Elementare Herleitung der Eulerschen Gleichung

Datei: C:\VTeX\TD\MATHEM\Eulergleichung.tex 17. Marz 2007
Elementare Herleitung der Eulerschen Gleichung
Die Eulersche Gleichung
eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ
(1)
 ber die Cauchy-Riemannschen Dierentialgleichungen einf
l
at sich elegant u
uhren. Eine ele ber die Betrachtung der Zahlenfolge
mentare Herleitung erh
alt man u
iϕ 1
ζ1 = 1 +
,
1
iϕ 2
ζ2 = 1 +
,
2
iϕ 3
ζ3 = 1 +
,
3
... ,
iϕ n
,
ζn = 1 +
n
... .
(2)
F
ur die Betr
age dieser Zahlen gilt
iϕ n
iϕ n ϕ2 n
1−
= 1+ 2
n
n
n
2 2 2 2 n ϕ
n ϕ 2
n ϕ 3
n ϕ n
= 1+
+
+
+ ··· +
> 1.
2
2
2
1 n
2
n
3
n
n n2
|ζn |2 = ζn ζn =
1+
(3)
Wegen 1 − m
ur m = 1, 2, . . . , k − 1 , und der (schnell durch Induktion zu beweisenn < 1 f
den) f
ur alle k ≥ 1 geltenden Ungleichung k! ≥ 2k−1 lassen sich die Summanden dieser
Binomialentwicklung folgendermaen absch
atzen:
2 1 n ϕ2 k
n ϕ k
= k
k
n2
n k
n
1 n(n − 1)(n − 2) · · · (n − k + 1) ϕ2 k
= k·
n
k!
n
1
1 2 k − 1 ϕ2 k
1 ϕ2 k
=
1−
1−
.
··· 1 −
≤ k−1
k!
n
n
n
n
2
n
Das ergibt
|ζn |2 ≤ 1 +
ϕ2 1 ϕ2 2
1 ϕ2 3
1 ϕ2 n
+ 2
+ · · · + n−1
+
.
n
2 n
2
n
2
n
(4)
(5)
Ber
ucksichtigt man nun
1 ϕ2 n
ϕ2 1 ϕ2 2
1 ϕ2 3
+
+ 2
+ · · · + n−1
n
2 n
2
n
2
n
1 ϕ2 n−1 2
ϕ
1 ϕ 2 1 ϕ2 2
=
1+ ·
+
·
+ ··· +
·
n
2 n
2 n
2 n
n
2
1 ϕ
·
2
−1
2
n
ϕ
=
· 1 ϕ2
,
n
−1
·
2
(6)
n
so erh
alt man zusammen mit (3)
2
1 < |ζn |2 < 1 +
ϕ2
ϕ
·
n
ϕ2 n
1
2
1
2
ϕ2
n
·
·
n
ϕ2
n
−1
−1
ϕ2 n
.
(7)
Hier strebt n f
ur n → ∞ gegen 0 , und 12 · n
= 2 n1n verhalt sich genauso 1) . Daher
strebt die rechte Seite von (7) f
ur n → ∞ gegen 1 . Folglich gilt lim |ζn |2 = 1 und damit
n→∞
auch
(8)
lim |ζn | = 1 .
n→∞
1)
vgl. dazu Satz III im Dokument Fakult.tex
1 Datei: C:\VTeX\TD\MATHEM\Eulergleichung.tex 17. Marz 2007
iϕ n
Wir betrachten nun die Argumente ψn der Zahlen ζn = 1 + n
. F
ur sie gilt
iϕ n
iϕ arg ζn = arg 1 +
= ψn ≡ n arg 1 +
(mod 2π) .
n
n
(9)
1 + ij
sin Ω n
Ρn
tanΩ n
ij
1 + €€€€€€€€
n
Ωn
1
iϕ
ϕ
Setzen wir 1 + n = ρn (cos ωn + i sin ωn ) , so gilt 1 = ρn cos ωn und n = ρn sin ωn , also
ϕ
sin ωn
cos ωn = ρ1 und sin ωn = ρ1 ϕ
n . Das ergibt tan ωn = cos ω = n . Unter Berufung auf die
n
n
n
ϕ
ϕ
voranstehende Zeichnung erh
alt man daher sin ωn ≤ ωn ≤ tan ωn , 2) also ρ1 n ≤ ωn ≤ n .
n
ϕ
ϕ
Daraus folgt weiter n ρ1 n ≤ n ωn ≤ n n , und das ergibt schlielich
n
1
ϕ ≤ n ωn ≤ ϕ .
ρn
iϕ
(10)
Wegen (9) und unserer Festsetzung arg 1 + n = ωn gilt ψn ≡ n ωn (mod 2π) . Ferner gilt
lim ρn = 1 wegen lim 1 + ϕ
n i = 1 . Wir erhalten daher aus (10) die Beziehung
n→∞
n→∞
ϕ = lim n ωn ≡ lim ψn = lim arg ζn
n→∞
n→∞
n→∞
(mod 2π) .
(11)
Die beiden Ergebnisse (8) und (11) ergeben zusammen
iϕ n
1+
= cos ϕ + i sin ϕ .
n→∞
n
lim ζn = lim
n→∞
(12)
In Analogie zu den Verh
altnissen im Reellen bezeichnet man den Grenzwert (12) der Folge (2)
mit eiϕ , womit die Eulersche Gleichung gewonnen ist.
Die folgende Zeichnung veranschaulicht den Vorgang der Konvergenz
6i n
1+
→ cos 6 + i sin 6
n
2)
vgl. dazu das Dokument Sin x und Tan x.tex
2 f
ur
n=
10 11 12
10 , 10 , 10 , . . .
.
(13)
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Der Startwert ist 1 + 6i . Um f
ur den Anfang hinreichend viele Werte zu gewinnen, die die
11 12
Bahn der Werte auf dem Weg zu e6i klar anzeigen, wurde mit n = 10
10 , 10 , 10 , . . . statt mit
n = 1, 2, 3, . . . gerechnet. Insgesamt enthalt die Zeichnung 500 berechnete Punkte. Startwert
1 + 6i und Grenzwert cos 6 + i sin 6 sind durch Sterne gekennzeichnet:
7.5
5
2.5
-10
-8
-6
-4
-2
2
-2.5
-5
-7.5
Der Grenzwert lautet
lim 1 +
n→∞
6i n
n
= cos 6 + i sin 6 ≈ 0.96017029 − 0.27941550 i .
(14)
Der letzte vor dem ‰Ziel cos 6 + i sin 6 berechnete Punkt hat den Wert 1.3536005 − 0.4348706i .
3