert 5 Ausblick:
Spezielle Relativitätstheorie
Spezielle Relativitätstheorie: Behandelt Inertialsysteme, die sich mit
konstanter (und hoher!) Geschwindigkeit relativ zueinander bewegen.
Allgemeine Relativitätstheorie: Behandelt beschleunigte Bezugssysteme
(und damit auch die Gravitation) 06.02.2017 Prof. Dr. Jan Lipfert 6 Newtonsches Relativitätsprinzip
& Galilei Transformation
Erinnerung: Galilei-Transformation zwischen Inertialsystemen http://i3.mirror.co.uk/incoming/article1193614.ece/
ALTERNATES/s615/James%20Bond%20Skyfall
http://www.abendblatt.de/img/hamburg/crop134573888/4392602762-w820cv16_9-q85/Intercity-Express.jpg
06.02.2017 Prof. Dr. Jan Lipfert 7 Spezielle Relativitätstheorie
http://www.starwars.com/the-force-awakens/images/share_1200x627.jpg
06.02.2017 Prof. Dr. Jan Lipfert 8 Die Lichtgeschwindigkeit ist in jedem
Inertialsystem gleich groß
Michelson-Morley Experiment zeigt, dass die Lichtgeschwindigkeit immer
gleich ist (und nicht von der Richtung der Bewegung im „Äther*“ abhängt)
https://de.wikipedia.org/wiki/Michelson-MorleyExperiment
*Der Äther ist eine hypothetische Substanz, in der
sich elektromagnetische Wellen ausbereiten (und
dessen Existenz durch das Michelson-Morley und
andere Experimente wiederlegt wurde) 06.02.2017 https://de.wikipedia.org/wiki/Michelson-Interferometer
Michelson-Morley-Experiment
1881 in Potsdam und 1887 in Cleveland
Prof. Dr. Jan Lipfert 9 Einsteins Lösung (1905)
Zwei Postulate:
1.  Kein Inertialsystem ist bevorzugt!
(Alle Naturgesetze nehmen in jedem
Inertialsystem die gleiche Form an.)
2.  Die Lichtgeschwindigkeit c im
Vakuum ist in jedem Inertialsystem
gleich.
Annalen der Physik und Chemie, IV.
Folge, Band 17 (1905) S. 891-921
06.02.2017 Prof. Dr. Jan Lipfert 10 Lorentz-Transformation
Inertialsystem S‘ bewegt sich mit Geschwindigkeit v relativ zu S,
bei t=0 fallen die beiden Systeme zusammen
Konstanz der Lichtgeschwindigkeit c soll gelten:
y •  Ansatz: x = γ (x´ + vt´) und x´ = γ (x - vt)
•  γ ist der gesuchte Korrekturterm
S x https://en.wikipedia.org/
wiki/Hendrik_Lorentz
06.02.2017 Prof. Dr. Jan Lipfert Hendrik Lorentz
(1853 – 1928)
11 Der γ-Faktor
300 000 km/s Lorentz-Transformation
http://adfc-blog.de/2014/01/tempo-30/beginn_der_zone_30/
Lorentz Faktor
06.02.2017 Prof. Dr. Jan Lipfert 12 Effekte der Speziellen Relativitätstheorie
•  Längenkontraktion
•  Zeitdilatation
•  Relativistischer Impuls
https://en.wikipedia.org/wiki/Hafele_Keating_experiment
Hafele–Keating experiment
(1971)
•  Relativistische Energie
06.02.2017 Prof. Dr. Jan Lipfert https://de.wikipedia.org/wiki/Albert_Einstein
13 “Now this is not the end.
It is not even the beginning of the end.
But it is, perhaps, the end of the beginning.”
Winston Churchill, 1942
06.02.2017 Prof. Dr. Jan Lipfert 14 Klausurwiederholung WS 2016/2017
18.01.2016 Prof. Dr. Jan Lipfert 15 Statistik und Messfehler
Für N Messungen eines
Observablen x: Gauß-Verteilung Mittelwert
N
X
1
hxi = x̄ =
xi
N i=1
Standardabweichung
v
u
u
=t
1
N
1
N
X
(xi
x̄)2
i=1
Stichprobenfehler
„standard error of the mean“
SEM
24.10.16 =p
N
Gaußsche Fehlerfortpflanzung Zu bestimmende Größe y ist eine Funktion f
von mehrerer Messgrößen xi: y = f(x1, ..., xN )
v
uN ✓
◆2
uX @f
t
y =
xi
@x
i
i=1
Quadratische Addition der fortgepflanzten Fehler Prof. Dr. Jan Lipfert 16 Bewegungen in 1, 2 und 3D
Kinematik: Beschreibung von Bewegung in 1, 2 und 3D
•  Ortsangabe, über einen Ortsvektor
~r
d~r
~v (t) =
= ~r˙
dt
• 
Geschwindigkeit = Ableitung des Ortes nach der Zeit
• 
Beschleunigung = Ableitung der Geschwindigkeit nach
d~v
a(t) =
= ~v˙ = ~r¨
der Zeit (= zweite Ableitung des Ortes nach der Zeit) ~
dt
Gleichmäßig beschleunigte Bewegung in 1D
Für den freien Fall in Nähe der Erdoberfläche gilt: a = g = 9.81 m/s2
Überlagerte Bewegung in 2D
•  Ohne Reibung, Kopplung, etc. ! Bewegungen in x und y sind unabhängig
•  Häufig: Freier Fall in einer Dimension; Kräftefreie Bewegung in der
anderen Dimension
07.11.18 Prof. Dr. Jan Lipfert 17 Newtonsche Axiome
1. Axiom
Trägheitsprinzip
2. Axiom
Aktionsprinzip
3. Axiom
Reaktionsprinzip
Ein Körper ändert ohne effektive Kraft
seine Geschwindigkeit (Richtung und
Betrag) nicht.
Beschleunigung ist proportional zur
Kraft und umgekehrt proportional zur
Masse.
Kräfte treten immer paarweise auf.
„Actio est reactio“
https://de.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton
Isaac Newton
(1642-1727) Einheit:
[F] = kg·m/s2 = 1 N
(Newton)
Allgemeine Lösungsstrategie: Wichtige Kräfte: 1. 
2. 
3. 
4. 
Federkraft:
F
(Hooksches Gesetz) Skizze
Definiere Koordinatensystem
F = ma, komponentenweise
Falls F ≠ 0 ! Beschleunigung & Bewegung 14.11.16 Prof. Dr. Jan Lipfert Fg
Gewichtskraft:
(nahe Erdoberfläche) =m·g
=
k·x
18 Beispiel: Atwood-Maschine
https://en.wikipedia.org/wiki/Atwood_machine
18.01.2016 Prof. Dr. Jan Lipfert 19 Kreisbewegung
Für gleichförmige Kreisbewegung: Zentripetalkraft
2
v
FZ = m · a Z = m ·
= m · !2 · r
r
F~Z
~v
Definitionen: Umlaufdauer T
Frequenz
Winkelgeschwindigkeit
Geschwindigkeit
ist konstant, aber
21.11.16 ändert sich!
Prof. Dr. Jan Lipfert 20 Schiefe Ebene und Festkörperreibung
Schiefe Ebene:
Festkörperreibung:
•  Hangabtriebskraft
•  Haftreibung
FH = mg sin ↵
•  Normalkraft
FN = mg cos ↵
|FR,Haft | = µR,Haft |FN |
•  Gleitreibung
|FR,Gleit | = µR,Gleit |FN |
•  Es gilt
µR,Gleit < µR,Haft
•  Die Festkörperreibung ist
unabhängig von v und A!
https://de.wikipedia.org/wiki/Hangabtriebskraft
21.11.16 Prof. Dr. Jan Lipfert 21 Fluidreibung
Newton-Reibung
(„Gasreibung“)
Stokes-Reibung
(„Flüssigkeitsreibung“)
• 
• 
• 
Kleine Körper
Kleine Geschwindigkeiten
Viskoses Fluid
- 
- 
- 
• 
• 
• 
η dynamische Viskosität
R Kugelradius bzw. effektiver Radius
v Geschwindigkeit
- 
- 
- 
- 
Reynoldszahl
Re  1
21.11.16 Große Körper
Große Geschwindigkeiten
Fluid/Gas mit geringer Dichte
ρ Dichte des Fluids
A Referenzfläche
Cw Strömungswiderstandskoeffizient
v Geschwindigkeit
•  Dichte des strömenden Fluids ρ [kg/m3]
•  Strömungsgeschwindigkeit v [m/s]
•  Charakteristische Länge des Objektes d [m]
•  Dynamische Viskosität η [Pa·s] = [N·s/m2]
•  Kinematische Viskosität ν [m2/s]
Laminare Strömung,
Stokes Reibung Re
Prof. Dr. Jan Lipfert Strömung,
1 Turbulente
Newton Reibung 22 Gravitation
Newtonsches Gravitationsgesetz
F~G =
• 
M m ~r
G 2
=
r |~r|
Mm
G 2 r̂
r
Gravitationskonstante:
G = 6,67384 · 10-11 m3/(s2·kg)
GME
In Nähe der Erdoberfläche: g =
2
RE
•  Für stabile Umlaufbahn: 28.11.16 |FG | = |Fzentr. |
Prof. Dr. Jan Lipfert 23 Arbeit (= „Kraft mal Weg“)
und Leistung (= „Arbeit pro Zeit“)
•  1D, konstante Kraft, gerader Weg
W =F x
•  1D, allgemein
Z
Alternative Einheiten:
xB
W =
F (x)dx
xA
•  3D, konstante Kraft, gerader Weg
W = F~ · ~r
•  3D, allgemein
Z r~B
W =
F~ (~r) · d~r
•  Leistung:
Kalorie: 1 cal ≈ 4,18 J
Die Energie, die nötig ist um
ein Gramm Wasser um ein
Grad Kelvin zu erwärmen.
In der (Bio)chemie häufig:
kcal/mol = 4,18 kJ/mol =
6.95·10−21 J
r~A
P = lim
28.11.16 Einheit: „Joule“
[W] = N·m = J = kg·m2/s2
t!0
W
dW
=
t
dt
Prof. Dr. Jan Lipfert Einheit: „Watt“
[P] = W = J/s = kg·m2/s3
24 Konservative Kräfte und potentielle Energie
Für konservative Kräfte gilt:
•  Die Gesamtarbeit, die die Kraft verrichtet, ist unabhängig vom Weg.
•  Entlang eines geschlossenen Weges ist die verrichtete Arbeit Null.
W =
• 
Z
r~A
r~A
F~ (~r) · d~r =
I
F~ (~r) · d~r = 0
Definiere die potentielle Energie als die Fähigkeit einer konservativen Kraft,
Arbeit zu verrichten. Verrichtet die konservative Kraft eine Arbeit W, so ändert
sich die potentielle Energie:
Z ~r
B
Epot =
U=
W =
~
rA
• 
F~ (~r) · d~r
Umgekehrt ist die Kraft gleich der negativen räumlichen Ableitung der
potentiellen Energie:
dEpot
F =
Für ein abgeschlossenes System in dem
nur konservative Kräfte wirken gilt der
Energieerhaltungssatz der Mechanik:
Emech =
28.11.16 Ekin +
Epot = 0
dx
Beispiele für konservative Kräfte:
1 2
Federkraft: Epot = kx
2
Schwerkraft: Epot = mgh
Gravitation: Epot =
Prof. Dr. Jan Lipfert GM m
r
25 Impuls und Stöße
•  Definition des Impuls
p~ = m · ~v
d~
p
~
= p~˙
•  2. Newtonsches Axiom in Impulsform: F =
dt
Der Gesamtimpuls
p~ =
X
mi r~˙i =
X
Einheit:
[p] = kg·m/s
p~i
i
i
eines abgeschlossenen Systems aus Massepunkten m1, m2, ... ist
zeitlich konstant.
•  Stöße: 1. Grenzfall: Perfekt (vollständig) inelastischer Stoß
Vorher: Nachher: v~2 = 0
~u
Impulserhaltung m1
u=
v1
m1 + m2
v~1
2. Grenzfall: Perfekt (vollständig) elastischer Stoß
m1 m2
u
=
v1
1
v~2 = 0
Impulserhaltung
m1 + m2
+ Energieerhaltung 2 · m1
v~1
u
=
v1
2
u~1 u~2
m1 + m2
05.12.16 Prof. Dr. Jan Lipfert 26 Lineare vs. Drehbewegungen
Lineare Bewegung
Lineare
Weg, Verschiebung
Bewegung
Geschwindigkeit
Drehbewegung
~x ~r
~v = ~r˙
Beschleunigung
~a = ~v˙ = ~r¨
Masse
m
Impuls
p~ = m · ~v
Kraft
F~ = m · ~a
Impulsänderung ~
F = p~˙
Drehwinkel
Kinetische Energie Ekin = 1 mv 2
Rotationsenergie
2
05.12.16 Drehung
Winkelgeschwindigkeit
Winkelbeschleunigung
Trägheitsmoment
Drehimpuls
Drehmoment
Drehimpulsänderung
Prof. Dr. Jan Lipfert 27 Drehbewegungen (des starren Körpers)
•  Die Bewegung eines starren Körpers lässt sich aus
Translation und Rotation zusammensetzten
•  Trägheitsmoment:
Einheit:
[I] = kg·m2
I=
X
mi ri2 =
i
•  Steinerscher Satz:
(über parallele Achsen)
•  Rotationsenergie:
Z
r2 dm =
Z
r2 ⇢ dV
Ia0 = Ia + M d 2
Erot
1 2
= I!
2
•  Trägheitsmomente R R 1
I = M R2
2
12.12.2016 R c a b 1
2
1
2
I = M R I = M R2 I = M (a2 + b2 )
2
5
12
Prof. Dr. Jan Lipfert 28 PINGO – Wettrollen auf der schiefen Ebene
Eine Kugel und ein Vollzylinder mit gleichem
Radius und gleicher Masse rollen eine schiefe
Ebene hinab. Wer kommt zuerst unten an?
Abstimmen unter pingo.upb.de!
A) Die Kugel.
B) Der Vollzylinder.
C) Beide gleich.
09.01.2017 Prof. Dr. Jan Lipfert 29 Dichte, Druck, Schweredruck, Auftrieb
• 
Dichte:
• 
Druck:
• 
m
⇢=
V
F
p=
A
Schweredruck:
Einheit:
[ρ] = kg/m3
Einheit:
[p] = N/m2 = kg/(m·s2) = Pa
p = ⇢gh
h
1 bar = 105 Pa
1 atm = 1,01325 ·105 Pa
„Hydrostatisches Paradoxon“
= der Druck ist nur von der Höhe der Wassersäule abhängig;
Flüssigkeit steht überall gleich hoch, unabhängig von der Form
des Gefäßes (Prinzip der „kommunizierenden Röhren“)
• 
Auftrieb:
F~Auftrieb
FAuftrieb = ⇢Fluid · g · VKörper
Auftriebskraft = Gewichtskraft des verdrängten Fluids
(Archimedisches Prinzip)
19.12.2016 Prof. Dr. Jan Lipfert F~g
30 Strömungen: Kontinuität & Bernoulli-Gleichung
„Ideales Fluid”: inkompressibel und reibungsfrei (keine Viskosität)
dV
•  Volumenflussrate: =A·v
dt
•  Für inkompressible Fluide gilt die Kontinuitätsgleichung A1 v 1 = A2 v 2
)
A1
v2
=
A2
v1
•  Für ideale Fluide gilt die Bernoulli-Gleichung 1 2
p + g⇢h + ⇢v = const.
2
Statischer
Schweredruck Druck Staudruck https://de.wikipedia.org/wiki/
Daniel_Bernoulli
Daniel Bernoulli
(1700-1782)
09.01.2017 Prof. Dr. Jan Lipfert 31 PINGO - Pipes 1
Im Rohr in der Skizze strömt ein ideales Fluid
von links nach rechts. In welchem Staurohr
steht das Fluid höher?
A B Abstimmen unter pingo.upb.de!
A) Staurohr A.
B) Staurohr B.
C) Beide gleich.
09.01.2017 Prof. Dr. Jan Lipfert 32 PINGO – Pipes 2
Im Rohr in der Skizze strömt ein ideales Fluid
von links nach rechts. In welchem Staurohr
steht das Fluid höher?
A B Abstimmen unter pingo.upb.de!
A) Staurohr A.
B) Staurohr B.
C) Beide gleich.
09.01.2017 Prof. Dr. Jan Lipfert 33 PINGO – Pipes 3
Im Rohr in der Skizze strömt ein ideales Fluid
von links nach rechts. In welchem Staurohr
steht das Fluid höher?
A B Abstimmen unter pingo.upb.de!
A) Staurohr A.
B) Staurohr B.
C) Beide gleich.
09.01.2017 Prof. Dr. Jan Lipfert 34 Viskose Reibung
Reale Fluide haben Viskosität, d.h. es kommt zu
Energieverlusten und Reibung, wenn das Fluid strömt
Wichtige Fälle (gelten für hohe Viskosität, kleine Geschwindigkeiten): •  Fluid zwischen zwei Platten: F, v
A
FReibung =
d
•  Kugel in einem viskosen Fluid
(Stokes): FR =
•  Viskose Strömung durch ein Rohr
(Hagen-Poiseuille): 6⇡ · ⌘ · R · v
http://tap.iop.org/mechanics/
drag_forces/page_39518.html
09.01.2017 v
⌘·A·
d
Prof. Dr. Jan Lipfert http://ro.math.wikia.com/wiki/Ecua%C8%9Bia_Hagen-Poiseuille
dV
⇡(p1 p2 ) 4
=
R
dt
8·⌘·l
35